การแปลงแบบไดอะดิก (เรียกอีกอย่างว่าแผนที่ไดอะดิกแผนที่การเลื่อนบิตแผนที่2 x  mod 1 แผนที่เบอร์นูลลีแผนที่การคูณสองเท่าหรือแผนที่ฟันเลื่อย^{[ 1 ] [ 2 ]} ) คือการแมป (เช่น ความ สัมพันธ์เวียนเกิด )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

( เซตของลำดับจาก) ที่สร้างขึ้นโดยกฎ ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$[ ^{3 ]​}

ในทำนองเดียวกัน การแปลงแบบไดอะดิกสามารถนิยามได้ว่าเป็น แผนที่ ฟังก์ชันแบบวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

ชื่อ " แผนที่เลื่อนบิต" (Bit Shift Map)มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า หากค่าของตัววนซ้ำถูกเขียนใน รูปแบบ เลขฐานสองค่าของตัววนซ้ำถัดไปจะได้รับโดยการเลื่อนจุดเลขฐานสองไปทางขวาหนึ่งบิต และหากบิตทางซ้ายของจุดเลขฐานสองใหม่เป็น "หนึ่ง" ก็จะแทนที่ด้วยศูนย์

การแปลงแบบไดอะดิกเป็นตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่าแผนที่ 1 มิติแบบง่ายๆ สามารถก่อให้เกิดความโกลาหลได้ อย่างไร แผนที่นี้สามารถขยายไปสู่แผนที่อื่นๆ ได้อย่างง่ายดาย แผนที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการแปลงเบตาซึ่งกำหนดโดยแผนที่นี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยผู้เขียนหลายคน มันถูกนำเสนอโดยAlfréd Rényiในปี 1957 และมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับมันถูกนำเสนอโดยAlexander Gelfondในปี 1959 และอีกครั้งโดยอิสระโดยBill Parryในปี 1960 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

แผนที่นี้สามารถหาได้จากโฮโมมอร์ฟิซึมบนกระบวนการเบอร์นูลลีให้เป็นเซตของสตริงกึ่งอนันต์ทั้งหมดของตัวอักษรและซึ่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเหมือนการโยนเหรียญที่ได้หัวหรือก้อย หรืออาจเขียนแทนด้วยปริภูมิของสตริง (กึ่ง)อนันต์ทั้งหมดของบิตไบนารีได้ คำว่า "อนันต์" มีคำว่า "กึ่ง" ต่อท้าย เนื่องจากเราสามารถกำหนดปริภูมิที่แตกต่างกันซึ่งประกอบด้วยสตริงอนันต์สองด้าน (สองปลาย) ทั้งหมดได้ ซึ่งจะนำไปสู่แผนที่ของเบเกอร์คำว่า "กึ่ง" จะถูกละทิ้งในภายหลัง ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

พื้นที่นี้มีการดำเนินการเลื่อน ตามธรรมชาติ ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

โดยที่เป็นสตริงเลขฐานสองที่ไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อกำหนดสตริงดังกล่าวมาให้ จงเขียน ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนจริงในช่วงหน่วยการเลื่อนทำให้เกิด โฮโม มอ ร์ฟิ ซึม หรือเรียกอีกอย่างว่าบนช่วงหน่วย เนื่องจากสามารถเห็นได้ง่ายว่า สำหรับลำดับบิตอนันต์สองเท่าโฮโมมอร์ฟิซึมที่เกิดขึ้นคือแผนที่ของเบเกอร์${\displaystyle x}$${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$${\displaystyle \โอเมก้า =2^{\mathbb {Z} },}$

