ในทางคณิตศาสตร์ผลรวมคุมเมอร์ (Kummer sum)คือชื่อที่ใช้เรียกผลรวมเกาส์กำลัง สามบางประเภท สำหรับตัวหารร่วมเฉพาะpโดยที่pสอดคล้องกับ 1 มอดูล 3 ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของเอิร์นส์ คุมเมอร์ผู้ซึ่งตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับคุณสมบัติทางสถิติของอาร์กิวเมนต์ของผลรวมเหล่านี้ในฐานะจำนวนเชิงซ้อน ผลรวมเหล่านี้เป็นที่รู้จักและใช้มาก่อนคุมเมอร์แล้ว ในทฤษฎีไซโคลโทมี (cyclotomy theory )

ดังนั้น ผลรวมของ Kummer จึงเป็นผลรวมจำกัด

${\displaystyle \sum \chi (r)e(r/p)=G(\chi )}$

โดยพิจารณาจากrมอดูลpโดยที่ χ คืออักขระ Dirichletที่มีค่าอยู่ในรากที่สามของเอกภาพและe ( x ) คือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp(2π ix ) เมื่อกำหนดpในรูปแบบที่ต้องการ จะมีอักขระดังกล่าวสองตัว พร้อมกับอักขระที่ไม่สำคัญ

ผลรวมเลขชี้กำลังลูกบาศก์K ( n , p ) ที่กำหนดโดย

${\displaystyle K(n,p)=\sum _{x=1}^{p}e(nx^{3}/p)}$

เห็นได้ชัดว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของผลรวมคุมเมอร์ ที่จริงแล้วมันคือ 3 Pโดยที่Pคือหนึ่งในคาบเกาส์เซียนสำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 3 ในเศษเหลือ mod pภายใต้การคูณ ในขณะที่ผลรวมเกาส์เป็นผลรวมเชิงเส้นของPโดยมีรากที่สามของเอกภาพเป็นสัมประสิทธิ์ อย่างไรก็ตาม ผลรวมเกาส์เป็นผลรวมที่มีคุณสมบัติทางพีชคณิตถูกต้อง ผลรวมเลขชี้กำลังกำลังสามดังกล่าวในปัจจุบันเรียกว่าผลรวมคุมเมอร์ด้วย

จากทฤษฎีทั่วไปของผลรวมเกาส์นั้น ทราบได้ว่า

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {p}}.\,}$

อันที่จริง การแยกตัวประกอบหลักของG ( χ ) ในฟิลด์ไซโคลโทมิกที่มันอยู่ตามธรรมชาตินั้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ซึ่งให้รูปแบบที่แข็งแกร่งกว่า สิ่งที่คุมเมอร์สนใจคือข้อโต้แย้ง

${\displaystyle \theta _{p}\,}$

ของG ( χ ) ต่างจากกรณีกำลังสอง ซึ่งทราบกำลังสองของผลรวมเกาส์ และเกาส์ได้กำหนดรากที่สองที่แน่นอนแล้ว ในกรณีนี้ กำลังสามของG ( χ ) อยู่ในจำนวนเต็มไอเซนสไตน์แต่ค่าอาร์กิวเมนต์ของมันถูกกำหนดโดยค่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์ที่หารpซึ่งแยกตัวประกอบในฟิลด์นั้น

