ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในพีชคณิตผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนคือกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดยการรวมกลุ่มที่กำหนดในลักษณะเฉพาะ ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง^{[ 1 ]} หากกลุ่มอาเบเลียนที่ป้อนเข้ามามีโครงสร้างเพิ่มเติม (เช่น เป็นปริภูมิเวกเตอร์โมดูลหรือกลุ่มอาเบเลียนเชิงโทโพโลยี ) ผลรวมโดยตรงก็จะมีโครงสร้างนั้นด้วย โดยทั่วไป

ตัวอย่างเช่น ผลรวมโดยตรงของ กลุ่มอาเบเลียน สองกลุ่ม และคือกลุ่มอาเบเลียนอีกกลุ่มหนึ่งที่ประกอบด้วยคู่ลำดับโดยที่และในการบวกคู่ลำดับผลรวมถูกกำหนดให้เป็น; กล่าวอีกนัยหนึ่ง การบวกถูกกำหนดตามพิกัด ตัวอย่างเช่น ผลรวมโดยตรงโดยที่คือปริภูมิพิกัดจริงคือ ระนาบ คาร์ทีเซียน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$${\displaystyle (a+c,b+d)}$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ผลรวมโดยตรงสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยจำนวนตัวบวกที่จำกัดใดๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่นโดยที่และเป็นโครงสร้างพีชคณิตชนิดเดียวกัน (เช่น กลุ่มอาเบเลียนทั้งหมด หรือปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมด) ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมโดยตรงมีคุณสมบัติการสลับที่ได้จนถึงไอโซมอร์ฟิ ซึม นั่นคือสำหรับโครงสร้างพีชคณิตใดๆ, , และที่มีชนิดเดียวกัน ผลรวมโดยตรงยังมีคุณสมบัติการสลับที่ได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมด้วย กล่าวคือสำหรับโครงสร้างพีชคณิตใดๆและที่มีชนิดเดียวกัน ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียน เวกเตอร์สเปซ หรือโมดูลจำนวนจำกัดนั้นสมมูล กันในเชิงแคนอนิ กกับผลคูณโดยตรง ที่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ข้อความดังกล่าวเป็นเท็จสำหรับวัตถุทางพีชคณิตบางอย่าง เช่น กลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียน

ในกรณีที่มีการรวมวัตถุจำนวนอนันต์เข้าด้วยกัน ผลรวมโดยตรงและผลคูณโดยตรงจะไม่สมมาตรกัน แม้แต่สำหรับกลุ่มอาเบเลียน ปริภูมิเวกเตอร์ หรือโมดูลก็ตาม ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวมโดยตรงและผลคูณโดยตรงของจำนวนเต็มที่มีจำนวนอนันต์ (นับได้) สมาชิกในผลคูณโดยตรงคือลำดับอนันต์ เช่น (1,2,3,...) แต่ในผลรวมโดยตรง มีข้อกำหนดว่าพิกัดทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นลำดับ (1,2,3,...) จะเป็นสมาชิกในผลคูณโดยตรง แต่ไม่ใช่ในผลรวมโดยตรง ในขณะที่ (1,2,0,0,0,...) จะเป็นสมาชิกทั้งสองอย่าง บ่อยครั้ง หากใช้เครื่องหมาย + พิกัดทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ต้องเป็นศูนย์ ในขณะที่หากใช้การคูณในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง พิกัดทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ต้องเป็น 1

ในภาษาทางเทคนิคมากขึ้น หากผลรวมคือผลรวมโดยตรงจะถูกกำหนดให้เป็นเซตของทูเปิลที่มีโดยที่สำหรับi ทั้งหมด ยกเว้นจำนวน จำกัด ผลรวมโดยตรงนั้นบรรจุอยู่ในผลคูณโดยตรงแต่จะมีขนาดเล็กกว่าอย่างชัดเจนเมื่อเซตดัชนีเป็นอนันต์ เนื่องจากองค์ประกอบของผลคูณโดยตรงสามารถมีพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์ได้เป็นจำนวนอนันต์^{[ 2 ]}${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle I}$

