ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมิติโคไดระ κ ( X )วัดขนาดของแบบจำลองมาตรฐานของวาไรตี้เชิงโปรเจคที ฟ X

นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตIgor Shafarevich ^ได้ นำเสนอ ค่าคงที่เชิงตัวเลขที่สำคัญของพื้นผิวในงานสัมมนาโดยใช้สัญลักษณ์κ [ ^{1 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นShigeru Iitakaได้ขยายแนวคิดนี้และกำหนดมิติ Kodaira สำหรับวาไรตี้ที่มีมิติสูงกว่า (ภายใต้ชื่อมิติเชิงแคนอน) ^{[ 2 ]}และต่อมาได้ตั้งชื่อตามKunihiko Kodaira ^{[ 3 ]}

บันเดิลแคนอนิกของวาไรตีพีชคณิตเรียบXที่มีมิติnเหนือฟิลด์ คือบันเดิลเส้นของn-ฟอร์ม

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},}$

ซึ่งเป็นกำลังภายนอกลำดับที่nของกลุ่มโคแทนเจนต์ของXสำหรับจำนวนเต็มd กำลังเทนเซอร์ลำดับ ที่dของK _Xก็คือกลุ่มเส้นตรงอีกครั้ง สำหรับd ≥ 0 ปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนตัดทั่วโลกมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งคือเป็นค่าคงที่แบบไบราชันนัลของวาไรตีเชิงโปรเจก ทีฟเรียบ Xนั่นคือ ปริภูมิเวกเตอร์นี้สามารถระบุได้อย่างชัดเจนกับปริภูมิที่สอดคล้องกันสำหรับวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเรียบใดๆ ที่สมมาตรกับXนอกเซตย่อยที่มีมิติต่ำกว่า ${\displaystyle H^{0}(X,K_{X}^{d})}$

สำหรับd ≥ 0 พลูริจีนัสลำดับที่dของXถูกกำหนดให้เป็นมิติของปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนตัดทั่วโลกของ: ${\displaystyle K_{X}^{d}}$

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

พลูริจีนัสเป็นตัวแปรคงที่แบบไบราชันนัลที่สำคัญของวาไรตีเชิงพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ว่าวาไรตีนั้นไม่เป็นราชันนัล (นั่นคือ ไม่เป็นไบราชันนัลกับปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ) คือการแสดงว่าพลูริจีนัสP _d บางตัวที่ มีd > 0 ไม่เป็นศูนย์ ถ้าปริภูมิของส่วนตัดของไม่เป็นศูนย์ แสดงว่ามีแผนที่ราชันนัลตามธรรมชาติจากXไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle K_{X}^{d}}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

เรียกว่าแผนที่d-แคน อนิก วงแหวนแคนอนิก R ( KX ) _ของวาไรตี้Xคือวงแหวนแบบมีระดับ

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

ดูเพิ่มเติมที่genus ทางเรขาคณิตและgenus ทางเลขคณิต

มิติโคไดระของXถูกกำหนดให้เป็นถ้าพหุนามP _dเป็นศูนย์สำหรับทุกd > 0 มิเช่นนั้น มันจะเป็นค่าต่ำสุดของ κ ที่ทำให้P _d /d ^κมีขอบเขต มิติโคไดระของ วาไรตี้ nมิติจะเป็นหรือจำนวนเต็มในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง n${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$

จำนวนเต็มต่อไปนี้จะเท่ากันก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ เอกสารอ้างอิงที่ดีคือLazarsfeld (2004)ทฤษฎีบท 2.1.33

• มิติของการสร้าง Proj ซึ่งเป็นวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟที่เรียกว่าแบบจำลองแคนอนิกของXขึ้นอยู่กับชั้นสมมูลไบราชันแนลของX เท่านั้น (สิ่งนี้จะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อวงแหวนแคนอนิกถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด ซึ่งเป็นจริงในลักษณะเฉพาะศูนย์และคาดการณ์ไว้โดยทั่วไป)${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})}$${\displaystyle R=R(K_{X})}$
• มิติของภาพของ การแมปแบบ d -canonical สำหรับพหุคูณบวกd ทั้งหมดของจำนวนเต็ม บวกบางจำนวน${\displaystyle d_{0}}$
• ระดับความเป็นอดิศัยของฟิลด์เศษส่วนของRลบหนึ่ง กล่าวคือโดยที่tคือจำนวน ตัวสร้าง อิสระเชิงพีชคณิตที่สามารถหาได้${\displaystyle t-1}$
• อัตราการเติบโตของพหุสกุล: นั่นคือ จำนวนκ ที่เล็กที่สุด ที่ทำให้มีขอบเขต ในสัญกรณ์ Big Oนั้น คือค่าκ ขั้นต่ำสุด ที่ทำให้${\displaystyle P_{d}/d^{\คัปปา }}$${\displaystyle P_{d}=O(d^{\คัปปา })}$

