ในทางคณิตศาสตร์ระบบพลวัตที่รักษาการวัดไว้เป็นวัตถุของการศึกษาในการกำหนดรูปแบบนามธรรมของระบบพลวัตโดย เฉพาะอย่างยิ่งใน ทฤษฎีเออร์โกดิกระบบที่รักษาการวัดไว้เป็นไปตามทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรและเป็นกรณีพิเศษของระบบอนุรักษ์พวกมันเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการสำหรับระบบทางกายภาพที่หลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบจำนวนมากจากกลศาสตร์คลาสสิก (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบ ที่ไม่สูญเสียพลังงาน ส่วนใหญ่ ) ตลอดจนระบบที่อยู่ในสมดุลทางเทอร์โมไดนามิก

ระบบไดนามิกที่รักษาการวัดจะถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นและ การแปลง ที่รักษาการวัดบนปริภูมินั้น กล่าวโดยละเอียดคือเป็นระบบ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

โดยมีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle X}$เป็นชุดหนึ่ง
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$เป็นพีชคณิตσเหนือ${\displaystyle X}$,
• ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]} เป็นการวัดความน่าจะเป็นดังนั้น${\displaystyle \mu (X)=1}$, และ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$,
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$เป็นการ แปลง ที่วัดได้ซึ่งรักษาค่าการวัดไว้${\displaystyle \mu }$, เช่น,${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$.

อาจมีคนสงสัยว่าเหตุใดการแปลงที่รักษามาตรวัดจึงถูกกำหนดโดยใช้ตัวผกผัน${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$แทนที่จะเป็นการแปลงไปข้างหน้า${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ

พิจารณาการวัดทั่วไปในช่วงหน่วย${\displaystyle [0,1]}$และแผนที่${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ ถ้า }}x<1/2\\2x-1{\text{ ถ้า }}x>1/2\\\end{cases}}}$นี่คือแผนที่เบอร์นูลลีทีนี้ ให้กระจายสีให้ทั่วช่วงหน่วยอย่างสม่ำเสมอ${\displaystyle [0,1]}$จากนั้นจึงกำหนดตำแหน่งของสีไปข้างหน้า สีบน${\displaystyle [0,1/2]}$ครึ่งหนึ่งถูกกระจายอย่างบาง ๆ ทั่วทั้ง${\displaystyle [0,1]}$และสีบนนั้น${\displaystyle [1/2,1]}$เหมือนกันครึ่งหนึ่ง การทาสีบางๆ สองชั้นซ้อนกัน ทำให้ได้ความหนาของสีที่เท่ากันเป๊ะ

โดยทั่วไปแล้ว สีที่จะมาถึงกลุ่มย่อยนั้น${\displaystyle A\subset [0,1]}$มาจากเซตย่อย${\displaystyle T^{-1}(A)}$เพื่อให้ความหนาของสีคงที่ (คงค่าการวัด) มวลของสีที่ป้อนเข้ามาจะต้องเท่ากัน:${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$.

ลองพิจารณาแผนที่${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ของชุดพลังงาน :

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

ทีนี้มาพิจารณากรณีพิเศษของแผนที่กัน${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ซึ่งรักษาจุดตัด การรวมกัน และส่วนเติมเต็ม (ดังนั้นจึงเป็นแผนที่ของเซตโบเรล ) และยังส่งอีกด้วย${\displaystyle X}$ถึง${\displaystyle X}$(เพราะเราต้องการให้มันเป็นแบบอนุรักษ์นิยม ) แผนที่แบบอนุรักษ์นิยมที่รักษาคุณสมบัติของโบเรลทุกแบบสามารถระบุได้ด้วยแผนที่แบบทั่วถึง บางอย่าง${\displaystyle T:X\to X}$โดยการเขียน${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$แน่นอนว่าเราสามารถกำหนดนิยามเพิ่มเติมได้เช่นกัน${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$แต่แค่นี้ยังไม่เพียงพอที่จะระบุแผนที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด${\displaystyle {\mathcal {T}}}$นั่นคือ แผนที่แบบอนุรักษ์นิยมที่รักษาหลักการของโบเรลไว้${\displaystyle {\mathcal {T}}}$โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$.

