ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง (modulus of continuity)คือฟังก์ชัน ω : [0, ∞] → [0, ∞] ที่ใช้ในการวัดความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันในเชิงปริมาณ ดังนั้น ฟังก์ชันf  : I → Rจะมี ω เป็นค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องได้ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \omega (|xy|),}$

สำหรับทุกxและyในโดเมนของfเนื่องจากโมดูลัสของความต่อเนื่องจะต้องมีค่าเล็กน้อยมากที่ 0 ฟังก์ชันจึงจะมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอได้ก็ต่อเมื่อมันมีโมดูลัสของความต่อเนื่อง ยิ่งไปกว่านั้น ความเกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้ได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของฟังก์ชันที่มีโมดูลัสของความต่อเนื่องเดียวกันนั้นเป็นตระกูลที่มีความต่อเนื่อง เท่ากัน ตัวอย่างเช่น โมดูลัส ω( t ) := ^kt อธิบาย ฟังก์ชัน k- Lipschitzโมดูลัส ω( t ) := ktαอธิบายความต่อเนื่องของ Hölderโมดูลัส ω( t ) := kt (|log t |+1) อธิบาย คลาส almost Lipschitzและอื่นๆ โดยทั่วไป บทบาทของ ω คือการกำหนดความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ชัดเจนของ ε กับ δ ในนิยาม (ε, δ) ของความต่อเนื่องสม่ำเสมอแนวคิดเดียวกันนี้สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกได้ อย่างเป็นธรรมชาติ นอกจากนี้ การนำแนวคิดเหล่านี้ไปปรับใช้ในระดับท้องถิ่นที่เหมาะสม จะช่วยให้สามารถอธิบายความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่งในเชิงปริมาณได้ โดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องเป็นตัวแปร

โมดูลัสความต่อเนื่องแบบเว้ามีบทบาทพิเศษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการขยาย และการประมาณค่าฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอสำหรับฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริก การยอมรับโมดูลัสความต่อเนื่องที่เป็นแบบเว้า หรือแบบกึ่งบวก หรือแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอ หรือแบบกึ่งเชิงเส้น (ในแง่ของการเติบโต ) นั้นเทียบเท่ากัน อันที่จริง การมีอยู่ของโมดูลัสความต่อเนื่องพิเศษดังกล่าวสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอจะเกิดขึ้นได้เสมอเมื่อโดเมนเป็นเซตย่อยแบบกระชับ หรือเซตย่อยแบบนูนของปริภูมิบรรทัดฐานอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิเมตริกทั่วไปจะยอมรับโมดูลัสความต่อเนื่องแบบเว้าก็ต่อเมื่ออัตราส่วน

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}}$

ฟังก์ชันเหล่านี้มีขอบเขตสม่ำเสมอสำหรับทุกคู่ ( x , x ′) ที่มีขอบเขตห่างจากแนวทแยงของX x X ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังกล่าวจัดเป็นกลุ่มย่อยพิเศษของฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ ซึ่งต่อไปนี้เราจะเรียกว่าฟังก์ชัน ต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษที่มีค่าเป็นจำนวนจริงบนปริภูมิเมตริกXสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดที่เป็นการจำกัด ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอเหนือปริภูมิบรรทัดฐานใดๆ ที่บรรจุ X ไว้ในปริภูมิ ไอโซเมตริกไปยังX นอกจากนี้ยังสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นการปิดสม่ำเสมอของฟังก์ชันลิปชิตซ์บนX

ตามหลักการแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่มีค่าเพิ่มขึ้นแบบขยายไปยังจำนวนจริง ω : [0, ∞] → [0, ∞] ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ 0 และมีค่าต่อเนื่องที่ 0 นั่นคือ

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.}$

โมดูลัสของความต่อเนื่องส่วนใหญ่ใช้เพื่ออธิบายเชิงปริมาณทั้งความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง และความต่อเนื่องสม่ำเสมอ สำหรับฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริก ตามคำจำกัดความต่อไปนี้

ฟังก์ชันf  : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) ยอมรับ ω เป็นโมดูลัสความต่อเนื่อง (เฉพาะที่) ณ จุดxในXก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

