ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตผลรวมเกาส์หรือผลรวมเกาส์เซียน คือ ผลรวมจำกัดชนิดหนึ่งของรากที่หนึ่งโดยทั่วไปแล้ว

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

โดยผลรวมจะอยู่เหนือองค์ประกอบrของวงแหวนสลับเปลี่ยนจำกัดR บาง วงψเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มของกลุ่มบวกR ⁺ไปยังวงกลมหน่วยและχเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มของกลุ่มหน่วยR ^×ไปยังวงกลมหน่วย ขยายไปยังr ที่ไม่ใช่หน่วย โดยที่มันมีค่าเป็น 0 ผลรวมเกาส์เป็นอนาล็อกสำหรับฟิลด์จำกัดของฟังก์ชันแกมมา^{[ 1 ]}

ผลรวมประเภทนี้พบได้ทั่วไปในทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่น ปรากฏในสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันDirichlet Lโดยที่สำหรับอักขระ Dirichlet χสมการที่เชื่อมโยงL ( s , χ )และL (1 −  s , χ ) (โดยที่χคือค่าสังยุคเชิงซ้อนของχ ) เกี่ยวข้องกับตัวประกอบ

${\displaystyle {\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.}$

กรณีที่คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ พิจารณาในตอนแรก^{คือผลรวมเกาส์กำลังสอง โดยที่ R คือฟิลด์ของเศษเหลือมอดูลจำนวนเฉพาะ p และ χ คือสัญลักษณ์เลอจองเดอร์ ในกรณีนี้ เกาส์พิสูจน์ว่า G(χ) = p¹/²}หรือ ip¹ / ² สำหรับ p ที่สอดคล้องกับ1 หรือ 3 มอดูล 4 ตามลำดับ(ผลรวม^{เกาส์}กำลัง สอง^{สามารถคำนวณ}ได้โดย^การวิเคราะห์ฟูริเยร์ เช่นเดียวกับการอินทิเกรตตามเส้นโค้ง )

รูปแบบอื่นของผลรวมเกาส์นี้คือ

${\displaystyle \sum e^{2\pi ir^{2}/p}}$.

ผลรวมเกาส์กำลังสองมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีของฟังก์ชันทีตา

ทฤษฎีทั่วไปของผลรวมเกาส์ได้รับการพัฒนาขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 โดยใช้ผลรวมจาโคบีและการแยกตัวประกอบเฉพาะในฟิลด์ไซโคลโทมิกผลรวมเกาส์เหนือวงแหวนเศษเหลือของจำนวนเต็มมอดNคือการรวมเชิงเส้นของผลรวมที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดซึ่งเรียกว่าคาบเกาส์

ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมเกาส์มักพบได้จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลบนกลุ่มจำกัด ในกรณีที่Rเป็นฟิลด์ที่ มีสมาชิก pตัว และχไม่เป็นศูนย์ ค่าสัมบูรณ์คือp ^{1 ⁄ 2}การกำหนดค่าที่แน่นอนของผลรวมเกาส์ทั่วไปตามผลลัพธ์ของเกาส์ในกรณีควาดราติกเป็นปัญหาที่ค้างคามานาน สำหรับบางกรณี โปรดดูผลรวมคุมเมอร์

ผลรวมเกาส์ของอักขระดิริชเลต์มอดูลNคือ

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

ถ้าχเป็นพหุนามดั้งเดิม ด้วยเช่นกัน แล้ว

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันมีค่าไม่เป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว ถ้าN ₀เป็นตัวนำของχและχ ₀เป็นอักขระ Dirichlet ดั้งเดิมโมดูลN ₀ที่เหนี่ยวนำให้เกิดχแล้ว ผลรวมเกาส์ของχจะมีความสัมพันธ์กับผลรวมเกาส์ของχ ₀โดย

${\displaystyle G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)}$

โดยที่μคือฟังก์ชันโมเบียสดังนั้นG ( χ )จึงไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ⁠เอ็น/N ₀เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและ^เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ N ₀ ^{[ 2} ]

ความสัมพันธ์อื่นๆ ระหว่างG ( χ )และผลรวมเกาส์ของอักขระอื่นๆ ได้แก่

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

โดยที่χคืออักขระดิริชเลต์เชิงซ้อนสังยุค และถ้าχ ′คืออักขระดิริชเลต์มอดูโลN ′โดยที่NและN ′เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).}$

ความสัมพันธ์ระหว่างG ( χχ ′) , G ( χ )และG ( χ ′)เมื่อχและχ ′มี โมดูลัส เดียวกัน (และχχ ′เป็นค่าดั้งเดิม) วัดโดยผลรวมจาโคบีJ ( χ , χ ′ )โดยเฉพาะ

${\displaystyle G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.}$

• ผลรวมของเกาส์สามารถนำมาใช้พิสูจน์ความสัมพันธ์แบบกำลังสองความสัมพันธ์แบบกำลังสามและความสัมพันธ์แบบกำลังสี่ได้
• ผลรวมของเกาส์สามารถใช้ในการคำนวณจำนวนคำตอบของสมการพหุนามบนฟิลด์จำกัด และด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้ในการคำนวณฟังก์ชันซีตาบางประเภทได้

• ผลรวมเกาส์กำลังสอง
• ผลรวมเกาส์แบบวงรี
• ผลรวมจาโคบี
• คุมเมอร์ ซัม
• Kloosterman sum
• คาบเกาส์เซียน
• ความสัมพันธ์ของ Hasse–Davenport
• ทฤษฎีบทชอว์ลา-มอร์เดลล์
• ทฤษฎีบทของสติคเคลเบอร์เกอร์