ระนาบxy ซึ่งเป็น ปริภูมิเวกเตอร์สองมิติสามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติสองปริภูมิ ได้แก่ แกน xและ แกน yในผลรวมโดยตรงนี้ แกน xและ แกน yตัดกันเฉพาะที่จุดกำเนิด (เวกเตอร์ศูนย์) การบวกถูกกำหนดตามพิกัด นั่นคือซึ่งเหมือนกับการบวกเวกเตอร์ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

กำหนดให้โครงสร้างสองโครงสร้างA และA ผลรวมโดยตรงของโครงสร้างทั้งสองเขียนได้เป็นกำหนดให้ตระกูลของโครงสร้าง ที่มีดัชนี โดยมีดัชนีเป็นผลรวมโดยตรงอาจเขียนได้เป็นแต่ละA _iเรียกว่าพจน์ผลรวมโดยตรงของAถ้าเซตดัชนีมีจำนวนจำกัด ผลรวมโดยตรงจะเหมือนกับผลคูณโดยตรง ในกรณีของกลุ่ม ถ้าการดำเนินการของกลุ่มเขียนเป็น จะใช้คำว่า "ผลรวมโดยตรง" ในขณะที่ถ้าการดำเนินการของกลุ่มเขียนเป็น จะใช้คำว่า "ผลคูณโดยตรง" เมื่อเซตดัชนีมีจำนวนอนันต์ ผลรวมโดยตรงจะไม่เหมือนกับผลคูณโดยตรง เนื่องจากผลรวมโดยตรงมีข้อกำหนดเพิ่มเติมคือ พิกัดทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ต้องเป็นศูนย์ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$

มีการแยกความแตกต่างระหว่างผลรวมโดยตรงภายในและภายนอก แม้ว่าทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันก็ตาม หากมีการกำหนดตัวตั้งบวกก่อน แล้วจึงกำหนดผลรวมโดยตรงในรูปของตัวตั้งบวกเหล่านั้น ผลรวมโดยตรงนั้นจะเรียกว่าผลรวมโดยตรงภายนอก ตัวอย่างเช่น หากมีการกำหนดจำนวนจริง ตามด้วยผลรวมโดยตรงนั้นจะเรียกว่าผลรวมโดยตรงภายนอก ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

ในทางกลับกัน หากมีการกำหนดโครงสร้างพีชคณิตบางอย่าง และกำหนดให้เป็นผลรวมโดยตรงของโครงสร้างย่อยสองโครงสร้างคือ และผลรวมโดยตรงนั้นจะเรียกว่าเป็นผลรวมโดยตรงภายใน ในกรณีนั้น แต่ละองค์ประกอบของสามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปของการรวมกันทางพีชคณิตขององค์ประกอบของและองค์ประกอบของ ตัวอย่างของผลรวมโดยตรงภายใน ลองพิจารณา(จำนวนเต็มมอดูลหก) ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นสิ่งนี้สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมโดยตรงภายใน ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

ผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนเป็นตัวอย่างต้นแบบของผลรวมโดยตรง เมื่อมีกลุ่มอาเบเลียนสองกลุ่ม ผลรวมโดยตรงของ กลุ่มทั้งสอง จะเหมือนกับผลคูณโดยตรง ของกลุ่มทั้ง สอง กล่าวคือ เซตพื้นฐานคือผลคูณคาร์ทีเซียนและการดำเนินการของกลุ่มถูกกำหนดตามส่วนประกอบ: นิยามนี้สามารถขยายไปสู่ผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียนจำนวนจำกัดได้ ${\displaystyle (A,\circ )}$${\displaystyle (B,\bullet ),}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle \,\cdot \,}$$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

สำหรับกลุ่มตระกูลใดๆที่มีดัชนีตามผลรวมโดยตรง [ ^{3 ] คือ} กลุ่มย่อยของผลคูณโดยตรงที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่มีฐานรองรับ จำกัด โดยที่ตามคำนิยามกล่าวได้ว่ามีฐานรองรับจำกัดถ้าคือองค์ประกอบเอกลักษณ์ของสำหรับทุก ยกเว้นจำนวนจำกัด^{[ 4 ]} ผลรวมโดยตรงของกลุ่มตระกูลอนันต์ที่ไม่ใช่กลุ่มย่อย คือกลุ่มย่อยที่แท้จริงของกลุ่มผลคูณ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I,}$$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i.}$${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

