ในเรขาคณิตระนาบการแมปเฉือนเป็นการแปลงเชิงเส้นที่เคลื่อนจุดแต่ละจุดในทิศทางคงที่ด้วยปริมาณที่เป็นสัดส่วนกับระยะทางที่มีเครื่องหมายจากเส้น ที่กำหนดซึ่ง ขนานกับทิศทางนั้น^{[ 1 ]}

การแปลงประเภทนี้เรียกอีกอย่างว่าการแปลงเฉือน (shear transformation) , ทรานส์เวคชั่น (transvection)หรือเรียกสั้น ๆ ว่าการเฉือน (shearing ) การแปลงเหล่านี้สามารถนำไปใช้กับเมทริกซ์เฉือนหรือ ทราน ส์เวคชั่นซึ่ง เป็นเมทริก ซ์พื้นฐานที่แสดงถึงการบวกผลคูณของแถวหรือคอลัมน์หนึ่งกับอีกแถวหรือคอลัมน์หนึ่งเมทริกซ์ ดังกล่าว อาจได้มาจากการนำเมทริกซ์เอกลักษณ์มาแทนที่ค่าศูนย์ในองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์

ตัวอย่างเช่นแผนที่เชิงเส้นที่แปลงจุดใดๆ ที่มีพิกัด ไปยังจุดในกรณีนี้ การกระจัดจะเป็นแนวนอนโดยมีปัจจัยเป็น 2 โดยที่เส้นคงที่คือ แกน xและระยะทางที่มีเครื่องหมายคือ พิกัด yโปรดสังเกตว่าจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามของเส้นอ้างอิงจะถูกกระจัดไปในทิศทางตรงกันข้าม ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+2y,y)}$

การแมปแบบเฉือนไม่ควรสับสนกับการหมุนการใช้แผนที่เฉือนกับชุดจุดบนระนาบจะเปลี่ยนมุม ทั้งหมด ระหว่างจุดเหล่านั้น (ยกเว้นมุมตรง ) และความยาวของส่วนของเส้นตรง ใดๆ ที่ไม่ขนานกับทิศทางการเคลื่อนที่ ดังนั้น โดยทั่วไปแล้วจะทำให้รูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตบิดเบี้ยว ตัวอย่างเช่น เปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและวงกลมเป็นวงรีอย่างไรก็ตาม การเฉือนจะรักษาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต และการจัดเรียงและระยะห่างสัมพัทธ์ของ จุด ที่อยู่บนเส้นเดียวกันสำหรับแบบอักษรที่ไม่รองรับตัวเอียงจริง การแมปแบบเฉือนคือความแตกต่างหลักระหว่างตัวอักษรแบบ ตรงและ แบบเอียง (หรือตัวเอียง )

นิยามเดียวกันนี้ใช้ในเรขาคณิตสามมิติยกเว้นว่าระยะทางจะวัดจากระนาบคงที่ การแปลงเฉือนสามมิติจะรักษาปริมาตรของรูปทรงตัน แต่จะเปลี่ยนพื้นที่ของรูปทรงระนาบ (ยกเว้นรูปทรงที่ขนานกับการเคลื่อนที่) การแปลงนี้ใช้เพื่ออธิบายการไหลแบบราบเรียบของของเหลวระหว่างแผ่น โดยแผ่นหนึ่งเคลื่อนที่ในระนาบด้านบนและขนานกับแผ่นแรก

ในปริภูมิคาร์ทีเซียนn มิติโดยทั่วไประยะทางจะวัดจากระนาบไฮเปอร์ คงที่ ซึ่งขนานกับทิศทางการเคลื่อนที่ การแปลงทางเรขาคณิตนี้เป็นการแปลงเชิงเส้นที่รักษาขนาดnมิติ( ปริมาตรไฮเปอร์) ของเซตใดๆ ไว้ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในระนาบการเฉือนในแนวนอน (หรือการเฉือนขนานกับ แกน x ) คือฟังก์ชันที่รับจุดทั่วไปที่มีพิกัดไปยังจุด; โดยที่mเป็นพารามิเตอร์คงที่ เรียกว่าตัวประกอบการเฉือน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x+my,y)}$

ผลของการแปลงพิกัดนี้คือการเลื่อนจุดทุกจุดในแนวนอนด้วยปริมาณที่แปรผันตาม พิกัด yจุดใดๆ ที่อยู่เหนือ แกน xจะเลื่อนไปทางขวา (ค่าx เพิ่มขึ้น ) ถ้าm > 0และเลื่อนไปทางซ้ายถ้าm < 0จุดที่อยู่ใต้ แกน xจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ในขณะที่จุดที่อยู่บนแกนจะอยู่กับที่

