ความสามารถในการบวกย่อย

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ความสามารถในการบวกย่อย

ในทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติ การบวกย่อย (subadditivity)คือคุณสมบัติของฟังก์ชันที่กล่าวโดยคร่าว ๆ ว่า

Q: คำจำกัดความ

ฟังก์ชันย่อยบวก (Subadditive function) คือ ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน A และ โคโดเมน B ที่เรียงลำดับ ซึ่งทั้งสอง โดเมนปิด ภายใต้การบวก และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: เอฟ : เอ → บี {\displaystyle f\colon A\to B} ∀ x , y ∈ เอ , เอฟ ( x + y ) ≤ เอฟ ( x ) + เอฟ ( y ) .

Q: ลำดับ

ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับลำดับย่อยบวกคือ เลมมาของเฟเค เต [ 1 ]

ในทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติ การบวกย่อย (subadditivity)คือคุณสมบัติของฟังก์ชันที่กล่าวโดยคร่าว ๆ ว่า การประเมินค่าฟังก์ชันสำหรับผลรวมของสององค์ประกอบในโดเมนจะได้ผลลัพธ์ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของค่าฟังก์ชันที่แต่ละองค์ประกอบเสมอ มีตัวอย่างมากมายของฟังก์ชันบวกย่อยในสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องบรรทัดฐานและรากที่สอง แผนที่บวก ( additive maps)เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบวกย่อย

คำจำกัดความ

ฟังก์ชันย่อยบวก (Subadditive function) คือฟังก์ชัน ที่มีโดเมนAและโคโดเมนB ที่เรียงลำดับซึ่งทั้งสองโดเมนปิดภายใต้การบวก และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: $f\colon A\to B$ $\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน รากที่สองซึ่งมีจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เป็นโดเมนและโคโดเมน เนื่องจากเรามี: $\forall x,y\geq 0$ ${\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.$

ลำดับจะเรียกว่าลำดับย่อยบวก (subadditive)ถ้ามันสอดคล้องกับอสมการ สำหรับทุกค่าmและnนี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันย่อยบวก (subadditive function) ถ้าลำดับนั้นถูกตีความว่าเป็นฟังก์ชันบนเซตของจำนวนธรรมชาติ $\left\{a_{n}\right\}_{n\geq 1}$ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$

โปรดทราบว่าในขณะที่ลำดับเว้าเป็นลำดับย่อยบวกได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น กำหนดค่าให้กับตัวแปรใดๆ ใน; ลำดับนั้นจะเป็นลำดับย่อยบวกได้ แต่ไม่ใช่ลำดับเว้า $a_{1},a_{2},...$ $[0.5,1]$

คุณสมบัติ

ลำดับ

ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับลำดับย่อยบวกคือเลมมาของเฟเคเต^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทเสริมย่อยของเฟเคเต—สำหรับลำดับเสริมย่อยทุกตัวลิมิตจะเท่ากับค่าต่ำสุด (ลิมิตอาจเป็น) ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ $\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$ $-\infty$

การพิสูจน์

อนุญาต. $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$

ตามนิยามแล้วดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $\liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}$ $\limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}$

ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น ก็จะมีลำดับย่อยและ อยู่ ซึ่งสำหรับทุกๆ $(a_{n_{k}})_{k}$ $\epsilon >0$ ${\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon$ $k$

เนื่องจาก จึงมีอยู่จริงที่ ทำให้ $s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}$ $a_{m}$ ${\frac {a_{m}}{m}}<s^{*}+\epsilon$

ตามหลักการรังนกพิราบอนันต์จะมีลำดับย่อยของซึ่งดัชนีทั้งหมดอยู่ในชั้นเศษเหลือ เดียวกันมอดู ล และดังนั้นจึงเพิ่มขึ้นทีละเท่าของลำดับนี้ หากดำเนินต่อไปนานพอ จะถูกบังคับให้ลดลงต่ำกว่าเส้นความชันเนื่องจากคุณสมบัติการบวกย่อย ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง $(a_{n_{k}})_{k}$ $m$ $m$ $s^{*}+\เอปไซลอน$