ลำดับทวิภาคจึงเป็นเพียงลำดับนั้นเอง

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

นั่นคือ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

โปรดทราบว่าผลรวม

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

ให้ฟังก์ชันแคนเตอร์ตามที่กำหนดไว้ตามปกติ นี่เป็นเหตุผลหนึ่งที่บางครั้งเซตนี้ถูกเรียกว่าเซตแคนเตอร์ ${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของพลวัตแบบอลวนคือการสูญเสียข้อมูลในระหว่างการจำลอง หากเราเริ่มต้นด้วยข้อมูลเกี่ยวกับบิตแรกsบิตของค่าเริ่มต้น หลังจากจำลองไปm ครั้ง ( m  <  s ) เราจะมีข้อมูลเหลืออยู่เพียงs  −  mบิตเท่านั้น ดังนั้นเราจึงสูญเสียข้อมูลในอัตราเลขชี้กำลังหนึ่งบิตต่อการจำลองหนึ่งครั้ง หลังจากsครั้ง การจำลองของเราจะถึงจุดคงที่ศูนย์ โดยไม่คำนึงถึงค่าค่าเริ่มต้นที่แท้จริง ดังนั้นเราจึงสูญเสียข้อมูลไปทั้งหมด นี่แสดงให้เห็นถึงความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก การแมปจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ถูกตัดทอนนั้นเบี่ยงเบนไปจากแมปจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่แท้จริงในอัตราเลขชี้กำลัง และเนื่องจากการจำลองของเราถึงจุดคงที่แล้ว สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด มันจะไม่สามารถอธิบายพลวัตในลักษณะที่ถูกต้องตามหลักความอลวนได้

แนวคิดเรื่องการสูญเสียข้อมูลนั้นเทียบเท่ากับแนวคิดเรื่องการได้รับข้อมูล ในทางปฏิบัติ กระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงอาจสร้างลำดับของค่า ( xn ₎ขึ้นมาในช่วงเวลาหนึ่ง แต่เราอาจสังเกตเห็นค่าเหล่านี้ได้ในรูปแบบที่ถูกตัดทอนเท่านั้น สมมติว่าx0 = _0.1001101แต่เราสังเกตเห็นได้เพียงค่าที่ถูกตัดทอนคือ 0.1001 เท่านั้น การคาดการณ์ของเราสำหรับ_x1 คือ 0.001 หากเรารอจนกว่ากระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงจะสร้าง ค่า x1 ที่ _{แท้จริง}คือ 0.001101 เราจะสามารถสังเกตเห็นค่าที่ถูกตัดทอนคือ 0.0011 ซึ่งแม่นยำกว่าค่าที่เราคาดการณ์ไว้คือ 0.001 ดังนั้นเราจึงได้รับข้อมูลเพิ่มขึ้นหนึ่งบิต

การแปลงแบบไดอะดิกเป็นการสมมูลกึ่งโทโพโลยีกับแผนที่เต็นท์ ความสูงหนึ่งหน่วย โปรดจำไว้ว่าแผนที่เต็นท์ความสูงหนึ่งหน่วยกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

การผันคำกริยาถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนโดย

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

ดังนั้น

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

กล่าวคือสิ่งนี้มีความเสถียรภายใต้การวนซ้ำ เนื่องจาก ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

นอกจากนี้ยังสัมพันธ์กับกรณีอลหม่านr  = 4 ของแผนที่โลจิสติก ด้วย กรณีr  = 4 ของแผนที่โลจิสติกคือ; ซึ่งเกี่ยวข้องกับ แผนที่ การเลื่อนบิตในตัวแปรxโดย ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์กึ่งคู่ควบระหว่างการแปลงแบบไดอะดิก (ในที่นี้เรียกว่าแผนที่เพิ่มมุมเป็นสองเท่า) และพหุนามกำลังสองโดยแผนที่นี้จะเพิ่มมุมที่วัดเป็นรอบ เป็นสองเท่า กล่าวคือ แผนที่นี้กำหนดโดย

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

เนื่องจากพลวัตมีลักษณะที่เรียบง่ายเมื่อพิจารณาการวนซ้ำในรูปแบบเลขฐานสอง จึงง่ายต่อการจัดหมวดหมู่พลวัตตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนอตรรกยะ (เช่นเดียวกับจุดเกือบทั้งหมดในช่วงหน่วย) พลวัตก็จะไม่มีคาบ – ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากนิยามของจำนวนอตรรกยะว่าเป็นจำนวนที่มีการขยายเลขฐานสองที่ไม่ซ้ำกัน นี่คือกรณีของความโกลาหล

ถ้าx₀เป็นจำนวนตรรกยะภาพของx₀จะมีค่าที่แตกต่างกันจำนวนจำกัดภายในช่วง [0, 1) และ_{วงโคจร}ไปข้างหน้า_ของx₀จะเป็นคาบในที่สุด โดยมีคาบเท่ากับคาบของ การขยายเลข ฐานสองของx₀ _โดย เฉพาะ อย่างยิ่ง ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนตรรกยะที่มีการขยายเลขฐานสองจำนวนจำกัดkบิต หลังจาก วนซ้ำ kครั้ง ค่าที่ได้จะไปถึงจุดคงที่ 0; ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่า ชั่วคราว kบิต ( k  ≥ 0) ตามด้วย ลำดับ qบิต ( q  > 1) ที่วนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด หลังจาก วนซ้ำ kครั้ง ค่าที่ได้จะไปถึงวัฏจักรที่มีความยาว  qดังนั้นจึงสามารถสร้างวัฏจักรที่มีความยาวทุกขนาดได้