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$มีลักษณะเป็นการผลักดันไปข้างหน้าในขณะที่${\displaystyle \mu (T(A))}$โดยทั่วไปเรียกว่าpullbackคุณสมบัติและพฤติกรรมเกือบทั้งหมดของระบบพลวัตถูกกำหนดในแง่ของ pushforward ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการถ่ายโอนถูกกำหนดในแง่ของ pushforward ของแผนที่การแปลง${\displaystyle T}$มาตรการ${\displaystyle \mu }$ตอนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงแล้วมันก็คือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของฟรอเบนิอุส-เพอร์ รอน (Frobenius–Perron eigenvector ) ของตัวดำเนินการถ่ายโอน (โปรดจำไว้ว่า เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ FP คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์ ในกรณีนี้คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับหนึ่ง: มาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง)

มีปัญหาการจำแนกประเภทที่น่าสนใจอยู่สองปัญหา ปัญหาหนึ่งซึ่งจะกล่าวถึงต่อไปนี้ เป็นการแก้ไขปัญหา${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$และถามเกี่ยวกับคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของแผนที่การแปลง${\displaystyle T}$ส่วนอีกวิธีหนึ่งที่กล่าวถึงในตัวดำเนินการโอนย้ายจะแก้ไขปัญหา${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$และ${\displaystyle T}$และถามเกี่ยวกับแผนที่${\displaystyle \mu }$ซึ่งมีลักษณะคล้ายการวัด คล้ายการวัดในแง่ที่ว่ามันยังคงรักษาคุณสมบัติของโบเรลไว้ แต่ไม่คงที่อีกต่อไป โดยทั่วไปแล้วมันจะมีการสูญเสียพลังงาน ดังนั้นจึงให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับระบบที่มีการสูญเสียพลังงานและเส้นทางสู่สมดุล

ในแง่ของฟิสิกส์ ระบบพลวัตที่รักษาการวัดไว้${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$โดยทั่วไปมักใช้อธิบายระบบทางกายภาพที่อยู่ในสภาวะสมดุล เช่นสมดุลทางเทอร์โมไดนามิกอาจมีคนถามว่า: มันเกิดขึ้นได้อย่างไร? คำตอบมักจะเป็นโดยการกวนการผสมการปั่นป่วน การทำให้ เกิดสมดุลทาง ความร้อนหรือกระบวนการอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน หากแผนที่การเปลี่ยนแปลง${\displaystyle T}$อธิบายถึงการกวน การผสม ฯลฯ จากนั้นจึงอธิบายระบบ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$คือสิ่งที่เหลืออยู่หลังจากโหมดชั่วคราวทั้งหมดสลายตัวไปแล้ว โหมดชั่วคราวเหล่านั้นคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการถ่ายโอนที่มีค่าลักษณะเฉพาะน้อยกว่าหนึ่ง นั่นคือมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยน${\displaystyle \mu }$เป็นโหมดเดียวที่ไม่สลายตัวไป อัตราการสลายตัวของโหมดชั่วคราวจะกำหนดโดย (ลอการิทึมของ) ค่าไอเกนของพวกมัน โดยค่าไอเกนหนึ่งจะสอดคล้องกับครึ่งชีวิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด

กลุ่มไมโครแคนอนิกจากวิชาฟิสิกส์เป็นตัวอย่างที่ไม่เป็นทางการ ลองพิจารณาของเหลว ก๊าซ หรือพลาสมาในกล่องที่มีความกว้าง ความยาว และความสูง${\displaystyle w\times l\times h,}$ประกอบด้วย${\displaystyle N}$อะตอม อะตอมเดี่ยวในกล่องนั้นอาจอยู่ที่ใดก็ได้ มีความเร็วเท่าใดก็ได้ และจะถูกแทนด้วยจุดเดียวในกล่องนั้น${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ชุดที่กำหนดของ${\displaystyle N}$ในกรณีนั้น อะตอมจะกลายเป็นจุดเดียวที่อยู่ ณ ที่ใดที่หนึ่งในอวกาศ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$"กลุ่มจุด" (ensemble) คือกลุ่มของจุดทั้งหมดดังกล่าว นั่นคือกลุ่มของกล่องที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ซึ่งมีจำนวนอนันต์นับไม่ถ้วน) กลุ่มของกล่องที่เป็นไปได้ทั้งหมดนี้คือปริภูมิ${\displaystyle X}$ข้างบน.

