ในทางคณิตศาสตร์เส้นโค้งแฟร์มาต์คือเส้นโค้งพีชคณิตในระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟซึ่งกำหนดในพิกัดเอกพันธุ์ ( X : Y : Z ) โดยสมการแฟร์มาต์:

${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$

ดังนั้น ในแง่ของระนาบเชิงเส้นตรงสมการของมันคือ:

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

คำตอบจำนวนเต็มของสมการแฟร์มาต์จะสอดคล้องกับ คำตอบ จำนวนตรรกยะ ที่ไม่เป็นศูนย์ ของสมการเชิงเส้น และในทางกลับกัน แต่จากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ทำให้ทราบกันแล้วว่า (สำหรับn  > 2) ไม่มีคำตอบจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับสมการแฟร์มาต์ ดังนั้น เส้นโค้งแฟร์มาต์จึงไม่มีจุดตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์

เส้นโค้งแฟร์มาต์เป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐานและมีจีนัส :

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

นี่หมายความว่าเจเนอรัสเป็น 0 สำหรับกรณีn = 2 ( รูปกรวย ) และเจเนอรัสเป็น 1 เฉพาะสำหรับn = 3 ( เส้นโค้งวงรี ) วาไรตี้จาโคเบียนของเส้นโค้งแฟร์มาต์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนแล้ว มันเป็นไอโซจีนัสกับผลคูณของวาไรตี้อาเบเลียนแบบง่ายที่มีการ คูณเชิงซ้อน

เส้นโค้งแฟร์มาต์ยังมีคุณสมบัติความเป็นเหลี่ยม อีกด้วย :

${\displaystyle n-1.\ }$

สมการแบบแฟร์มาต์ในตัวแปรหลายตัวกำหนดให้ วาไรตี้แฟร์มาต์เป็น วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ

• Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn (2005), "ผลลัพธ์ความจำกัดสำหรับเส้นโค้งโมดูลาร์ที่มีจีนัสอย่างน้อย 2", American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325– 1387, arXiv : math/0211394 , doi : 10.1353/ajm.2005.0037 , JSTOR  40068023 , S2CID  8578601
• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978), "ผลลัพธ์บางประการเกี่ยวกับกลุ่ม Mordell-Weil ของ Jacobian ของเส้นโค้ง Fermat" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201– 224, doi : 10.1007/BF01403161 , S2CID  121819622 , เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-07-13
• คลาสเซ่น, แมทธิว เจ.; Debarre, Olivier (1994), "Points of Low Degree on Smooth Plane Curves", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81– 88, arXiv : alg-geom/9210004 , doi : 10.1515/crll.1994.446.81 , S2CID  7967465
• Tzermias, Pavlos (2004), "จุดดีกรีต่ำบนเส้นโค้ง Hurwitz-Klein", Transactions of the American Mathematical Society , 356 (3): 939– 951, doi : 10.1090/S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR  1195002