ตัวอย่างเช่น วงโคจรไปข้างหน้าของวันที่ 24 พฤศจิกายน คือ:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

ซึ่งได้ถึงรอบที่มีคาบ 2 แล้ว ภายในช่วงย่อยใดๆ ของ [0, 1) ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหนก็ตาม จึงมีจุดจำนวนอนันต์ที่มีวงโคจรเป็นคาบในที่สุด และมีจุดจำนวนอนันต์ที่มีวงโคจรไม่เป็นคาบเลย ความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างละเอียดอ่อนนี้เป็นลักษณะเฉพาะของแผนที่อลวน

วงโคจรแบบเป็นคาบและไม่เป็นคาบสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้นโดยไม่ต้องทำงานกับแผนที่โดยตรง แต่ให้ทำงานกับแผนที่การเลื่อนบิตที่กำหนดไว้ในปริภูมิแคนเตอร์แทน ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

นั่นคือโฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

โดยพื้นฐานแล้วคือข้อความที่ระบุว่าเซตแคนเตอร์สามารถแปลงเป็นจำนวนจริงได้ มันเป็นการ ส่งแบบทั่วถึง (surjection) : จำนวนตรรกยะแบบทวิภาค ทุกจำนวน ไม่ได้มีตัวแทนเพียงหนึ่งเดียว แต่มีสองตัวแทนที่แตกต่างกันในเซตแคนเตอร์ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots }$

นี่เป็นเพียงเวอร์ชันสตริงไบนารีของ ปัญหา 0.999... = 1ที่มีชื่อเสียง การแสดงผลแบบสองเท่าใช้ได้โดยทั่วไป: สำหรับลำดับเริ่มต้นที่มีความยาวจำกัดใดๆที่มีความยาวจะมี ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

ลำดับเริ่มต้นสอดคล้องกับส่วนที่ไม่เป็นคาบของวงโคจร หลังจากนั้นการวนซ้ำจะค่อยๆ เปลี่ยนไปเป็นศูนย์ทั้งหมด (หรือเทียบเท่ากับหนึ่งทั้งหมด) ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

เมื่อแสดงในรูปของสตริงบิต วงโคจรเป็นคาบของแผนที่สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ หลังจากลำดับ "อลหม่าน" เริ่มต้นที่มี ความยาว วงโคจรเป็นคาบจะค่อยๆ เข้าสู่สภาวะสมดุลเป็นสตริงที่ซ้ำกันซึ่งมีความยาวไม่ใช่เรื่องยากที่จะเห็นว่าลำดับที่ซ้ำกันดังกล่าวสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ การเขียน ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

คนหนึ่งจึงเห็นได้ชัดว่ามี

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}}$

เมื่อนำลำดับที่ไม่ซ้ำกันในตอนเริ่มต้นมาต่อท้าย ก็จะได้จำนวนตรรกยะอย่างชัดเจน อันที่จริงแล้ว จำนวนตรรกยะ ทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในลักษณะนี้ คือ ลำดับ "สุ่ม" ในตอนเริ่มต้น ตามด้วยลำดับที่วนซ้ำ นั่นคือ วงโคจรเป็นคาบของแผนที่นั้นมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนตรรกยะ

ปรากฏการณ์นี้เป็นสิ่งที่น่าสนใจ เพราะสิ่งที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นในระบบอลวนหลายระบบ ตัวอย่างเช่นเส้นทางจีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์แบบกะทัดรัด สามารถมีวงโคจรเป็นคาบที่แสดงพฤติกรรมในลักษณะนี้ได้

