ในทางคณิตศาสตร์แผนที่เต็นท์ที่มีพารามิเตอร์ μ คือฟังก์ชันค่าจริงf _μซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle f_{\mu }(x):=\mu \min\{x,\,1-x\},}$

ชื่อนี้มาจากรูปทรงคล้ายเต็นท์ ของ กราฟของf _μสำหรับค่าของพารามิเตอร์ μ ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 นั้นf _μ จะแมปช่วงหน่วย [0, 1] ไปยังตัวมันเอง ดังนั้นจึงกำหนดระบบพลวัตแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง บนช่วงนั้น (หรือเทียบเท่ากับความสัมพันธ์เวียนเกิด ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวนซ้ำจุดx ₀ใน [0, 1] จะทำให้เกิดลำดับดังนี้: ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}}$

โดยที่ μ เป็นค่าคงที่จำนวนจริงบวก ตัวอย่างเช่น หากเลือกพารามิเตอร์ μ = 2 ผลของฟังก์ชันf _μอาจมองได้ว่าเป็นผลมาจากการพับช่วงหน่วยครึ่งหนึ่ง แล้วยืดช่วง ที่ได้ [0, 1/2] เพื่อให้ได้ช่วง [0, 1] อีกครั้ง การทำซ้ำขั้นตอนดังกล่าว จุดใดๆx ₀ในช่วงจะอยู่ในตำแหน่งใหม่ที่ต่อเนื่องกันดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ทำให้เกิดลำดับx _nในช่วง [0, 1]

กรณีของแผนที่เต็นท์เป็นการแปลงแบบไม่เชิงเส้นของทั้งแผนที่การเลื่อนบิตและ กรณี r = 4 ของแผนที่โลจิสติก ${\displaystyle \mu =2}$

แผนที่เต็นท์ที่มีพารามิเตอร์ μ = 2 และแผนที่โลจิสติกที่มีพารามิเตอร์r = 4 นั้นเป็นคู่กันทางโทโพโลยี [ ^{1 ] ดังนั้น}พฤติกรรมของแผนที่ทั้งสองจึงเหมือนกันในแง่นี้ภายใต้การวนซ้ำ

ขึ้นอยู่กับค่าของ μ แผนภาพเต็นท์แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมพลวัตที่หลากหลาย ตั้งแต่คาดเดาได้ไปจนถึงอลหม่าน

• ถ้า μ น้อยกว่า 1 จุดx = 0 จะเป็นจุดคงที่ที่ดึงดูด ของระบบสำหรับค่าเริ่มต้นของx ทุกค่า กล่าวคือ ระบบจะลู่เข้าสู่x = 0 จากค่าเริ่มต้นของx ใดๆ ก็ตาม
• ถ้า μ เท่ากับ 1 ค่า xทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1/2 จะเป็นจุดคงที่ของระบบ
• ถ้า μ มากกว่า 1 ระบบจะมีจุดคงที่สองจุด จุดหนึ่งอยู่ที่ 0 และอีกจุดหนึ่งอยู่ที่ μ/(μ + 1) จุดคงที่ทั้งสองจุดไม่เสถียร กล่าวคือ ค่าxที่อยู่ใกล้จุดคงที่ใดจุดหนึ่งจะเคลื่อนห่างออกไปจากจุดคงที่นั้น แทนที่จะเคลื่อนเข้าหาจุดคงที่นั้น ตัวอย่างเช่น เมื่อ μ เท่ากับ 1.5 จะมีจุดคงที่อยู่ที่x = 0.6 (เนื่องจาก 1.5(1 − 0.6) = 0.6) แต่เมื่อเริ่มต้นที่x = 0.61 เราจะได้

${\displaystyle 0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots }$

• ถ้า μ อยู่ระหว่าง 1 และรากที่สองของ 2ระบบจะแมปเซตของช่วงระหว่าง μ − μ² ^/ 2 และ μ/2 ไปยังตัวมันเอง เซตของช่วงเหล่านี้คือเซตจูเลียของการแมป นั่นคือ เป็นเซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงที่เล็กที่สุดของเส้นจำนวนจริงภายใต้การแมปนี้ ถ้า μ มากกว่ารากที่สองของ 2 ช่วงเหล่านี้จะรวมกัน และเซตจูเลียจะเป็นช่วงทั้งหมดจาก μ − μ² ^/ 2 ถึง μ/2 (ดูแผนภาพการแยกสาขา)
• ถ้า μ อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 ช่วง [μ − μ ² /2, μ/2] จะมีทั้งจุดเป็นคาบและไม่เป็นคาบ แม้ว่าวงโคจร ทั้งหมด จะไม่เสถียร (กล่าวคือ จุดใกล้เคียงจะเคลื่อนที่ออกห่างจากวงโคจรแทนที่จะเคลื่อนที่เข้าหา) วงโคจรที่มีความยาวมากขึ้นจะปรากฏเมื่อ μ เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ ปรากฏที่ }}\mu =1}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ ปรากฏที่ }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ ปรากฏที่ }}\mu \approx 1.8393}$