กล่าวโดยละเอียดแล้ว จากคุณสมบัติการบวกย่อย เราจะได้ว่า

${\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \\a_{n_{k}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{k}-n_{1})/m\end{aligned}}}$

ซึ่งหมายความว่าเป็นความขัดแย้ง $\limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon$

ทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของเฟเคเต้ใช้ได้กับลำดับแบบซูเปอร์แอดดิทีฟเช่นกัน กล่าวคือ: (ลิมิตอาจเป็นอนันต์บวก: พิจารณาลำดับ.) $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ $a_{n}=\log n!$

มีการขยายบทพิสูจน์ของเฟเคเต้ที่ไม่ต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับทุกmและnแต่เป็นจริงเฉพาะสำหรับmและnที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$

การพิสูจน์

ดำเนินการพิสูจน์ต่อไปเช่นเดิม จนกระทั่งเราได้ใช้หลักการรังนกพิราบอนันต์เสร็จสิ้นแล้ว

พิจารณาลำดับต่อไปนี้เนื่องจากเราจึงได้ในทำนองเดียวกัน เราก็จะได้เป็นต้น $a_{m},a_{2m},a_{3m},...$ $2m/m=2$ $a_{2m}\leq 2a_{m}$ $a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}$

ตามสมมติฐาน สำหรับค่าใดๆเราสามารถใช้คุณสมบัติการบวกย่อยกับค่าเหล่านั้นได้ ถ้า $s,t\in \mathbb {N}$

$\ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]$

ถ้าเรากำลังพิจารณาตัวแปรต่อเนื่อง เราสามารถใช้คุณสมบัติการบวกย่อยเพื่อเปลี่ยนจาก เป็น จากนั้นเป็นและต่อไปเรื่อยๆ ซึ่งครอบคลุมช่วงทั้งหมด $a_{n_{k}}$ $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]$ $a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]$ $a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )$

ถึงแม้เราจะไม่มีตัวแปรต่อเนื่อง แต่เราก็ยังสามารถครอบคลุมจำนวนเต็มที่เพียงพอเพื่อพิสูจน์ให้เสร็จสมบูรณ์ได้ ให้มีขนาดใหญ่พอสมควร โดยที่ $n_{k}$

$\ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)$ จากนั้นให้เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดในส่วนที่ทับซ้อนกันโดยสมมติฐานเกี่ยวกับจะเห็นได้ง่าย (ลองวาดภาพดู) ว่าช่วงและสัมผัสกันตรงกลาง ดังนั้น โดยการทำซ้ำกระบวนการนี้ เราจะครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของ $n'$ $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])$ $n_{k}$ $\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]$ $\ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]$ $(n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])$

ด้วยเหตุนี้ ทุกคนจึงถูกกดลงเหมือนในการพิสูจน์ครั้งก่อน $a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...$

นอกจากนี้ เงื่อนไขอาจอ่อนลงได้ดังนี้: โดยที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นซึ่งอินทิกรัลลู่เข้า (ใกล้อนันต์) ^[²^] $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ $\phi$ ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่ช่วยให้สามารถอนุมานอัตราการลู่เข้าสู่ลิมิตซึ่งมีการระบุไว้ในเลมมาของเฟเคเต หากมีทั้งคุณสมบัติการบวกเกินและการบวกย่อยอยู่^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

^{นอกจากนี้ ยัง}มีการพิสูจน์อนาล็อกของเลมมาของเฟเคเตสำหรับแผนที่จริงย่อยบวก (พร้อมสมมติฐานเพิ่มเติม) จากเซตย่อยจำกัดของกลุ่มที่ยอมรับได้ [ ^{5 ]}^[⁶^]^[⁷^] และยิ่งไปกว่านั้น ของ เซมิกรุปที่ยอมรับได้ทางซ้ายแบบตัดทอนได้^{[ 8 ]}

ฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท: ^{[ 9 ]} — สำหรับ ฟังก์ชันย่อยบวกที่วัดได้ทุกลิมิตจะมีอยู่และเท่ากับ(ลิมิตอาจเป็น) $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ $-\infty .$

