ในเรขาคณิตสามมิติการฉายภาพขนาน (หรือการฉายภาพแอ็กโซโนเมตริก ) คือการฉายภาพของวัตถุในปริภูมิสามมิติ ลงบน ระนาบคงที่ที่เรียกว่าระนาบการฉาย ภาพ หรือระนาบภาพโดยที่รังสีที่เรียกว่าเส้นสายตาหรือเส้นฉายภาพนั้นขนานกัน นี่เป็นเครื่องมือพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงพรรณนาการฉายภาพจะเรียกว่าแบบออร์โธกราฟิกหากรังสีตั้งฉาก (orthogonal) กับระนาบภาพ และ เรียกว่า แบบเฉียงหรือแบบบิดเบี้ยวหากรังสีไม่ตั้งฉาก

การฉายภาพขนานเป็นกรณีพิเศษของการฉายภาพในทางคณิตศาสตร์และการฉายภาพกราฟิกในงานเขียนแบบทางเทคนิคการฉายภาพขนานสามารถมองได้ว่าเป็นขีดจำกัดของ การฉายภาพ แบบจุดศูนย์กลางหรือแบบทัศนียภาพซึ่งรังสีจะผ่านจุดคงที่ที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางหรือจุดมองเมื่อจุดนี้เคลื่อนที่ไปสู่ระยะอนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การฉายภาพขนานสอดคล้องกับการฉายภาพแบบทัศนียภาพที่มีความยาวโฟกัส อนันต์ (ระยะห่างระหว่างเลนส์กับจุดโฟกัสในการถ่ายภาพ ) หรือ " การซูม " นอกจากนี้ ในการฉายภาพขนาน เส้นที่ขนานกันในพื้นที่สามมิติจะยังคงขนานกันในภาพที่ฉายลงบนระนาบสองมิติ

การฉายภาพแบบทัศนียภาพมักถูกมองว่าสมจริงกว่าการฉายภาพแบบขนาน เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับการมองเห็นของมนุษย์และการถ่ายภาพ มากกว่า อย่างไรก็ตาม การฉายภาพแบบขนานเป็นที่นิยมในการใช้งานทางเทคนิค เนื่องจากความขนานของเส้นและพื้นผิวของวัตถุยังคงอยู่ และสามารถวัดขนาดได้โดยตรงจากภาพ ในบรรดาการฉายภาพแบบขนาน การฉาย ภาพแบบออร์ โธกราฟิกถือว่าสมจริงที่สุด และวิศวกรนิยมใช้ ในทางกลับกันการฉายภาพแบบเฉียง บางประเภท (เช่นการฉายภาพแบบคาวาเลียร์การฉายภาพแบบทหาร ) นั้นง่ายต่อการใช้งาน และใช้ในการสร้างภาพจำลองของวัตถุอย่างรวดเร็วและไม่เป็นทางการ

ในเอกสารทางวิชาการ คำว่า " การฉายภาพแบบขนาน"ใช้เพื่ออธิบายทั้งกระบวนการนั้นเอง (ฟังก์ชันการแมปทางคณิตศาสตร์) และภาพที่ได้จากกระบวนการนั้นด้วย

การฉายภาพแบบขนานทุกแบบมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มันถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยระนาบการฉายภาพΠและทิศทางของเส้นการฉายภาพ (ขนาน) โดยทิศทางนั้นต้องไม่ขนานกับระนาบการฉายภาพ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• จุดใดๆ ในปริภูมิจะมีภาพที่ไม่ซ้ำกันในระนาบการฉายภาพΠและจุดต่างๆ บน ระนาบ Π นั้น คงที่
• เส้นใดๆ ที่ไม่ขนานกับทิศทางจะถูกแปลงเป็นเส้นตรง ส่วนเส้นใดๆ ที่ขนานกับทิศทางจะถูกแปลงเป็นจุด${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$
• เส้นขนานจะถูกกำหนดพิกัดบนเส้นขนาน (หรือบนจุดสองจุดหากจุดเหล่านั้นขนานกับเส้นตรง)${\displaystyle {\vec {v}}}$
• อัตราส่วน ของ ความยาวของส่วนของเส้นตรงสองเส้นบนเส้นตรงหรือบนเส้นขนานสองเส้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 1 ]} ในกรณีพิเศษจุดกึ่งกลางจะถูกแมปบนจุดกึ่งกลาง
• จุดศูนย์กลางมวลของกลุ่มจุดในอวกาศจะถูกแมปไปยังจุดศูนย์กลางมวลของภาพของจุดเหล่านั้น
• ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับระนาบการฉายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง ความยาวของส่วนของเส้นตรงใดๆ จะไม่เพิ่มขึ้นหากการฉายภาพเป็นแบบออร์โธกราฟิก
• วงกลมใดๆที่อยู่ในระนาบขนานกับระนาบการฉายภาพ จะถูกแปลงเป็นวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน ส่วนวงกลมอื่นๆ จะถูกแปลงเป็นวงรี (หรือส่วนของเส้นตรง ถ้าทิศทางขนานกับระนาบของวงกลม)${\displaystyle {\vec {v}}}$
• โดยทั่วไป มุมต่างๆจะไม่คงที่ แต่มุมฉากกับเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ขนานกับระนาบการฉายภาพจะคงเดิม
• สี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆสามารถแปลงไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือส่วนของเส้นตรง หากขนานกับระนาบของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ได้${\displaystyle {\vec {v}}}$
• รูปทรงใดๆ บนระนาบที่ขนานกับระนาบภาพ จะสมมาตรกับภาพของรูปทรงนั้น