นอกจากนี้fยอมรับ ω เป็นโมดูลัสความต่อเนื่อง (ทั่วโลก) ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ω เป็นโมดูลัสของความต่อเนื่อง (หรือที่x ) สำหรับfหรือกล่าวโดยย่อ คือ fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบ ω (หรือที่x ) ในที่นี้ เราจะกล่าวถึงแนวคิดโดยรวมเป็นหลัก

• ถ้าfมี ω เป็นโมดูลัสของความต่อเนื่อง และ ω ₁ ≥ ω แล้วf ก็ ยอมรับ ω ₁เป็นโมดูลัสของความต่อเนื่องด้วยเช่นกัน
• ถ้าf  : X → Yและg  : Y → Zเป็นฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกที่มีโมดูลัส ω ₁และ ω ₂ ตามลำดับ แผนที่การประกอบจะมีโมดูลัสของความต่อเนื่อง${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$${\displaystyle \omega _{2}\circ \omega _{1}}$
• ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเมตริก X ไปยังปริภูมิบานาคYโดยมีค่าสัมบูรณ์ ω ₁และ ω ₂ ตามลำดับ แล้วการรวมเชิงเส้นใดๆaf + bgจะมีค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่อง | a |ω ₁ +| b |ω ₂เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังY ที่มี ω เป็นตัวสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องเป็นเซตย่อย นูนของปริภูมิเวกเตอร์C ( X , Y ) ซึ่งปิดภายใต้การลู่เข้าแบบจุดต่อจุด
• ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่มีขอบเขตบนปริภูมิเมตริกXโดยมีค่าสัมบูรณ์ ω ₁และ ω ₂ ตามลำดับ แล้วผลคูณแบบจุดต่อจุดfgจะมีค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่อง${\displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}}$
• ถ้าเป็นกลุ่มของฟังก์ชันค่าจริงบนปริภูมิเมตริกXที่มีโมดูลัสความต่อเนื่องร่วมกัน ω แล้ว ซองล่าง และซองบน ตามลำดับจะเป็นฟังก์ชันค่าจริงที่มีโมดูลัสความต่อเนื่อง ω โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีค่าจำกัดที่ทุกจุด ถ้า ω เป็นค่าจริง ก็เพียงพอแล้วที่ซองจะมีค่าจำกัดที่จุดใดจุดหนึ่งในXอย่างน้อย หนึ่งจุด${\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$${\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$${\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$

• ผู้เขียนบางคนไม่ต้องการคุณสมบัติความเป็นเอกภาค และบางคนต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติม เช่น ω ต้องต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม หาก f ยอมรับค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องในนิยามที่อ่อนกว่า มันก็จะยอมรับค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในช่วง (0, ∞) ด้วย ตัวอย่างเช่นเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้น และ ω ₁ ≥ ω; ก็มีความต่อเนื่อง และ ω ₂ ≥ ω ₁และรูปแบบที่เหมาะสมของนิยามข้างต้นยังทำให้ ω ₂หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งในช่วง [0, ∞] ด้วย$${\displaystyle \omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)}$$$${\displaystyle \omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds}$$
• ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอใดๆ จะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องขั้นต่ำ ω _fซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง (ที่เหมาะสมที่สุด) ของf : ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันใดๆ ที่ต่อเนื่อง ณ จุดxจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องขั้นต่ำ ณ จุดx , ω _f ( t ; x ) ( ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง (ที่เหมาะสมที่สุด) ของfณ จุดx ): อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่จำกัดเหล่านี้ไม่ค่อยมีความเกี่ยวข้องมากนัก เพราะในกรณีส่วนใหญ่ ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องที่เหมาะสมที่สุดของfไม่สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน แต่สามารถจำกัดจากด้านบนได้เท่านั้น (โดย ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง ใดๆของf ) ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติหลักของค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องเกี่ยวข้องโดยตรงกับนิยามที่ไม่จำกัด$${\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$$${\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$
• โดยทั่วไป ค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องของฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิเมตริกจะต้องมีค่าเป็น +∞ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน^f :  N → R โดยที่f ( n ) := n²เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับเมตริกแบบไม่ ต่อเนื่อง บนNและค่าสัมบูรณ์ของความต่อเนื่องขั้นต่ำสุดคือ ωf ₍ t ) = +∞ สำหรับ t ≥ 1 ใดๆ และ ωf ₍ t ) = 0 สำหรับกรณีอื่นๆ อย่างไรก็ตาม สถานการณ์จะแตกต่างออกไปสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอที่กำหนดบนเซตย่อยแบบกระชับหรือแบบนูนของปริภูมิบรรทัดฐาน