เมื่อตัวเลขใดตัวหนึ่งในจำนวนเหล่านี้ไม่นิยามหรือเป็นลบ ตัวเลขทั้งหมดก็จะเป็นเช่นนั้นด้วย ในกรณีนี้ มิติโคไดระจะกล่าวได้ว่าเป็นลบหรือเป็นบางแหล่งข้อมูลทางประวัติศาสตร์กำหนดให้เป็น −1 แต่สูตรดังกล่าวไม่เป็นจริงเสมอไป และข้อความของการคาดการณ์ของอิตากะก็จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น มิติโคไดระของคือสำหรับวาไรตี้  X ทั้งหมด${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times X}$${\displaystyle -\infty }$

มิติโคไดระให้การแบ่งคร่าวๆ ที่มีประโยชน์สำหรับวาไรตี้พีชคณิตทั้งหมดออกเป็นหลายชั้น

พันธุ์ที่ มี ขนาดโคไดระต่ำถือเป็นพันธุ์พิเศษ ในขณะที่พันธุ์ที่มีขนาดโคไดระสูงสุดจัดเป็นพันธุ์ทั่วไป

ในทางเรขาคณิต มีความสัมพันธ์อย่างคร่าวๆ ระหว่างมิติโคไดระและความโค้ง กล่าวคือ มิติโคไดระที่เป็นลบจะสอดคล้องกับความโค้งที่เป็นบวก มิติโคไดระที่เป็นศูนย์จะสอดคล้องกับความเรียบ และมิติโคไดระสูงสุด (แบบทั่วไป) จะสอดคล้องกับความโค้งที่เป็นลบ

ความพิเศษของวาไรตี้ที่มีมิติโคไดระต่ำนั้นคล้ายคลึงกับความพิเศษของแมนิโฟลด์รีมันน์ที่มีความโค้งเป็นบวก (และประเภททั่วไปสอดคล้องกับความเป็นทั่วไปของความโค้งที่ไม่เป็นบวก) โปรดดูทฤษฎีบทคลาสสิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับความโค้งภาคตัดขวางแบบบีบและความโค้งเป็นบวก

ข้อความเหล่านี้จะได้รับการอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้นด้านล่างนี้

เส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบถูกจำแนกแบบไม่ต่อเนื่องตามจีนัสซึ่งอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ ใดๆ g = 0, 1, ...

ในที่นี้ "จำแนกแยกกันอย่างชัดเจน" หมายความว่า สำหรับจีนัสที่กำหนด จะมีปริภูมิโมดูลัส ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ของเส้นโค้งในจีนัสนั้น

มิติโคไดระของเส้นโค้งXคือ:

• κ = : จีนัส 0 ( เส้นเชิงโปรเจกทีฟP ¹ ): K _Xไม่มีผล, P _d = 0สำหรับทุกd > 0${\displaystyle -\infty }$
• κ = 0: จีนัส 1 ( เส้นโค้งวงรี ): K _Xเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ , P _d = 1 สำหรับทุกd ≥ 0
• κ = 1: genus g ≥ 2: K _Xเป็นแบบ ample , P _d = (2 d  − 1)( g  − 1) สำหรับทุก  d  ≥ 2

เปรียบเทียบกับทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูปสำหรับพื้นผิว (พื้นผิวจริง เนื่องจากเส้นโค้งเชิงซ้อนมีมิติจริงเท่ากับ 2): มิติโคไดระสอดคล้องกับความโค้งบวก มิติโคไดระ 0 สอดคล้องกับความเรียบ มิติโคไดระ 1 สอดคล้องกับความโค้งลบ โปรดทราบว่าเส้นโค้งพีชคณิตส่วนใหญ่เป็นประเภททั่วไป: ในปริภูมิโมดูลัสของเส้นโค้ง ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วนสอดคล้องกับเส้นโค้งที่ไม่ใช่ประเภททั่วไป ในขณะที่ส่วนประกอบอื่นๆ ทั้งหมดสอดคล้องกับเส้นโค้งประเภททั่วไป ยิ่งไปกว่านั้น ปริภูมิของเส้นโค้งที่มีจีนัส 0 เป็นจุด ปริภูมิของเส้นโค้งที่มีจีนัส 1 มีมิติ (เชิงซ้อน) เท่ากับ 1 และปริภูมิของเส้นโค้งที่มีจีนัสg  ≥ 2 มีมิติ 3g −  3 ${\displaystyle -\infty }$

