ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงซ้อนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนหรือแมนิโฟลด์เชิงวิเคราะห์ เชิงซ้อน คือแมนิโฟล ด์ที่ มีโครงสร้างเชิงซ้อนนั่นคือแอตลาสของแผนภูมิไปยังลูกบอลหน่วยเปิด^{[ 1 ]}ในปริภูมิพิกัดเชิงซ้อน โดยที่แผนที่การเปลี่ยนผ่านเป็นแบบโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

คำว่า "แมนิโฟลด์เชิงซ้อน" ถูกใช้ในหลายความหมาย ทั้งแมนิโฟลด์เชิงซ้อนในความหมายข้างต้น (ซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็น แมนิโฟลด์เชิงซ้อน ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ) หรือ แมนิโฟล ด์ ที่เกือบจะเป็นเชิงซ้อน

เนื่องจากฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกมีความแข็งตัวมากกว่าฟังก์ชันเรียบ มาก ทฤษฎีของ แมนิโฟลด์ เรียบและแมนิโฟลด์เชิงซ้อนจึงมีลักษณะที่แตกต่างกัน มาก แมนิโฟลด์เชิงซ้อน แบบกระชับนั้นใกล้เคียงกับวาไรตี้เชิงพีชคณิตมากกว่าแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในขณะที่แมนิโฟลด์เชิงซ้อนและแมนิโฟลด์เชิงซ้อนวิเคราะห์นั้นเหมือนกัน แต่แมนิโฟลด์เรียบและแมนิโฟลด์เชิงจริงวิเคราะห์นั้นไม่เหมือนกัน

ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทการฝังตัวของวิทนีย์บอกเราว่าทุกแมนิโฟลด์เรียบnมิติสามารถฝังตัวเป็นซับแมนิโฟลด์เรียบของR ^{2 n}ได้ ในขณะที่แมนิโฟลด์เชิงซ้อนจะมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกฝังตัวในC ⁿ ได้น้อยมาก พิจารณาตัวอย่างเช่นแมนิ โฟลด์ เชิงซ้อนแบบ เชื่อมต่อและกะทัดรัด M ใดๆ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใดๆ บนแมนิโฟลด์นี้จะมีค่าคงที่ตามหลักการโมดูลัสสูงสุดทีนี้ ถ้าเรามีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกฝังตัวของMในC ⁿแล้ว ฟังก์ชันพิกัดของC ⁿจะถูกจำกัดให้เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่บนMซึ่งขัดแย้งกับความกะทัดรัด ยกเว้นในกรณีที่Mเป็นเพียงจุด แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่สามารถฝังตัวในC ⁿได้เรียกว่าแมนิโฟลด์สไตน์และเป็นกลุ่มแมนิโฟลด์พิเศษมาก ซึ่งรวมถึงตัวอย่างเช่น วาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนแบบแอฟฟินเรียบ

การจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนนั้นละเอียดอ่อนกว่าการจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์มาก ตัวอย่างเช่น ในมิติอื่นที่ไม่ใช่สี่ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดจะมีโครงสร้างเรียบ อย่างมากที่สุดเพียงจำนวน จำกัด แต่แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่รองรับโครงสร้างเชิงซ้อนสามารถและมักจะรองรับโครงสร้างเชิงซ้อนจำนวนนับไม่ถ้วนพื้นผิวรีมันน์ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์สองมิติที่มีโครงสร้างเชิงซ้อน และถูกจำแนกประเภทเชิงทอพอโลยีตามจีนัสเป็นตัวอย่างสำคัญของปรากฏการณ์นี้ เซตของโครงสร้างเชิงซ้อนบนพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้ โมดูลัสความสมมูลแบบไบโฮโลมอร์ฟิกนั้นเองก่อให้เกิดวาไรตีพีชคณิตเชิงซ้อนที่เรียกว่าปริภูมิโมดูลัสซึ่งโครงสร้างของมันยังคงเป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่

เนื่องจากแผนที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างแผนภูมิเป็นแบบไบโฮโลมอร์ฟิก ดังนั้นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนจึงเรียบและมีการวางแนวตามหลักการ (ไม่ใช่แค่สามารถวางแนวได้ : แผนที่ไบโฮโลมอร์ฟิกไปยัง (เซตย่อยของ) C ⁿจะให้การวางแนว เนื่องจากแผนที่ไบโฮโลมอร์ฟิกเป็นแผนที่ที่รักษาการวางแนว)

