ตั้งแต่ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล ในอินเดียและกรีซนักคณิตศาสตร์ได้ศึกษาตัวเลขที่เกิดขึ้นจาก กรณี n  =  2 ของสมการของเพลล์ $${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$$ และจากสมการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด $${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$$ เนื่องจากการเชื่อมโยงของสมการเหล่านี้กับรากที่สองของ 2 [ ^{5 ] อัน}ที่จริง ถ้าxและyเป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการนี้x / yจะเป็นค่าประมาณของ√ 2ตัวเลขxและyที่ปรากฏในค่าประมาณเหล่านี้ เรียกว่าตัวเลขด้านและเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่ง ชาวพีทาโกเรียนรู้จักและโพรคลัสสังเกตว่าในทิศทางตรงกันข้าม ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามสมการใดสมการหนึ่งในสองสมการนี้^{[ 5 ]}ในทำนองเดียวกัน บาว ธายา นา ค้นพบว่าx = 17, y = 12 และx = 577, y = 408 เป็นสองคำตอบของสมการเพลล์ และ 17/12 และ 577/408 เป็นค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับรากที่สองของ 2 มาก^{[ 6 ]}

ต่อมาอาร์คิมิดีสประมาณค่ารากที่สองของ 3ด้วยจำนวนตรรกยะ 1351/780 แม้ว่าเขาจะไม่ได้อธิบายวิธีการของเขา แต่การประมาณค่านี้อาจได้มาด้วยวิธีเดียวกัน ซึ่งเป็นคำตอบของสมการของเพลล์^{[ 5 ]} ในทำนองเดียวกันปัญหาวัวของอาร์คิมิดีส ซึ่งเป็น ปัญหาคำถามโบราณเกี่ยวกับการหาจำนวนวัวที่เป็นของเทพเจ้าแห่งดวงอาทิตย์ เฮลิออสสามารถแก้ไขได้โดยการปรับเปลี่ยนรูปแบบเป็นสมการของเพลล์ ต้นฉบับที่บรรจุปัญหาดังกล่าวระบุว่าอาร์คิมิดีสเป็นผู้คิดค้นและบันทึกไว้ในจดหมายถึง^เอราโตสเธเนส [ ^{7 ]}และการระบุว่าเป็นของอาร์คิมิดีสนั้นเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในปัจจุบัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

ประมาณปี ค.ศ. 250 ไดโอแฟนทัสได้พิจารณาสมการนี้ $${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$$ โดยที่aและcเป็นตัวเลขคงที่ และxและyเป็นตัวแปรที่จะต้องหาคำตอบ สมการนี้มีรูปแบบที่แตกต่างจากสมการของ Pell แต่เทียบเท่ากัน Diophantus แก้สมการสำหรับ ( a , c ) เท่ากับ (1, 1), (1, −1), (1, 12) และ (3, 9) Al-Karajiนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 10 ทำงานในปัญหาที่คล้ายคลึงกับ Diophantus ^{[ 10 ]}     

ในคณิตศาสตร์อินเดียพราหมณคุปตะได้ค้นพบว่า $${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$$ รูปแบบหนึ่งของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเอกลักษณ์ของพรหมคุปตะโดยใช้สิ่งนี้ เขาจึงสามารถ "ประพันธ์" กลุ่มสามสิ่งได้${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$และ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาของ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$เพื่อสร้างทริปเปิลใหม่

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$และ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

สิ่งนี้ไม่เพียงแต่เปิดโอกาสให้สร้างคำตอบได้มากมายนับไม่ถ้วนเท่านั้น${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$เริ่มต้นด้วยวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว แต่ยังรวมถึงการแบ่งองค์ประกอบดังกล่าวด้วย${\displaystyle k_{1}k_{2}}$โดยทั่วไปแล้วจะได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหรือ "เกือบเป็นจำนวนเต็ม" ตัวอย่างเช่น สำหรับ${\displaystyle N=92}$พราหมณคุปตะได้ประพันธ์ไตรภาค (10,  1,  8) (ตั้งแต่${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$) กับตัวเองเพื่อให้ได้สามตัวใหม่ (192,  20,  64) หารตลอดด้วย 64 ("8" สำหรับ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$) ให้ผลลัพธ์เป็นสามตัว (24,  5/2,  1) ซึ่งเมื่อนำมาประกอบกับตัวเองจะได้คำตอบจำนวนเต็มที่ต้องการ (1151,  120,  1) พราหมณคุปตะแก้สมการของเพลล์หลายสมการด้วยวิธีนี้ พิสูจน์ได้ว่าวิธีนี้ให้คำตอบโดยเริ่มจากคำตอบจำนวนเต็มของ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$สำหรับk = ±1, ±2 หรือ ±4 ^{[ 11 ]}