เส้นตรงที่ขนานกับ แกน xยังคงอยู่ที่เดิม ในขณะที่เส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะหมุน (ด้วยมุมต่างๆ) รอบจุดที่ตัดกับ แกน xโดยเฉพาะเส้นแนวตั้งจะกลายเป็นเส้นเฉียง ที่มี ความชัน ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์การเฉือนmคือค่าโคแทนเจนต์ของมุมเฉือนระหว่างเส้นแนวตั้งเดิมกับ แกน xในตัวอย่างทางด้านขวา สี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงไป 30° ดังนั้นมุมเฉือนจึงเป็น 60° ${\displaystyle {\tfrac {1}{m}}.}$${\displaystyle \varphi }$

ถ้าพิกัดของจุดถูกเขียนในรูปเวกเตอร์คอลัมน์ ( เมทริกซ์ 2×1 ) การแมปการเฉือนสามารถเขียนได้ในรูปการคูณด้วยเมทริกซ์ 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

การเฉือนแนวตั้ง (หรือการเฉือนขนานกับ แกน y ) ของเส้นนั้นคล้ายกัน ยกเว้นว่าบทบาทของxและyสลับกัน มันสอดคล้องกับการคูณเวกเตอร์พิกัดด้วยเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

แรงเฉือนในแนวตั้งจะทำให้จุดทางด้านขวาของ แกน yเคลื่อนที่ขึ้นหรือลง ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของm แรง เฉือน นี้จะทำให้เส้นแนวตั้งไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะทำให้เส้นอื่นๆ เอียงรอบจุดที่ตัดกับ แกน yโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นแนวนอนจะเอียงตามมุมเฉือนจนกลายเป็นเส้นที่มีความชันm${\displaystyle \varphi }$

สามารถรวมการแปลงเฉือนสองแบบขึ้นไปเข้าด้วยกันได้

ถ้าเมทริกซ์เฉือนสองตัวคือและ${\textstyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}}$${\textstyle {\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}}$

ดังนั้นเมทริกซ์องค์ประกอบของพวกมันคือ ซึ่งมีค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 เช่นกัน ดังนั้นพื้นที่จึงยังคงอยู่ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\\mu &1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+\lambda \mu &\lambda \\\mu &1\end{pmatrix}},}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราจะมี ${\displaystyle \lambda =\mu }$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1+\lambda ^{2}&\lambda \\\lambda &1\end{pmatrix}},}$$

ซึ่งเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive definite matrix )

เมทริกซ์เฉือนทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0&0&\lambda &0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

เมทริกซ์นี้จะเฉือนขนานกับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของมิติที่สี่และในทิศทางของ แกน xของปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน

แรงเฉือนที่ขนานกับ แกน xส่งผลให้เกิดและในรูปแบบเมทริกซ์: ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\lambda \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน แรงเฉือนที่ขนานกับแกนy จะมีค่า และในรูปแบบเมทริกซ์: ${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+\lambda x}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$$

ในพื้นที่ 3 มิติ การเฉือนขั้นพื้นฐานจะเปลี่ยนพิกัดหนึ่งด้วยค่าทวีคูณของอีกพิกัดหนึ่ง ในขณะที่พิกัดที่สามยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น การเฉือนที่ขนานกับแกนx จะมี ค่า , , และ${\displaystyle x'=x+\lambda y}$${\displaystyle y'=y}$${\displaystyle z'=z}$

ในรูปแบบเมทริกซ์: $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ในพื้นที่ 3 มิติ เมทริกซ์นี้จะตัดระนาบ YZ ออกเป็นระนาบทแยงมุมที่ผ่านจุดทั้ง 3 จุดนี้:${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle (\lambda ,1,0)}$${\displaystyle (\mu ,0,1)}$$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&\lambda &\mu \\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

ค่าดีเทอร์มิแนนต์จะเป็น 1 เสมอ เพราะไม่ว่าองค์ประกอบเฉือนจะอยู่ที่ใด มันจะเป็นสมาชิกของเส้นทแยงมุมเฉียงที่ประกอบด้วยองค์ประกอบศูนย์ด้วย (เนื่องจากเส้นทแยงมุมเฉียงทั้งหมดมีความยาวอย่างน้อยสอง) ดังนั้นผลคูณของมันจึงยังคงเป็นศูนย์และจะไม่ส่งผลต่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้นเมทริกซ์เฉือนทุกตัวจึงมีเมทริกซ์ผกผันและเมทริกซ์ผกผันก็คือเมทริกซ์เฉือนที่มีองค์ประกอบเฉือนกลับค่า ซึ่งแสดงถึงการแปลงเฉือนในทิศทางตรงกันข้าม อันที่จริง นี่เป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ทั่วไปที่ได้มาง่ายๆ คือ ถ้าSเป็นเมทริกซ์เฉือนที่มีองค์ประกอบเฉือนλแล้วS ⁿก็คือเมทริกซ์เฉือนที่มีองค์ประกอบเฉือนเป็นn λ ดังนั้น การ ยก กำลังเมทริกซ์เฉือนด้วยกำลังnจะคูณตัวประกอบเฉือนด้วยn