• พื้นผิวรีมันน์
• แมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว
• ผลคูณคาร์ทีเซียนของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนสองอัน
• ภาพผกผันของค่าที่ไม่วิกฤตใดๆ ของแผนที่โฮโลมอร์ฟิก

วาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนเรียบคือ แมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งรวมถึง:

• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน
• พื้นที่เชิงโปรเจกทีฟที่ซับซ้อน^{[ 2 ]} P ⁿ ( C )
• กราสแมนเนียนเชิงซ้อน
• กลุ่ม Lieที่ซับซ้อนเช่น GL( n , C ) หรือ Sp( n , C )

แมนิโฟลด์เชิงซ้อน 1 มิติ ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย จะสมมาตรกับอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

• Δ ซึ่งเป็น ดิสก์หน่วยในC
• Cระนาบเชิงซ้อน
• Ĉ ทรงกลมรีมันน์

โปรดทราบว่ามีการรวมกันระหว่างสิ่งเหล่านี้เป็น Δ ⊆ C ⊆ Ĉแต่ไม่มีแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ในทิศทางอื่น ตาม ทฤษฎีบทของ Liouville

พื้นที่ต่อไปนี้แตกต่างกันในฐานะแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ซึ่งแสดงให้เห็นถึงลักษณะทางเรขาคณิตที่เข้มงวดกว่าของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน (เมื่อเทียบกับแมนิโฟลด์เรียบ):

• พื้นที่ที่ซับซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• ดิสก์หน่วยหรือลูกบอลเปิด

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• โพลิดิสก์

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

โครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบสมบูรณ์บนแมนิโฟลด์ 2n จริงคือโครงสร้าง GL( n , C ) (ในความหมายของโครงสร้าง G ) – กล่าวคือ บันเดิลสัมผัสมีโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น

กล่าวโดยละเอียด นี่คือเอนโดมอร์ฟิซึมของบันเดิลสัมผัสที่มีกำลังสองเท่ากับ−I ; เอนโดมอร์ฟิซึมนี้คล้ายคลึงกับการคูณด้วยจำนวนจินตนาการiและใช้สัญลักษณ์J (เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับเมทริกซ์เอกลักษณ์I ) แมนิโฟลด์เกือบเชิงซ้อนจำเป็นต้องมีมิติเป็นเลขคู่

โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนนั้นอ่อนแอกว่าโครงสร้างเชิงซ้อน: แมนิโฟลด์เชิงซ้อนใดๆ ก็มีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน แต่ไม่ใช่ว่าทุกโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนจะมาจากโครงสร้างเชิงซ้อน โปรดสังเกตว่าแมนิโฟลด์จริงมิติคู่ทุกอันมีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่กำหนดขึ้นในระดับท้องถิ่นจากแผนภูมิพิกัดท้องถิ่น คำถามคือว่าโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนนี้สามารถกำหนดได้ในระดับสากลหรือไม่ โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนที่มาจากโครงสร้างเชิงซ้อนเรียกว่าโครงสร้างที่สามารถหาปริพันธ์ได้และเมื่อต้องการระบุโครงสร้างเชิงซ้อนที่ตรงข้ามกับโครงสร้างเกือบเชิงซ้อน เราจะเรียกว่า โครงสร้างเชิงซ้อน ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ สำหรับโครงสร้างเชิงซ้อนที่สามารถหาปริพันธ์ได้นั้น เทนเซอร์ Nijenhuisที่เรียกว่านั้นจะเป็นศูนย์ เทนเซอร์นี้ถูกกำหนดบนคู่ของสนามเวกเตอร์X , Yโดย

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

ตัวอย่างเช่นทรงกลม 6 มิติ S ⁶มีโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนตามธรรมชาติที่เกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของiในทรงกลมหน่วยของอ็อกโทเนียนแต่นี่ไม่ใช่โครงสร้างเชิงซ้อน (คำถามที่ว่ามันมีโครงสร้างเชิงซ้อนหรือไม่นั้นเรียกว่าปัญหาฮอปฟ์ตามชื่อของไฮนซ์ ฮอปฟ์ [ ^{3 ] )}การใช้โครงสร้างเกือบเชิงซ้อนทำให้เราเข้าใจแผนที่โฮโลมอร์ฟิกและถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของพิกัดโฮโลมอร์ฟิกบนแมนิโฟลด์ การมีอยู่ของพิกัดโฮโลมอร์ฟิกเทียบเท่ากับการกล่าวว่าแมนิโฟลด์เป็นเชิงซ้อน (ซึ่งเป็นสิ่งที่คำจำกัดความของแผนภูมิกล่าวไว้)