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่าจำนวนตรรกยะเป็นเซตที่มีมาตรเป็นศูนย์ในจำนวนจริงวงโคจรเกือบทั้งหมดไม่เป็นคาบ! วงโคจรที่ไม่เป็นคาบนั้นสอดคล้องกับจำนวนอตรรกยะ คุณสมบัตินี้ยังคงเป็นจริงในบริบททั่วไปมากขึ้น คำถามที่ยังเปิดอยู่คือ พฤติกรรมของวงโคจรที่เป็นคาบนั้นจำกัดพฤติกรรมของระบบโดยรวมมากน้อยเพียงใด ปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นการแพร่ของอาร์โนลด์ชี้ให้เห็นว่าคำตอบโดยทั่วไปคือ "ไม่มากนัก"

แทนที่จะพิจารณาเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดแต่ละจุดภายใต้การทำงานของแผนที่ การสำรวจว่าแผนที่ส่งผลต่อความหนาแน่นบนช่วงหน่วยอย่างไรก็คุ้มค่าไม่แพ้กัน กล่าวคือ ลองนึกภาพการโปรยฝุ่นลงบนช่วงหน่วย ฝุ่นจะหนาแน่นในบางจุดมากกว่าในจุดอื่น แล้วความหนาแน่นนี้จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเราทำซ้ำไปเรื่อยๆ?

เขียนเป็นความหนาแน่นนี้เพื่อให้. เพื่อให้ได้การกระทำของบนความหนาแน่นนี้ จำเป็นต้องหาจุดทั้งหมดและเขียน^{[ 7 ]}${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

ตัวส่วนในข้างต้นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลง ซึ่งในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของและดังนั้นนอกจากนี้ เห็นได้ชัดว่ามีเพียงสองจุดในภาพผกผันของซึ่งก็คือและเมื่อนำทั้งหมดมารวมกันจะได้ ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$${\displaystyle T^{-1}(x)}$${\displaystyle y=x/2}$${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

ตามธรรมเนียมแล้ว แผนที่ประเภทนี้จะใช้สัญลักษณ์ดังนั้นในกรณีนี้ ให้เขียนว่า ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

แผนที่นี้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นดังที่เห็นได้ง่ายว่าและสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดบนช่วงหน่วย และค่าคงที่ทั้งหมด ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle a}$

เมื่อมองในฐานะตัวดำเนินการเชิงเส้น คำถามที่ชัดเจนและเร่งด่วนที่สุดคือสเปกตรัม ของมันคืออะไร ? ค่าลักษณะเฉพาะค่า หนึ่ง นั้นชัดเจน: ถ้าสำหรับทุก ๆแล้วเห็นได้ชัดว่ามีดังนั้นความหนาแน่นสม่ำเสมอจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง อันที่จริงนี่คือค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของตัวดำเนินการมันคือค่าลักษณะเฉพาะของ Frobenius–Perronความหนาแน่นสม่ำเสมอแท้จริงแล้วไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากมาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงของการแปลงแบบไดอะดิก ${\displaystyle \rho (x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

เพื่อสำรวจสเปกตรัมในรายละเอียดมากขึ้น เราต้องจำกัดตัวเองให้อยู่ในพื้นที่ฟังก์ชัน ที่เหมาะสม (บนช่วงหน่วย) ก่อนจึงจะทำงานด้วยได้ นี่อาจเป็นพื้นที่ของฟังก์ชันที่วัดได้แบบเลเบสหรืออาจเป็นพื้นที่ของ ฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์กำลังสองได้หรืออาจเป็นเพียงพหุนามการทำงานกับพื้นที่เหล่านี้เป็นเรื่องยากอย่างน่าประหลาดใจ แม้ว่าจะสามารถหาสเปกตรัมได้ก็ตาม^{[ 7 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

หากใช้ปริภูมิแคนเตอร์ และฟังก์ชัน แทน จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก อย่างไรก็ตาม ควรระมัดระวัง เนื่องจากแผนที่ถูกกำหนดบนช่วงหน่วยของเส้นจำนวนจริง โดย สมมติว่ามีโทโพโลยีตามธรรมชาติบนจำนวนจริง ในทางตรงกันข้าม แผนที่ถูกกำหนดบนปริภูมิแคนเตอร์ซึ่งตามธรรมเนียมแล้วจะมีโทโพโลยี ที่แตกต่างกันมาก นั่น คือโทโพ โลยีผลคูณอาจเกิดการขัดแย้งกันของโทโพโลยี จึงต้องระมัดระวัง แต่ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น มีโฮโมมอร์ฟิซึมจากเซตแคนเตอร์ไปยังจำนวนจริง โชคดีที่มันแมปเซตเปิดไปยังเซตเปิด และด้วยเหตุนี้จึงรักษาแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องไว้ได้ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

