ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีฟิลด์และพีชคณิตเชิงจริงฟิลด์เชิงจริงอย่างเป็นทางการคือฟิลด์ที่สามารถกำหนดลำดับ (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์) ที่ทำให้ฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์ที่มีลำดับได้

นิยามที่กล่าวมาข้างต้นไม่ใช่ นิยาม ลำดับที่หนึ่งเนื่องจากต้องใช้ตัวบ่งปริมาณเหนือเซตอย่างไรก็ตาม เกณฑ์ต่อไปนี้สามารถเขียนเป็นประโยคลำดับ ที่หนึ่ง (จำนวนอนันต์) ในภาษาของฟิลด์ได้ และเทียบเท่ากับนิยามข้างต้น

ฟิลด์จริงอย่างเป็นทางการFคือฟิลด์ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• −1 ไม่ใช่ผลรวมของกำลังสองในFกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟิลด์ StufeของFเป็นอนันต์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟิลด์ดังกล่าวต้องมีลักษณะเฉพาะเป็น 0 เนื่องจากในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะpสมาชิก −1 คือผลรวมของ 1) สิ่งนี้สามารถแสดงได้ในตรรกะลำดับที่หนึ่งโดย, , เป็นต้น โดยมีประโยคหนึ่งประโยคสำหรับจำนวนตัวแปรแต่ละจำนวน${\displaystyle \forall x_{1}(-1\neq x_{1}^{2})}$${\displaystyle \forall x_{1}x_{2}(-1\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$
• มีสมาชิกในเมทริกซ์Fที่ไม่ใช่ผลรวมของกำลังสองในเมทริกซ์ Fและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Fไม่ใช่ 2
• ถ้าผลรวมของกำลังสองขององค์ประกอบใดๆ ในเมท ริกซ์ Fเท่ากับศูนย์ แสดงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวเหล่านั้นต้องเป็นศูนย์ด้วย

เห็นได้ชัดว่าคุณสมบัติทั้งสามนี้เทียบเท่ากัน และเห็นได้ชัดเจนเช่นกันว่าฟิลด์ที่ยอมรับการเรียงลำดับจะต้องมีคุณสมบัติทั้งสามนี้

การพิสูจน์ว่าถ้าFมีคุณสมบัติทั้งสามประการนี้แล้วFจะมีลำดับนั้น ใช้แนวคิดของกรวยบวกก่อนหน้าและกรวยบวก สมมติว่า −1 ไม่ใช่ผลรวมของกำลังสอง จากนั้น การใช้ ทฤษฎีบทของ Zornจะแสดงให้เห็นว่ากรวยบวกก่อนหน้าของผลรวมของกำลังสองสามารถขยายไปเป็นกรวยบวกP ⊆ Fได้ เราใช้กรวยบวกนี้ในการกำหนดลำดับ: a ≤ bก็ต่อเมื่อb − aอยู่ในPเนื่องจากกรวยบวกPไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นลำดับจึงไม่จำเป็นต้องมีเพียงหนึ่งเดียวเช่นกัน

ฟิลด์จริงอย่างเป็นทางการที่ไม่มีส่วนขยายพีชคณิต ที่เหมาะสมอย่างเป็นทางการ คือฟิลด์ปิดจริง^{[ 3 ]} ถ้าKเป็นฟิลด์จริงอย่างเป็นทางการและ Ω เป็นฟิลด์ปิดพีชคณิตที่มีK อยู่ด้วย ก็จะมีฟิลด์ ย่อยปิดจริง ของ Ω ที่มีK อยู่ด้วย ฟิลด์ปิดจริงสามารถเรียงลำดับได้ในลักษณะเฉพาะ^{[ 3 ]}และองค์ประกอบที่ไม่เป็นลบก็คือกำลังสองนั่นเอง

• อย่างเป็นทางการคือสนาม p-adic