วิธีการทั่วไปวิธีแรกในการแก้สมการของเพลล์ (สำหรับทุกค่าN ) นั้นได้รับการเสนอโดยภัสการะที่ 2ในปี ค.ศ. 1150 โดยต่อยอดจากวิธีการของพรหมคุปตะ วิธีนี้เรียกว่าวิธีจักราวาลา (วิธีวัฏจักร)โดยเริ่มต้นจากการเลือกจำนวนเต็มสองจำนวนที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน${\displaystyle a}$และ${\displaystyle b}$จากนั้นจึงประกอบเป็นสาม${\displaystyle (a,b,k)}$(นั่นคือ สิ่งที่ตรงตามความต้องการ)${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$) ด้วยสามเท่าแบบไม่สำคัญ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$เพื่อให้ได้สามเท่า${\displaystyle {\big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){\big )}}$ซึ่งสามารถย่อขนาดลงได้ $${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$$

เมื่อไร${\displaystyle m}$ถูกเลือกเพื่อให้${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$เป็นจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับตัวเลขอีกสองตัวในกลุ่มสามตัวนั้น ในบรรดาตัวเลขดังกล่าว${\displaystyle m}$วิธีการนี้จะเลือกวิธีที่ทำให้ค่าต่ำสุด${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$และทำซ้ำกระบวนการนี้ วิธีนี้จะสิ้นสุดลงด้วยคำตอบเสมอ ภัสการาใช้วิธีนี้เพื่อให้ได้คำตอบx  = 1 766 319 049 , y  = 226 153 980ถึง กรณี N  =  61 ^{[ 11 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปหลายคนค้นพบวิธีแก้สมการของ Pell อีกครั้งในศตวรรษที่ 17 Pierre de Fermatค้นพบวิธีแก้สมการและในจดหมายปี 1657 ได้ท้าทายนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ^{[ 12 ]}ในจดหมายถึงKenelm Digby , Bernard Frénicle de Bessyกล่าวว่า Fermat พบวิธีแก้ปัญหาที่เล็กที่สุดสำหรับNจนถึง 150 และท้าทายJohn Wallisให้แก้ปัญหาในกรณีที่N = 151 หรือ 313 ทั้ง Wallis และWilliam Brounckerได้ให้คำตอบสำหรับปัญหาเหล่านี้ แม้ว่า Wallis จะแนะนำในจดหมายว่าคำตอบนั้นเป็นผลงานของ Brouncker ^{[ 13 ]}

ความเชื่อมโยงของJohn Pell กับสมการนี้คือ เขาได้แก้ไข การแปลของThomas Branker ^{[ 14 ]}ของหนังสือTeutsche Algebra ของ Johann Rahn ในปี 1659 ^{[หมายเหตุ 2 ]}เป็นภาษาอังกฤษ โดยมีการอภิปรายเกี่ยวกับวิธีแก้สมการของ Brouncker Leonhard Eulerเข้าใจผิดคิดว่าวิธีแก้สมการนี้เป็นผลงานของ Pell ส่งผลให้เขาตั้งชื่อสมการตามชื่อ Pell ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีทั่วไปของสมการของเพลล์ ซึ่งอิงจากเศษส่วนต่อเนื่องและการจัดการทางพีชคณิตกับตัวเลขในรูปแบบ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$ได้รับการพัฒนาโดย Lagrange ในปี 1766–1769 ^{[ 15 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Lagrange ได้พิสูจน์ว่าอัลกอริทึม Brouncker–Wallis สิ้นสุดลงเสมอ

อนุญาต${\displaystyle h_{i}/k_{i}}$แสดงถึงลำดับการลู่เข้า ที่ไม่ซ้ำกัน ของเศษส่วนต่อเนื่องปกติสำหรับ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$จากนั้นคู่ของจำนวนเต็มบวก${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$การแก้สมการของ Pell และการหาค่าต่ำสุดของxจะได้ว่าx = h และy = k สำหรับบางค่าiคู่ค่านี้เรียกว่าผลเฉลยพื้นฐานลำดับของจำนวนเต็ม${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}$ในเศษส่วนต่อเนื่องปกติของ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$โดยทั่วไปแล้วจะเป็นคาบเสมอ สามารถเขียนได้ในรูปแบบ${\displaystyle \left[\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ ;\;{\overline {a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }}\right]} , โดยที่${\displaystyle \lfloor \,\cdot \,\rfloor }$หมายถึงค่าปัดเศษลงของจำนวนเต็ม และลำดับ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1},2\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้ทูเพิล ยัง...${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r-1})}$เป็นพาลินโดรมซึ่งเหมือนกันทั้งจากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้าย^{[ 16 ]}