ในการทำงานกับเซตแคนเตอร์จำเป็นต้องกำหนดโทโพโลยีให้กับมัน ซึ่งตามธรรมเนียมแล้วคือโทโพโลยีผลคูณโดยการเชื่อมต่อเซตส่วนเติมเต็ม มันสามารถขยายไปสู่ปริภูมิบอเรลหรือพีชคณิตซิกมาได้โทโพโลยีดังกล่าวคือโทโพโลยีของเซตทรงกระบอกเซตทรงกระบอกมีรูปแบบทั่วไปดังนี้ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

โดยที่เป็นค่าบิตที่กำหนดขึ้นเอง (ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันทั้งหมด) และเป็นค่าบิตเฉพาะจำนวนจำกัดที่กระจายอยู่ในสตริงบิตอนันต์ สิ่งเหล่านี้คือเซตเปิดของโทโพโลยี การวัดแบบมาตรฐานในปริภูมินี้คือการวัดแบบเบอร์นูลลีสำหรับการโยนเหรียญที่ยุติธรรม ถ้ามีการระบุบิตเพียงหนึ่งบิตในสตริงของตำแหน่งที่กำหนดขึ้นเอง การวัดจะเป็น 1/2 ถ้ามีการระบุสองบิต การวัดจะเป็น 1/4 และอื่นๆ เราสามารถทำให้ซับซ้อนขึ้นได้: เมื่อกำหนดจำนวนจริงเราสามารถกำหนดการวัดได้ ${\displaystyle *}$${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots }$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

ถ้า ลำดับมีหัวและ ก้อย การวัดด้วยค่า จะเหมาะสมกว่า เนื่องจากค่าดังกล่าวถูกรักษาไว้โดยแผนที่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

ตัวอย่างเช่นแปลงเป็นช่วงและแปลงเป็นช่วงและทั้งสองช่วงนี้มีขนาดเท่ากับ 1/2 ในทำนองเดียวกันแปลงเป็นช่วงซึ่งก็ยังมีขนาดเท่ากับ 1/2 เช่นกัน กล่าวคือ การฝังตัวข้างต้นรักษาขนาดเอาไว้ ${\displaystyle (0,*,\cdots )}$${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle (1,*,\dots )}$${\displaystyle [1/2,1]}$${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการเขียน

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

ซึ่งรักษาค่าการวัดนั้นไว้ กล่าวคือ มันแปลงค่าการวัดนั้นให้ค่าการวัดบนช่วงหน่วยกลับมาเป็นค่าการวัดของเลเบสอีกครั้ง ${\displaystyle \mu _{p}.}$

ให้ แทนกลุ่มของเซตเปิดทั้งหมดบนเซตแคนเตอร์และพิจารณาเซตของฟังก์ชันใดๆ ทั้งหมดการเลื่อนทำให้เกิดการผลักดันไปข้างหน้า${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

กำหนดโดยนี่คือฟังก์ชันบางอย่างอีกครั้งด้วยวิธีนี้ แผนที่เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่อื่นบนปริภูมิของฟังก์ชันทั้งหมดนั่นคือ เมื่อกำหนดค่าบางอย่างเราจะกำหนด ${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นนี้เรียกว่าตัวดำเนินการถ่ายโอนหรือตัวดำเนินการ Ruelle–Frobenius–Perronค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดคือค่าลักษณะเฉพาะ Frobenius–Perronและในกรณีนี้คือ 1 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่เกี่ยวข้อง คือมาตรวัดไม่แปรเปลี่ยน ในกรณีนี้คือมาตรวัด Bernoulliอีกครั้งเมื่อ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$${\displaystyle \rho (x)=1.}$

เพื่อให้ได้สเปกตรัมของจะต้องจัดเตรียมชุดฟังก์ชันพื้นฐาน ที่เหมาะสม สำหรับปริภูมิหนึ่งในตัวเลือกดังกล่าวคือการจำกัดให้อยู่ในเซตของพหุนามทั้งหมด ในกรณีนี้ ตัวดำเนินการจะมีสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องและฟังก์ชันลักษณะ เฉพาะ คือ (อย่างน่าประหลาดใจ) พหุนามเบอร์นูลลี ! ^{[ 8 ]} (ความบังเอิญของการตั้งชื่อนี้คาดว่าเบอร์นูลลีไม่ทราบ) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

