ในทางคณิตศาสตร์ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์ สองฟิลด์ คือผลคูณเทนเซอร์ของ ฟิลด์ทั้งสองนั้นในรูปของ พีชคณิตเหนือฟิลด์ ย่อยร่วมกัน หากไม่มีการระบุฟิลด์ย่อยอย่างชัดเจน ฟิลด์ทั้งสองจะต้องมีลักษณะ เฉพาะเดียวกัน และฟิลด์ย่อยร่วมกันนั้นคือฟิลด์ย่อยเฉพาะของฟิลด์ทั้ง สอง

ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์สองฟิลด์นั้น บางครั้งอาจเป็นฟิลด์หนึ่ง และบ่อยครั้งอาจเป็นผลคูณโดยตรงของฟิลด์ต่างๆ ในบางกรณี มันอาจมีองค์ประกอบนิลโพเทนต์ที่ ไม่เป็นศูนย์อยู่ ด้วย

ผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์สองฟิลด์แสดงวิธีการที่แตกต่างกันในการฝังฟิลด์ทั้งสอง ลง ใน ฟิลด์ส่วนขยายทั่วไปในโครงสร้างเดียว

ขั้นแรก เราต้องนิยามแนวคิดของคอมโพสิตของฟิลด์ การสร้างนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้งในทฤษฎีฟิลด์แนวคิดเบื้องหลังคอมโพสิตคือการสร้างฟิลด์ที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยฟิลด์อื่นอีกสองฟิลด์ เพื่อที่จะนิยามคอมโพสิตอย่างเป็นทางการ เราต้องระบุลำดับของฟิลด์ ก่อน ให้kเป็นฟิลด์ และLกับKเป็นส่วนขยายสองส่วนของkคอมโพสิตซึ่งเขียนแทนด้วยKLถูกกำหนดให้เป็นโดยที่ด้านขวามือแสดงถึงส่วนขยายที่สร้างขึ้นโดยKและLซึ่งสมมติว่า มีฟิลด์ บางฟิลด์ที่ประกอบด้วยทั้งKและLอาจเริ่มต้นจากสถานการณ์ที่ระบุฟิลด์แวดล้อมได้ง่าย (ตัวอย่างเช่น ถ้าKและLเป็นฟิลด์ย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ทั้งคู่ ) หรืออาจพิสูจน์ผลลัพธ์ที่อนุญาตให้วางทั้งKและL (เป็น สำเนา ที่สมมาตรกัน ) ในฟิลด์ที่ใหญ่พอ ${\displaystyle KL=k(K\cup L)}$

ในหลายกรณี เราสามารถระบุK . Lได้ว่าเป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งคำนวณจากฟิลด์Nที่เป็นจุดตัดของKและLตัวอย่างเช่น หากเราเพิ่ม √2 เข้าไปในฟิลด์ตรรกยะเพื่อให้ได้Kและเพิ่ม √3 เพื่อให้ได้Lจะเป็นความจริงที่ว่าฟิลด์Mที่ได้จากK . Lภายในจำนวนเชิงซ้อนคือ ( โดยพิจารณาจากความเหมือนกัน) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }L}$

ในฐานะปริมาณเวกเตอร์เหนือ(ผลลัพธ์ประเภทนี้สามารถตรวจสอบได้โดยทั่วไปโดยใช้ ทฤษฎี การแตกแขนงของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ฟิลด์ย่อยKและLของMแยกออกจากกันเชิงเส้น (เหนือฟิลด์ย่อยN ) เมื่อแผนที่เชิงเส้น N ตามธรรมชาติ ของ M เป็นเช่นนั้น

${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

ถึงK . Lเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 1 ]}แน่นอนว่านี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป เช่น เมื่อK = Lเมื่อดีกรีจำกัด ความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะเทียบเท่ากับความเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ดังนั้น เมื่อKและLเป็นฟิลด์ส่วนขยายดีกรีจำกัดที่ไม่ทับซ้อนกันเชิงเส้นเหนือN , , เช่นเดียวกับส่วนขยายของจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงข้างต้น ${\displaystyle KL\cong K\otimes _{N}L}$

