ในทฤษฎีตัวดำเนินการตัว ดำเนิน การการคูณคือตัวดำเนินการเชิงเส้นT _fที่กำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชัน บางปริภูมิ และค่าของตัวดำเนินการนี้ที่ฟังก์ชันφจะได้รับจากการคูณด้วยฟังก์ชันf ที่กำหนดไว้ นั่นคือ สำหรับทุกφในโดเมนของT _fและทุกxในโดเมนของφ (ซึ่งเหมือนกับโดเมนของf ) ^{[ 1 ]}$${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad }$$

ตัวดำเนินการคูณขยายแนวคิดของตัวดำเนินการที่กำหนดโดยเมทริกซ์แนวทแยง [ ^{2 ] กล่าว}ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ผลลัพธ์หนึ่งของทฤษฎีตัวดำเนินการคือทฤษฎีบทสเปกตรัมที่ระบุว่าตัวดำเนินการสมมาตรตัวเอง ทุกตัว บนปริภูมิฮิลเบิร์ตจะเทียบเท่ากับตัวดำเนินการคูณบนปริภูมิL ²ใน ลักษณะเอกภาพ ^{[ 3 ]}

ตัวดำเนินการเหล่านี้มักถูกนำมาเปรียบเทียบกับตัวดำเนินการประกอบซึ่งก็ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันโดยฟังก์ชันf ที่กำหนดไว้ พวกมันยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับตัวดำเนินการโทปลิตซ์ซึ่งเป็นการบีบอัดตัวดำเนินการคูณบนวงกลมไปยังปริภูมิฮาร์ดี

• ตัวดำเนินการคูณบนโดยที่Xเป็น-finiteจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อfอยู่ใน(ทิศทางย้อนกลับของการบ่งชี้ไม่จำเป็นต้องมีสมมติฐาน -finiteness) ในกรณีนี้บรรทัดฐานของตัวดำเนินการจะเท่ากับ^{[ 1 ]}${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L^{\infty }(X)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$
• ตัวผกผันของตัวดำเนินการคูณคือโดยที่คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของfผลที่ตามมาคือ เป็นตัวผกผันในตัวเองก็ต่อเมื่อfเป็นจำนวนจริง^{[ 4 ]}${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{\overline {f}}}$${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle T_{f}}$
• สเปกตรัมของตัวดำเนินการคูณที่มีขอบเขตคือช่วงสำคัญของfนอกสเปกตรัมนี้ ตัวผกผันของคือตัวดำเนินการคูณ^{[ 1 ]}${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle (T_{f}-\lambda )}$${\displaystyle T_{\frac {1}{f-\lambda }}.}$
• ตัวดำเนินการคูณแบบจำกัดสองตัวและบนจะเท่ากันก็ต่อเมื่อfและgเท่ากันเกือบทุกที่^{[ 4 ]}${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{g}}$${\displaystyle L^{2}}$

พิจารณาปริภูมิฮิลเบิร์ตX = L ² [−1, 3]ของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่มีค่า เป็นกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้บน ช่วง[−1, 3]โดยที่f ( x ) = x ²กำหนดตัวดำเนินการ สำหรับฟังก์ชันφ ใดๆ ในXตัวดำเนินการนี้จะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตและ สมมาตร ในตัวเอง โดยมีโดเมนเป็น X = L ² [−1, 3]ทั้งหมดและมีนอร์ม เท่ากับ 9 สเปกตรัม ของตัวดำเนินการ นี้จะเป็นช่วง[0, 9] ( ช่วงของฟังก์ชันx ↦ x ²ที่กำหนดบน[−1, 3] ) ที่จริงแล้ว สำหรับจำนวนเชิงซ้อนλ ใดๆ ตัวดำเนินการT _f − λจะกำหนดโดย $${\displaystyle T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)}$$$${\displaystyle (T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).}$$

ตัวดำเนินการผกผันได้ก็ต่อเมื่อλไม่อยู่ใน[0, 9]และตัวผกผันของมันคือ ซึ่งเป็นตัวดำเนินการคูณอีกตัวหนึ่ง $${\displaystyle (T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),}$$

ตัวอย่างนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการหาค่ามาตรฐานและสเปกตรัมของตัวดำเนินการคูณบนปริภูมิL ^p ใด ๆ ได้อย่างง่ายดาย

• พนักงานกะ
• ผู้ดำเนินการโอนย้าย
• การแยกองค์ประกอบของสเปกตรัม (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)

• คอนเวย์, เจบี (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา. เล่มที่ 96. สำนักพิมพ์สปริงเกอร์ . ISBN 0-387-97245-5.