ถ้าfเป็นฟังก์ชันย่อยบวก และถ้า 0 อยู่ในโดเมนของ f แล้วf (0) ≥ 0 เพื่อดูสิ่งนี้ ให้พิจารณาอสมการด้านบนดังนั้น $f(x)\geq f(x+y)-f(y)$ $f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0$

ฟังก์ชันเว้า ที่มีก็เป็นฟังก์ชันย่อยบวกเช่นกัน เพื่อดูสิ่งนี้ ก่อนอื่นต้องสังเกตว่า จากนั้นเมื่อพิจารณาผลรวมของขอบเขตนี้สำหรับและในที่สุดจะตรวจสอบได้ว่าfเป็นฟังก์ชันย่อยบวก^[¹⁰^] $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ $f(0)\geq 0$ $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ $f(x)$ $f(y)$

ฟังก์ชันลบของฟังก์ชันย่อยบวกคือฟังก์ชันเกินบวก

ตัวอย่างในหลากหลายสาขา

เอนโทรปี

เอนโทรปีมีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีสารสนเทศและฟิสิกส์เชิงสถิติรวมถึงในกลศาสตร์ควอนตัมในรูปแบบทั่วไปที่เสนอโดยฟอน นอยมันน์ เอนโทรปีปรากฏเป็นปริมาณย่อยบวกเสมอในทุกรูปแบบ หมายความว่าเอนโทรปีของระบบใหญ่หรือการรวมกันของตัวแปรสุ่มจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของเอนโทรปีของส่วนประกอบแต่ละส่วนเสมอ นอกจากนี้ เอนโทรปีในฟิสิกส์ยังสอดคล้องกับอสมการที่เข้มงวดกว่าหลายประการ เช่น การย่อยบวกอย่างเข้มแข็งของเอนโทรปีในกลศาสตร์เชิงสถิติแบบคลาสสิกและอนาล็อกควอนตัม ของ มัน

เศรษฐศาสตร์

คุณสมบัติการบวกย่อย (Subadditivity) เป็นคุณสมบัติสำคัญของฟังก์ชันต้นทุน บางประเภท โดยทั่วไปแล้ว เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตรวจสอบการผูกขาดโดยธรรมชาติหมายความว่า การผลิตจากบริษัทเพียงแห่งเดียวมีต้นทุนทางสังคมต่ำกว่า (ในแง่ของต้นทุนเฉลี่ย) เมื่อเทียบกับการผลิตเพียงเศษส่วนของปริมาณเดิมโดยบริษัทจำนวนเท่ากัน

การประหยัดจากขนาด (Economies of scale)แสดงได้ด้วยฟังก์ชัน ต้นทุนเฉลี่ยแบบ ย่อยบวก (subadditive average cost functions)

ยกเว้นในกรณีของสินค้าที่ใช้ร่วมกันได้ ราคาของสินค้า (ซึ่งเป็นฟังก์ชันของปริมาณ) จะต้องเป็นแบบบวกย่อยได้ มิฉะนั้น หากผลรวมของต้นทุนของสินค้าสองชิ้นถูกกว่าต้นทุนของสินค้าสองชิ้นรวมกันแล้ว ก็จะไม่มีใครซื้อสินค้ารวมกันนั้นเลย ซึ่งจะทำให้ราคาของสินค้ารวมกัน "กลายเป็น" ผลรวมของราคาของสินค้าสองชิ้นแยกกัน ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่านี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับผูกขาดโดยธรรมชาติ เนื่องจากหน่วยการแลกเปลี่ยนอาจไม่ใช่ต้นทุนที่แท้จริงของสินค้า สถานการณ์นี้คุ้นเคยกันดีในแวดวงการเมือง ที่ซึ่งชนกลุ่มน้อยบางกลุ่มอ้างว่าการสูญเสียเสรีภาพบางอย่างในระดับรัฐบาลบางระดับหมายความว่ารัฐบาลหลายๆ รัฐบาลนั้นดีกว่า ในขณะที่ชนกลุ่มใหญ่ยืนยันว่ามีหน่วยต้นทุนที่ถูกต้องอื่นๆ

