เส้นโค้งบลังม็องจ์

ในทางคณิตศาสตร์เส้นโค้งบลังม็องจ์ (blancmange curve)เป็น เส้นโค้งแฟร็กทัลแบบแอฟฟินในตัวเอง (self-affine fractal curve)ที่สร้างขึ้นได้โดยการแบ่งจุดกึ่งกลาง เรียกอีกชื่อหนึ่งว่า เส้นโค้งทาคากิ (Takagi curve ) ตาม ชื่อของ เทจิ ทาคากิ (Teiji Takagi)ผู้บรรยายเส้นโค้งนี้ในปี 1901 หรือเส้นโค้งทาคากิ-แลนด์สเบิร์ก (Takagi–Landsberg curve ) ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของเส้นโค้งที่ตั้งชื่อตามทาคากิและจอร์จ แลนด์สเบิร์กชื่อบลังม็องจ์มาจากความคล้ายคลึงกับพุดดิ้งบลังม็องจ์ มันเป็นกรณีพิเศษของ เส้นโค้งเดอแรม (de Rham curve ) ที่ทั่วไปกว่า

ฟังก์ชัน blancmange ถูกกำหนดบนช่วงหน่วยโดย

${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}},}$

โดยที่คือคลื่นสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดโดยนั่นคือคือระยะห่างจากxไปยังจำนวนเต็มที่ ใกล้ ที่สุด ${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|xn|}$${\displaystyle s(x)}$

เส้นโค้ง Takagi–Landsberg เป็นการขยายความทั่วไปเล็กน้อย โดยกำหนดโดย

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$

สำหรับค่าพารามิเตอร์นั้น เส้นโค้งของขนมบล็องม็องจ์จึงเป็นกรณีดังกล่าวค่านี้เรียกว่าพารามิเตอร์เฮิร์สต์ ${\displaystyle w}$${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle H=-\log _{2}w}$

ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปยังเส้นจำนวนจริงทั้งหมดได้ โดยการใช้คำนิยามที่ให้ไว้ข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันจะซ้ำกันในแต่ละช่วงหน่วย

เส้นโค้งทาคากิแบบคาบสามารถนิยามได้ว่าเป็นคำตอบที่มีขอบเขตเฉพาะตัวของสมการเชิงฟังก์ชัน${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

อันที่จริง ฟังก์ชัน blancmange นั้นมีขอบเขตจำกัดอย่างแน่นอน และแก้สมการเชิงฟังก์ชันได้ เนื่องจาก ${\displaystyle T_{w}}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นคำตอบที่มีขอบเขตของสมการเชิงฟังก์ชัน การทำซ้ำความเท่าเทียมกันจะมีอยู่สำหรับ N ใดๆ${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ สำหรับ }}N\to \infty ,}$

ดังนั้น. อนึ่ง สมการเชิงฟังก์ชันข้างต้นมีคำตอบต่อเนื่องที่ไม่จำกัดจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน เช่น ${\displaystyle T=T_{w}}$${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

เส้นโค้งบล็องม็องจ์สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยภาพจากฟังก์ชันคลื่นรูปสามเหลี่ยม หากประมาณผลรวมอนันต์ด้วยผลรวมจำกัดของพจน์แรกๆ ไม่กี่พจน์ ในภาพประกอบด้านล่าง ฟังก์ชันรูปสามเหลี่ยมที่ละเอียดขึ้นเรื่อยๆ (แสดงด้วยสีแดง) จะถูกเพิ่มเข้าไปในเส้นโค้งในแต่ละขั้นตอน

n = 0	n ≤ 1	n ≤ 2	n ≤ 3

ผลรวมอนันต์ที่กำหนดนั้นลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับทุก ๆเนื่องจากสำหรับทุก ๆ${\displaystyle T_{w}(x)}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle 0\leq s(x)\leq 1/2}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

ถ้าเส้นโค้ง Takagi ของพารามิเตอร์ถูกกำหนดบนช่วงหน่วย (หรือ) ถ้าฟังก์ชัน Takagi ของพารามิเตอร์มีความต่อเนื่องฟังก์ชันที่กำหนดโดยผลรวมย่อย ${\displaystyle |w|<1.}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |w|<1}$${\displaystyle w}$${\displaystyle T_{w,n}}$

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

มีความต่อเนื่องและลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยัง${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

สำหรับทุกxเมื่อขอบเขตนี้ลดลงเมื่อตามทฤษฎีบทลิมิตสม่ำเสมอจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อ | w | < 1 ${\displaystyle |w|<1.}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle T_{w}}$

• 
  พารามิเตอร์w = 2/3
• 
  พารามิเตอร์w = 1/2
• 
  พารามิเตอร์w = 1/3
• 
  พารามิเตอร์w = 1/4
• 
  พารามิเตอร์w = 1/8

เนื่องจากค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันย่อยบวกดังนั้นฟังก์ชันและการขยายของฟังก์ชันนั้น ก็เป็นฟังก์ชันย่อยบวกเช่นกัน และเนื่องจากการรวมเชิงเส้นบวกและลิมิตแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันย่อยบวกก็เป็นฟังก์ชันย่อยบวกเช่นกัน ดังนั้นฟังก์ชัน Takagi จึง เป็นฟังก์ชันย่อยบวกสำหรับค่าพารามิเตอร์ใดๆ${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|xn|}$${\displaystyle s(2^{k}x)}$${\displaystyle w}$