กรณีสำคัญในทฤษฎีของฟิลด์ไซโคลโทมิกคือสำหรับ ราก ที่n ของเอกภาพสำหรับn ที่เป็น จำนวนประกอบฟิลด์ย่อยที่สร้างขึ้นโดย รากที่ p ^kของเอกภาพสำหรับกำลังเฉพาะ ที่หาร nลงตัว จะไม่มีจุดร่วมเชิงเส้น สำหรับpที่แตกต่างกัน^{[ 2 ]}

เพื่อให้ได้ทฤษฎีทั่วไป จำเป็นต้องพิจารณา โครงสร้าง วงแหวนบนเราสามารถกำหนดผลคูณได้เป็น(ดูผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิต ) สูตรนี้เป็นแบบหลายเชิงเส้นเหนือNในแต่ละตัวแปร และดังนั้นจึงกำหนดโครงสร้างวงแหวนบนผลคูณเทนเซอร์ ทำให้เป็นพีชคณิตNแบบสลับที่ได้ซึ่งเรียกว่าผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์ ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$${\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d)}$${\displaystyle ac\otimes bd}$${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

โครงสร้างของวงแหวนสามารถวิเคราะห์ได้โดยพิจารณาวิธีการฝังKและL ลง ในส่วนขยายฟิลด์N บางส่วน การสร้างในที่นี้ถือว่ามีฟิลด์ย่อยร่วมกัน คือ Nแต่ไม่ได้สมมติล่วงหน้าว่าKและLเป็นฟิลด์ย่อยของฟิลด์M ใดๆ (จึงหลีกเลี่ยงข้อจำกัดเกี่ยวกับการสร้างฟิลด์ประกอบ) เมื่อใดก็ตามที่ฝังKและL ลง ในฟิลด์M ดังกล่าว เช่น โดยใช้การฝัง α ของKและ β ของLจะได้โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน γ จากไปยังMซึ่งกำหนดโดย: ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

${\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).}$

เคอร์เนลของ γ จะเป็นไอเดียลเฉพาะของผลคูณเทนเซอร์ และในทางกลับกัน ไอเดียล เฉพาะใดๆ ของผลคูณเทนเซอร์จะให้โฮโมมอร์ฟิซึมของN- พีชคณิตไปยังโดเมนจำนวนเต็ม (ภายในฟิลด์เศษส่วน ) และด้วยเหตุนี้จึงให้การฝังตัวของKและL ในฟิลด์บางฟิลด์ในฐานะส่วนขยายของ ( สำเนาของ) N

ด้วยวิธีนี้ เราสามารถวิเคราะห์โครงสร้างของได้ โดยหลักการแล้วอาจมีนิลราดิคัลที่ ไม่เป็นศูนย์ (จุดตัดของอุดมคติเฉพาะทั้งหมด) และหลังจากหาผลหารด้วยนิลราดิคัลนั้นแล้ว เราสามารถพูดถึงผลคูณของการฝังตัวทั้งหมดของKและLในMต่างๆเหนือNได้ ${\displaystyle K\otimes _{N}L}$

ในกรณีที่KและLเป็นส่วนขยายจำกัดของNสถานการณ์จะง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากผลคูณเทนเซอร์มีมิติจำกัดในฐานะ พีชคณิต N (และดังนั้นจึงเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียน ) จากนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า ถ้าRเป็นราก เราจะได้ผลคูณโดยตรงของฟิลด์จำนวนจำกัด ฟิลด์แต่ละฟิลด์ดังกล่าวเป็นตัวแทนของชั้นสมมูลของการฝังฟิลด์ (ที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน) สำหรับKและLในส่วนขยายM บาง อย่าง ${\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R}$

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ลองพิจารณาฟิลด์และ. เห็นได้ชัดว่าเป็นฟิลด์ที่สม isomorphic กัน แต่ในทางเทคนิคแล้วเป็นฟิลด์ที่ไม่เท่ากัน โดยที่จุดตัด (ในเชิงทฤษฎีเซต) ของทั้งสองฟิลด์นี้คือฟิลด์เฉพาะ ผลคูณเทนเซอร์ของทั้งสองฟิลด์นี้คือ . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K}$${\displaystyle N=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

ไม่ใช่ฟิลด์ แต่เป็นพีชคณิต 4 มิติ ยิ่งไปกว่านั้น พีชคณิตนี้ยังสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรงของฟิลด์ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