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกได้มาจากหลักการของเรขาคณิตเชิงพรรณนาและเป็นการฉายภาพแบบขนานชนิดหนึ่งที่รังสีฉายภาพตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ เป็นการฉายภาพแบบที่นิยมใช้สำหรับการเขียนแบบก่อสร้าง บางครั้ง คำว่าออร์โธกราฟิกจะสงวนไว้เฉพาะสำหรับการแสดงภาพวัตถุที่แกนหลักหรือระนาบหลักของวัตถุขนานกับระนาบการฉายภาพ (หรือกระดาษที่วาดภาพฉายแบบออร์โธกราฟิกหรือแบบขนาน) อย่างไรก็ตาม คำว่าภาพหลักก็มีการใช้เช่นกัน ในการฉายภาพแบบหลายมุมมองจะได้ภาพของวัตถุมากถึงหกภาพ โดยแต่ละระนาบการฉายภาพตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง แต่เมื่อระนาบหลักหรือแกนหลักของวัตถุไม่ขนานกับระนาบการฉายภาพ แต่เอียงไปในระดับหนึ่งเพื่อแสดงหลายด้านของวัตถุ จะเรียกว่าภาพเสริมหรือภาพประกอบบางครั้ง คำว่าการฉายภาพแบบแอ็กโซโนเมตริกจะสงวนไว้เฉพาะสำหรับมุมมองเหล่านี้ และใช้ควบคู่กับคำว่าการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก แต่การฉายภาพแบบแอ็กโซโนเมตริกอาจอธิบายได้แม่นยำกว่าว่ามีความหมายเหมือนกับการฉายภาพแบบขนานและการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกเป็นรูปแบบหนึ่งของการฉายภาพแบบแอ็กโซโนเมตริก

มุมมองหลักได้แก่แผนผังภาพด้านหน้าและภาพตัด ขวาง ส่วน ภาพ ฉายไอโซเมตริกไดเมตริกและไตรเมตริกอาจถือเป็นมุมมองเสริมลักษณะทั่วไป (แต่ไม่บังคับ) ของภาพฉายออร์โธกราฟิกหลายมุมมองคือ แกนหนึ่งของพื้นที่มักจะแสดงเป็นแนวตั้ง

เมื่อทิศทางการมองตั้งฉากกับพื้นผิวของวัตถุที่แสดง ไม่ว่าวัตถุจะวางตัวในทิศทางใดก็ตาม จะเรียกว่าการฉายภาพปกติดังนั้น ในกรณีของลูกบาศก์ที่วางตัวอยู่ในระบบพิกัดของพื้นที่การมองภาพหลักของลูกบาศก์จะถือเป็นการ ฉาย ภาพ ปกติ

ในการฉายภาพแบบเฉียงรังสีการฉายภาพขนานจะไม่ตั้งฉากกับระนาบการมอง แต่จะกระทบกับระนาบการฉายภาพที่มุมอื่นที่ไม่ใช่ 90 องศา^{[ 2 ]}ทั้งในการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกและแบบเฉียง เส้นขนานในอวกาศจะปรากฏขนานกันบนภาพที่ฉาย เนื่องจากความเรียบง่าย การฉายภาพแบบเฉียงจึงใช้เฉพาะเพื่อวัตถุประสงค์ในการวาดภาพมากกว่าสำหรับการเขียนแบบที่เป็นทางการ ในการวาดภาพแบบเฉียง มุมที่แสดงซึ่งแยกแกนพิกัดรวมถึงปัจจัยการย่อส่วน (การปรับขนาด) นั้นเป็นไปโดยพลการ การบิดเบือนที่เกิดขึ้นมักจะลดลงโดยการจัดระนาบหนึ่งของวัตถุที่ถ่ายภาพให้ขนานกับระนาบการฉายภาพ ทำให้เกิดภาพขนาดเต็มที่แท้จริงของระนาบที่เลือก ประเภทพิเศษของการฉายภาพแบบเฉียง ได้แก่ การฉายภาพ แบบทหารแบบคาวาเลียร์และแบบตู้^{[ 3 ]}

