ในทางคณิตศาสตร์แผนที่บันเดิล (หรือการแปลงบันเดิล ) คือฟังก์ชัน ที่เชื่อม โยงบันเดิลไฟเบอร์สอง บันเดิล เข้าด้วยกันโดยเคารพโครงสร้างภายในของพวกมัน บันเดิลไฟเบอร์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ในระดับท้องถิ่นมีลักษณะคล้ายผลคูณคาร์ทีเซียนของปริภูมิฐานและปริภูมิอื่น ซึ่งก็คือ "ไฟเบอร์" ทั่วไป แต่อาจมีโครงสร้างโดยรวมที่ซับซ้อนกว่านั้น

โดยทั่วไป แผนที่กลุ่ม (bundle map) จะประกอบด้วยฟังก์ชันสองฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชันหนึ่งระหว่างปริภูมิทั้งหมดของกลุ่ม และอีกฟังก์ชันหนึ่งระหว่างปริภูมิฐานของกลุ่มเหล่านั้น โดยที่แผนภาพที่เกิดจากการฉายภาพจะสลับตำแหน่งกันได้ ในบางกรณี กลุ่มทั้งสองอาจใช้ปริภูมิฐานเดียวกัน และในบางกรณี แผนที่อาจมีฟังก์ชันแยกต่างหากระหว่างปริภูมิฐานที่แตกต่างกัน

มีแผนที่บันเดิลหลายเวอร์ชัน ขึ้นอยู่กับประเภทเฉพาะของบันเดิลไฟเบอร์ที่เกี่ยวข้อง เช่น บันเดิลเรียบบันเดิลเวกเตอร์หรือบันเดิลหลักและขึ้นอยู่กับหมวดหมู่ที่กำหนด (เช่นปริภูมิเชิงทอ พอโลยี หรือแมนิโฟลด์เรียบ )

สามส่วนแรกของบทความนี้กล่าวถึงกลุ่มเส้นใยทั่วไปในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีในขณะที่ส่วนที่สี่จะนำเสนอตัวอย่างอื่นๆ

ให้ E และF เป็นมัดไฟเบอร์เหนือปริภูมิMแล้วแผนที่มัดจากEไปยังFเหนือMคือแผนที่ต่อเนื่องซึ่งนั่นคือ แผนภาพ ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}}$

ควรสลับตำแหน่งกัน^ได้เทียบเท่ากับจุดx ใดๆ ในMจะส่งไฟเบอร์ของEเหนือxไปยังไฟเบอร์ของFเหนือx ^{[ 1} ]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})}$${\displaystyle F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})}$

ให้ π _E : E → Mและ π _F : F → Nเป็นไฟเบอร์บันเดิลเหนือปริภูมิMและNตามลำดับ แผนที่ต่อเนื่องเรียกว่าแผนที่บันเดิลจากEไปยังFถ้ามีแผนที่ต่อเนื่องf : M → Nที่ทำให้แผนภาพ ${\displaystyle \varphi :E\ถึง F}$

สลับกันได้ นั่นคือ. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือรักษาไฟเบอร์และfคือแผนที่เหนี่ยวนำบนพื้นที่ของไฟเบอร์ของE : เนื่องจาก π _Eเป็นฟังก์ชันทั่วถึงfจึงถูกกำหนดโดย. สำหรับf ที่กำหนด แผนที่บันเดิลดังกล่าวเรียกว่าแผนที่บันเดิลที่ครอบคลุม f . ^{[ 2 ]}${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

จาก นิยาม ดังกล่าว จึงสรุปได้ทันทีว่า แผนที่บันเดิลเหนือM (ในความหมายแรก) นั้นเหมือนกับแผนที่บันเดิลที่ครอบคลุมแผนที่เอกลักษณ์ของM

ในทางกลับกัน แผนที่บันเดิลทั่วไปสามารถลดรูปเป็นแผนที่บันเดิลบนปริภูมิฐานคงที่ได้โดยใช้แนวคิดของบันเดิลพูลแบ็กถ้า π _F : F → Nเป็นบันเดิลไฟเบอร์บนNและf : M → Nเป็นแผนที่ต่อเนื่องแล้วพูลแบ็กของFโดยfคือบันเดิลไฟเบอร์f ^* FบนMซึ่งไฟเบอร์บนxกำหนดโดย ( f ^* F ) _x = F _{f ( x )}ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า แผนที่บันเดิลจากEไปยังFที่ ครอบคลุมfนั้นเหมือนกับแผนที่บันเดิลจากEไปยังf ^* FบนM

มีรูปแบบที่แตกต่างกันสองแบบสำหรับแนวคิดทั่วไปของแผนที่บันเดิล

ประการแรก เราสามารถพิจารณากลุ่มเส้นใยในหมวดหมู่ของปริภูมิที่แตกต่างออกไปได้ ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้จะนำไปสู่แนวคิดของการแมปกลุ่มเส้นใยเรียบระหว่างกลุ่มเส้นใยเรียบเหนือ แมนิโฟล ด์ เรียบ

ประการที่สอง เราสามารถพิจารณามัดไฟเบอร์ที่มีโครงสร้างพิเศษในไฟเบอร์ และจำกัดความสนใจไปที่แผนที่มัดซึ่งรักษาโครงสร้างนี้ไว้ สิ่งนี้นำไปสู่แนวคิดของโฮโมมอร์ฟิซึมมัด (เวกเตอร์)ระหว่างมัดเวกเตอร์ซึ่งไฟเบอร์เป็นปริภูมิเวกเตอร์ และแผนที่มัดφจำเป็นต้องเป็นแผนที่เชิงเส้นบนแต่ละไฟเบอร์^{[ 3 ]}ในกรณีนี้ แผนที่มัดφ ดังกล่าว (ครอบคลุมf ) อาจถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของมัดเวกเตอร์ Hom( E , f ^* F ) เหนือMซึ่งไฟเบอร์เหนือxคือปริภูมิเวกเตอร์ Hom( E _x , F _{f ( x )} ) (หรือแสดงด้วยL ( E _x , F _{f ( x )} )) ของแผนที่เชิงเส้นจาก E _xไปยัง F _{f ( x )}