ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีตัวดำเนินการการแยกส่วนแบบโวลด์หรือการแยกส่วนแบบโวลด์-ฟอน นอยมันน์ซึ่งตั้งชื่อตามเฮอร์มัน โวลด์และจอห์น ฟอน นอยมันน์เป็นทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบไอโซเมตริกบนปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่กำหนดให้ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า ไอโซเมตริกทุกตัวเป็นผลรวมโดยตรงของสำเนาของการเลื่อนด้านเดียวและ ตัวดำเนิน การ เอกภาพ

ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่ากระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่อยู่กับที่ ทุก กระบวนการสามารถแยกย่อยออกเป็นสองกระบวนการที่ไม่เกี่ยวข้องกัน โดยกระบวนการหนึ่งเป็นกระบวนการเชิงกำหนด และอีกกระบวนการหนึ่งเป็นกระบวนการ ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

ให้Hเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต , L ( H ) เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนHและV ∈ L ( H ) เป็นไอโซเมตรีการแยกส่วนของโวลด์ระบุว่าไอโซเมตรีV ทุกตัว มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U}$

สำหรับเซตดัชนีA บางเซต โดยที่Sคือการเลื่อนด้านเดียวบนปริภูมิฮิลเบิร์ตH _αและUคือตัวดำเนินการเอกภาพ (อาจเป็นตัวดำเนินการว่างเปล่า) ตระกูล { H _α } ประกอบด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน

สามารถร่างบทพิสูจน์ได้ดังนี้ การประยุกต์ใช้V อย่างต่อเนื่อง จะให้ลำดับที่ลดลงของสำเนาของHที่ฝังตัวอยู่ในตัวเองอย่างสมมาตร:

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

โดยที่V ( H ) หมายถึงช่วงของV H _i  =  V ⁱ ( H ) ที่กำหนดไว้ข้างต้นถ้าหากกำหนด

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{สำหรับ}}\quad i\geq 0\;,}$

แล้ว

${\displaystyle H=\left(\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\right)\oplus \left(\bigcap _{i\geq 0}H_{i}\right)=K_{1}\oplus K_{2}.}$

เป็นที่ชัดเจนว่าK ₁และK ₂เป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของ V

ดังนั้นV ( K ₂ ) = K ₂กล่าวอีกนัยหนึ่งVที่จำกัดอยู่บนK ₂ คือไอโซเมตรีแบบทั่วถึง นั่น คือ ตัวดำเนินการเอกภาพU

นอกจากนี้ แต่ละM _iยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับอีกตัวหนึ่ง โดยที่Vเป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างM _iและM _{i +1} : V "เลื่อน" M _iไปยังM _{i +1}สมมติว่ามิติของแต่ละM _iเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลαเราจะเห็นว่าK ₁สามารถเขียนได้ในรูปของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบผลรวมโดยตรง

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}$

โดยที่ H _αแต่ละตัวเป็นปริภูมิย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของVและVที่ถูกจำกัดอยู่ในH _α แต่ละตัว คือการเลื่อนด้านเดียวSดังนั้น

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U,}$

ซึ่งเป็นการแยกส่วนแบบ Wold ของ V

จากการแยกส่วนของโวลด์ (Wold decomposition) ทำให้ทราบได้ทันทีว่าสเปกตรัมของไอโซเมตรีที่แท้จริงใดๆ (กล่าวคือ ไอโซเมตรีที่ไม่ใช่เอกภาพ) คือวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน

ไอโซเมตรีVเรียกว่าบริสุทธิ์ถ้าในสัญลักษณ์ของการพิสูจน์ข้างต้นจำนวนเท่าของไอโซเมตรีบริสุทธิ์Vคือมิติของเคอร์เนลของV* กล่าวคือ จำนวนสมาชิกของเซตดัชนีAในการแยกส่วนแบบ Wold ของVกล่าวอีกนัยหนึ่ง ไอโซเมตรีบริสุทธิ์ที่มีจำนวนเท่าNจะมีรูปแบบดังนี้ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}H_{i}=\{0\}.}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