ถ้ากำหนดระนาบภาพด้วยสมการและทิศทางการฉายภาพด้วยแล้วเส้นฉายภาพที่ผ่านจุดจะถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วย ${\displaystyle \Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle P:~{\vec {p}}}$

${\displaystyle g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$กับ.${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

ภาพของคือจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับระนาบโดยกำหนดด้วยสมการ ${\displaystyle P'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .}$

ในหลายกรณี สูตรเหล่านี้สามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้

(S1) ถ้าเราสามารถเลือกเวกเตอร์และได้เช่นนั้นสูตรสำหรับภาพจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .}$

(S2) ในการฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก เวกเตอร์และจะขนานกัน ในกรณีนี้ เราสามารถเลือกและจะได้ ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .}$

(S3) ถ้าเราสามารถเลือกเวกเตอร์และได้ โดยที่และถ้าระนาบภาพมีจุดกำเนิดอยู่ด้วย จะได้และการฉายภาพแบบขนานเป็นการแมปเชิงเส้น : ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1}$${\displaystyle d=0}$

${\displaystyle {\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .}$

(นี่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และผลคูณภายนอก ) ${\displaystyle I_{3}}$${\displaystyle \otimes }$

จากภาพฉายขนานเชิงวิเคราะห์นี้ เราสามารถอนุมานคุณสมบัติส่วนใหญ่ที่กล่าวไว้ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้

แอ็กโซโนเมตรีมีต้นกำเนิดในประเทศจีน^{[ 4 ]}หน้าที่ของมันในศิลปะจีนนั้นแตกต่างจากทัศนียภาพเชิงเส้นในศิลปะยุโรป เนื่องจากทัศนียภาพของมันไม่ได้เป็นกลาง หรือมองจากภายนอก แต่รูปแบบของมันใช้การฉายภาพขนานภายในภาพวาด ซึ่งทำให้ผู้ชมสามารถพิจารณาทั้งพื้นที่และการดำเนินไปของเวลาในม้วนภาพเดียว^{[ 5 ]}ตามที่ Jan Krikke นักเขียนด้านวิทยาศาสตร์และ นักข่าว Medium กล่าวไว้ แอ็กโซโนเมตรีและไวยากรณ์ภาพที่เกี่ยวข้องกับมัน ได้มีความสำคัญใหม่ขึ้นด้วยการนำการคำนวณเชิงภาพและการเขียนแบบทางวิศวกรรมมา ใช้ ^{[ 5 ] [ 4 ] [ 6 ] [ 7 ]}

แนวคิดเรื่องไอโซเมตริกมีอยู่ในรูปแบบเชิงประจักษ์อย่างคร่าวๆ มานานหลายศตวรรษ ก่อนที่ศาสตราจารย์วิลเลียม ฟาริช (1759–1837) แห่งมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์จะเป็นคนแรกที่ให้กฎเกณฑ์โดยละเอียดสำหรับการวาดภาพไอโซเมตริก^{[ 8 ] [ 9 ]}

Farish ได้เผยแพร่แนวคิดของเขาในบทความ "On Isometric Perspective" ในปี พ.ศ. 2465 ซึ่งเขาตระหนักถึง "ความจำเป็นสำหรับภาพวาดทางเทคนิคที่แม่นยำและปราศจากการบิดเบือนทางสายตา ซึ่งจะนำเขาไปสู่การกำหนดไอโซเมตรี ไอโซเมตรีหมายถึง "การวัดที่เท่ากัน" เนื่องจากใช้มาตราส่วนเดียวกันสำหรับความสูง ความกว้าง และความลึก" ^{[ 10 ]}

จากช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ตามที่ Jan Krikke (2006) ^{[ 10 ]} กล่าวไว้ ไอโซเมตรีกลายเป็น "เครื่องมืออันล้ำค่าสำหรับวิศวกร และในไม่ช้าหลังจากนั้น แอ็กโซโนเมตรีและไอโซเมตรีก็ถูกรวมเข้าไว้ในหลักสูตรการฝึกอบรมด้านสถาปัตยกรรมในยุโรปและสหรัฐอเมริกาการยอมรับแอ็กโซโนเมตรีอย่างแพร่หลายเกิดขึ้นในทศวรรษ 1920 เมื่อสถาปนิกสมัยใหม่จากBauhausและDe Stijlนำมาใช้" ^{[ 10 ]}สถาปนิก De Stijl เช่นTheo van Doesburgใช้แอ็กโซโนเมตรีในการออกแบบสถาปัตยกรรม ของพวกเขา ซึ่งสร้างความฮือฮาเมื่อจัดแสดงในปารีสในปี 1923" ^{[ 10 ]}