โมดูลัสความต่อเนื่องแบบพิเศษยังสะท้อนถึงคุณสมบัติโดยรวมบางประการของฟังก์ชัน เช่น ความสามารถในการขยายและการประมาณค่าแบบสม่ำเสมอ ในส่วนนี้ เราจะกล่าวถึงโมดูลัสความต่อเนื่องที่เป็นเว้าหรือแบบกึ่งบวกหรือแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอ หรือแบบกึ่งเชิงเส้นเป็นหลัก คุณสมบัติเหล่านี้โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน กล่าวคือ สำหรับโมดูลัส ω (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ข้อจำกัดของมันบน [0, ∞)) แต่ละข้อต่อไปนี้จะบ่งชี้ถึงข้อถัดไป:

• ω เป็นฟังก์ชันเว้า;
• ω มีคุณสมบัติย่อยในการบวก
• ω มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ
• ω เป็นแบบซับลิเนียร์ นั่นคือ มีค่าคงที่aและbที่ทำให้ ω( t ) ≤ at + bสำหรับทุกt
• ω ถูกครอบงำด้วยโมดูลัสเว้า กล่าวคือ มีโมดูลัสความต่อเนื่องเว้าอยู่จริงโดยที่สำหรับทุกt${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$${\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}$

ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันfระหว่างปริภูมิเมตริก จะเทียบเท่ากับการยอมรับโมดูลัสความต่อเนื่องที่เป็นเว้า หรือแบบย่อยบวก หรือแบบต่อเนื่องสม่ำเสมอ หรือแบบย่อยเชิงเส้น ในกรณีนี้ ฟังก์ชันfบางครั้งเรียกว่า แผนที่ ต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษซึ่งเป็นจริงเสมอในกรณีของโดเมนแบบกระชับหรือแบบนูน อันที่จริง แผนที่ต่อเนื่องสม่ำเสมอf  : C → Yที่กำหนดบนเซตแบบนูนCของปริภูมิบรรทัดฐานEจะยอมรับ โมดูลัสความต่อ เนื่องแบบย่อยบวก เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าจริงในรูปฟังก์ชัน ω : [0, ∞) → [0, ∞) อันที่จริง สามารถตรวจสอบได้ทันทีว่าโมดูลัสความต่อเนื่องที่เหมาะสมที่สุด ω _fที่กำหนดไว้ข้างต้นเป็นแบบย่อยบวกหากโดเมนของfเป็นแบบนูน: เรามี สำหรับทุกsและt :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}$

โปรดทราบว่า ผลที่ตามมาโดยตรงคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอใดๆ บนเซตย่อยนูนของปริภูมิบรรทัดฐานจะมีอัตราการเติบโตต่ำกว่าเชิงเส้น กล่าวคือ มีค่าคงที่aและbที่ทำให้ | f ( x )| ≤ a | x |+ bสำหรับทุกxอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิเมตริกทั่วไปจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องเว้าก็ต่อเมื่ออัตราส่วนมีขอบเขตสม่ำเสมอสำหรับทุกคู่ ( x , x ′) ที่มีระยะห่างจากศูนย์มีขอบเขต เงื่อนไขนี้เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอที่มีขอบเขตใดๆ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ในปริภูมิเมตริกกระชับ ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}$

สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องแบบย่อยเชิงเส้นได้ง่ายๆ สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอใดๆ ที่เป็นการรบกวนแบบมีขอบเขตของฟังก์ชันลิปชิตซ์: ถ้าfเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง ω และgเป็น ฟังก์ชันลิปชิตซ์ kที่มีระยะห่างสม่ำเสมอrจากfแล้วfจะมีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องแบบย่อยเชิงเส้น min{ω( t ), 2 r + kt } ในทางกลับกัน อย่างน้อยสำหรับฟังก์ชันค่าจริง ฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษใดๆ ก็เป็นการรบกวนแบบมีขอบเขตและต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันลิปชิตซ์บางฟังก์ชัน อันที่จริงแล้วยังมีข้อเท็จจริงเพิ่มเติมดังที่แสดงไว้ด้านล่าง (การประมาณค่าลิปชิตซ์)