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานคือ $${\displaystyle (x_{1},y_{1})={\begin{cases}(h_{r-1},k_{r-1}),&{\text{ for }}r{\text{ even}}\\(h_{2r-1},k_{2r-1}),&{\text{ for }}r{\text{ odd}}\end{cases}}}$$

เวลาในการคำนวณหาคำตอบพื้นฐานโดยใช้วิธีเศษส่วนต่อเนื่อง โดยอาศัยอัลกอริทึม Schönhage–Strassenสำหรับการคูณจำนวนเต็มอย่างรวดเร็ว จะอยู่ภายในค่าลอการิทึมของขนาดคำตอบ ซึ่งก็คือจำนวนหลักในคู่ตัวเลข${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาในการคำนวณแบบพหุนามเนื่องจากจำนวนหลักในคำตอบอาจมีขนาดใหญ่มาก${\displaystyle {\sqrt {n}}}$^มีขนาดใหญ่กว่าพหุนามในจำนวนหลักของค่าอินพุตn มาก [ ^{17 ]}

เมื่อพบวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานแล้ว วิธีแก้ปัญหาที่เหลือทั้งหมดสามารถคำนวณได้ทางพีชคณิตจาก^{[ 17 ]}$${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$$ ขยายด้านขวาเทียบสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ทั้งสองด้าน และเทียบค่าอื่นๆ ทั้งสองด้าน ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ดังนี้$${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$$$${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$$

แม้ว่าการเขียนคำตอบพื้นฐาน ( x₁, y₁ ออก มา เป็นคู่เลขฐานสองอาจต้องใช้จำนวนบิตมาก แต่ในหลายกรณีอาจแสดงได้อย่างกระชับกว่าในรูป $${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}\left(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}}\right)^{c_{i}}}$$ โดยใช้จำนวนเต็มที่เล็กกว่ามากได้แก่a , b และc

ตัวอย่างเช่นปัญหาปศุสัตว์ของอาร์คิมีดีสเทียบเท่ากับสมการของเพลล์${\displaystyle x^{2}-410\,286\,423\,278\,424\ y^{2}=1}$ซึ่งวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานนั้นมีหากเขียนออกมาอย่างชัดเจนจะมีจำนวนหลัก ถึง 206,545หลักอย่างไรก็ตาม คำตอบก็เท่ากับ... $${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$$ ที่ไหน $${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4\,729\,494}}=(300\,426\,607\,914\,281\,713\,365\ {\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258\ {\sqrt {7766}})^{2}}$$ และ${\displaystyle x'_{1}}$และ${\displaystyle y'_{1}}$มีเพียง 45 และ 41 หลักทศนิยมตามลำดับ^{[ 17 ]}

วิธีการที่เกี่ยวข้องกับ แนวทาง ตะแกรงกำลังสองสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มอาจใช้เพื่อรวบรวมความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเฉพาะในฟิลด์จำนวนที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle {\sqrt {n}}}$และเพื่อรวมความสัมพันธ์เหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อหาการแสดงผลคูณของประเภทนี้ อัลกอริทึมที่ได้สำหรับการแก้สมการของเพลล์มีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีเศษส่วนต่อเนื่อง แม้ว่าจะยังใช้เวลานานกว่าเวลาพหุนามก็ตาม ภายใต้สมมติฐานของสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าใช้เวลา $${\displaystyle \exp O\left({\sqrt {\log N\cdot \log \log N}}\right),}$$ โดยที่N  =  log nคือขนาดอินพุต คล้ายกับตะแกรงกำลังสอง^{[ 17 ]} 

Hallgren แสดงให้เห็นว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถค้นหาการแสดงผลแบบผลิตภัณฑ์ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับคำตอบของสมการของ Pell ในเวลาพหุนาม^{[ 18 ]}อัลกอริทึมของ Hallgren ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นอัลกอริทึมสำหรับการค้นหากลุ่มของหน่วยของฟิลด์จำนวนกำลังสอง จริง ได้รับการขยายไปยังฟิลด์ทั่วไปมากขึ้นโดย Schmidt และ Völlmer ^{[ 19 ]}