• ถ้า μ เท่ากับ 2 ระบบจะแมปช่วง [0, 1] ไปยังตัวมันเอง ตอนนี้มีจุดคาบที่มีความยาววงโคจรทุกค่าภายในช่วงนี้ รวมถึงจุดที่ไม่เป็นคาบด้วย จุดคาบมีความหนาแน่นใน [0, 1] ดังนั้นแผนที่จึงกลายเป็นแบบอลวนอันที่จริง พลวัตจะไม่เป็นคาบก็ต่อเมื่อ เป็นจำนวนอตรรกยะ เท่านั้น สามารถเห็นได้จากการสังเกตว่าแผนที่ทำอะไรเมื่อแสดงใน รูปแบบ เลขฐานสอง : มันจะเลื่อนจุดเลขฐานสองไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง จากนั้น ถ้าสิ่งที่ปรากฏทางซ้ายของจุดเลขฐานสองเป็น "หนึ่ง" มันจะเปลี่ยนเลขหนึ่งทั้งหมดเป็นศูนย์และในทางกลับกัน (ยกเว้นบิตสุดท้าย "หนึ่ง" ในกรณีของการขยายเลขฐานสองแบบจำกัด) เริ่มต้นจากจำนวนอตรรกยะ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ โดยไม่เกิดการซ้ำกัน การวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับxคือความหนาแน่นสม่ำเสมอในช่วงหน่วย^{[ 2 ]} ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติสำหรับลำดับที่ยาวเพียงพอ { } จะแสดงสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นศูนย์ที่ค่าความล่าช้าที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด^{[ 3 ]} ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกแยะออกจากสัญญาณรบกวนสีขาวโดยใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ โปรดทราบว่า กรณี r = 4 ของแผนที่โลจิสติกและกรณีของแผนที่เต็นท์เป็นโฮโมมอร์ฟิกซึ่งกันและกัน: เมื่อกำหนดตัวแปรที่วิวัฒนาการแบบโลจิสติกเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมคือ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \mu =2}$${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).}$

• ถ้า μ มากกว่า 2 เซตจูเลียของแผนที่จะขาดการเชื่อมต่อ และแตกออกเป็นเซตแคนเตอร์ภายในช่วง [0, 1] เซตจูเลียยังคงมีจุดทั้งแบบไม่เป็นคาบและเป็นคาบจำนวนอนันต์ (รวมถึงวงโคจรสำหรับความยาววงโคจรใดๆ) แต่เกือบทุกจุดภายใน [0, 1] จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ในที่สุดเซตแคนเตอร์ แบบแคนอนิก (ได้จากการลบส่วนตรงกลางหนึ่งในสามออกจากเซตย่อยของเส้นหน่วยอย่างต่อเนื่อง) คือเซตจูเลียของแผนที่เต็นท์สำหรับ μ = 3

• เมื่อพิจารณาแผนภาพวงโคจรอย่างละเอียด จะเห็นว่ามี 4 บริเวณที่แยกออกจากกันที่ μ ≈ 1 เพื่อขยายภาพให้ใหญ่ขึ้น จึงลากเส้นอ้างอิง 2 เส้น (สีแดง) จากปลายไปยังค่า x ที่เหมาะสม ที่ค่า μ ค่าหนึ่ง (เช่น 1.10) ดังแสดงในภาพ

• เมื่อวัดระยะห่างจากเส้นอ้างอิงที่สอดคล้องกัน รายละเอียดเพิ่มเติมจะปรากฏในส่วนบนและส่วนล่างของแผนที่ (รวมทั้งหมด 8 บริเวณที่แยกจากกันที่ค่า μ บางค่า)

แผนที่เต็นท์แบบไม่สมมาตรนั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็น เวอร์ชันที่บิดเบี้ยว แต่ยังคงเป็นเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน ของ แผนที่เต็นท์ โดยนิยามดังนี้ ${\displaystyle \mu =2}$

${\displaystyle v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}}$

สำหรับพารามิเตอร์กรณีของแผนที่เต็นท์คือกรณีปัจจุบันของลำดับ { } จะมีฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเดียวกัน^{[ 3 ]} เช่นเดียวกับข้อมูลจาก กระบวนการถดถอยอัตโนมัติอันดับแรกที่มี { } กระจายตัวอย่างอิสระและเหมือนกันดังนั้น ข้อมูลจากแผนที่เต็นท์แบบไม่สมมาตรจึงไม่สามารถแยกแยะได้โดยใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติจากข้อมูลที่สร้างขึ้นโดยกระบวนการถดถอยอัตโนมัติอันดับแรก ${\displaystyle a\in [0,1]}$${\displaystyle \mu =2}$${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}}$${\displaystyle u_{n}}$

แผนที่เต็นท์พบการประยุกต์ใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพการรับรู้ทางสังคม^{[ 4 ]}ความโกลาหลในเศรษฐศาสตร์^{[ 5 ] [ 6 ]}การเข้ารหัสภาพ^{[ 7 ]}เกี่ยวกับความเสี่ยงและอารมณ์ความรู้สึกของตลาดสำหรับการกำหนดราคา^{[ 8 ]}เป็นต้น

• เลื่อนช่องว่าง
• รหัสสีเทา

• ChaosBook.org