ตารางจำแนกประเภทของเส้นโค้งพีชคณิต
มิติโคไดระ κ ( C )
	สกุลของC  : g ( C )	โครงสร้าง
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \geq 2}$	เส้นโค้งประเภททั่วไป
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	เส้นโค้งวงรี
${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle 0}$	เส้นโปรเจคทีฟ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

การจำแนกประเภทของ Enriques–Kodairaจำแนกพื้นผิวพีชคณิตออกเป็นสองประเภทหลักๆ คือ ตามมิติ Kodaira จากนั้นจึงจำแนกในรายละเอียดมากขึ้นภายในมิติ Kodaira ที่กำหนด ตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่ ผลคูณP ¹ × Xมีมิติ Kodaira เท่ากับ 0 สำหรับเส้นโค้งX ใดๆ ผลคูณของเส้นโค้งสองเส้นที่มีจีนัส 1 (พื้นผิวอาเบเลียน) มีมิติ Kodaira เท่ากับ 0 ผลคูณของเส้นโค้งที่มีจีนัส 1 กับเส้นโค้งที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 (พื้นผิววงรี) มีมิติ Kodaira เท่ากับ 1 และผลคูณของเส้นโค้งสองเส้นที่มีจีนัสอย่างน้อย 2 มีมิติ Kodaira เท่ากับ 2 ดังนั้นจึงเป็นประเภททั่วไป ${\displaystyle -\infty }$

ตารางการจำแนกประเภทของพื้นผิวพีชคณิต
มิติโคไดระ κ ( C )
	จีโนมเรขาคณิตp g	ความผิดปกติq	โครงสร้าง
${\displaystyle 2}$			พื้นผิวประเภททั่วไป
${\displaystyle 1}$			พื้นผิววงรี
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	พื้นผิวอาเบเลียน
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	พื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติก
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	พื้นผิว K3
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	พื้นผิวของเอนริเกส
${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \geq 1}$	พื้นผิวที่ขีดเส้น
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	พื้นผิวเชิงเหตุผล

สำหรับพื้นผิวXที่มีประเภททั่วไป ภาพของ แผนที่ d -canonical จะเป็น birational กับXถ้า  d  ≥ 5

วาไรตี้เชิงตรรกะ (วาไรตี้ที่เป็น ไบราชันนัลในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ) มีมิติโคได ระเท่ากับ 0 วาไร ตี้เชิงอาเบเลียน ( ทอรัสเชิงซ้อนขนาดกะทัดรัดที่เป็นเชิงโปรเจกทีฟ) มีมิติโคไดระเท่ากับศูนย์ โดยทั่วไปแล้วแมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว (ในมิติ 1 คือ เส้นโค้งวงรี ในมิติ 2 คือพื้นผิวอาเบเลียนพื้นผิว K3และผลหารของวาไรตี้เหล่านั้นโดยกลุ่มจำกัด) มีมิติโคไดระเท่ากับศูนย์ (ซึ่งสอดคล้องกับเมตริกริชชีแบบราบที่ยอมรับได้) ${\displaystyle -\infty }$

วาไรตี้ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ซึ่งครอบคลุมโดยเส้นโค้งเชิงตรรกะ (แผนที่ที่ไม่คงที่จากP ¹ ) เรียกว่า วาไรตี้แบบ ยูนิรูเลดจะมีมิติโคไดระเท่ากับ −∞ ในทางกลับกัน ข้อสันนิษฐานหลักของทฤษฎีแบบจำลองขั้นต่ำ (โดยเฉพาะข้อสันนิษฐานเรื่องความอุดมสมบูรณ์) จะบ่งชี้ว่าวาไรตี้ทุกตัวที่มีมิติโคไดระเท่ากับ −∞ นั้นเป็นแบบยูนิรูเลด ข้อสันนิษฐานแบบกลับกันนี้เป็นที่รู้จักสำหรับวาไรตี้ที่มีมิติไม่เกิน 3

Siu (2002)พิสูจน์ความไม่แปรเปลี่ยนของพหุนามภายใต้การเปลี่ยนแปลงรูปทรงสำหรับวาไรตี้เชิงซ้อนแบบเรียบทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มิติ Kodaira จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อโครงสร้างเชิงซ้อนของแมนิโฟลด์เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง

ตารางการจำแนกประเภทของพีชคณิตสามมิติ
มิติโคไดระ κ ( C )
	จีโนมเรขาคณิตp g	ความผิดปกติq	ตัวอย่าง
${\displaystyle 3}$			สามเท่าของประเภททั่วไป
${\displaystyle 2}$			การเกิดเส้นใยบนพื้นผิวที่มีเส้นใยทั่วไปเป็นเส้นโค้งวงรี
${\displaystyle 1}$			การสร้างเส้นใยบนเส้นโค้งที่มีพื้นผิวเส้นใยทั่วไปที่มี κ = 0
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	ความหลากหลายแบบอาเบเลียน
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$	กลุ่มเส้นใยบนพื้นผิวอาเบเลียนซึ่งเส้นใยเป็นเส้นโค้งวงรี
	${\displaystyle 0}$ หรือ${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	กลุ่มเส้นใยบนเส้นโค้งวงรีซึ่งเส้นใยเป็นพื้นผิวที่มีκ = 0
	${\displaystyle 0}$ หรือ${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	คาลาบี-เยา 3 เท่า
${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \geq 1}$	พับ 3 ทบแบบ ไม่มีเส้น
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	3 เท่าเชิง ตรรกะ, 3 เท่าของ ฟาโนและอื่นๆ

การสร้างไฟเบอร์ของวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติX → Yหมายถึงมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงที่มีไฟเบอร์เชื่อมต่อกัน

สำหรับ X 3 เท่าของประเภททั่วไป ภาพของ แผนที่ d -canonical จะเป็น birational ให้กับXถ้าd ≥ 61 ^{[ 4 ]}

ความหลากหลายประเภททั่วไปXคือความหลากหลายที่มีมิติโคไดระสูงสุด (มิติโคไดระเท่ากับมิติของมัน):

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันคือ บันเดิลเส้นมีขนาดใหญ่หรือ แผนที่ d -canonical เป็นแผนที่แบบฉีดทั่วไป (กล่าวคือ แผนที่ birational ไปยังภาพของมัน) สำหรับdที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ${\displaystyle K_{X}}$

ตัวอย่างเช่น วาไรตี้ที่มี บันเดิลแคนอนิก เพียงพอจัดเป็นประเภททั่วไป

ในแง่หนึ่ง วาไรตี้เชิงพีชคณิตส่วนใหญ่เป็นแบบทั่วไป ตัวอย่างเช่น ไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ เรียบที่มีดีกรีdในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟn มิติ จะเป็นแบบทั่วไปก็ต่อเมื่อ ในแง่นั้น ไฮเปอร์เซอร์เฟซเรียบส่วนใหญ่ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจึงเป็นแบบทั่วไป ${\displaystyle d>n+1}$

วาไรตี้ประเภททั่วไปดูซับซ้อนเกินกว่าจะจำแนกได้อย่างชัดเจน แม้แต่สำหรับพื้นผิวก็ตาม อย่างไรก็ตาม มีผลลัพธ์เชิงบวกที่แข็งแกร่งบางอย่างเกี่ยวกับวาไรตี้ประเภททั่วไป ตัวอย่างเช่นEnrico Bombieriแสดงให้เห็นในปี 1973 ว่า แผนที่ d -canonical ของพื้นผิวเชิงซ้อนประเภททั่วไปใดๆ เป็นแบบ birational สำหรับทุกค่าn โดยทั่วไปแล้วChristopher HaconและJames McKernan , Shigeharu Takayama และ Hajime Tsuji แสดงให้เห็นในปี 2006 ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกn ทุกตัว จะมีค่าคงที่ n เช่นนั้น แผนที่ d -canonical ของวาไรตี้เชิงซ้อนnมิติประเภททั่วไปใดๆ เป็นแบบ birational เมื่อ n = n ${\displaystyle d\geq 5}$${\displaystyle c(n)}$${\displaystyle d\geq c(n)}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลของวาไรตี้ประเภททั่วไปเป็นกลุ่มจำกัด