ในกรณีของก๊าซอุดมคติการวัด${\displaystyle \mu }$กำหนดโดยการแจกแจงแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์เป็นการวัดแบบผลคูณกล่าวคือ ถ้า${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ความน่าจะเป็นของอะตอม${\displaystyle i}$มีตำแหน่งและความเร็ว${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ดังนั้นสำหรับ${\displaystyle N}$อะตอม ความน่าจะเป็นคือผลคูณของ${\displaystyle N}$ในบรรดาสิ่งเหล่านี้ มาตรการนี้เข้าใจได้ว่าใช้กับกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้น ตัวอย่างเช่น กล่องหนึ่งที่เป็นไปได้ในกลุ่มตัวอย่างมีอะตอมทั้งหมดอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของกล่อง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของสิ่งนี้ได้โดยใช้มาตรการของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ ซึ่งจะมีค่าน้อยมาก อยู่ในระดับ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$ ในบรรดากล่องทั้งหมดที่เป็นไปได้ในชุดนี้ นี่เป็นเพียงส่วนน้อยนิดอย่างไม่น่าเชื่อ

เหตุผลเดียวที่นี่เป็น "ตัวอย่างที่ไม่เป็นทางการ" ก็เพราะการเขียนฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะลงไปนั้น...${\displaystyle T}$เป็นเรื่องยาก และถึงแม้จะเขียนออกมาได้ ก็ยังยากที่จะทำการคำนวณในทางปฏิบัติ ความยากลำบากจะเพิ่มขึ้นหากมีการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคเอง เช่นปฏิสัมพันธ์แบบแวนเดอร์วาลส์หรือปฏิสัมพันธ์อื่นๆ ที่เหมาะสมสำหรับของเหลวหรือพลาสมา ในกรณีเช่นนี้ ค่าคงที่ที่ได้จะไม่ใช่การกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์อีกต่อไป ศิลปะของฟิสิกส์คือการหาค่าประมาณที่เหมาะสม

ระบบนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดสำคัญประการหนึ่งจากการจำแนกประเภทของระบบพลวัตที่รักษาการวัดไว้ นั่นคือ กลุ่มสองกลุ่มที่มีอุณหภูมิต่างกันจะไม่เท่ากัน เอนโทรปีสำหรับกลุ่มแคนอนิกที่กำหนดจะขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของมัน ในฐานะระบบทางกายภาพ มัน "ชัดเจน" ว่าเมื่ออุณหภูมิแตกต่างกัน ระบบก็จะแตกต่างกันด้วย นี่เป็นความจริงโดยทั่วไป: ระบบที่มีเอนโทรปีต่างกันจะไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน

แตกต่างจากตัวอย่างที่ไม่เป็นทางการข้างต้น ตัวอย่างด้านล่างนี้มีความชัดเจนและจัดการได้ง่ายเพียงพอที่จะสามารถทำการคำนวณอย่างเป็นทางการได้อย่างชัดเจน