การเงิน

คุณสมบัติการบวกย่อยเป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่พึงประสงค์ของการวัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกันในการจัดการความเสี่ยง^{[ 11 ]}ความเข้าใจเชิงเศรษฐศาสตร์เบื้องหลังคุณสมบัติการบวกย่อยของการวัดความเสี่ยงคือ การเปิดรับความเสี่ยงของ พอร์ตโฟลิโอในกรณีที่แย่ที่สุด ควรเท่ากับผลรวมของการเปิดรับความเสี่ยงของแต่ละตำแหน่งที่ประกอบกันเป็นพอร์ตโฟลิโอ การขาดคุณสมบัติการบวกย่อยเป็นหนึ่งในข้อวิจารณ์หลักของ แบบจำลอง VaRที่ไม่ได้อาศัยสมมติฐานเรื่องความปกติของปัจจัยเสี่ยง VaR แบบเกาส์เซียนรับประกันคุณสมบัติการบวกย่อย ตัวอย่างเช่น VaR แบบเกาส์เซียนของพอร์ตโฟลิโอที่มีตำแหน่งซื้อสองหน่วยที่ระดับความเชื่อมั่นคือ โดยสมมติว่าการเปลี่ยนแปลงมูลค่าเฉลี่ยของพอร์ตโฟลิโอเป็นศูนย์ และ VaR ถูกกำหนดให้เป็นผลขาดทุนติดลบ โดยที่คือค่าผกผันของฟังก์ชันการกระจายสะสม ปกติ ที่ระดับความน่าจะเป็นคือความแปรปรวนของผลตอบแทนของแต่ละตำแหน่ง และคือการวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างผลตอบแทนของแต่ละตำแหน่งทั้งสอง เนื่องจากค่าความแปรปรวนเป็นบวกเสมอ ดังนั้นค่า VaR แบบเกาส์เซียนจึงมีคุณสมบัติแบบ subadditive สำหรับค่าใดๆ ของและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันจะเท่ากับผลรวมของความเสี่ยงแต่ละรายการเมื่อซึ่งเป็นกรณีที่ไม่มีผลกระทบจากการกระจายความเสี่ยงต่อความเสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอ $V$ $1-p$ ${\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}$ $z_{p}$ $p$ $\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}$ $\rho _{xy}$ ${\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\leq \sigma _{x}+\sigma _{y}$ $\rho _{xy}\in [-1,1]$ $\rho _{xy}=1$

อุณหพลศาสตร์

ปรากฏการณ์การรวมกันแบบไม่สมบูรณ์แบบเกิดขึ้นในคุณสมบัติทางเทอร์โมไดนามิกของสารละลายและสารผสมที่ไม่เป็นอุดมคติ เช่นปริมาตรโมล ส่วนเกิน และความร้อนของการผสมหรือเอนทาลปี ส่วน เกิน

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงบนคำศัพท์

ภาษา แฟกทอเรียลคือภาษาที่ถ้าคำหนึ่งอยู่ในแล้วปัจจัย ทั้งหมด ของคำนั้นก็จะอยู่ใน เช่นกันในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงคำปัญหาทั่วไปคือการหาจำนวน คำ ที่มีความยาวในภาษาแฟกทอเรียล เห็นได้ชัดว่า ก็เป็น subadditive เช่นกัน ดังนั้นสามารถใช้เลมมาของ Fekete เพื่อประมาณการการเติบโตของได้^[¹²^] $L$ $L$ $L$ $A(n)$ $n$ $A(m+n)\leq A(m)A(n)$ $\log A(n)$ $A(n)$

สำหรับทุกๆให้สุ่มเลือกสตริงสองสตริงที่มีความยาวเท่ากันบนตัวอักษรความยาวที่คาดหวังของลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุดคือ ฟังก์ชัน เสริมของและดังนั้นจึงมีจำนวน อยู่เช่นนั้นความยาวที่คาดหวังจะเพิ่มขึ้นตามโดยการตรวจสอบกรณีที่มี เราจะได้ อย่างไรก็ตาม ค่าที่แน่นอนของ แม้แต่ก็ยังทราบเพียงว่าอยู่ระหว่าง 0.788 ถึง 0.827 ^[¹³^] $k\geq 1$ $n$ $1,2,...,k$ $n$ $\gamma _{k}\geq 0$ $\sim \gamma _{k}n$ $n=1$ ${\frac {1}{k}}<\gamma _{k}\leq 1$ $\gamma _{2}$

