ในพีชคณิตนามธรรมความสัมพันธ์สมมูล (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าความสัมพันธ์สมมูล) คือความสัมพันธ์สมมูลบนโครงสร้างพีชคณิต (เช่น กลุ่ม วงแหวนหรือปริภูมิเวกเตอร์)ที่เข้ากันได้กับโครงสร้างในแง่ที่ว่าการดำเนินการทางพีชคณิตที่ทำกับองค์ประกอบที่เทียบเท่ากันจะให้ผลลัพธ์เป็นองค์ประกอบที่เทียบเท่ากัน^{[ 1 ]} ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์จะมี โครงสร้าง ผลหารที่ สอดคล้องกัน ซึ่งองค์ประกอบของโครงสร้างนี้คือชั้นสมมูล (หรือชั้นความสัมพันธ์สมมูล ) สำหรับความสัมพันธ์นั้น^{[ 2 ]}

นิยามของความสอดคล้องขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้างพีชคณิตที่กำลังพิจารณา สามารถกำหนดนิยามเฉพาะของความสอดคล้องได้สำหรับกลุ่มวงแหวนปริภูมิเวกเตอร์โมดูลเซมิกรุป แลตทิซและอื่นๆ แก่นแท้คือ ความสอดคล้องเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนวัตถุพีชคณิตที่เข้ากันได้กับโครงสร้างพีชคณิต ในแง่ที่ว่าการดำเนินการต่างๆ นั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีบน ชั้นสมมูล

แนวคิดทั่วไปของความสัมพันธ์แบบสอดคล้องกันสามารถนิยามได้อย่างเป็นทางการในบริบทของพีชคณิตสากลซึ่งเป็นสาขาที่ศึกษาแนวคิดทั่วไปของโครงสร้างพีชคณิต ทั้งหมด ในบริบทนี้ความสัมพันธ์ บนโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดเรียกว่าเข้ากันได้ถ้าสำหรับแต่ละและการดำเนินการแบบ α ที่กำหนดบนโครงสร้างนั้น: เมื่อใดก็ตามที่และ ... และแล้ว${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$${\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}$

ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันบนโครงสร้างจะถูกกำหนดเป็นความสัมพันธ์สมมูลที่เข้ากันได้ด้วย^{[ 3 ] [ 4 ]}

ตัวอย่างต้นแบบของความสัมพันธ์สมภาคคือความสัมพันธ์สมภาคแบบมอดูลบน เซตของจำนวนเต็มสำหรับจำนวนเต็มบวกที่กำหนดให้ จำนวนเต็มสองจำนวน คือและเรียกว่าสมภาคแบบมอดูลเขียนแทนด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

ถ้าหารลงตัวด้วย(หรือเทียบเท่ากับถ้าและมีเศษเหลือ เท่ากัน เมื่อหารด้วย) ${\displaystyle ab}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่นและสอดคล้องกันในมอดูลัส ${\displaystyle 37}$${\displaystyle 57}$${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 10 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เนื่องจากทั้งและมีเศษเหลือเท่ากับเมื่อหารด้วย ${\displaystyle 37-57=-20}$${\displaystyle 37}$${\displaystyle 57}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle 10}$

ความสอดคล้องมอดูล(สำหรับค่าคงที่) เข้ากันได้กับการบวกและการคูณบนจำนวนเต็ม นั่นคือ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ถ้า

${\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$และ${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

แล้ว

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ และ ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$

การบวกและการคูณที่สอดคล้องกันของชั้นสมมูลเรียกว่าเลขคณิตมอดู ลาร์ จากมุมมองของพีชคณิตนามธรรม ความสอดคล้องมอดูลาร์คือความสัมพันธ์ความสอดคล้องบนวงแหวนของจำนวนเต็ม และเลขคณิตมอดูลาร์เกิดขึ้นบนวงแหวนผลหารที่สอดคล้อง กัน${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่น กลุ่มคือวัตถุทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยเซตพร้อมกับการดำเนินการทวิภาค เดียว ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์บางประการ ถ้าเป็นกลุ่มที่มีการดำเนินการความสัมพันธ์สมมูลบนคือความสัมพันธ์สมมูลบนสมาชิกของ ที่สอดคล้อง กับ${\displaystyle G}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \equiv }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$และ${\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