สมการของเพลล์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเนื่องจากสูตรดังกล่าว $${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$$ เป็นเรื่องปกติสำหรับแหวนวง นี้${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$และสำหรับฟิลด์กำลังสอง ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ดังนั้น คู่จำนวนเต็ม${\displaystyle (x,y)}$แก้สมการของเพลล์ได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$เป็นหน่วยที่มีมาตรฐาน 1 ใน${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$[ ^{21 ]}ทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichletที่ว่าหน่วยทั้งหมด^ของ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$สามารถแสดงเป็นกำลังของหน่วยพื้นฐาน เดียว (และการคูณด้วยเครื่องหมาย) ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำทางพีชคณิตของข้อเท็จจริงที่ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการของ Pell สามารถสร้างขึ้นจากคำตอบพื้นฐานได้^{[ 22 ]}โดยทั่วไปแล้วสามารถหาหน่วยพื้นฐานได้โดยการแก้สมการที่คล้ายกับ Pell แต่ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับคำตอบพื้นฐานของสมการของ Pell โดยตรงเสมอไป เนื่องจากหน่วยพื้นฐานอาจมีค่ามาตรฐาน −1 แทนที่จะเป็น 1 และสัมประสิทธิ์อาจเป็นครึ่งจำนวนเต็มแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม

เดเมเยอร์กล่าวถึงความเชื่อมโยงระหว่างสมการของเพลล์กับพหุนามเชบิเชฟว่า : ถ้า${\displaystyle T_{i}(x)}$และ${\displaystyle U_{i}(x)}$ถ้าพหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองเป็นพหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองตามลำดับ พหุนามเหล่านี้จะสอดคล้องกับสมการของเพลล์ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งในวงแหวนพหุนาม ใดๆ${\displaystyle R[x]}$, กับ${\displaystyle n=x^{2}-1}$: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$$ ดังนั้น พหุนามเหล่านี้จึงสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เทคนิคมาตรฐานสำหรับสมการของ Pell โดยการยกกำลังของผลเฉลยพื้นฐาน: $${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$$ นอกจากนี้ยังอาจสังเกตได้ว่า ถ้า${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ถ้าคำตอบของสมการเพลล์จำนวนเต็มใดๆ เป็นคำตอบแล้ว${\displaystyle x_{i}=T_{i}(x_{1})}$และ${\displaystyle y_{i}=y_{1}U_{i-1}(x_{1})}$[ ^{24 ]​}

การพัฒนาโดยทั่วไปของวิธีแก้สมการของเพลล์${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ในแง่ของเศษส่วนต่อเนื่องของ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$สามารถนำเสนอได้ เนื่องจากคำตอบxและyเป็นค่าประมาณของรากที่สองของnและดังนั้นจึงเป็นกรณีพิเศษของการประมาณเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับจำนวนอตรรกยะกำลังสอง^{[ 16 ]}

ความสัมพันธ์กับเศษส่วนต่อเนื่องบ่งชี้ว่าคำตอบของสมการของเพลล์ก่อให้เกิดเซมิ กรุป ย่อยของกลุ่มมอดูลาร์ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าpและqสอดคล้องกับสมการของเพลล์แล้ว $${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$$ เป็นเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนน ต์เท่ากับหนึ่ง ผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวจะมีรูปแบบเดียวกันทุกประการ ดังนั้นผลคูณทั้งหมดจึงให้คำตอบของสมการของเพลล์ได้ สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้บางส่วนจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันของเศษส่วนต่อเนื่องมีคุณสมบัติเดียวกัน: ถ้าp / q และp / q เป็นค่าลู่เข้าที่ต่อเนื่องกันสองค่าของเศษส่วนต่อเนื่องแล้ว เมทริกซ์ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$$

มีดีเทอ ร์มิแนนต์ (−1) ^k

ทฤษฎีบทของ Størmerใช้สมการ Pell เพื่อค้นหาคู่ของจำนวนเรียบที่ ต่อเนื่องกัน ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีตัวประกอบเฉพาะที่เล็กกว่าค่าที่กำหนด^{[ 25 ] [ 26 ]}ในส่วนหนึ่งของทฤษฎีนี้Størmerยังได้ตรวจสอบความสัมพันธ์การหารลงตัวระหว่างคำตอบของสมการ Pell โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาแสดงให้เห็นว่าคำตอบแต่ละคำตอบนอกเหนือจากคำตอบพื้นฐานมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่หารnลงตัว^{[ 25 ]}