อันที่จริงแล้ว สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

โดยที่ พหุ นามเบอร์นูลลีคือ พหุนามเบอร์นูลลี ซึ่งเป็นผลมาจากพหุนามเบอร์นูลลีเป็นไปตามเอกลักษณ์ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

โปรดทราบว่า${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

ฐานอีกแบบหนึ่งคือฐานฮาร์ (Haar basis ) และฟังก์ชันที่ครอบคลุมพื้นที่นั้นคือเวฟเล็ตฮาร์ (Haar wavelets ) ในกรณีนี้ จะพบสเปกตรัมต่อเนื่องซึ่งประกอบด้วยดิสก์หน่วยบนระนาบเชิงซ้อนกำหนดให้ในดิสก์หน่วย ดังนั้นฟังก์ชันต่างๆ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

เชื่อฟัง

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

นี่เป็นฐานที่สมบูรณ์ เนื่องจากจำนวนเต็ม ทุกจำนวน สามารถเขียนได้ในรูปแบบพหุนามเบอร์นูลลีได้มาจากการตั้งค่าและ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

สามารถให้ฐานที่สมบูรณ์ได้ด้วยวิธีอื่นเช่นกัน โดยอาจเขียนในรูปของฟังก์ชันซีตาของฮูร์วิตซ์อีกฐานที่สมบูรณ์หนึ่งได้มาจากฟังก์ชันทาคากิซึ่งเป็นฟังก์ชันแฟรกทัลที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ใดเลยฟังก์ชันเฉพาะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

คลื่นสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหนอีกครั้งหนึ่ง... ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

ฐานต่างๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของกันและกัน ในแง่นี้ ฐานเหล่านั้นจึงมีความเทียบเท่ากัน

ฟังก์ชันไอเกนแบบแฟรกทัลแสดงสมมาตรที่ชัดเจนภายใต้กลุ่ม แฟรกทัล ของกลุ่มมอดูลาร์ซึ่งมีการพัฒนาในรายละเอียดมากขึ้นในบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันทาคากิ (เส้นโค้งบล็องมังจ์) อาจไม่ใช่เรื่องน่าประหลาดใจนัก เพราะเซตแคนเตอร์มีชุดสมมาตรแบบเดียวกัน (เช่นเดียวกับเศษส่วนต่อเนื่อง ) จากนั้นจึงนำไปสู่ทฤษฎีสมการเชิงวงรีและรูปแบบมอดูลาร์อย่าง สง่างาม

แฮมิลโทเนียนของ แบบจำลองไอซิงหนึ่งมิติที่ไม่มีสนามสำหรับสปินที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

ให้เป็นค่าคงที่การปรับมาตรฐานที่เลือกอย่างเหมาะสม และเป็นค่าผกผันของอุณหภูมิสำหรับระบบ ฟังก์ชันการแบ่งส่วนสำหรับแบบจำลองนี้กำหนดโดย ${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

เราสามารถใช้กลุ่มการปรับมาตรฐาน ได้ โดยการอินทิเกรตสปินตัวที่สองออกไป ในการทำเช่นนั้น จะพบว่าสามารถเทียบเท่ากับฟังก์ชันพาร์ติชันสำหรับระบบที่เล็กกว่าที่มีสปิน จำนวนหนึ่งได้เช่นกัน${\displaystyle Z}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

โดยมีเงื่อนไขว่าเราแทนที่ ค่า และด้วยค่าที่ปรับมาตรฐานแล้วและเป็นไปตามสมการ ${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

สมมติว่าตอนนี้เราอนุญาตให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และสำหรับบางค่าในกรณีนั้น เราสามารถแนะนำพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับผ่านสมการ ${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle t\in [0,1)}$${\displaystyle \beta g}$

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

และการแปลงกลุ่มการปรับมาตรฐานที่เกิดขึ้นสำหรับจะเป็นแผนที่ไดอะดิกอย่างแม่นยำ: ^{[ 9 ]}${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• กระบวนการเบอร์นูลลี
• แผนการของเบอร์นูลลี
• แบบจำลอง Gilbert–Shannon–Reedsคือการแจกแจงแบบสุ่มบนลำดับการเรียงสับเปลี่ยนที่ได้จากการใช้แผนที่การคูณสองเท่ากับชุด จุดสุ่มแบบสม่ำเสมอ nจุดบนช่วงหน่วย