ตั้งแต่ทศวรรษ 1920 แอ็กโซโนเมตรี หรือทัศนียภาพแบบขนาน ได้มอบเทคนิคกราฟิกที่สำคัญสำหรับศิลปิน สถาปนิก และวิศวกร เช่นเดียวกับทัศนียภาพเชิงเส้น แอ็กโซโนเมตรีช่วยในการแสดงภาพพื้นที่สามมิติบนระนาบภาพสองมิติ โดยปกติแล้วจะเป็นคุณสมบัติมาตรฐานของ ระบบ CADและเครื่องมือประมวลผลภาพอื่นๆ^{[ 5 ]}

• 
  แบบจำลองเครื่องเจียรแสง (พ.ศ. 2465) วาดในมุมมองไอโซเมตริก 30° ^{[ 11 ]}
• 
  ตัวอย่างภาพวาดทัศนียภาพแบบไดเมตริกจากสิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกา (ค.ศ. 1874)
• 
  ตัวอย่างการฉายภาพสามมิติที่แสดงรูปทรงของตึกธนาคารแห่งประเทศจีนในฮ่องกง
• 
  ตัวอย่างการฉายภาพแบบไดเมตริกใน ศิลปะจีน ในฉบับภาพประกอบของสามก๊ก ประเทศจีน ประมาณศตวรรษที่15
• 
  รายละเอียดของภาพต้นฉบับ " ริมแม่น้ำในเทศกาลชิงหมิง"ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นผลงานของจาง เจ๋อต้วน (ค.ศ. 1085–1145) โปรดสังเกตว่าภาพมีการสลับไปมาระหว่างการฉายภาพแบบแอ็กโซโนเมตริกและการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟในส่วนต่างๆ ของภาพ ซึ่งทำให้ภาพดูไม่สอดคล้องกัน

ในภาพวาดนี้ ทรงกลมสีน้ำเงินสูงกว่าทรงกลมสีแดงสองหน่วย อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างของระดับความสูงนี้จะไม่ปรากฏให้เห็นหากเราปิดบังครึ่งขวาของภาพ

บันไดเพนโรสแสดงให้เห็นบันไดที่ดูเหมือนจะขึ้นไป (ทวนเข็มนาฬิกา) หรือลงมา (ตามเข็มนาฬิกา) แต่แท้จริงแล้วเป็นวงกลมต่อเนื่องกัน

วัตถุที่วาดด้วยการฉายภาพแบบขนานจะไม่ปรากฏใหญ่ขึ้นหรือเล็กลงเมื่ออยู่ใกล้หรือไกลจากผู้ดู แม้ว่าจะมีข้อดีสำหรับการเขียนแบบทางสถาปัตยกรรมซึ่งต้องวัดขนาดโดยตรงจากภาพ แต่ผลที่ได้คือความรู้สึกบิดเบี้ยว เนื่องจากแตกต่างจากการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟซึ่งไม่ใช่ลักษณะการมองเห็นหรือการถ่ายภาพของมนุษย์โดยทั่วไป นอกจากนี้ยังอาจทำให้เกิดสถานการณ์ที่ยากต่อการวัดความลึกและความสูง ดังแสดงในภาพประกอบด้านขวา

ความกำกวมทางภาพนี้ถูกนำไปใช้ประโยชน์ในศิลปะออปอาร์ตรวมถึงภาพวาด "วัตถุที่เป็นไปไม่ได้" แม้จะไม่ขนานกันอย่างเคร่งครัด แต่ภาพน้ำตก (1961) ของเอ็มซี เอสเชอร์ก็เป็นภาพที่รู้จักกันดี ซึ่งแสดงให้เห็นสายน้ำที่ดูเหมือนจะไหลลงมาเองโดยปราศจากสิ่งกีดขวาง ก่อนที่จะตกลงมาอีกครั้งอย่างขัดแย้งเมื่อกลับไปยังต้นกำเนิด น้ำจึงดูเหมือนจะฝ่าฝืนกฎการอนุรักษ์พลังงานออสการ์ รอยเตอร์สวาร์ด ได้รับเครดิตว่าเป็นผู้ค้นพบวัตถุที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งเป็นตัวอย่างของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ (ด้านบน) ที่แสดงในภาพจิตรกรรมฝาผนังนี้โดยพอล คูนิโฮล์ ม

• การฉายภาพ (พีชคณิตเชิงเส้น)