ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการถ่ายโอน (transfer operator)เข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับแผนที่แบบวนซ้ำและมักใช้ในการศึกษาพฤติกรรมของระบบพลวัต กลศาสตร์เชิงสถิติความโกลาหลควอนตัมและแฟรกทัลในกรณีทั่วไป ค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันคือมาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลงของระบบ

ตัวดำเนินการถ่ายโอนนี้บางครั้งเรียกว่าตัวดำเนินการรูเอล (Ruelle operator)ตาม ชื่อของ เดวิด รูเอลหรือตัวดำเนินการเพอร์รอน-โฟรเบนิ อุส (Perron–Frobenius operator) หรือ ตัวดำเนินการ รูเอล-เพอร์รอน-โฟรเบนิอุส (Ruelle–Perron–Frobenius operator)โดยอ้างอิงถึงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเพอร์รอน-โฟรเบนิอุสในการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ

ฟังก์ชันวนซ้ำที่จะศึกษานี้เป็นแผนที่สำหรับเซตใดๆก็ตาม ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$${\displaystyle X}$

ตัวดำเนินการถ่ายโอน (Transfer operator) ถูกนิยามว่าเป็นตัวดำเนินการที่กระทำบนปริภูมิของฟังก์ชันดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันประเมินค่าเสริม เมื่อมีดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนมักจะถือว่าเป็น ${\displaystyle g\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle |J|}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=1/|J|}$

นิยามข้างต้นของตัวดำเนินการถ่ายโอนสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเป็นขีดจำกัดเซตจุดของการผลักดัน เชิงทฤษฎีการวัด ของg : โดยพื้นฐานแล้ว ตัวดำเนินการถ่ายโอนคือฟังก์ชันภาพโดยตรงในหมวดหมู่ของปริภูมิที่วัดได้ ตัวดำเนินการผกผันซ้ายของตัวดำเนินการ Perron–Frobenius คือตัวดำเนินการ Koopmanหรือตัวดำเนินการประกอบการตั้งค่าทั่วไปนั้นได้มาจาก แคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน ของ Borel

โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการถ่ายโอนสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเลื่อน (ซ้าย) ที่กระทำบนปริภูมิเลื่อนการเลื่อนที่ได้รับการศึกษาบ่อยที่สุดคือการเลื่อนย่อยประเภทจำกัด ตัวผกผันของตัวดำเนินการถ่ายโอนก็สามารถตีความได้ว่าเป็นการเลื่อนขวาเช่นกัน การเลื่อนขวาที่ได้รับการศึกษาอย่างดีเป็นพิเศษ ได้แก่ตัวดำเนินการจาโคบีและเมทริกซ์เฮสเซนเบิร์กซึ่งทั้งสองสร้างระบบพหุนามเชิงตั้งฉากผ่านการเลื่อนขวา

ในขณะที่การทำซ้ำฟังก์ชันนำไปสู่การศึกษาเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุด X ภายใต้การทำซ้ำ (การศึกษาพลศาสตร์ของจุด ) โดยธรรมชาติ ตัวดำเนินการถ่ายโอนจะกำหนดว่าแผนที่ (เรียบ) เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรภายใต้การทำซ้ำ ดังนั้น ตัวดำเนินการถ่ายโอนจึงมักปรากฏใน ปัญหา ทางฟิสิกส์เช่นความโกลาหลควอนตัมและกลศาสตร์เชิงสถิติซึ่งมุ่งเน้นไปที่วิวัฒนาการตามเวลาของฟังก์ชันเรียบ ในทางกลับกัน สิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้ทางการแพทย์ในการออกแบบยาอย่างมีเหตุผลผ่านสาขาพลศาสตร์โมเลกุล ${\displaystyle f}$

โดยทั่วไป ตัวดำเนินการถ่ายโอนมักมีค่าเป็นบวก มีค่าลักษณะ เฉพาะที่เป็นจำนวนจริงบวกแบบไม่ต่อเนื่อง โดยค่าลักษณะเฉพาะที่มากที่สุดมีค่าเท่ากับหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ ตัวดำเนินการถ่ายโอนจึงบางครั้งเรียกว่า ตัวดำเนินการฟรอเบนิอุส-เพอร์รอน

ฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการถ่ายโอนมักจะเป็นแฟรกทัล เมื่อลอการิทึมของตัวดำเนินการถ่ายโอนสอดคล้องกับแฮมิล โทเนียนควอน ตัม ค่าเฉพาะมักจะอยู่ใกล้กันมาก ดังนั้นแม้แต่กลุ่มสถานะควอนตัมที่แคบและเลือกอย่างระมัดระวังก็จะครอบคลุมสถานะเฉพาะแฟรกทัลที่แตกต่างกันจำนวนมากซึ่งมีค่า ไม่เป็นศูนย์ ทั่วทั้งปริมาตร สิ่งนี้สามารถนำมาใช้อธิบายผลลัพธ์มากมายจากกลศาสตร์สถิติแบบคลาสสิก รวมถึงความไม่สามารถย้อนกลับของเวลาและการเพิ่มขึ้นของเอนโทรปี

ตัวดำเนินการถ่ายโอนของแผนที่เบอร์นูลลี สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำและเป็นตัวอย่างคลาสสิกของความโกลาหลเชิงกำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะแบบไม่ต่อเนื่องจะสอดคล้องกับพหุนามเบอร์นูลลีตัวดำเนินการนี้ยังมีสเปกตรัมต่อเนื่องซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์ ${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$

ตัวดำเนินการถ่ายโอนของแผนที่เกาส์เรียกว่าตัวดำเนินการเกาส์-คุซมิน-ไวร์ซิง (GKW)ทฤษฎีของ GKW มีที่มาจากสมมติฐานของเกาส์เกี่ยวกับเศษส่วนต่อเนื่องและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$

• แผนการของเบอร์นูลลี
• การเลื่อนของประเภทจำกัด
• ทฤษฎีบทเครน-รุตมัน
• วิธีเมทริกซ์ถ่ายโอน