ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการประกอบ (composition operator) ที่มีสัญลักษณ์เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดโดยกฎ โดยที่หมายถึงการประกอบฟังก์ชันนอกจากนี้ยังพบได้ในการประกอบการเรียงสับเปลี่ยนในกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนด้วย ${\displaystyle C_{\phi }}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }$$${\displaystyle f\circ \phi }$

การศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการประกอบนั้นอยู่ในขอบเขตของหมวด AMS 47B33

ในฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาระบบพลวัต ตัวดำเนินการประกอบมักจะเรียกว่าตัวดำเนินการ Koopmanซึ่งตั้งชื่อตามBernard Koopman [ ^{1 ] [ 2 ] ความ}นิยมที่พุ่งสูงขึ้นอย่างรวดเร็ว^{[ 3 ]}บางครั้งถูกเรียกเล่นๆ ว่า "Koopmania" ^{[ 4 ]}ซึ่งเป็นความนิยมที่เริ่มแพร่กระจายไปยังการเรียนรู้ของเครื่องจักรเช่นกัน^{[ 5 ]}มันคือตัวดำเนินการผกผันซ้ายของตัวดำเนินการถ่ายโอนของ Frobenius–Perron

เมื่อใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ตัวดำเนินการประกอบคือการดึงกลับ (pull-back)บนปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้มันเป็นตัวผกผัน (adjoint) ของตัวดำเนินการถ่ายโอน (transfer operator)ในทำนองเดียวกับที่การดึงกลับเป็นตัวผกผันของการส่งไปข้างหน้า (push-forward ) ตัวดำเนินการประกอบคือฟังก์ชันภาพผกผัน (inverse image functor )

เนื่องจากขอบเขตที่พิจารณาในที่นี้คือขอบเขตของฟังก์ชันบอเรลดังนั้นคำอธิบายข้างต้นจึงเป็นการอธิบายตัวดำเนินการคูปแมนตามที่ปรากฏในแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันบอเรล

ขอบเขต ของ ตัวดำเนินการประกอบสามารถกำหนดให้แคบลงได้ เช่น เป็นปริภูมิบานาค บางปริภูมิ ซึ่งมักประกอบด้วยฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกตัวอย่างเช่นปริภูมิฮาร์ดีหรือปริภูมิเบิร์กแมนในกรณีนี้ ตัวดำเนินการประกอบจะอยู่ในขอบเขตของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน บางอย่าง เช่นแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

คำถามที่น่าสนใจในการศึกษาตัวดำเนินการประกอบมักเกี่ยวข้องกับว่าคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการขึ้นอยู่กับปริภูมิฟังก์ชัน อย่างไร คำถามอื่นๆ ได้แก่เป็นแบบกระชับหรือแบบคลาสร่องรอยหรือไม่ คำตอบมักขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันมีพฤติกรรมอย่างไรบนขอบเขตของโดเมนบางอย่าง ${\displaystyle C_{\phi }}$${\displaystyle \varphi }$

เมื่อตัวดำเนินการถ่ายโอนเป็นตัวดำเนินการเลื่อน ซ้าย ตัวดำเนินการ Koopman ซึ่งเป็นตัวผกผันของมัน สามารถนำมาใช้เป็นตัวดำเนินการเลื่อนขวาได้ ฐานที่เหมาะสมซึ่งแสดงการเลื่อนอย่างชัดเจน มักจะพบได้ในพหุนามเชิงตั้งฉากเมื่อพหุนามเหล่านี้ตั้งฉากกันบนเส้นจำนวนจริง การเลื่อนจะกำหนดโดย ตัวดำเนิน การJacobi ^{[ 6 ]} เมื่อพหุนามตั้งฉากกันบนบางบริเวณของระนาบเชิงซ้อน (เช่น ในปริภูมิ Bergman ) ตัวดำเนินการ Jacobi จะถูกแทนที่ด้วย ตัว ^{ดำเนิน}การ Hessenberg [ ^{7 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบมักปรากฏในการศึกษาตัวดำเนินการเลื่อนเช่น ในทฤษฎีบทเบอร์ลิง-แลกซ์และการแยกส่วนโวลด์ ตัวดำเนินการเลื่อนสามารถศึกษาได้ในฐานะโครงข่ายสปิน แบบหนึ่งมิติ ตัวดำเนินการประกอบปรากฏในทฤษฎีของการวัดอเล็กซานดรอฟ-คลาร์ก

สม การ ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการประกอบคือสมการของชโรเดอร์และฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะหลัก มักเรียกว่าฟังก์ชันของชโรเดอร์หรือฟังก์ชันของโคเอนิกส์ ${\displaystyle f(x)}$

ตัวดำเนินการประกอบได้ถูกนำมาใช้ในเทคนิคที่ขับเคลื่อนด้วยข้อมูลสำหรับระบบพลวัตในบริบทของ อัลกอริธึม การแยกโหมดพลวัตซึ่งประมาณค่าโหมดและค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการประกอบ

• เมทริกซ์จาโบตินสกี
• การทำให้เป็นเส้นตรงของคาร์ลแมน
• วงแหวนองค์ประกอบ  – โครงสร้างเชิงพีชคณิต
• ตัวดำเนินการคูณ  – ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ปรับขนาดด้วยฟังก์ชันคงที่
• การสลับตำแหน่งของแผนที่เชิงเส้น  – แผนที่เหนี่ยวนำระหว่างปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิ
• การแยกองค์ประกอบโหมดไดนามิก