ในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต สแต็กผลหารคือสแต็กที่กำหนดพารามิเตอร์ให้กับวัตถุที่สมมาตรกัน ในทางเรขาคณิต มันเป็นการขยายแนวคิดของผลหารของสกีมหรือวาไรตี้โดยกลุ่มกล่าวคือ วาไรตี้ผลหารจะเป็นการประมาณอย่างหยาบๆ ของสแต็กผลหาร

แนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเรื่องสแต็ก: สแต็กที่เกิดขึ้นในธรรมชาติมักจะเป็นสแต็กผลหารเอง หรือยอมรับการแบ่งชั้นโดยสแต็กผลหาร (เช่นสแต็กเดลิญ-มัมฟอร์ด ) สแต็กผลหารยังใช้ในการสร้างสแต็กอื่นๆ เช่นสแต็กจำแนกประเภทด้วย

สแต็กผลหารถูกนิยามดังนี้ ให้Gเป็นโครงร่างกลุ่ม เรียบเชิงเส้นตรง เหนือโครงร่างSและXเป็น โครงร่าง Sที่G กระทำอยู่ให้สแต็กผลหารเป็นหมวดหมู่เหนือ หมวดหมู่ ของโครง ร่าง Sโดยที่ ${\displaystyle [X/G]}$

• วัตถุเหนือTคือบันเดิลGหลัก พร้อมกับแผนที่สมมาตร${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P\to X}$
• มอร์ฟิซึมจากไปคือแผนที่บันเดิล (กล่าวคือ สร้างแผนภาพสลับที่ได้) ที่เข้ากันได้กับแผนที่สมมาตรและ${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P'\to T'}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle P'\to X}$

สมมติว่าผลหาร มีอยู่จริงในรูปของปริภูมิพีชคณิต (ตัวอย่างเช่น โดยทฤษฎีบทคีล-โมริ ) แผนที่แคนอนิก ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$,

ที่ส่งบันเดิลPเหนือT ไปยัง จุดTที่สอดคล้องกัน^{[ 1 ]}ไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของสแต็ก กล่าวคือ พื้นที่ "X/G" มักจะหยาบกว่า แผนที่แคนอนิกเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อตัวรักษาเสถียรภาพเป็นแบบไม่สำคัญ (ในกรณีนี้มีอยู่) ${\displaystyle X/G}$

โดยทั่วไปแล้วมันคือสแต็กอาร์ติน (หรือเรียกว่าสแต็กพีชคณิต) หากตัวรักษาเสถียรภาพของจุดทางเรขาคณิตมีจำนวนจำกัดและลดรูปได้ มันจะเป็นสแต็กเดลิญ-มัมฟอร์ด ${\displaystyle [X/G]}$

เบิร์ต โททาโร  ( 2004 ) ได้แสดงให้เห็นว่า: ให้Xเป็นสแต็กพีชคณิตแบบโนเธอร์เรียนปกติ ซึ่งกลุ่มเสถียรภาพที่จุดปิดเป็นแบบแอฟฟิน แล้วXเป็นสแต็กผลหารก็ต่อเมื่อมันมีคุณสมบัติการแก้ปัญหา กล่าวคือ ชีฟที่สอดคล้องกันทุกตัวเป็นผลหารของบันเดิลเวกเตอร์ ก่อนหน้านี้โรเบิร์ต เวย์น โทมาสันได้พิสูจน์แล้วว่าสแต็กผลหารมีคุณสมบัติการแก้ปัญหา

หมายเหตุ: เป็นไปได้ที่จะเข้าถึงการสร้างจากมุมมองของชีฟเชิงซิมพลิเชียล [ ^{2 ] ดู}เพิ่มเติม: แผนภาพเชิงซิมพลิเชียล

ออร์บิโฟลด์ผลหารที่มีประสิทธิภาพเช่นในกรณีที่การกระทำมีตัวรักษาเสถียรภาพจำกัดบนพื้นที่เรียบ ถือเป็นตัวอย่างของสแต็กผลหาร^{[ 3 ]}${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

ถ้าด้วยการกระทำที่ไม่สำคัญของ(ซึ่งมักจะเป็นจุด) แล้วจะเรียกว่าสแต็กจำแนกประเภทของ(ในทำนองเดียวกับปริภูมิจำแนกประเภทของ) และมักจะใช้สัญลักษณ์ แทนทฤษฎีบทของโบเรลอธิบายถึงวงแหวนโคฮอโมโลยีของสแต็กจำแนกประเภท ${\displaystyle X=S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [S/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

หนึ่งในตัวอย่างพื้นฐานของสแต็กผลหารมาจากสแต็กโมดูลัสของบันเดิลเส้นเหนือหรือเหนือสำหรับการกระทำแบบไม่สำคัญบนสำหรับสกีมใดๆ (หรือสกีม -) จุด-ของสแต็กโมดูลัสคือกรุปอยด์ของบันเดิล หลัก - ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle {\text{Sch}}}$${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle P\to X}$

มีสแต็กโมดูลัสอีกแบบหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ซึ่งกำหนดโดยซึ่งเป็นสแต็กโมดูลัสของบันเดิลเส้นที่มี-ส่วน สิ่งนี้เป็นผลโดยตรงจากนิยามของสแต็กผลหารที่ประเมินบนจุด สำหรับสกีมจุด- คือกรุปอยด์ที่มีวัตถุที่กำหนดโดยเซต${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

มอร์ฟิซึมในแถวบนสุดสอดคล้องกับส่วน -section ของกลุ่มเส้นตรงที่เกี่ยวข้องเหนือสามารถพบได้โดยการสังเกตว่าการให้แผนที่ -equivariant และจำกัดให้อยู่บนไฟเบอร์จะให้ข้อมูลเดียวกันกับส่วนของกลุ่มเส้นตรง สามารถตรวจสอบได้โดยการดูที่แผนภูมิและส่งจุดไปยังแผนที่โดยสังเกตว่าเซตของแผนที่ -equivariant นั้นสมมาตรกับ จากนั้นการสร้างนี้จะทำให้เป็นสากลโดยการเชื่อมแผนภูมิเชิงเส้นเข้าด้วยกัน ทำให้ได้ส่วนของกลุ่มเส้นตรงที่เป็นสากล เนื่องจากแผนที่ -equivariant ไปยัง เทียบเท่ากับทู เปิ ล -tuple ของแผนที่ -equivariant ไปยังผลลัพธ์จึงเป็นจริง ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle P|_{x}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

ตัวอย่าง: ^{[ 4 ]}ให้Lเป็นวงแหวนลาซาร์ดกล่าวคือ. จากนั้นสแต็กผลหารโดย , ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

เรียกว่าสแต็กโมดูลัสของกฎกลุ่มเชิงรูปธรรมซึ่งใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$

• ผลหารโฮโมโทปี
• สแต็กโมดูลัสของบันเดิลหลัก (ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วคือผลคูณอนันต์ของสแต็กจำแนกประเภท)
• การดำเนินการตามแผนกลุ่ม
• ค่าสัมบูรณ์ของเส้นโค้งพีชคณิต