ในศัพท์เฉพาะนี้ การแยกส่วนแบบ Wold แสดงถึงไอโซเมตรีในรูปผลรวมโดยตรงของไอโซเมตรีบริสุทธิ์และตัวดำเนินการเอกภาพ

ปริภูมิย่อยMเรียกว่าปริภูมิย่อยที่เคลื่อนที่ได้ของVถ้าV ⁿ ( M ) ⊥  V ^m ( M ) สำหรับทุกn  ≠  mโดยเฉพาะอย่างยิ่งM _i แต่ละอัน ที่นิยามไว้ข้างต้นเป็นปริภูมิย่อยที่เคลื่อนที่ได้  ของ V

การแยกส่วนข้างต้นสามารถขยายความได้เล็กน้อยไปยังลำดับของไอโซเมตรี ซึ่งมีดัชนีเป็นจำนวนเต็ม

พิจารณาไอโซเมตรีV ∈ L ( H ) ให้C* ( V ) แทน พีชคณิต C*ที่สร้างขึ้นโดยV กล่าว คือC* ( V ) คือการปิดบรรทัดฐานของพหุนามในVและV*สามารถใช้การแยกส่วนแบบ Wold เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะของ C* ( V ) ได้

ให้C ( T ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนวงกลมหน่วยTเราจำได้ว่าพีชคณิต C*-C * ( S ) ที่สร้างขึ้นโดยการเลื่อนด้านเดียวSมีรูปแบบดังต่อไปนี้

C* ( S ) = { T _f + K | T _fเป็นตัวดำเนินการ Toeplitzที่มีสัญลักษณ์ต่อเนื่องf ∈ C ( T ) และKเป็นตัวดำเนินการกระชับ }

ในการระบุนี้S = T _zโดยที่zคือฟังก์ชันเอกลักษณ์ในC ( T ) พีชคณิตC* ( S ) เรียกว่าพีชคณิตโทปลิตซ์

ทฤษฎีบท (Coburn) C* ( V ) เป็นไอโซมอ ร์ ฟิกกับพีชคณิต Toeplitz และVเป็นภาพไอโซมอร์ฟิกของT _z

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับการเชื่อมโยงกับC ( T )ในการอธิบายพีชคณิต Toeplitz และสเปกตรัมของตัวดำเนินการเอกภาพนั้นบรรจุอยู่ในวงกลมT

คุณสมบัติของพีชคณิตโทปลิตซ์ต่อไปนี้จะมีความจำเป็น:

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. เซมิคอมมิวเทเตอร์มีขนาดกะทัดรัด${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$

การแยกส่วนแบบ Wold กล่าวว่าVคือผลรวมโดยตรงของสำเนาของT _zและจากนั้นก็เป็นค่าเอกลักษณ์U บางอย่าง :

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}T_{z}\right)\oplus U.}$

ดังนั้นเราจึงเรียกใช้แคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องf → f ( U ) และกำหนด

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\bigoplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

ขณะนี้สามารถตรวจสอบได้ว่า Φ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมที่แปลงการเลื่อนด้านเดียวไปเป็นV :

จากคุณสมบัติข้อ 1 ข้างต้น Φ เป็นเชิงเส้น แผนที่ Φ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเนื่องจากT _fไม่กระชับสำหรับf ∈ C ( T ) ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นT _f + K = 0 หมายความว่าf = 0 เนื่องจากช่วงของ Φ เป็นพีชคณิต C* ดังนั้น Φ เป็นฟังก์ชันทั่วถึงโดยความน้อยที่สุดของC* ( V ) คุณสมบัติข้อ 2 และแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันต่อเนื่องรับประกันว่า Φ รักษาการดำเนินการ * สุดท้าย คุณสมบัติเซมิคอมมิวเทเตอร์แสดงให้เห็นว่า Φ เป็นฟังก์ชันทวีคูณ ดังนั้นทฤษฎีบทจึงเป็นจริง