• μ อาจเป็นค่ามุมมาตรฐาน dθ/2π บนวงกลมหน่วยและTคือการหมุน ดูทฤษฎีบทการกระจายอย่างเท่าเทียมกัน
• แผนการของ เบอร์นูลลี ;
• การแปลงแลกเปลี่ยนช่วงเวลา ;
• ด้วยคำจำกัดความของมาตรการที่เหมาะสมการเลื่อนย่อยของประเภทจำกัด
• กระแสพื้นฐานของระบบพลวัตแบบสุ่ม ;
• การไหลของสนามเวกเตอร์แฮมิลโทเนียนบนมัดสัมผัสของแมนิโฟลด์เรียบที่เชื่อมต่อกันแบบปิดจะรักษาการวัด (โดยใช้การวัดที่เหนี่ยวนำบนเซตโบเรลโดยรูปแบบปริมาตรซิมเพล็กติก ) ตามทฤษฎีบทของ Liouville (แฮมิลโทเนียน) ; ^{[ 2 ]}
• สำหรับแผนที่และกระบวนการมาร์คอฟ บางประเภท ทฤษฎีบทครีลอฟ-โบโกลยูบอฟได้พิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของมาตรวัดที่เหมาะสมเพื่อสร้างระบบพลวัตที่รักษามาตรวัดไว้

นิยามของระบบไดนามิกที่รักษาการวัดสามารถขยายไปสู่กรณีที่Tไม่ใช่การแปลงเพียงครั้งเดียวที่ทำซ้ำเพื่อให้ได้ไดนามิกของระบบ แต่เป็นโมโนอิด (หรือแม้แต่กลุ่มซึ่งในกรณีนี้เรามีการกระทำของกลุ่มบนปริภูมิความน่าจะเป็นที่กำหนด) ของการแปลงT   : X → Xที่กำหนดพารามิเตอร์โดยs ∈ Z (หรือRหรือN ∪ {0} หรือ [0, +∞)) โดยที่การแปลงT แต่ละรายการ เป็นไปตามข้อกำหนดเดียวกันกับTข้างต้น^{[ 2 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงเป็นไปตามกฎ:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนX ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$เมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไขทั้งหมดได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$เมื่อใดก็ตามที่เงื่อนไขทั้งหมดได้รับการกำหนดไว้อย่างชัดเจน

กรณีแรกที่เรียบง่ายกว่านั้นสอดคล้องกับกรอบนี้โดยการกำหนดT = T ^sสำหรับs ∈ N

แนวคิดเรื่องโฮโมมอร์ฟิซึมและไอโซมอร์ฟิซึมสามารถนิยามได้

พิจารณาระบบพลวัตสองระบบ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$และ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$จากนั้นจึงทำการแมป

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

ถือเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของระบบพลวัตก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้:

1. แผนที่${\displaystyle \varphi \ }$สามารถวัดได้
2. สำหรับแต่ละรายการ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$หนึ่งมี${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$.
3. สำหรับ${\displaystyle \mu }$-เกือบทั้งหมด${\displaystyle x\in X}$หนึ่งมี${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$.

ระบบ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$จากนั้นจึงเรียกว่าตัวประกอบของ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$.

แผนที่${\displaystyle \varphi \;}$เป็นการสมสัณฐานของระบบพลวัตก็ต่อเมื่อมีการแมปอีกแบบหนึ่งอยู่ด้วย

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

นั่นก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเช่นกัน ซึ่งสอดคล้องกับ

1. สำหรับ${\displaystyle \mu }$-เกือบทั้งหมด${\displaystyle x\in X}$หนึ่งมี${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$;
2. สำหรับ${\displaystyle \nu }$-เกือบทั้งหมด${\displaystyle y\in Y}$หนึ่งมี${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$.

ดังนั้น จึงอาจสร้างหมวดหมู่ของระบบพลวัตและโฮโมมอร์ฟิซึมของระบบเหล่านั้นได้

จุดx ∈ Xเรียกว่าจุดทั่วไปถ้าวงโคจรของจุดนั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอตามมาตรวัด

พิจารณาระบบพลวัต${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$และให้Q = { Q , ..., Q } เป็นการแบ่งส่วนของXออกเป็นkเซตที่วัดได้และไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ เมื่อกำหนดจุดx ∈ Xแล้ว เห็นได้ชัดว่าxอยู่ในQ เพียงเซตเดียวเท่านั้น ใน ทำนองเดียวกัน จุดT ⁿ x ที่ได้จากการทำซ้ำ ก็สามารถอยู่ในส่วนใดส่วนหนึ่งได้เช่น กัน ชื่อเชิงสัญลักษณ์ของxเมื่อเทียบกับการแบ่งส่วนQคือลำดับของจำนวนเต็ม { a } เช่นนั้น