ถ้าSเป็น เมทริกซ์เฉือนขนาด n × nแล้ว:

• Sมีอันดับnและดังนั้นจึงสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้
• 1 เป็นค่าลักษณะ เฉพาะเพียงค่าเดียว ของSดังนั้นdet S = 1และtr S = n
• ปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะของS (ที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะ 1) มีมิติn − 1
• Sมีข้อบกพร่อง
• Sไม่สมมาตร
• Sสามารถสร้างเป็นเมทริกซ์บล็อก ได้ โดยการสลับคอลัมน์อย่างมากที่สุด 1 ครั้ง และการสลับแถวอย่างมากที่สุด 1 ครั้ง
• พื้นที่ปริมาตรหรือความจุภายในลำดับสูงกว่าใดๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเฉือนของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น

สำหรับปริภูมิเวก เตอร์Vและปริภูมิย่อยWแรงเฉือนที่ ตรึง Wจะเลื่อนเวกเตอร์ทั้งหมดในทิศทางขนานกับW

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าVคือผลรวมโดยตรงของWและW′และเราเขียนเวกเตอร์ดังนี้

${\displaystyle v=w+w'}$

ในทำนองเดียวกัน แรงเฉือนL ทั่วไปที่ ยึดWคือ

${\displaystyle L(v)=(Lw+Lw')=(w+Mw')+w',}$

โดยที่Mคือการแมปเชิงเส้นจากW′ไปยังWดังนั้น ในแง่ ของ เมทริกซ์บล็อกLสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.}$

วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้บันทึกการประยุกต์ใช้การทำแผนที่แรงเฉือนไว้ดังต่อไปนี้:

"การใช้กรรไกรตัดหลายๆ อันต่อเนื่องกัน จะช่วยให้เราสามารถลดรูปทรงใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง ให้กลายเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันได้"

"...เราสามารถเฉือนสามเหลี่ยมใดๆ ให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ และจะไม่ทำให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นเปลี่ยนแปลง ดังนั้น พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ จึงเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนฐานเดียวกันและมีความสูงเท่ากับเส้นตั้งฉากบนฐานจากมุมตรงข้าม" ^{[ 2 ]}

คุณสมบัติการรักษาพื้นที่ของการแมปเฉือนสามารถใช้กับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ได้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทพีทาโกเรียนได้รับการแสดงให้เห็นด้วยการแมปเฉือน^{[ 3 ]}เช่นเดียวกับทฤษฎีบท ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้อง

เมทริกซ์เฉือนมักใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

อัลกอริทึมที่พัฒนาโดยAlan W. Paethใช้ลำดับการแมปเฉือนสามครั้ง (แนวนอน แนวตั้ง แล้วแนวนอนอีกครั้ง) เพื่อหมุนภาพดิจิทัล ด้วยมุมที่กำหนด อัลกอริทึมนี้ง่ายต่อการใช้งานและมีประสิทธิภาพมาก เนื่องจากแต่ละขั้นตอนจะประมวลผลเพียงคอลัมน์หรือแถว พิกเซลเดียวในแต่ละครั้ง^{[ 7 ]}

ในงานออกแบบตัวอักษรข้อความปกติที่ถูกแปลงโดยการแมปแบบเฉือนจะทำให้เกิด ตัว อักษร เอียง

ใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบกาลิเลียนก่อนยุคไอน์สไต น์ การแปลงระหว่างกรอบอ้างอิงต่างๆเรียกว่า การแปลงแบบเฉือน (shear mapping ) หรือ การแปลงแบบกาลิเลียนซึ่งบางครั้งก็พบเห็นได้เมื่ออธิบายกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิง "ที่ต้องการ" ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเวลาและอวกาศสัมบูรณ์

คำว่า 'แรงเฉือน' มีที่มาจากวิชาฟิสิกส์ใช้เพื่ออธิบาย การเสียรูป ที่คล้ายกับการตัดซึ่งชั้นของวัสดุที่ขนานกัน 'เลื่อนผ่านกัน' ในเชิงวิชาการแล้วแรงเฉือนหมายถึงแรง ที่ไม่ขนานกัน กระทำต่อส่วนหนึ่งของวัตถุในทิศทางเฉพาะ และอีกส่วนหนึ่งของวัตถุในทิศทางตรงกันข้าม

• เมทริกซ์การแปลง

• Foley, James D.; van Dam, Andries; Feiner, Steven K.; Hughes, John F. (1991), Computer Graphics: Principles and Practice (ฉบับที่ 2), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-12110-7