ผลรวมโดยตรงของโมดูลคือโครงสร้างที่รวมโมดูลหลายๆโมดูลเข้าด้วยกันเป็นโมดูลใหม่

ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดของการสร้างแบบนั้นเกิดขึ้นในการพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งเป็นโมดูลเหนือฟิลด์การสร้างนี้ยังสามารถขยายไปยังปริภูมิบานาคและปริภูมิฮิลเบิร์ตได้อีก ด้วย

หมวดหมู่แบบบวกเป็นนามธรรมของคุณสมบัติของหมวดหมู่ของโมดูล^{[ 5 ] [ 6 ]}ในหมวดหมู่ดังกล่าว ผลคูณจำกัดและผลคูณร่วมจะสอดคล้องกัน และผลรวมโดยตรงจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง: ดู biproduct

โดยทั่วไป^{[ 3 ]} ในทฤษฎีหมวดหมู่ผลรวมโดยตรงมักจะเป็นผลคูณร่วมในหมวดหมู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง แต่ก็ไม่เสมอไป ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ผลรวมโดยตรงเป็นผลคูณร่วม และเช่นเดียวกันในหมวดหมู่ของโมดูล

ผลรวมโดยตรงของการแสดงกลุ่มเป็นการขยายผลรวมโดยตรงของโมดูลพื้นฐานโดยการเพิ่มการกระทำของกลุ่มโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อกำหนดกลุ่ม และการแสดง สองแบบ ของ( หรือโดยทั่วไปแล้ว โมดูลสองโมดูล ) ผลรวมโดยตรงของการแสดงคือโดยมีการกระทำของที่กำหนดตามส่วนประกอบ นั่นคือ ${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V\oplus W}$${\displaystyle g\in G}$$${\displaystyle g(v,w):=(gv,gw)}$$

วิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดผลรวมโดยตรงมีดังนี้: กำหนดให้มีการแสดงแทนสองแบบและปริมาณเวกเตอร์ของผลรวมโดยตรงคือและโฮโมมอร์ฟิซึมกำหนดโดย โดยที่คือแผนที่ธรรมชาติที่ได้จากการกระทำตามพิกัดดังที่กล่าวมาข้างต้น ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$${\displaystyle (W,\rho _{W})}$${\displaystyle V\oplus W}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

นอกจากนี้ ถ้าเป็นมิติจำกัดแล้ว เมื่อกำหนดฐานของและจะเป็นเมทริกซ์ค่า ในกรณีนี้จะกำหนดให้เป็น ${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle V,\,W}$${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$$${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

นอกจากนี้ หาก มองว่า และเป็นโมดูลเหนือริงกลุ่มโดยที่คือฟิลด์ ผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนและจะเท่ากับผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนเหล่านั้นในฐานะโมดูล ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle kG}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle kG}$

ผลคูณโดยตรง ของวงแหวนไม่ควรเขียนเป็นเนื่องจากไม่ได้รับโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนตามธรรมชาติจากและ^[ 7 ^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนที่ที่ส่งไปยัง^{ไม่ใช่}โฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน เนื่องจากไม่สามารถส่ง 1 ไปยัง ได้(โดยสมมติว่าใน) ดังนั้น จึงไม่ใช่ผลคูณร่วมในหมวดหมู่ของวงแหวนและไม่ควรเขียนเป็นผลรวมโดยตรง (ผลคูณร่วมในหมวดหมู่ของวงแหวนสลับที่คือ ผลคูณเทน เซอร์ของวงแหวน^{[ 8 ]}ในหมวดหมู่ของวงแหวน ผลคูณร่วมกำหนดโดยโครงสร้างที่คล้ายกับผลคูณอิสระของกลุ่ม) ${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R\oplus S}$${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R\to R\times S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (r,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle 0\neq 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R\times S}$

