ในพีชคณิตนามธรรมซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์กลุ่มที่มีตัวดำเนินการหรือกลุ่ม Ω คือโครงสร้างทางพีชคณิตที่สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มร่วมกับเซต Ω ที่ดำเนินการกับสมาชิกของกลุ่มในลักษณะพิเศษ

กลุ่มที่มีตัวดำเนินการได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยเอ็มมี เนอเธอร์และสำนักของเธอในช่วงทศวรรษ 1920 เธอได้นำแนวคิดนี้มาใช้ในการกำหนดทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของเนอเธอร์ ทั้งสามข้อในครั้ง แรก

กลุ่มที่มีตัวดำเนินการ สามารถกำหนดได้^{[ 1 ]}เป็นกลุ่มพร้อมกับการกระทำของเซตบน: ${\displaystyle (G,\Omega )}$${\displaystyle G=(G,\cdot )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Omega \times G\rightarrow G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }}$

ซึ่งเป็นการกระจายตัวที่สัมพันธ์กับกฎของกลุ่ม:

${\displaystyle (g\cdot h)^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.}$

สำหรับแต่ละค่า แผนที่นั้นจะเป็นเอน โดมอร์ฟิซึมของGจากนั้นจึงสรุปได้ว่า กลุ่ม Ω สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มGที่มีตระกูลของเอนโดมอร์ฟิซึมของG ที่มีดัชนีกำกับอยู่${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle g\mapsto g^{\โอเมก้า }}$${\displaystyle \left(u_{\omega }\right)_{\omega \in \Omega }}$

${\displaystyle \Omega }$เรียกว่าโดเมนตัวดำเนินการ เอนโดมอร์ฟิซึม ที่ เกี่ยวข้อง^{[ 2 ]}เรียกว่าโฮโมเทตีของG

กำหนดให้ GและH เป็น สองกลุ่มที่มีโดเมนตัวดำเนินการเดียวกันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีตัวดำเนินการจากไปคือ โฮโมมอร์ฟิ ซึม ของ กลุ่ม ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle (G,\Omega )}$${\displaystyle (H,\Omega )}$${\displaystyle \phi :G\to H}$

${\displaystyle \phi \left(g^{\omega }\right)=(\phi (g))^{\omega }}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle g\in G.}$

กลุ่มย่อยSของGเรียกว่ากลุ่มย่อยเสถียรกลุ่มย่อย -หรือกลุ่มย่อย -ไม่เปลี่ยนแปลงถ้ามันเคารพโฮโมเทตี นั่นคือ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle s^{\omega }\in S}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \omega \in \Omega .}$

ในทฤษฎีหมวดหมู่กลุ่มที่มีตัวดำเนินการสามารถกำหนดได้^{[ 3 ]}เป็นวัตถุของหมวดหมู่ฟังก์ชันGrp ^Mโดยที่Mเป็นโมโนอิด (กล่าวคือหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียว) และGrpหมาย ถึง หมวดหมู่ของกลุ่มคำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความก่อนหน้านี้ หากเป็นโมโนอิด (ถ้าไม่ใช่ เราอาจขยายให้รวมถึงเอกลักษณ์ และ การประกอบทั้งหมด) ${\displaystyle \Omega }$

มอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้คือการแปลงธรรมชาติระหว่างฟังก์ชัน สองตัว (กล่าวคือ กลุ่มที่มีตัวดำเนินการสองกลุ่มที่ใช้โดเมนตัวดำเนินการเดียวกันM ) อีกครั้ง เราจะกลับมาใช้คำจำกัดความข้างต้นของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่มีตัวดำเนินการ (โดยที่fคือส่วนประกอบของการแปลงธรรมชาติ)

กลุ่มที่มีผู้ดำเนินการก็คือการแมปเช่นกัน

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

เซตของเอนโดมอร์ฟิซึมกลุ่มของG อยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

• สำหรับกลุ่มG ใดๆ ( G , ∅) เป็นกลุ่มที่มีตัวดำเนินการโดยปริยาย
• เมื่อกำหนดโมดูลMเหนือริงRแล้วRจะกระทำการโดยการคูณสเกลาร์ กับ กลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานของMดังนั้น ( M , R ) จึงเป็นกลุ่มที่มีตัวดำเนินการ
• ในกรณีพิเศษจากข้างต้น ทุกปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kเป็นกลุ่มที่มีตัวดำเนินการ ( V , K )

ทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ยังคงใช้ได้ในบริบทของกลุ่มที่มีตัวดำเนินการ ข้อกำหนดที่ว่ากลุ่มต้องมีอนุกรมการประกอบนั้นคล้ายคลึงกับข้อกำหนดเรื่องความกะทัดรัดในทางโทโพโลยีและบางครั้งอาจเป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดเกินไป เป็นเรื่องธรรมชาติที่จะพูดถึง "ความกะทัดรัดสัมพันธ์กับเซต" กล่าวคือ พูดถึงอนุกรมการประกอบที่แต่ละกลุ่มย่อย ( ปกติ ) เป็นกลุ่มย่อยตัวดำเนินการสัมพันธ์กับเซตตัวดำเนินการXของกลุ่มที่กล่าวถึง

• การกระทำของกลุ่ม