สำหรับค่า จะได้พาราโบลา : การสร้างพาราโบลาโดยการแบ่งจุดกึ่งกลางนั้นได้รับการอธิบายโดยอาร์คิมิดีส ${\displaystyle w=1/4}$

สำหรับค่าของพารามิเตอร์ฟังก์ชัน Takagi สามารถหาอนุพันธ์ได้ในความหมายแบบคลาสสิกที่ค่าใดๆที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกโดยการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายของอนุกรม สำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่แบบไดอะดิกใดๆจะพบว่า ${\displaystyle 0<w<1/2,}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

ลำดับของเลขฐานสองใน การขยาย ฐาน 2ของ คือ อยู่ที่ใด: ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

ในทำนองเดียวกัน บิตในการขยายเลขฐานสองสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นลำดับของคลื่นสี่เหลี่ยมซึ่งก็คือเวฟเล็ตฮาร์ที่ปรับขนาดตามความกว้างซึ่งเป็นผลมาจากการที่อนุพันธ์ของคลื่นสามเหลี่ยมก็คือคลื่นสี่เหลี่ยมนั่นเอง ${\displaystyle 2^{-n}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

และดังนั้น

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

สำหรับพารามิเตอร์ฟังก์ชัน จะเป็นลิปชิตซ์ที่มีค่าคงที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าพิเศษจะพบว่า สำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ไดอะดิกใดๆก็ตาม เป็นไปตามที่กล่าวไว้ ${\displaystyle 0<w<1/2,}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle 1/(1-2w).}$${\displaystyle w=1/4}$${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

สำหรับฟังก์ชัน blancmange นั้น มีค่าความแปรผันจำกัด บนเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ และถึงแม้จะไม่เป็นฟังก์ชัน Lipschitz ในระดับท้องถิ่น แต่ก็เป็นฟังก์ชัน quasi-Lipschitz และที่สำคัญคือ ฟังก์ชันนี้ยอมรับฟังก์ชัน ดังกล่าวเป็น โมดู ลั สของความต่อเนื่อง${\displaystyle w=1/2}$${\displaystyle T_{w}}$${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$

ฟังก์ชัน Takagi–Landsberg ยอมรับการขยายอนุกรมฟูริเยร์ที่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์:

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

ด้วยและสำหรับ${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

กำลังสูงสุดของที่หารลงตัว คือ เท่าใดที่จริงแล้วคลื่นสามเหลี่ยม ข้างต้น มีการขยายอนุกรมฟูริเยร์ที่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle 2^{\nu (m)}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

จากการลู่เข้าสัมบูรณ์ เราสามารถเรียงลำดับอนุกรมคู่ที่สอดคล้องกันใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle T_{w}(x)}$

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

การใส่ผลลัพธ์เป็นอนุกรมฟูริเยร์ข้างต้นสำหรับ${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$${\displaystyle T_{w}(x).}$

นิยามแบบเวียนซ้ำช่วยให้สามารถกำหนดโมโนอิด ของสมมาตรในตัวเองของเส้นโค้งได้ โมโนอิดนี้กำหนดโดยตัวสร้างสองตัว คือ gและrซึ่งกระทำต่อเส้นโค้ง (จำกัดอยู่ในช่วงหน่วย) ดังนี้

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

และ

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

องค์ประกอบทั่วไปของโมโนอิดจะมีรูปแบบดังนี้สำหรับจำนวนเต็มบางจำนวนสิ่งนี้กระทำต่อเส้นโค้งเหมือนฟังก์ชันเชิงเส้น : สำหรับค่าคงที่a , bและc บางค่า เนื่องจากการกระทำเป็นเชิงเส้น จึงสามารถอธิบายได้ในรูปของปริภูมิเวกเตอร์โดยมีฐานปริภูมิเวกเตอร์ดังนี้ : ${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

ใน การแสดงนี้การกระทำของgและrจะกำหนดโดย

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

กล่าวคือ การกระทำขององค์ประกอบทั่วไปจะแมปเส้นโค้งบล็องม็องจ์บนช่วงหน่วย [0,1] ไปยังช่วงย่อยสำหรับจำนวนเต็มm , n , p บางจำนวน การแมปนี้กำหนดได้อย่างแม่นยำโดยที่ค่าของa , bและcสามารถหาได้โดยตรงจากการคูณเมทริกซ์ข้างต้น นั่นคือ: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

โปรดทราบว่านี่เป็นผลทันที ${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$

โมโนอิดที่สร้างขึ้นโดยgและrบางครั้งเรียกว่าไดอะดิก โมโนอิดซึ่งเป็นซับโมโนอิดของกลุ่มมอดูลาร์ในการกล่าวถึงกลุ่มมอดูลาร์ สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับgและrคือTและSแต่สัญลักษณ์นั้นขัดแย้งกับสัญลักษณ์ที่ใช้ในที่นี้