เมื่อเราทำการเทนเซอร์บันเดิลสัมผัสด้วยจำนวนเชิงซ้อนเราจะได้ บันเดิลสัมผัส เชิงซ้อนซึ่งการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีความหมาย (แม้ว่าเราจะเริ่มต้นด้วยแมนิโฟลด์จริงก็ตาม) ค่าลักษณะเฉพาะของโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนคือ ± iและปริภูมิลักษณะเฉพาะจะก่อตัวเป็นบันเดิลย่อยที่แสดงด้วยT ^0,1 MและT ^1,0 M ทฤษฎีบท นิวแลนเดอร์-นิเรนเบิร์กแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนนั้นเป็นโครงสร้างเชิงซ้อนอย่างแท้จริงก็ต่อเมื่อบันเดิลย่อยเหล่านี้เป็นแบบผกผันกล่าวคือ ปิดภายใต้วงเล็บลีของฟิลด์เวกเตอร์ และโครงสร้างเกือบเชิงซ้อนดังกล่าวเรียกว่าสามารถหาปริพันธ์ได้

เราสามารถกำหนด เมตริกแบบเฮอร์มิเชียน ซึ่งเป็นอนาล็อกของ เมตริกแบบรีมันน์ สำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนได้เช่นเดียวกับเมตริกแบบรีมันน์ เมตริกแบบเฮอร์มิเชียนประกอบด้วยผลคูณภายในที่เป็นบวกและเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นบนมัดสัมผัส ซึ่งเป็นแบบเฮอร์มิเชียนเมื่อเทียบกับโครงสร้างเชิงซ้อนบนปริภูมิสัมผัส ณ แต่ละจุด เช่นเดียวกับกรณีของเมตริกแบบรีมันน์ เมตริกดังกล่าวมีอยู่มากมายบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนใดๆ กล่าวคือ โครงสร้างแบบเฮอร์มิเชียนไม่แข็งตัว

รูปแบบเฮอร์มิเชียนสามารถแยกออกเป็นส่วนจริงและส่วนเชิงซ้อนได้ดังนี้ส่วนจริงเป็นเมตริกแบบรีมันน์ และส่วนเชิงซ้อนเป็นเมตริกแบบสมมาตรเฉียงถ้าส่วนสมมาตรเฉียงเป็นเมตริกแบบ ซิมเพล็กติก กล่าวคือปิดและไม่เสื่อมสภาพเมตริกนั้นจะเรียกว่าเมตริกแบบเคเลอร์โครงสร้างแบบเคเลอร์นั้นหายากและมีความเข้มงวดมากกว่ามาก ${\displaystyle h(X,Y)=g(X,Y)+i\โอเมก้า (X,Y)}$

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ได้แก่วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบและโดยทั่วไปแล้วคือซับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนใดๆ ของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ แมนิโฟลด์ฮอปฟ์เป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่ไม่ใช่คาห์เลอร์ ในการสร้างแมนิโฟลด์ฮอปฟ์ ให้ใช้ปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนลบจุดกำเนิด แล้วพิจารณาการกระทำของกลุ่มจำนวนเต็มบนปริภูมินี้โดยการคูณด้วย exp( n ) ผลหารจะเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีจำนวนเบตติ แรก เป็นหนึ่ง ดังนั้นตามทฤษฎีของฮอดจ์มันจึงไม่สามารถเป็นคาห์เลอร์ได้

แมนิโฟลด์คาลาบี-ยาวสามารถนิยามได้ว่าเป็น แมนิโฟลด์คาห์เลอร์ แบบริชชี แฟลตที่กะทัดรัด หรือเทียบเท่ากับแมนิโฟลด์ที่มีชั้นเชิร์น แรก เป็นศูนย์

• มิติที่ซับซ้อน
• ความหลากหลายเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
• แมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียน
• แมนิโฟลด์เชิงซ้อนจริง