การใช้ศัพท์และสัญลักษณ์ของการบวกโดยตรงนั้นเป็นปัญหาอย่างยิ่งในการจัดการกับตระกูลของวงแหวนอนันต์ หากเป็นกลุ่มอนันต์ของวงแหวนที่ไม่ใช่วงแหวนธรรมดา การบวกโดยตรงของกลุ่มการบวกพื้นฐานอาจมีการคูณแบบเทอมต่อเทอม แต่จะได้rng ซึ่ง เป็นวงแหวนที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

ถ้าเป็นเมทริกซ์ และเป็นเมทริกซ์ ผลรวมโดยตรงจะถูกกำหนดเป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยง${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle m_{1}\times n_{1}}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle m_{2}\times n_{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\times (n_{1}+n_{2})}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) เช่นปริภูมิบานาคกล่าวได้ว่าเป็นผลรวมโดยตรงเชิงทอพอโลยีของปริภูมิย่อยเวกเตอร์สองปริภูมิและถ้าแผนที่การบวก เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (หมายความว่าแผนที่เชิงเส้น นี้ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ในกรณีนี้และกล่าวได้ว่าเป็นส่วนเติมเต็มเชิงทอพอโลยีใน นั่นเป็นจริงก็ต่อเมื่อ เมื่อพิจารณาว่าเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีแบบบวก (ดังนั้นจึงไม่พิจารณาการคูณสเกลาร์) คือ ผล รวมโดยตรงเชิงทอพอโลยีของกลุ่มย่อยเชิงทอพอโลยีและ ถ้าเป็นเช่นนั้น และถ้าเป็นเฮาส์ดอร์ฟแล้วและ จะเป็นปริภูมิย่อย ปิดของอย่างแน่นอน${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X.}$

ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนจะมีปริภูมิย่อยเวกเตอร์อีกปริภูมิหนึ่งของ ที่เรียกว่า ส่วนเติมเต็ม เชิงพีชคณิตของในซึ่งคือผลรวมโดยตรงเชิงพีชคณิตของและซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อแผนที่การบวกเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\times N\to X}$

ตรงกันข้ามกับผลรวมโดยตรงเชิงพีชคณิต การมีอยู่ของส่วนเติมเต็มดังกล่าวไม่ได้รับการรับประกันอีกต่อไปสำหรับผลรวมโดยตรงเชิงโทโพโลยี

กล่าวได้ว่าปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ เป็น ปริภูมิย่อยที่เติมเต็ม ( ในเชิงโทโพโลยี ) ของถ้ามีอยู่ปริภูมิย่อยเวกเตอร์บางส่วนของเช่นนั้นคือผลรวมโดยตรงเชิงโทโพโลยีของและ ปริภูมิย่อยเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิย่อยที่ไม่เติมเต็มถ้ามันไม่ใช่ปริภูมิย่อยที่เติมเต็ม ตัวอย่างเช่น ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ทุกตัวของปริภูมิย่อยเวกเตอร์แบบเฮาส์ดอร์ฟที่ไม่ใช่เซตปิด จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เติมเต็ม ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดทุกตัวของปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิย่อยที่เติมเต็ม แต่ปริภูมิบานาค ทุกตัว ที่ไม่ใช่ปริภูมิฮิลเบิร์ต จำเป็นต้องมีปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดที่ไม่เติมเต็มอยู่บ้าง ${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N.}$

ผลรวมโดยตรงมาพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมการฉาย ภาพ สำหรับแต่ละjในIและโคโปรเจกชันสำหรับแต่ละjในI ^{[ 9 ]} เมื่อกำหนดโครงสร้างพีชคณิตอื่น(ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมเดียวกัน) และโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับทุกjในIจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าผลรวมของg _jเช่นนั้นสำหรับทุกjดังนั้นผลรวมโดยตรงจึงเป็นโคโปรดักต์ในหมวดหมู่ ที่ เหมาะสม ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

• ผลรวมโดยตรงของกลุ่ม
• ผลรวมโดยตรงของการเรียงสับเปลี่ยน
• ผลรวมโดยตรงของกลุ่มโทโพโลยี
• สินค้าต้องห้าม
• วิทนีย์ ซัม
• ทฤษฎีบทเฟเฟอร์แมน-วอท