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

เซตของชื่อเชิงสัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับพาร์ติชันเรียกว่าพลวัตเชิงสัญลักษณ์ของระบบพลวัต พาร์ติชันQเรียกว่าพาร์ติชันตัวสร้างหรือพาร์ติชันสร้างถ้าเกือบทุกจุดxมีชื่อเชิงสัญลักษณ์ที่ไม่ซ้ำกัน

กำหนดให้พาร์ติชัน Q = { Q , ..., Q } และระบบพลวัต${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$กำหนดค่าT -pullback ของQดังนี้

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

นอกจากนี้ เมื่อกำหนดพาร์ติชันสองพาร์ติชันQ = { Q , ..., Q } และR = { R , ..., R } ให้กำหนดการปรับปรุง ของพาร์ติชันเหล่านั้น ดังนี้

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

ด้วยโครงสร้างทั้งสองนี้การปรับปรุงการดึงกลับแบบวนซ้ำจึงถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการสร้างเอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัดของระบบพลวัต

เอนโทรปีของพาร์ติชั่น${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ถูกกำหนดเป็น^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

เอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัดของระบบพลวัต${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$เมื่อพิจารณาจากพาร์ติชันQ = { Q , ..., Q } จะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

สุดท้ายนี้ เราจะกล่าวถึงเมตริก Kolmogorov–Sinaiหรือเอนโทรปีเชิงทฤษฎีการวัดของระบบพลวัต${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

โดยที่ค่าสูงสุดนั้นหาได้จากพาร์ทิชันที่วัดได้ทั้งหมดที่มีค่าจำกัด ทฤษฎีบทของยาคอฟ ซิไนในปี 1959 แสดงให้เห็นว่าค่าสูงสุดนั้นได้มาจากพาร์ทิชันที่เป็นตัวสร้าง ตัวอย่างเช่น เอนโทรปีของกระบวนการเบอร์นูลลีคือ log  2 เนื่องจากจำนวนจริงเกือบทุก จำนวน มีการขยายเลขฐานสอง ที่ไม่ซ้ำ กันนั่นคือ เราสามารถแบ่งช่วงหน่วยออกเป็นช่วง[ 0, 1/2 )และ [1/2, 1] จำนวนจริงx ทุกจำนวน มีค่าน้อยกว่า 1/2 หรือไม่ก็ไม่ใช่ และเช่นเดียวกันกับส่วนที่เป็นเศษส่วนของ 2 ⁿ x  

ถ้าปริภูมิXเป็นปริภูมิกระชับและมีโทโพโลยี หรือเป็นปริภูมิเมตริกก็สามารถกำหนดเอนโทรปีเชิงโทโพโลยี ได้เช่นกัน

ถ้า${\displaystyle T}$เป็นแบบเออร์โกดิก ขยายตัวเป็นช่วงๆ และเป็นแบบมาร์คอฟบน${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$, และ${\displaystyle \mu }$หากมีความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์เมื่อเทียบกับการวัดของ Lebesgue เราจะมีสูตร Rokhlin ^{[ 5 ]} (ส่วนที่ 4.3 และส่วนที่ 12.3 ^{[ 6 ]} ):$${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$วิธีนี้ช่วยให้สามารถคำนวณเอนโทรปีของแผนที่ช่วงเวลาหลายประเภทได้ เช่นแผนที่โลจิสติก

เออร์โกดิก หมายความว่า${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$หมายความว่า${\displaystyle A}$มีขนาดเต็มหรือขนาดเป็นศูนย์ การขยายแบบเป็นช่วงและแบบมาร์คอฟหมายความว่ามีการแบ่งส่วนของ${\displaystyle X}$แบ่งออกเป็นช่วงเปิดจำนวนจำกัด โดยที่สำหรับบางค่า${\displaystyle \epsilon >0}$,${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ในแต่ละช่วงเปิด มาร์คอฟหมายความว่าสำหรับแต่ละ${\displaystyle I_{i}}$จากช่องว่างเหล่านั้น ไม่ว่าจะเป็น${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$หรือ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$.