ให้Xเป็นวาไรตี้ที่มีมิติโคไดระไม่เป็นลบเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ และให้Bเป็นแบบจำลองแคนอนิกของX , B = Proj R ( X , K _X ); มิติของBเท่ากับมิติโคไดระของXมีแผนที่เชิงตรรกะตามธรรมชาติX – → B ; มอร์ฟิซึมใดๆ ที่ได้จากการเป่าXและBเรียกว่า การจัดเรียง แบบอิตากะ (Iitaka fibration ) ข้อสันนิษฐาน แบบจำลองขั้นต่ำและความอุดมสมบูรณ์จะบ่งชี้ว่าไฟเบอร์ทั่วไปของการจัดเรียงแบบอิตากะสามารถจัดเรียงให้เป็นวาไรตี้คาลาบี -ยาว ( Calabi–Yau variety) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีมิติโคไดระเป็นศูนย์ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมี ตัวหาร Q ที่มีประสิทธิภาพ Δ บนB (ไม่ซ้ำกัน) ซึ่งคู่ ( B , Δ) เป็นklt , K _B + Δ เป็นแอมเพิล และวงแหวนแคนอนิกของ X เหมือนกับวงแหวนแคนอนิกของ ( B , Δ) ในระดับที่เป็นพหุคูณของd > 0 บางค่า ^{[ 5 ]}ในแง่นี้Xถูกแยกออกเป็นตระกูลของวาไรตี้ที่มีมิติ Kodaira เป็นศูนย์เหนือฐาน ( B , Δ) ของประเภททั่วไป (โปรดทราบว่าวาไรตี้Bเองไม่จำเป็นต้องเป็นประเภททั่วไป ตัวอย่างเช่น มีพื้นผิวที่มีมิติ Kodaira เป็น 1 ซึ่งการไฟเบอร์แบบ Iitaka เป็นการไฟเบอร์แบบวงรีเหนือP ¹ )

จากข้อสันนิษฐานที่กล่าวมา การจำแนกประเภทของวาไรตี้เชิงพีชคณิตจะลดลงเหลือเพียงกรณีของมิติโคไดระ0 และประเภททั่วไป สำหรับมิติโคไดระและ 0 มีแนวทางการจำแนกประเภทอยู่บ้าง ข้อสันนิษฐานแบบจำลองขั้นต่ำและความอุดมสมบูรณ์จะบ่งชี้ว่าวาไรตี้ทุกตัวที่มีมิติโคไดระเป็น แบบยูนิ รูเลดและเป็นที่ทราบกันดีว่าวาไรตี้แบบยูนิรูเลดทุกตัวในลักษณะเฉพาะศูนย์นั้นเป็นไบราชันนัลกับปริภูมิไฟเบอร์ฟาโนข้อสันนิษฐานแบบจำลองขั้นต่ำและความอุดมสมบูรณ์จะบ่งชี้ว่าวาไรตี้ทุกตัวที่มีมิติโคไดระ 0 นั้นเป็นไบราชันนัลกับวาไรตี้คาลาบี-เยาที่ มีเอกฐานปลายทาง${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$

ข้อสันนิษฐานของอิตากะกล่าวว่า มิติโคไดระของไฟเบอร์เรชันมีค่าอย่างน้อยที่สุดเท่ากับผลรวมของมิติโคไดระของฐานและมิติโคไดระของไฟเบอร์ทั่วไป ดูMori (1987)สำหรับการสำรวจ ข้อสันนิษฐานของอิตากะเป็นแรงบันดาลใจสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีแบบจำลองขั้นต่ำในช่วงทศวรรษ 1970 และ 1980 ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีในหลายกรณี และโดยทั่วไปแล้วจะเป็นผลมาจากข้อสันนิษฐานแบบจำลองขั้นต่ำและข้อสันนิษฐานความอุดมสมบูรณ์

นากามูระและอุเอโนะได้พิสูจน์สูตรการบวกต่อไปนี้สำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ( อุเอโนะ (1975) ) แม้ว่าปริภูมิฐานไม่จำเป็นต้องเป็นพีชคณิต แต่สมมติฐานที่ว่าไฟเบอร์ทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกกันนั้นเป็นกรณีพิเศษมาก แม้จะมีสมมติฐานนี้ สูตรก็อาจล้มเหลวได้เมื่อไฟเบอร์ไม่ใช่โมอิเชซอน

ให้ π: V → W เป็นไฟเบอร์บันเดิลเชิงวิเคราะห์ของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนแบบกระชับ ซึ่งหมายความว่า π เป็นผลคูณในระดับท้องถิ่น (และดังนั้นไฟเบอร์ทั้งหมดจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะแมนิโฟลด์เชิงซ้อน) สมมติว่าไฟเบอร์ F เป็นแมนิโฟลด์โมอิเชซอนแล้ว

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

• รายชื่อพื้นผิวเชิงซ้อนและเชิงพีชคณิต
• อันดับ เอ็นริเกส-โคไดระ
• ทฤษฎีบทการหายตัวไปของโบโกโมลอฟ-ซอมมีส