สำหรับความสอดคล้องบนกลุ่มหนึ่ง ชั้นสมมูลที่ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์ จะเป็น กลุ่มย่อยปกติเสมอและชั้นสมมูลอื่นๆ จะเป็นเซตย่อยร่วม อื่นๆ ของกลุ่มย่อยนี้ ชั้นสมมูลเหล่านี้รวมกันเป็นสมาชิกของกลุ่มผลหาร ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}$

เมื่อโครงสร้างพีชคณิตมีมากกว่าหนึ่งการดำเนินการ ความสัมพันธ์สมมูลจะต้องเข้ากันได้กับการดำเนินการแต่ละอย่าง ตัวอย่างเช่น ริงมีทั้งการบวกและการคูณ และความสัมพันธ์สมมูลบนริงจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}$และ${\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

เมื่อใดก็ตามที่และ . สำหรับความสอดคล้องบนริง ชั้นสมมูลที่ประกอบด้วย 0 จะเป็น ไอเดียลสองด้านเสมอและการดำเนินการสองอย่างบนเซตของชั้นสมมูลจะกำหนดริงผลหารที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$${\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}$

ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้าง (เช่นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มหรือแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ ) แล้วความสัมพันธ์ที่กำหนดโดย ${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนโดย ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม ข้อแรกภาพของAภายใต้เป็นโครงสร้างย่อยของB ที่สมมูลกับผลหารของAโดยความสัมพันธ์สมมูลนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

ในทางกลับกัน ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันก่อให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle R}$${\displaystyle f:A\rightarrow A/R}$

${\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}$.

ดังนั้น จึงมีความสอดคล้องกันโดยธรรมชาติระหว่างความสอดคล้องและโฮโมมอร์ฟิซึมของโครงสร้างพีชคณิตใดๆ ก็ตาม

ในกรณีเฉพาะของกลุ่มความสัมพันธ์สมภาคสามารถอธิบายได้ในเชิงพื้นฐานดังนี้: ถ้าGเป็นกลุ่ม (ที่มีเอกลักษณ์eและการดำเนินการ *) และ ~ เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคบนGแล้ว ~ เป็นความสัมพันธ์สมภาคเมื่อใดก็ตามที่:

1. เมื่อกำหนดองค์ประกอบ ใดๆ aของGแล้วa ~ a ( สมบัติการสะท้อนกลับ )
2. สำหรับองค์ประกอบใดๆ aและbของGถ้าa ~ bแล้วb ~ a ( สมมาตร )
3. กำหนดให้ Gมีองค์ประกอบใดๆ คือa , bและcถ้าa ~ bและb ~ cแล้วa ~ c ( สมบัติการถ่ายทอด )
4. กำหนดให้สมาชิกใดๆของGคือa , a ′, bและb ′ ถ้าa ~ a ′และb ~ b ′แล้วa * b ~ a ′ * b ′
5. เมื่อกำหนดองค์ประกอบaและa ′ ใดๆ ของGแล้ว ถ้าa ~ a ′แล้วa ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ (สิ่งนี้เป็นสิ่งที่บ่งบอกโดยอีกสี่ข้อ^{[หมายเหตุ 1 ]}ดังนั้นจึงซ้ำซ้อนอย่างเคร่งครัด)

เงื่อนไข ที่ 1, 2 และ 3 ระบุว่า ~ เป็นความสัมพันธ์สมมูล

ความสอดคล้อง ~ ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์จากเซต{ a ∈ G | a ~ e }ของสมาชิกในGที่สอดคล้องกับสมาชิกเอกลักษณ์ และเซตนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติโดยเฉพาะอย่างยิ่งa ~ bก็ต่อเมื่อb ⁻¹ * a ~ eดังนั้นแทนที่จะพูดถึงความสอดคล้องบนกลุ่มต่างๆ ผู้คนมักจะพูดถึงกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มเหล่านั้น ในความเป็นจริง ความสอดคล้องทุกความสอดคล้องจะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยปกติของG เพียง กลุ่ม เดียว

