${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

สัมประสิทธิ์ทวินาม ปรากฏเป็น ค่าลำดับที่ kใน แถวที่ nของสามเหลี่ยมปาสคาล (โดยที่ด้านบนสุดคือแถวที่ 0 ) แต่ละค่าในสามเหลี่ยมปาสคาลเป็นผลรวมของค่าสองค่าที่อยู่เหนือกว่า${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

ในพีชคณิตเบื้องต้นทฤษฎีบททวินาม (หรือการกระจายทวินาม ) อธิบายถึงการกระจายเชิงพีชคณิตของกำลังของทวินามตามทฤษฎีบท กำลัง⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle (x+y)^{n}}$จะกระจายออกเป็นพหุนามที่มีพจน์ในรูปแบบ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle ขวาน^{k}y^{m}}$โดยที่เลขชี้กำลัง⁠ ⁠${\displaystyle k}$และ⁠ ⁠${\displaystyle m}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งสอดคล้องกับ⁠ ⁠ และ${\displaystyle k+m=n}$สัมประสิทธิ์⁠ ⁠ ของ${\displaystyle a}$แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวก เฉพาะที่ ขึ้นอยู่กับ⁠ ⁠${\displaystyle n}$และ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ตัวอย่างเช่น สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle n=4}$$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

สัมประสิทธิ์ในแต่ละพจน์เรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามหรือ(ทั้งสองมีค่าเท่ากัน) สัมประสิทธิ์เหล่านี้สำหรับค่า และ ที่เปลี่ยนแปลงไปสามารถนำมาเรียงกันเพื่อสร้างสามเหลี่ยมปาสคาลได้[ ${\displaystyle a}$^{1 ] ตัวเลข}เหล่านี้ยังปรากฏในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงโดยที่จะให้จำนวนการจัดเรียงที่ แตก ต่างกัน (เช่น เซตย่อย) ขององค์ประกอบที่สามารถเลือกได้จากเซตที่มีองค์ประกอบดังนั้นจึงมักออกเสียงว่า" เลือก"${\displaystyle \textstyle ขวาน^{k}y^{m}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ตามทฤษฎีบท การกระจายกำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn ใดๆ ของทวินามx + yจะเป็นผลรวมในรูปแบบ โดยที่แต่ละเป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งกำหนดโดย $${\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}y^{0}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y^{1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{0}y^{n},}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(nk)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

สูตรนี้เรียกอีกอย่างว่าสูตรทวินามหรือเอกลักษณ์ทวินามหากใช้สัญลักษณ์การบวกจะสามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้ $${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{nk}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{nk}.}$$

นิพจน์สุดท้ายเป็นผลมาจากนิพจน์ก่อนหน้าโดยอาศัยความสมมาตรของxและyในนิพจน์แรก และเมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว จะเห็นได้ว่าลำดับของสัมประสิทธิ์ทวินามในสูตรมีความสมมาตร^{[หมายเหตุ 1 ]}${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}}.}$

สูตรทวินามแบบง่ายได้มาจากการแทนที่yด้วย1ซึ่งจะทำให้มีตัวแปร เพียงตัวเดียว ในรูปแบบนี้ สูตรจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={\binom {n}{0}}x^{0}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

กรณีแรกๆ ของทฤษฎีบททวินามมีดังนี้: โดยทั่วไป สำหรับการกระจายของ( x + y ) ⁿทางด้านขวาใน แถวที่ n (โดยที่แถวบนสุดคือแถวที่ 0): $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[2mu](x+y)^{1}&=x+y,\\[2mu](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[2mu](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[2mu](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\end{aligned}}}$$

• เลขชี้กำลังของxในพจน์ต่างๆ คือn , n − 1, ..., 2, 1, 0 (พจน์สุดท้ายมีx ⁰ = 1 อยู่โดยปริยาย )
• เลขชี้กำลังของyในพจน์ต่างๆ คือ0, 1, 2, ..., n − 1, n (พจน์แรกมีy ⁰ = 1 อยู่โดยปริยาย )
• สัมประสิทธิ์เหล่านี้ประกอบกันเป็นแถวที่nของสามเหลี่ยมปาสคาล
• ก่อนที่จะรวมพจน์ที่เหมือนกัน จะมี พจน์ x ⁱ y ^j จำนวน 2 ⁿพจน์ในการกระจาย (ไม่ได้แสดงไว้)
• หลังจากรวมพจน์ที่เหมือนกันแล้ว จะมี^พจน์ n + 1พจน์ และผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์เหล่านั้นคือ2n

ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงสองประเด็นสุดท้าย: ด้วย. $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

ตัวอย่างง่ายๆ ที่มีค่าy เป็นค่าบวกเฉพาะค่าหนึ่ง : $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างง่ายๆ ที่มีค่าy เป็นค่าลบโดยเฉพาะ : $${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

สำหรับค่าบวกของaและbทฤษฎีบททวินามที่มีn = 2เป็นข้อเท็จจริงที่เห็นได้ชัดทางเรขาคณิตว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวa + bสามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวa , สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวbและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีด้านยาวaและbส่วนสำหรับn = 3ทฤษฎีบทกล่าวว่า ลูกบาศก์ที่มีด้านยาวa + bสามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์ที่มีด้านยาวa , ลูกบาศก์ที่มีด้านยาวb , กล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด a × a × b สาม กล่อง และกล่องสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด a × b × b สามกล่อง

ในแคลคูลัสภาพนี้ยังให้การพิสูจน์ทางเรขาคณิตของอนุพันธ์^{[ 2 ]}หากกำหนดและตีความbเป็นการ เปลี่ยนแปลง เล็กน้อยในaแล้วภาพนี้จะแสดงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในปริมาตรของไฮเปอร์คิวบ์nมิติโดยที่สัมประสิทธิ์ของพจน์เชิงเส้น (ใน) คือพื้นที่ของ หน้า nหน้า แต่ละหน้ามีมิติn − 1 : การแทนค่านี้ลงในนิยามของอนุพันธ์ผ่านผลหารความแตกต่างและการหาลิมิตหมายความว่าพจน์ลำดับสูงกว่าและสูงกว่าจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญ และให้สูตรที่ตีความได้ว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในปริมาตรของลูกบาศก์nมิติเมื่อความยาวด้านเปลี่ยนแปลงคือพื้นที่ของหน้าn หน้าที่มีมิติ ( n − 1) " หากทำการอินทิเกรตภาพนี้ ซึ่งสอดคล้องกับการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสจะได้สูตรการหาปริพันธ์ของ Cavalieriซึ่งเป็นปริพันธ์– ดูรายละเอียดในบทพิสูจน์สูตรการหาปริพันธ์ของ Cavalieri ^{[ 2 ]}${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=\Delta x,}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle nx^{n-1},}$$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

สัมประสิทธิ์ที่ปรากฏในการกระจายทวินามเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามโดยปกติจะเขียนและออกเสียงว่า " nเลือกk " ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

สัมประสิทธิ์ของx ^{n − k} y ^kกำหนดโดยสูตร ที่นิยามไว้ในรูปของฟังก์ชัน แฟก ทอเรียลn !หรืออาจเขียนสูตรนี้ในรูปแบบอื่นได้ โดยใช้ ตัวประกอบ kทั้งในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนถึงแม้ว่าสูตรนี้จะมีเศษส่วน แต่สัมประสิทธิ์ทวินามนั้น เป็นจำนวนเต็ม$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

สัมประสิทธิ์ทวินามสามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนวิธีในการเลือกkองค์ประกอบจาก เซตที่มี nองค์ประกอบ ( การจัดหมู่ ) ซึ่งเกี่ยวข้องกับทวินามด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้: ถ้าเราเขียน( x + y ) ⁿเป็นผลคูณ แล้ว ตามกฎการกระจายจะมีพจน์เดียวในการกระจายสำหรับแต่ละการเลือกxหรือyจากทวินามแต่ละตัวของผลคูณ ตัวอย่างเช่น จะมีเพียงพจน์เดียวxnซึ่งสอดคล้องกับการเลือกxจากทวินามแต่ละตัว อย่างไรก็ตาม จะมีหลายพจน์ในรูปแบบxn ^{− 2y2 หนึ่ง}พจน์ สำหรับแต่ละวิธี ^{ใน การเลือกทวินาม สอง}ตัวเพื่อให้ได้yดังนั้น หลังจากรวมพจน์ที่เหมือนกันแล้วสัมประสิทธิ์ของxn ^{− 2y2}จะเท่ากับจำนวนวิธีในการเลือก2องค์ประกอบจาก เซตที่ มี nองค์ประกอบ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