ดูเพิ่มเติม

สมบัติโมลาร์ที่ปรากฏ – ความแตกต่างในสมบัติของสารหนึ่งโมลในสารผสมกับสารละลายในอุดมคติ
อินทิกรัลของ Choquet – อินทิกรัลแบบย่อยหรือแบบเสริม
คุณสมบัติ การบวกเกิน (Superadditivity) – คุณสมบัติของฟังก์ชัน
อสมการสามเหลี่ยม – คุณสมบัติทางเรขาคณิต ซึ่งใช้ในการขยายแนวคิดเรื่อง "ระยะทาง" ในปริภูมิเมตริกด้วย

หมายเหตุ

↑เฟเกเต, เอ็ม. (1923) "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" คณิตศาสตร์ ไซท์ชริฟต์ . 17 (1): 228– 249. ดอย : 10.1007/BF01504345 . S2CID 186223729 .
↑เดอ บรุยน์, เอ็นจี; แอร์โดส, พี. (1952). "สูตรการเรียกซ้ำเชิงเส้นและกำลังสองบางสูตร II" เนเดอร์ล. อกาด. เวเทนช. โปรค เซอร์ ก . 55 : 152– 163. ดอย : 10.1016/S1385-7258(52)50021-0 .(เหมือนกับIndagationes Math. 14 .) ดูเพิ่มเติมที่ Steele 1997, ทฤษฎีบท 1.9.2
^ Michael J. Steele. "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง" SIAM, ฟิลาเดลเฟีย (1997). ISBN 0-89871-380-3.
^ Michael J. Steele (2011). CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization . University of Cambridge.
^ Lindenstrauss, Elon ; Weiss, Benjamin (2000). "มิติเชิงโทโพโลยีเฉลี่ย" . Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 1– 24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 . ทฤษฎีบท 6.1
^ Ornstein, Donald S. ; Weiss, Benjamin (1987). "ทฤษฎีบทเอนโทรปีและไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับการกระทำของกลุ่มที่ยอมรับได้" . Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1– 141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 .
^ Gromov, Misha (1999). "ตัวแปรเชิงทอพอโลยีของระบบพลวัตและปริภูมิของแผนที่โฮโลมอร์ฟิก: I". ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์และเรขาคณิต 2 ( 4): 323– 415. Bibcode : 1999MPAG....2..323G . doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 . S2CID 117100302 .
↑เชคเครินี-ซิลเบอร์สไตน์, ทุลลิโอ; ครีเกอร์, ฟาบริซ; โคร์แนร์ต, มิเชล (2014) "อะนาล็อกของบทแทรกของ Fekete สำหรับฟังก์ชันเสริมย่อยบนเซมิกรุ๊ปที่ยกเลิกได้ " วารสารวิเคราะห์คณิตศาสตร์ . 124 : 59– 81. arXiv : 1209.6179 ดอย : 10.1007/s11854-014-0027-4 .ทฤษฎีบท 1.1
^ Hille 1948, ทฤษฎีบท 6.6.1 (ความสามารถในการวัดได้ถูกกำหนดไว้ในหัวข้อ 6.2 "เบื้องต้น")
^ Schechter, Eric (1997). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก: สำนักพิมพ์วิชาการ. ISBN 978-0-12-622760-4.หน้า 314, 12.25
^ Rau-Bredow, H. (2019). "ใหญ่กว่าไม่ได้ปลอดภัยกว่าเสมอไป: การวิเคราะห์เชิงวิพากษ์ของสมมติฐานการบวกย่อยสำหรับการวัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน"ความเสี่ยง7 ( 3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .
^ Shur, Arseny (2012). "คุณสมบัติการเติบโตของภาษาที่ปราศจากพลังงาน" Computer Science Review . 6 ( 5– 6): 187– 208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .
^ Lueker, George S. (พฤษภาคม 2009). "ขอบเขตที่ปรับปรุงแล้วสำหรับความยาวเฉลี่ยของลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด"วารสารของ ACM 56 ( 3): 1– 38. doi : 10.1145/1516512.1516519 . ISSN 0004-5411 . S2CID 7232681 .