เทคนิคที่คล้ายกันนี้ช่วยให้เราสามารถพูดถึงแกนหลักในทฤษฎีวงแหวนว่าเป็นไอเดียลแทนที่จะเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูล และในทฤษฎีโมดูลว่าเป็นโมดูลย่อยแทนที่จะเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูล

สถานการณ์ทั่วไปที่สามารถใช้เทคนิคนี้ได้คือกับกลุ่มโอเมก้า (ในความหมายทั่วไปที่อนุญาตให้มีตัวดำเนินการที่มีอาร์ริตี้หลายตัว) แต่สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้กับตัวอย่างเช่นโมโนอิดดังนั้นการศึกษาความสัมพันธ์แบบคอนกรูเอนซ์จึงมีบทบาทสำคัญมากขึ้นในทฤษฎีโมโนอิด

แนวคิดทั่วไปของความสอดคล้องมีประโยชน์อย่างยิ่งในพีชคณิตสากลการกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันในบริบทนี้คือดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

ความสัมพันธ์สมมูลบนพีชคณิตAคือเซตย่อยของผลคูณโดยตรงA × Aที่เป็นทั้ง ความ สัมพันธ์ สมมูลบนAและเป็นพีชคณิตย่อยของA × A

เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึม คือคอนกรุเอน ซ์เสมอ อันที่จริง คอนกรุเอนซ์ทุกตัวเกิดขึ้นจากเคอร์เนล สำหรับคอนกรุเอนซ์ ~ ที่กำหนดบนAเซตA / ~ของชั้นสมมูลสามารถกำหนดโครงสร้างของพีชคณิตได้ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ นั่นคือพีชคณิตผลหารฟังก์ชันที่แมปทุกองค์ประกอบของAไปยังชั้นสมมูลของมันคือโฮโมมอร์ฟิซึม และเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือ ~

แลตทิซCon ( A ) ของความสัมพันธ์สมภาคทั้งหมดบนพีชคณิตAเป็นแลตทิซเชิงพีชคณิต

จอห์น เอ็ม. ฮาวีอธิบายว่า ทฤษฎี เซมิกรุปแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์แบบสอดคล้องกันในพีชคณิตสากลได้อย่างไร:

ในกลุ่มหนึ่ง ความสอดคล้องจะถูกกำหนดได้หากเรารู้ชั้นความสอดคล้องเพียงชั้นเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเรารู้กลุ่มย่อยปกติซึ่งเป็นชั้นที่ประกอบด้วยเอกลักษณ์ ในทำนองเดียวกัน ในวงแหวนหนึ่ง ความสอดคล้องจะถูกกำหนดได้หากเรารู้อุดมคติซึ่งเป็นชั้นความสอดคล้องที่ประกอบด้วยศูนย์ ในเซมิกรุปไม่มีเหตุการณ์ที่โชคดีเช่นนั้น และด้วยเหตุนี้เราจึงต้องเผชิญกับความจำเป็นในการศึกษาความสอดคล้องเช่นนั้น มากกว่าสิ่งอื่นใด ความจำเป็นนี้เองที่ทำให้ทฤษฎีเซมิกรุปมีลักษณะเฉพาะ เซมิกรุปเป็นพีชคณิตประเภทแรกและง่ายที่สุดที่ต้องนำวิธีการของพีชคณิตสากลมาใช้ ... ^{[ 5 ]}

ในทฤษฎีหมวดหมู่ ความสัมพันธ์สมมูลRบนหมวดหมู่Cกำหนดโดย: สำหรับแต่ละคู่ของวัตถุX , YในCความสัมพันธ์สมมูลR _{X , Y}บน Hom( X , Y ) โดยที่ความสัมพันธ์สมมูลนั้นเคารพการประกอบของมอร์ฟิซึม ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ หมวดหมู่ผลหาร § คำจำกัดความ

• ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน
• ปัญหาแลตทิซความสอดคล้อง
• ตารางความสอดคล้อง