คุณสมบัติข้างต้นสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอในโดเมนแบบนูนนั้น ยอมรับคุณสมบัติผกผันได้ อย่างน้อยในกรณีของฟังก์ชันค่าจริง กล่าวคือ ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษทุกฟังก์ชันf  : X → Rที่กำหนดบนปริภูมิเมตริกXซึ่งเป็นปริภูมิย่อยเมตริกของปริภูมิบรรทัดฐานEยอมรับส่วนขยายบนEที่รักษาสัมประสิทธิ์ย่อยบวก ω ใดๆ ของf ไว้ ส่วนขยายที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดดังกล่าวคือ ตามลำดับ:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}}$

ดังที่กล่าวไว้ โมดูลัสความต่อเนื่องแบบย่อยบวกใดๆ ก็ตามจะมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ: อันที่จริง มันยอมรับตัวเองเป็นโมดูลัสความต่อเนื่อง ดังนั้นf _∗และf*จึงเป็นซองหุ้มที่ต่ำกว่าและสูงกว่าของตระกูล ω-ต่อเนื่อง ตามลำดับ ดังนั้นจึงยังคงมีความต่อเนื่อง ω อยู่ นอกจากนี้ โดยการฝังแบบ Kuratowski ปริภูมิ เมตริกใดๆ ก็ตามจะสมมาตรกับเซตย่อยของปริภูมิบรรทัดฐาน ดังนั้น ฟังก์ชันค่าจริงที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอเป็นพิเศษจึงเป็นข้อจำกัดของฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในปริภูมิบรรทัดฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การสร้างนี้ให้การพิสูจน์อย่างรวดเร็วของทฤษฎีบทการขยาย Tietze บนปริภูมิเมตริกแบบกะทัดรัด อย่างไรก็ตาม สำหรับการแมปที่มีค่าใน ปริภูมิ Banachที่ทั่วไปกว่าRสถานการณ์จะซับซ้อนกว่ามาก ผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดาแรกในทิศทางนี้คือทฤษฎีบท Kirszbraun

ฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องสม่ำเสมอพิเศษทุกฟังก์ชันf  : X → Rที่กำหนดบนปริภูมิเมตริกXสามารถ ประมาณค่า ได้สม่ำเสมอโดยใช้ฟังก์ชันลิปชิตซ์ ยิ่งไปกว่านั้น ความเร็วของการล convergence ในแง่ของค่าคงที่ลิปชิตซ์ของการประมาณค่ามีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับโมดูลัสความต่อเนื่องของfกล่าวคือ ให้ ω เป็นโมดูลัสความต่อเนื่องเว้าขั้นต่ำของfซึ่งคือ

${\displaystyle \omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}$

ให้ δ( s ) เป็น ระยะทางสม่ำเสมอระหว่างฟังก์ชันfและเซต Lips _ของฟังก์ชันค่าจริงแบบลิปชิตซ์ทั้งหมดบนCที่มีค่าคงที่ลิปชิตซ์ s  :

${\displaystyle \delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .}$

จากนั้นฟังก์ชัน ω( t ) และ δ( s ) สามารถเชื่อมโยงกันได้ผ่านการแปลงเลอจองเดอร์ : กล่าวคือ ฟังก์ชัน 2δ( s ) และ −ω(− t ) (ขยายอย่างเหมาะสมไปยัง +∞ นอกโดเมนของความจำกัด) เป็นคู่ของฟังก์ชันนูนที่สัมพันธ์กัน^{[ 1 ]}สำหรับ

${\displaystyle 2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},}$

${\displaystyle \omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.}$

เนื่องจาก ω( t ) = o(1) สำหรับt → 0 ⁺ , จึงสรุปได้ว่า δ( s ) = o(1) สำหรับs → +∞ ซึ่งหมายความว่าfสามารถประมาณค่าได้อย่างสม่ำเสมอด้วยฟังก์ชันลิปชิตซ์ ดังนั้น การประมาณค่าที่เหมาะสมที่สุดจึงกำหนดโดยฟังก์ชัน