ภาพสามมิติข้างต้นเป็นเพียงหนึ่งในหลายๆ รูปแบบที่เป็นไปได้ แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งบล็องม็องจ์เป็นหนึ่งในรูปแบบที่เป็นไปได้ของการกระทำนั้น กล่าวคือ มีรูปแบบการแสดงผลสำหรับทุกมิติ ไม่ใช่แค่ 3 มิติเท่านั้น บางรูปแบบเหล่านี้ให้เส้น โค้งเดอแรม

เนื่องจากปริพันธ์ของจาก 0 ถึง 1 มีค่าเท่ากับ 1/2 เอกลักษณ์นี้ทำให้สามารถคำนวณปริพันธ์ในช่วงใดๆ ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ การคำนวณเป็นแบบเวียนซ้ำ โดยใช้เวลาในการคำนวณอยู่ในระดับลอการิทึมของความแม่นยำที่ต้องการ การกำหนด ${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)}$${\displaystyle \operatorname {blanc} (x)=\operatorname {blanc} (2x)/2+s(x)}$

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}\operatorname {blanc} (y)\,dy}$

คนหนึ่งมีสิ่งนั้น

${\displaystyle I(x)={\begin{cases}I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{if }}0\leq x\leq 1/2\\1/2-I(1-x)&{\text{if }}1/2\leq x\leq 1\\n/2+I(x-n)&{\text{if }}n\leq x\leq (n+1)\\\end{cases}}}$

อินทิกรัลจำกัดมีค่าดังนี้:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\operatorname {blanc} (y)\,dy=I(b)-I(a).}$

สามารถหาการแสดงออกที่ครอบคลุมมากขึ้นได้โดยการกำหนด

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}s(y)dy={\begin{cases}x^{2}/2,&0\leq x\leq {\frac {1}{2}}\\-x^{2}/2+x-1/4,&{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\n/4+S(x-n),&(n\leq x\leq n+1)\end{cases}}}$

ซึ่งเมื่อรวมกับการนำเสนอแบบอนุกรมแล้ว จะทำให้ได้

${\displaystyle I_{w}(x)=\int _{0}^{x}T_{w}(y)dy=\sum _{n=0}^{\infty }(w/2)^{n}S(2^{n}x)}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle I_{w}(1)={\frac {1}{4(1-w)}}}$

อินทิกรัลนี้ยังมีความคล้ายคลึงในตัวเองบนช่วงหน่วย ภายใต้การกระทำของโมโนอิดไดอะดิกที่อธิบายไว้ในส่วน " ความคล้ายคลึงในตัวเอง " ในที่นี้ การแสดงผลเป็นแบบ 4 มิติ โดยมีฐานเป็นการกระทำของgบนช่วงหน่วยคือไดอะแกรมการสลับตำแหน่ง${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=\{1,x,x^{2},I_{w}(x)\}}$

${\displaystyle [g\cdot I_{w}](x)=I_{w}\left(g\cdot x\right)=I_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {w}{2}}I_{w}(x).}$

จากข้อมูลนี้ เราสามารถอ่านค่าตัวสร้างของการแสดงผลแบบสี่มิติได้ทันที:

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&0&0\\0&0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\\0&0&0&{\frac {w}{2}}\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&1&{\frac {1}{4(1-w)}}\\0&-1&-2&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

อินทิกรัลซ้ำจะแปลงรูปภายใต้การแสดงผลแบบ 5, 6, ... มิติ

อนุญาต

${\displaystyle N={\binom {n_{t}}{t}}+{\binom {n_{t-1}}{t-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{t}>n_{t-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.}$

กำหนดฟังก์ชัน Kruskal–Katona

${\displaystyle \kappa _{t}(N)={n_{t} \choose t+1}+{n_{t-1} \choose t}+\dots +{n_{j} \choose j+1}.}$

ทฤษฎีบทKruskal–Katonaกล่าวว่า นี่คือจำนวนขั้นต่ำของซิมเพล็กซ์ ( t  − 1) ที่เป็นหน้าของเซตของซิมเพล็กซ์ N t

เมื่อtและNเข้าใกล้ค่าอนันต์ (เมื่อปรับค่าให้เหมาะสมแล้ว) จะเข้าใกล้เส้นโค้งของขนมบล็องม็องจ์ ${\displaystyle \kappa _{t}(N)-N}$

• ฟังก์ชันแคนเตอร์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ บันไดปีศาจ)
• ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกี
• ฟังก์ชันไวเออร์สตรัส
• การแปลงแบบทวิดิก

• Allaart, Pieter C.; Kawamura, Kiko (11 ตุลาคม 2011), ฟังก์ชัน Takagi: การสำรวจ , arXiv : 1110.1691 , Bibcode : 2011arXiv1110.1691A
• Lagarias, Jeffrey C. (17 ธันวาคม 2011), ฟังก์ชัน Takagi และคุณสมบัติของมัน , arXiv : 1112.4205 , Bibcode : 2011arXiv1112.4205L

• ทาคากิ เอ็กซ์พลอเรอร์
• (คุณสมบัติบางประการของฟังก์ชัน Takagi)