การกระจาย( x + y ) ⁿจะได้ผลรวมของ ผลคูณ 2 ⁿตัวในรูปแบบe ₁ e ₂ ... e _nโดยที่e _i แต่ละตัว คือxหรือ  yการจัดเรียงตัวประกอบใหม่แสดงให้เห็นว่าผลคูณแต่ละตัวเท่ากับx ^{n − k} y ^kสำหรับk บางค่า ระหว่าง0ถึง  n สำหรับ kที่กำหนดจะพิสูจน์ได้ว่าสิ่งต่อไปนี้เท่ากันตามลำดับ:

• จำนวนพจน์ที่เท่ากับx ^{n − k} y ^kในการกระจาย
• จำนวนสตริงx , yที่มีความยาวn ตัวอักษร โดยที่ y อยู่ใน ตำแหน่งk ตำแหน่ง พอดี
• จำนวน เซตย่อย kสมาชิกของ{1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ไม่ว่าจะโดยนิยาม หรือโดยการให้เหตุผลเชิงการจัดเรียงแบบสั้นๆ หากจะนิยามว่า${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

นี่เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม

สัมประสิทธิ์ของxy ²ใน เท่ากับเพราะมี สตริง x , y สาม สตริงที่มีความยาว 3 โดยมีy สอง ตัว พอดี ซึ่งสอดคล้องกับเซตย่อย 2 องค์ประกอบสามเซตของ{1, 2, 3}โดย ที่แต่ละเซตย่อยระบุตำแหน่งของyในสตริงที่สอดคล้องกัน $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$$${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$$${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

การอุปมานให้การพิสูจน์ทฤษฎีบททวินามอีกแบบหนึ่ง เมื่อn = 0ทั้งสองข้างเท่ากับ1เนื่องจากx ⁰ = 1และตอนนี้สมมติว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับn ที่กำหนด เราจะพิสูจน์สำหรับn + 1สำหรับj , k ≥ 0ให้[ f ( x , y )] _{j , k}แทนสัมประสิทธิ์ของx ^j y ^kในพหุนามf ( x , y )ตามสมมติฐานอุปมาน( x + y ) ⁿเป็นพหุนามในxและyโดยที่[( x + y ) ⁿ ] _{j , k}เป็นจริงถ้าj + k = nและ0มิฉะนั้น เอกลักษณ์ แสดงให้เห็นว่า( x + y ) ^{n +1}ก็เป็นพหุนามในxและy เช่นกัน และ เนื่องจากถ้าj + k = n + 1แล้ว( j − 1) + k = nและj + ( k − 1) = nตอนนี้ ด้านขวามือเป็น ไปตามเอกลักษณ์ของปาสคาล [ ^{3 ] ใน}ทางกลับกัน ถ้าj + k ≠ n + 1แล้ว( j – 1) + k ≠ nและj + ( k – 1) ≠ nดังนั้นเราจึงได้0 + 0 = 0ดังนั้น ซึ่งเป็นสมมติฐานอุปนัยโดยแทนที่n ด้วย n + 1และทำให้ขั้นตอนอุปนัยเสร็จสมบูรณ์ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$$${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

ทฤษฎีบททวินามมาตรฐานดังที่ได้กล่าวไปข้างต้นนั้นเกี่ยวข้องกับกรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ส่วนทฤษฎีบททวินามแบบทั่วไปนั้นอนุญาตให้ใช้เลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ลบ หรือแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนได้แต่ต้องแลกกับการเปลี่ยนผลรวมจำกัดเป็นอนุกรมอนันต์ ${\displaystyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle n}$

ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องให้ความหมายแก่สัมประสิทธิ์ทวินามที่มีดัชนีบนที่กำหนด ซึ่งไม่สามารถทำได้โดยใช้สูตรปกติกับแฟกทอเรียล อย่างไรก็ตาม สำหรับจำนวนr ใดๆ เราสามารถกำหนดได้ โดยสมการสุดท้ายนำเสนอสัญลักษณ์สมัยใหม่สำหรับแฟกทอเรียลที่ลดลงซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความปกติเมื่อrเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จากนั้น ถ้าxและyเป็นจำนวนจริงที่มี| x | > | y | ^{[หมายเหตุ 2 ]}และrเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราจะได้ ว่า$${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

เมื่อrเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับk > rจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสมการนี้จึงลดรูปเป็นทฤษฎีบททวินามตามปกติ และจะมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์อย่างมากที่สุดr + 1 พจน์ สำหรับค่า rอื่นๆอนุกรมจะมีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เป็นจำนวนอนันต์