ลิงก์ภายนอก

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจาก subadditivity บนเว็บไซต์ PlanetMath มา ใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

[1] เฟเกเต, เอ็ม. (1923) "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" คณิตศาสตร์ ไซท์ชริฟต์ . 17 (1): 228– 249. ดอย : 10.1007/BF01504345 . S2CID 186223729 .

[2] เดอ บรุยน์, เอ็นจี; แอร์โดส, พี. (1952). "สูตรการเรียกซ้ำเชิงเส้นและกำลังสองบางสูตร II" เนเดอร์ล. อกาด. เวเทนช. โปรค เซอร์ ก . 55 : 152– 163. ดอย : 10.1016/S1385-7258(52)50021-0 .(เหมือนกับIndagationes Math. 14 .) ดูเพิ่มเติมที่ Steele 1997, ทฤษฎีบท 1.9.2

[3] Michael J. Steele. "ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง" SIAM, ฟิลาเดลเฟีย (1997). ISBN 0-89871-380-3.

[4] Michael J. Steele (2011). CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization . University of Cambridge.

[5] Lindenstrauss, Elon ; Weiss, Benjamin (2000). "มิติเชิงโทโพโลยีเฉลี่ย" . Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 1– 24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 . ทฤษฎีบท 6.1

[6] Ornstein, Donald S. ; Weiss, Benjamin (1987). "ทฤษฎีบทเอนโทรปีและไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับการกระทำของกลุ่มที่ยอมรับได้" . Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1– 141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 .

[7] Gromov, Misha (1999). "ตัวแปรเชิงทอพอโลยีของระบบพลวัตและปริภูมิของแผนที่โฮโลมอร์ฟิก: I". ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์และเรขาคณิต 2 ( 4): 323– 415. Bibcode : 1999MPAG....2..323G . doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 . S2CID 117100302 .

[8] เชคเครินี-ซิลเบอร์สไตน์, ทุลลิโอ; ครีเกอร์, ฟาบริซ; โคร์แนร์ต, มิเชล (2014) "อะนาล็อกของบทแทรกของ Fekete สำหรับฟังก์ชันเสริมย่อยบนเซมิกรุ๊ปที่ยกเลิกได้ " วารสารวิเคราะห์คณิตศาสตร์ . 124 : 59– 81. arXiv : 1209.6179 ดอย : 10.1007/s11854-014-0027-4 .ทฤษฎีบท 1.1

[9] Hille 1948, ทฤษฎีบท 6.6.1 (ความสามารถในการวัดได้ถูกกำหนดไว้ในหัวข้อ 6.2 "เบื้องต้น")

[10] Schechter, Eric (1997). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก: สำนักพิมพ์วิชาการ. ISBN 978-0-12-622760-4.หน้า 314, 12.25

[Rau-Bredow-11] Rau-Bredow, H. (2019). "ใหญ่กว่าไม่ได้ปลอดภัยกว่าเสมอไป: การวิเคราะห์เชิงวิพากษ์ของสมมติฐานการบวกย่อยสำหรับการวัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน"ความเสี่ยง7 ( 3): 91. doi : 10.3390/risks7030091 . hdl : 10419/257929 .

[shur-12] Shur, Arseny (2012). "คุณสมบัติการเติบโตของภาษาที่ปราศจากพลังงาน" Computer Science Review . 6 ( 5– 6): 187– 208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .

[13] Lueker, George S. (พฤษภาคม 2009). "ขอบเขตที่ปรับปรุงแล้วสำหรับความยาวเฉลี่ยของลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด"วารสารของ ACM 56 ( 3): 1– 38. doi : 10.1145/1516512.1516519 . ISSN 0004-5411 . S2CID 7232681 .

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

นอกจากนี้ ยัง

5 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[ 11 ]

[

[