คุมเมอร์ได้ตั้งสมมติฐานทางสถิติเกี่ยวกับθp และการกระจายตัวของมันโมดูลั _ส 2π (กล่าวคือ บนอาร์กิวเมนต์ของผลรวมคุมเมอร์บนวงกลมหน่วย) เพื่อให้สมมติฐานนี้มีความหมาย จำเป็นต้องเลือกค่า χ ระหว่างสองค่าที่เป็นไปได้ โดยมีตัวเลือกที่โดดเด่นอยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์เศษเหลือของลูกบาศก์คุมเมอร์ใช้ข้อมูลตัวเลขที่มีอยู่สำหรับpจนถึง 500 (เรื่องนี้อธิบายไว้ในหนังสือTheory of Numbers ปี 1892 โดยGeorge B. Mathews ) อย่างไรก็ตาม มี 'กฎของจำนวนน้อย' ที่ทำงานอยู่ หมายความว่าสมมติฐานดั้งเดิมของคุมเมอร์เกี่ยวกับการขาดการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ ได้รับผลกระทบจากอคติของจำนวนน้อย ในปี 1952 จอห์น ฟอน นอยมันน์และ เฮอ ร์มัน โกลด์สไตน์ได้ขยายการคำนวณของคุมเมอร์บนENIAC ^{[ 1 ]}การคำนวณได้รับการตั้งโปรแกรมและเขียนโค้ดโดย Hedvig Selberg แต่ผลงานของเธอได้รับการกล่าวถึงเฉพาะในตอนท้ายของเอกสารเท่านั้น เช่นเดียวกับMary Tsingouในปัญหา Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou (เดิมคือปัญหา Fermi–Pasta–Ulam)

ในศตวรรษที่ 20 ในที่สุดก็มีความคืบหน้าในคำถามนี้ ซึ่งถูกปล่อยทิ้งไว้โดยไม่มีใครแตะต้องมากว่า 100 ปี โดยอาศัยผลงานของTomio Kubota , SJ PattersonและRoger Heath-Brownในปี 1978 ได้หักล้างสมมติฐานของ Kummer และพิสูจน์รูปแบบที่แก้ไขแล้วของสมมติฐานของ Kummer ^{[ 2 ]}อันที่จริง พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามีการกระจายตัวอย่างเท่าเทียมกันของ θ _pงานนี้เกี่ยวข้องกับรูปแบบอัตโนมัติสำหรับกลุ่ม metaplecticและบทพิสูจน์ของ Vaughanในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ในปี 2000 Heath-Brown ได้ทำการปรับปรุงเพิ่มเติม^{[ 3 ]}

ข้อสันนิษฐานที่สองเกี่ยวกับผลรวมของ Kummer ได้รับการเสนอโดยJWS Casselsโดยอาศัยแนวคิดก่อนหน้าของ Tomio Kubota อีกครั้ง นี่คือสูตรผลคูณในรูปของฟังก์ชันเชิงวงรีที่มีการคูณเชิงซ้อนด้วยจำนวนเต็ม Eisenstein ^{[ 4 ]}ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 1978 โดย Charles Matthews ^{[ 5 ]}

ในปี 1978 แพตเตอร์สันตั้งข้อสันนิษฐานว่า θp _มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอโดยมีพจน์ความคลาดเคลื่อนในเชิงอะซิมโทติกในลำดับแทนที่จะเป็นกำลังสองเช่นเดียวกับผลรวมของเกาส์ ซึ่งสามารถอธิบายอคติเริ่มต้นที่คุมเมอร์สังเกตเห็นได้^{[ 6 ]}ในปีถัดมา งานต่อมาของเขากับฮีธ-บราวน์ที่หักล้างข้อสันนิษฐานของคุมเมอร์แสดงให้เห็นว่าในความเป็นจริงแล้วมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ แต่ลำดับของเชิงอะซิมโทติกนั้นถูกต้องหรือไม่ยังคงไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด^{[ 7 ]}กว่า 20 ปีต่อมา ฮีธ-บราวน์ได้ปิดปัญหาโดยให้วิธีการตะแกรงแบบใหม่ และตั้งข้อสันนิษฐานว่าสามารถปรับปรุงเพื่อให้ได้ลำดับที่คาดการณ์ไว้ได้^{[ 8 ]}ในปี 2021 ปัญหาดังกล่าวได้รับการพิสูจน์โดยมีเงื่อนไขตามสมมติฐานรีมันน์ทั่วไปโดยอเล็กซานเดอร์ ดันน์และมักซิม ราดซิวิลล์ซึ่งแสดงให้เห็นด้วยว่าตะแกรงของฮีธ-บราวน์ไม่สามารถปรับปรุงได้ตามที่คาดไว้^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle X^{\frac {5}{6}}}$