ตัวอย่างเช่น ถ้าr = 1/2จะได้อนุกรมต่อไปนี้สำหรับรากที่สอง: $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

เมื่อr = −1อนุกรมทวินามทั่วไปจะกลายเป็น: ซึ่งเป็นสูตรผลรวมอนุกรมเรขาคณิตสำหรับกรณีลู่เข้า| x | < 1ซึ่งมีอัตราส่วนร่วมคือ − x$${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อr = − sเราจะได้สำหรับ| x | < 1 : ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-s}{k}}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}x^{k}.}$$

ตัวอย่างเช่น เมื่อs = 1/2 , $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

การแทนที่xด้วย-xจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {s+k-1}{k}}x^{k}.}$$

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อs = 1/2เราจะได้ว่า| x | < 1 : $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

ทฤษฎีบททวินามทั่วไปสามารถขยายไปยังกรณีที่xและyเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ สำหรับเวอร์ชันนี้ เราควรสมมติอีกครั้งว่า| x | > | y | ^{[หมายเหตุ 2 ]}และกำหนดกำลังของx + yและxโดยใช้ สาขา โฮโลมอร์ฟิกของ logที่กำหนดบนดิสก์เปิดรัศมี| x |ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xทฤษฎีบททวินามทั่วไปยังใช้ได้กับองค์ประกอบxและyของพีชคณิตบานาคตราบใดที่xy = yxและxสามารถผกผันได้ และ‖ y / x ‖ < 1

ทฤษฎีบททวินามเวอร์ชันหนึ่งใช้ได้กับตระกูลพหุนามที่คล้ายกับสัญลักษณ์ Pochhammer ต่อไปนี้: สำหรับค่าคงที่จริง c ที่กำหนด ให้กำหนดและ สำหรับจากนั้น^{[ 5 ]} กรณีc = 0จะได้ทฤษฎีบททวินามแบบปกติกลับคืนมา ${\displaystyle x^{(0)}=1}$$${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$${\displaystyle n>0.}$$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ลำดับของพหุนามจะเรียกว่าเป็นลำดับแบบทวินามถ้า ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$สำหรับทุกคน${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, และ
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$สำหรับทุก, , และ.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

กล่าวกันว่า ตัวดำเนินการบนปริภูมิของพหุนามเป็นตัวดำเนินการฐานของลำดับก็ต่อเมื่อและสำหรับทุก ลำดับ จะเป็น ทวินามก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการฐานของมันคือ ตัวดำเนิน การเดลต้า^{[ 6 ]}เมื่อเขียนแทนการเลื่อนด้วย ตัวดำเนินการ ตัว ดำเนิน การเดลต้าที่สอดคล้องกับตระกูลพหุนาม "Pochhammer" ข้างต้นคือผลต่างย้อนหลังสำหรับอนุพันธ์ปกติสำหรับและผลต่างไปข้างหน้าสำหรับ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle Qp_{0}=0}$${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle E^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I-E^{-c}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle E^{-c}-I}$${\displaystyle c<0}$

ทฤษฎีบททวินามสามารถขยายให้ครอบคลุมถึงกำลังของผลรวมที่มีมากกว่าสองพจน์ได้ รูปแบบทั่วไปคือ

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

โดยการหาผลรวมจะกระทำเหนือลำดับของดัชนีจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบk ₁ถึงk _m ทั้งหมด ซึ่งผลรวมของk _i ทั้งหมด คือ  n (สำหรับแต่ละพจน์ในการกระจาย เลขชี้กำลังต้องรวมกันได้  n ) สัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์พหุนาม และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

ในเชิงการ จัดเรียง ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามจะนับจำนวนวิธีที่แตกต่างกันในการแบ่ง เซตที่มี สมาชิก n ตัว ออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันโดยมีขนาดk ₁ , ..., k _m${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

เมื่อทำงานในมิติที่มากขึ้น การจัดการกับผลคูณของนิพจน์ทวินามมักจะเป็นประโยชน์ ตามทฤษฎีบททวินาม สิ่งนี้จะเท่ากับ $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้สัญกรณ์ดัชนีหลายตัวดังนี้ $${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

กฎทั่วไปของไลบ์นิซให้ ค่าอนุพันธ์ลำดับที่ nของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันในรูปแบบที่คล้ายกับทฤษฎีบททวินาม: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