${\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):}$

แต่ละฟังก์ชันf _sมีค่าคงที่ลิปชิตซ์ sและ

${\displaystyle \|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);}$

อันที่จริง ฟังก์ชัน s -Lipschitz ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ทำให้ระยะทาง δ( s ) เป็นจริงได้นั้นก็คือฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าจริง α-Hölder บนปริภูมิเมตริกนั้นมีลักษณะเฉพาะคือฟังก์ชันที่สามารถประมาณค่าได้อย่างสม่ำเสมอด้วย ฟังก์ชัน s -Lipschitz โดยมีความเร็วในการล convergence ในขณะที่ฟังก์ชัน almost Lipschitz มีลักษณะเฉพาะคือความเร็วในการล convergence แบบเลขชี้กำลัง${\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}$${\displaystyle O(e^{-as}).}$

• ให้f  : [ a , b ] → Rเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในการพิสูจน์ว่าfสามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ โดย ทั่วไปแล้ว เราจะกำหนดขอบเขตของระยะห่างระหว่าง ผลรวมรีมันน์บนและล่างโดยสัมพันธ์กับพาร์ติชันรีมันน์P  := { t ₀ , ..., t _n } ในรูปของโมดูลัสความต่อเนื่องของfและเมชของพาร์ติชันP (ซึ่งก็คือจำนวน)${\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})}$$${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}$$
• สำหรับตัวอย่างการใช้งานในอนุกรมฟูริเยร์โปรดดูที่ การ ทดสอบDini

Steffens (2006, หน้า 160) ระบุว่าการใช้โอเมก้าครั้งแรกสำหรับโมดูลัสของความต่อเนื่องมาจากLebesgue (1909, หน้า 309/หน้า 75) โดยที่โอเมก้าหมายถึงการแกว่งของการแปลงฟูริเยร์ De la Vallée Poussin (1919, หน้า 7–8) กล่าวถึงทั้งสองชื่อ (1) "โมดูลัสของความต่อเนื่อง" และ (2) "โมดูลัสของการแกว่ง" จากนั้นสรุปว่า "แต่เราเลือก (1) เพื่อดึงดูดความสนใจไปที่การใช้งานที่เราจะใช้มัน"

ให้ 1 ≤ p ; ให้f  : R ⁿ → Rเป็นฟังก์ชันของคลาสL ^pและให้h ∈ R ⁿการเลื่อนhของf ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย (τ _h f )( x ) := f ( x − h ) อยู่ใน คลาส L ^pยิ่งไปกว่านั้น ถ้า 1 ≤ p < ∞ แล้วเมื่อ ǁ h ǁ → 0 เราจะได้ว่า:

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}$

ดังนั้น เนื่องจากการแปลความหมายนั้นเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบไอโซเมตริก ดังนั้นการแปลความหมายจึงมีผลเช่นกัน

${\displaystyle \|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),}$

เมื่อ ǁ h ǁ → 0 อย่างสม่ำเสมอบนv ∈ R ⁿ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนที่h → τ _hกำหนดกลุ่มไอโซเมตรีเชิงเส้นแบบต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งของL ^pในกรณีที่p = ∞ คุณสมบัติข้างต้นโดยทั่วไปจะไม่เป็นจริง อันที่จริง มันจะลดลงเหลือเพียงความต่อเนื่องสม่ำเสมอ และกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของโมดูลัสความต่อเนื่องของฟังก์ชันต่อเนื่องสม่ำเสมอ: โมดูลัสความต่อเนื่องL ^pสำหรับฟังก์ชันที่วัดได้f  : X → Rคือโมดูลัสความต่อเนื่อง ω : [0, ∞] → [0, ∞] เช่นนั้น

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}$

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องยังให้คำอธิบายเชิงปริมาณเกี่ยวกับคุณสมบัติความต่อเนื่องที่ฟังก์ชัน L ^{p ทั้งหมดมีร่วมกัน}

จะเห็นได้ว่านิยามอย่างเป็นทางการของค่าสัมบูรณ์นั้นใช้แนวคิดของผลต่างจำกัดอันดับแรก:

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}(f,x)\right|.}$

ถ้าเราแทนที่ผลต่างนั้นด้วยผลต่างอันดับnเราจะได้โมดูลัสความต่อเนื่องอันดับn :

${\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|.}$

• การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์
• ค่าสัมประสิทธิ์การลู่เข้า
• ทฤษฎีบทโมดูลัสความต่อเนื่องของเลวีสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์