หนึ่งในกิจกรรมหลักในการศึกษาระบบที่รักษาการวัดคือการจำแนกระบบเหล่านั้นตามคุณสมบัติของมัน กล่าวคือ ให้${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$เป็นปริภูมิการวัด และให้${\displaystyle U}$เป็นเซตของระบบการรักษาการวัดทั้งหมด${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle S\sim T}$ของการแปลงสองครั้ง${\displaystyle S,T}$กำหนดความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$เป้าหมายจึงเป็นการอธิบายความสัมพันธ์นั้น${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ได้มีการค้นพบทฤษฎีการจำแนกประเภทจำนวนหนึ่ง แต่ที่น่าสนใจคือ ได้มีการค้นพบทฤษฎีต่อต้านการจำแนกประเภทจำนวนหนึ่งเช่นกัน ทฤษฎีต่อต้านการจำแนกประเภทระบุว่ามีคลาสไอโซมอร์ฟิซึมมากกว่าจำนวนนับได้ และข้อมูลที่นับได้ไม่เพียงพอที่จะจำแนกไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 7 ] [ 8 ]}

ทฤษฎีบทต่อต้านการจำแนกประเภทข้อแรก ซึ่งคิดค้นโดยฮยอร์ธ กล่าวว่า ถ้า${\displaystyle U}$หากเซตนั้น มี โทโพโลยีที่อ่อนแอ เซตนั้น ก็จะมี โทโพโลยีที่อ่อนแอเช่นกัน${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ไม่ใช่เซตโบเรล [ ^{9 ] มี}ผลลัพธ์ต่อต้านการจำแนกประเภทอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น การแทนที่ไอโซมอร์ฟิซึมด้วยความสมมูลคากุทานิสามารถแสดงให้เห็นได้ว่ามีการแปลงรักษาการวัดแบบเออร์โกดิกที่ไม่สมมูลคากุทานิจำนวนนับไม่ถ้วนของแต่ละประเภทเอนโทรปี^{[ 10 ]}

สิ่งเหล่านี้ขัดแย้งกับทฤษฎีการจำแนกประเภท ซึ่งได้แก่:

• การแปลงที่รักษาการวัดแบบเออร์โกดิกที่มีสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ได้รับการจำแนกประเภทแล้ว^{[ 11 ]}
• การเลื่อนเบอร์นูลลีถูกจำแนกตามเอนโทรปีเมตริก^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}ดูทฤษฎีออร์นสไตน์สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

• ทฤษฎีบทครีลอฟ-โบโกลยูบอฟ– หนึ่งในสองทฤษฎีบทในระบบพลวัตเกี่ยวกับการมีอยู่ของมาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลง 
• ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเร– ระบบพลวัตบางระบบจะกลับคืนสู่ (หรือใกล้เคียงกับ) สถานะเริ่มต้นในที่สุด 

• Michael S. Keane, "ทฤษฎีเออร์โกดิกและซับชิฟต์ของประเภทจำกัด" (1991) ปรากฏเป็นบทที่ 2 ในErgodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane และ Caroline Series, บรรณาธิการ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, ออกซ์ฟอร์ด (1991) ISBN 0-19-853390-X(ประกอบด้วยบทนำเชิงอธิบาย แบบฝึกหัด และเอกสารอ้างอิงจำนวนมาก)
• ไล-ซาง ยัง , "เอนโทรปีในระบบพลวัต" ( pdf ; ps ) ปรากฏเป็นบทที่ 16 ในหนังสือ Entropy , Andreas Greven, Gerhard Keller และ Gerald Warnecke (บรรณาธิการ) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์ (2003) ISBN 0-691-11338-6
• T. Schürmann และ I. Hoffmann, เอนโทรปีของบิลเลียดแปลก ๆ ภายใน n-ซิมเพล็กซ์ J. Phys. A 28(17), หน้า 5033, 1995 เอกสาร PDF (ให้ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าของระบบไดนามิกที่รักษาการวัด)