ในที่นี้ ตัวยก( n )แสดงถึง อนุพันธ์อันดับที่ nของฟังก์ชันถ้ากำหนดให้f ( x ) = e ^axและg ( x ) = e ^bxการตัดตัวประกอบร่วมe ^{( a + b ) x}ออกจากแต่ละพจน์จะให้ทฤษฎีบททวินามแบบธรรมดา^{[ 8 ]}${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

กรณีพิเศษของทฤษฎีบททวินามเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราชเป็นอย่างน้อย เมื่อยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก กล่าวถึงกรณีพิเศษของทฤษฎีบททวินามสำหรับเลขชี้กำลัง[ ^{9 ] ดิ}โอแฟนตัสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกได้ยกกำลังสามทวินามต่างๆ รวมถึง[ ^{9 ] วิธี} การหาค่ารากที่สามของ อารยาภัตตานักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียจากราวปี ค.ศ. 510 แสดงให้เห็นว่าเขารู้จักสูตรทวินามสำหรับเลขชี้กำลัง^{[ 9 ]}${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x-1}$${\displaystyle n=3}$

สัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งเป็นปริมาณเชิงการจัดเรียงที่แสดงจำนวนวิธีในการเลือก วัตถุ kชิ้นจากn ชิ้น โดยไม่ใส่คืน ( การจัดเรียง ) เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณให้ความสนใจพระสูตรภควตีของศาสนาเชน ( ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) อธิบายจำนวนการจัดเรียงของหมวดหมู่ทางปรัชญา ความหมาย หรือสิ่งอื่นๆ โดยให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องจนถึง⁠ ⁠ (น่าจะได้มาจากการแสดงรายการความเป็นไปได้ทั้งหมดและนับจำนวน) ^{[ 10 ]}และมีข้อเสนอแนะว่าการจัดเรียงที่สูงกว่านี้ก็สามารถพบได้เช่นกัน^{[ 11 ]}จันทษาสตราโดยปิงคละ นักแต่งเพลงชาวอินเดีย (ศตวรรษที่ 3 หรือ 2 ก่อนคริสตกาล) อธิบายวิธีการจัดเรียงพยางค์สองประเภทเพื่อสร้างมาตรที่มีความยาวต่างๆ และนับจำนวนไว้ อย่างคลุมเครือ ตามที่ตีความและขยายความโดย Halāyudhaผู้เป็นนักวิจารณ์ของ Piṅgala ในศตวรรษที่ 10 วิธีการขยายแบบพีระมิด ( meru-prastāra ) สำหรับการนับเมตรนั้นเทียบเท่ากับสามเหลี่ยมของปาสคาล [ ^{12 ] Varāhamihira} (คริสต์ศตวรรษที่ 6) อธิบายวิธีการอื่นในการคำนวณจำนวนการรวมกันโดยการบวกตัวเลขในคอลัมน์^{[ 13 ]}อย่างช้าที่สุดในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้เรียนรู้ที่จะแสดงสิ่งนี้เป็นผลคูณของเศษส่วนและสามารถพบข้อความที่ชัดเจนของกฎนี้ได้ในPāṭīgaṇitaของŚrīdhara (ศตวรรษที่ 8-9), Gaṇita-sāra-saṅgrahaของMahāvīra (ประมาณ ค.ศ. 850) และLīlāvatīของBhāskara II (ศตวรรษที่ 12) ^{[ 13 ] [ 10 ] [ 14 ]}${\displaystyle n=4}$${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}\times {\tfrac {n-1}{2}}\times \cdots \times {\tfrac {n-k+1}{n-k}}}$

นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอัล-คาราจี (ค.ศ. 953–1029) ได้เขียนหนังสือที่สูญหายไปแล้วเล่มหนึ่งซึ่งมีทฤษฎีบททวินามและตารางสัมประสิทธิ์ทวินาม ซึ่งมักได้รับการยกย่องว่าเป็นการปรากฏครั้งแรก^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} ข้อความที่ชัดเจนของทฤษฎีบททวินามปรากฏในหนังสืออัล-บาฮีร์ของ อัล-ซามาวาล (ศตวรรษที่ 12) ซึ่งได้รับการยกย่องว่าเป็นผลงานของอัล-คาราจี^{[ 15 ] [ 16 ]}อัล-ซามาวาลได้ขยายกำลังสอง กำลังสาม และกำลังสี่ของทวินามในเชิงพีชคณิต โดยแต่ละกำลังอยู่ในรูปของกำลังก่อนหน้า และสังเกตว่าสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับกำลังที่สูงกว่า ซึ่งเป็นรูปแบบแรกเริ่มของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ จากนั้นเขาได้จัดเตรียมตารางสัมประสิทธิ์ทวินามของอัล-คาราจี ( สามเหลี่ยมปาสคาลที่วางตะแคง) จนถึง⁠ ⁠${\displaystyle n=12}$และกฎสำหรับการสร้างที่เทียบเท่ากับความสัมพันธ์เวียนเกิด⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$^{[ 16 ] [ 19 ]}กวีและนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียโอมาร์ คัยยัมน่าจะคุ้นเคยกับสูตรนี้ในลำดับที่สูงกว่า แม้ว่าผลงานทางคณิตศาสตร์ของเขาหลายชิ้นจะสูญหายไปแล้วก็ตาม^{[ 9 ]}การขยายทวินามของดีกรีเล็กๆ เป็นที่รู้จักในผลงานทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 13 ของหยาง ฮุย^{[ 20 ]}และชู ซือเจี๋ย [ ^{9 ] หยาง}ฮุย ระบุว่าวิธีการนี้มาจากตำราในศตวรรษที่ 11 ของเจีย เซียน ซึ่งเขียนไว้ก่อนหน้านี้มาก แม้ว่างานเขียนเหล่านั้นจะสูญหายไปแล้วเช่นกัน^{[ 21 ]}

ในยุโรป คำอธิบายเกี่ยวกับการสร้างสามเหลี่ยมปาสคาลสามารถพบได้ตั้งแต่สมัยJordanus de NemoreในหนังสือDe arithmetica (ศตวรรษที่ 13) ^{[ 22 ]}ในปี ค.ศ. 1544 Michael Stifelได้แนะนำคำว่า "สัมประสิทธิ์ทวินาม" และแสดงวิธีการใช้สัมประสิทธิ์เหล่านี้ในการแสดงค่าในรูปของผ่าน "สามเหลี่ยมปาสคาล" ^{[ 23 ]}นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในศตวรรษที่ 16 รวมถึงNiccolò Fontana TartagliaและSimon Stevinก็รู้จักสามเหลี่ยมนี้เช่นกัน^{[ 23 ]} Blaise Pascalนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ได้ศึกษาสามเหลี่ยมปาสคาลอย่างละเอียดในหนังสือ Traité du triangle arithmétiqueของ เขา ^{[ 24 ]}${\displaystyle (1+x)^{n}}$${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

หนังสือ Key to Arithmetic (1427) ของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียJamshid al-Kashiซึ่งสร้างขึ้นจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในศตวรรษที่ 13 Nasir al-Din al-Tusiประกอบด้วยตารางสัมประสิทธิ์ทวินามถึงกำลังที่ 9 พร้อมด้วยกฎสองข้อที่ใช้ในการสร้างสัมประสิทธิ์เหล่านั้น^{[ 25 ]}ใน^{ยุโรป Henry} Briggs ( 1561–1630 ) ได้รับการยอมรับว่าเป็นคนแรกที่บันทึกสูตรทั้งสองไว้อย่างชัดเจน แม้ว่าหลักฐานจะชี้ให้เห็นว่าCardanoอาจทราบผลลัพธ์เหล่านี้โดยอิสระในช่วงประมาณปี 1570 สูตรที่สองได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดโดยPascalในปี 1654 โดยใช้ การเหนี่ยวนำ แบบสมบูรณ์^{[ 26 ] [ 27 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 17 กรณีเฉพาะบางกรณีของทฤษฎีบททวินามทั่วไป เช่น สำหรับสามารถพบได้ในหนังสือArithmetica Logarithmica (1624) ของHenry Briggs ^{[ 28 ]}ไอแซค นิวตันค้นพบทฤษฎีบททวินามทั่วไป ซึ่งใช้ได้กับเลขชี้กำลังจริงใดๆ ในปี 1664-1665 โดยได้รับแรงบันดาลใจจากผลงานArithmetic Infinitorumของจอห์น วอลลิสและวิธีการประมาณค่าของเขา^{[ 23 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 28 ] [ 31 ]}เจมส์ เกรกอรีค้นพบทฤษฎีบทในรูปแบบลอการิทึมสำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนโดยอิสระและเขียนสูตรของเขาไว้ในปี 1670 ^{[ 28 ]}${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีบททวินามสามารถนำมาใช้ร่วมกับสูตรของเดอ มัวร์เพื่อให้ได้สูตรมุมหลายค่าสำหรับไซน์และโคไซน์ตามสูตรของเดอ มัวร์ $${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม เราสามารถขยายพจน์ทางด้านขวาได้ จากนั้นจึงนำส่วนจริงและส่วนจินตนาการมาสร้างสูตรสำหรับcos( nx )และsin( nx )ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก แต่สูตรของเดอ มัวร์ระบุว่าด้านซ้ายคือดังนั้น ซึ่งเป็นเอกลักษณ์มุมสองเท่าทั่วไป ในทำนองเดียวกัน เนื่องจาก สูตรของเดอ มัวร์ให้ผลลัพธ์ โดยทั่วไป และ นอกจากนี้ยังมีสูตรที่คล้ายกันโดยใช้พหุนามเชบิเชฟ $${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$$${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$$${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$$${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$$${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ค่า e จะถูกกำหนดโดยสูตร $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