ผ่านแผนที่ที่เหนี่ยวนำโดย. ตามหลักศีลธรรมควรพิจารณาว่าเป็นฟิลด์ย่อยร่วมที่ใหญ่ที่สุดจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของKและLผ่านไอโซมอร์ฟิซึม. เมื่อทำการคูณเทนเซอร์เหนือตัวเลือกที่ดีกว่านี้สำหรับฟิลด์ย่อยร่วมที่ใหญ่ที่สุด เราจะได้ฟิลด์ (ที่ค่อนข้างธรรมดา) ${\displaystyle 1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})}$${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle {\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L}$

${\displaystyle K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L}$.

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าKถูกสร้างขึ้นโดยรากที่สามของ 2 แล้วจะเป็นผลรวมของ (สำเนาของ) Kและฟิลด์แยกของ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }K}$

X ³ − 2,

มีดีกรี 6 เหนือสามารถพิสูจน์ได้โดยการคำนวณมิติของผลคูณเทนเซอร์เหนือเป็น 9 และสังเกตว่าฟิลด์แยกประกอบด้วยสำเนาของK สองชุด (ที่จริงแล้วสามชุด) และเป็นส่วนประกอบของสองชุดนั้น ซึ่งแสดงให้เห็นโดยบังเอิญว่าR = {0} ในกรณีนี้ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ตัวอย่างที่นำไปสู่ค่านิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์: ให้

P ( X ) = X ^p − T

โดยที่Kคือฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ใน Tที่ไม่กำหนดเหนือฟิลด์จำกัดที่มีpสมาชิก (ดูพหุนามที่แยกได้ : ประเด็นสำคัญคือPไม่สามารถแยกได้) ถ้าLคือส่วนขยายฟิลด์K ( T ^{1/ p} ) ( ฟิลด์แยกส่วนของP ) แล้วL / Kเป็นตัวอย่างของส่วนขยายฟิลด์ที่ไม่สามารถแยกได้อย่างแท้จริงในสมาชิก ${\displaystyle L\otimes _{K}L}$

${\displaystyle T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}}$

เป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์: เมื่อยก กำลัง pจะได้ 0 โดยใช้คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้น ของ K

ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์เป็นเครื่องมือพื้นฐาน (โดยปริยาย บ่อยครั้ง) ถ้าKเป็นส่วนขยายของฟิลด์_ที่มีดีกรีจำกัดnผลคูณเทนเซอร์ของฟิลด์เหล่านี้จะสมมูลกับฟิลด์หรือฟิลด์เสมอ_{ฟิลด์}จำนวนจริงทั้งหมดคือฟิลด์ที่มีเฉพาะ ฟิลด์ จริง เท่านั้น โดยทั่วไปจะมีฟิลด์ จริง r⁻¹และฟิลด์เชิงซ้อนr⁻² โดยที่ _r⁻¹ + 2r⁻² = n ดังที่เห็น _ได้จากการนับมิติ ตัวประกอบฟิลด์มีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับการฝังตัวจริงและคู่ของการฝังตัวเชิงซ้อนสังยุคซึ่งอธิบายไว้ในวรรณกรรมคลาสสิ ก${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

แนวคิดนี้ยังใช้ได้กับกรณีที่_pเป็นฟิลด์ของจำนวนp -adic ซึ่งเป็นผลคูณของส่วนขยายจำกัดของ_pโดยมีความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 กับการเติมเต็มของKสำหรับส่วนขยายของ เมตริก p - adic บน${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

สิ่งนี้ให้ภาพรวมทั่วไป และเป็นแนวทางในการพัฒนาทฤษฎีกาโลอิส (ตามแนวทางที่ใช้ในทฤษฎีกาโลอิสของโกรเทนดีค ) สามารถแสดงได้ว่าสำหรับส่วนขยายที่แยกได้รากจะเป็น {0} เสมอ ดังนั้นกรณีของทฤษฎีกาโลอิสจึงเป็น กรณี แบบกึ่งง่ายคือผลคูณของฟิลด์เท่านั้น

• การขยายสเกลาร์ — ผลคูณเทนเซอร์ของการขยายฟิลด์และปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์นั้น

• กระทู้ใน MathOverflow เกี่ยวกับนิยามของการแยกตัวเชิงเส้น