เมื่อนำทฤษฎีบททวินามมาใช้กับนิพจน์นี้ จะได้อนุกรมอนันต์ ตามปกติ สำหรับeโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

พจน์ ที่kของผลรวมนี้คือ $${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

เมื่อn → ∞นิพจน์ตรรกยะทางด้านขวาจะเข้าใกล้1และดังนั้น $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

สิ่งนี้แสดงว่าeสามารถเขียนได้ในรูปอนุกรม: $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

อันที่จริง เนื่องจากแต่ละพจน์ของการกระจายทวินามเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นของnจึงเป็นไปตามทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบเอกภาค สำหรับอนุกรมว่า ผลรวมของ อนุกรม อนันต์นี้เท่ากับ  e

ทฤษฎีบททวินามมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินามเชิงลบความน่าจะเป็นของชุดการทดลองเบอร์นูลีอิสระ (ที่นับได้) ที่มีความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่ไม่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ ขอบเขตบนสำหรับปริมาณนี้คือ^{[ 32 ]}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$${\displaystyle p\in [0,1]}$$${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{\binom {|S|}{n}}(-p)^{n}.}$$${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

ทฤษฎีบททวินามใช้ได้โดยทั่วไปสำหรับองค์ประกอบxและy สองตัว ในริงหรือแม้แต่เซมิริงโดยมีเงื่อนไขว่าxy = yxตัวอย่างเช่น ใช้ได้กับ เมทริกซ์ n × n สอง เมทริกซ์ โดยมีเงื่อนไขว่าเมทริกซ์เหล่านั้นสลับกันได้ ซึ่งมีประโยชน์ในการคำนวณกำลังของเมทริกซ์^{[ 33 ]}

ทฤษฎีบททวินามสามารถกล่าวได้ว่าลำดับพหุนาม{1, x , x ² , x ³ , ...}เป็นพหุนามประเภททวินาม

• การประมาณค่าทวินาม
• การแจกแจงทวินาม
• ทฤษฎีบทผกผันทวินาม
• สัมประสิทธิ์ทวินาม
• การประมาณค่าของสเตอร์ลิง
• ทฤษฎีของแทนเนอรี่
• พหุนามที่ใช้คำนวณผลรวมของกำลังของลำดับเลขคณิต
• ทฤษฎีบททวินาม q

• Graham, Ronald ; Knuth, Donald ; Patashnik, Oren (1994). "สัมประสิทธิ์ทวินาม". คณิตศาสตร์รูปธรรม (ฉบับที่ 2). Addison Wesley. บทที่ 5, หน้า 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9.

เว็บไซต์ Wikibook Combinatoricsมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ทฤษฎีบททวินาม

• Solomentsev, ED (2001) [1994]. "พหุนามทวินามของนิวตัน" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ EMS .
• ทฤษฎีบททวินามโดยสตีเฟน วูล์ฟแรมและ"ทฤษฎีบททวินาม (ทีละขั้นตอน)"โดย บรูซ คอลเล็ตติ และ เจฟฟ์ ไบรอันท์ จากโครงการสาธิตของวูล์ฟแรมปี 2007
• บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากการพิสูจน์แบบอุปนัยของทฤษฎีบททวินามจากPlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License