ในทฤษฎีเซตยูเนียน(แทนด้วย ∪) ของกลุ่มเซตคือเซตขององค์ประกอบ ทั้งหมด ในกลุ่มนั้น^{[ 1 ]}เป็นหนึ่งในการดำเนินการพื้นฐานที่สามารถใช้รวมเซตและเชื่อมโยงเซตเข้าด้วยกันได้ยูเนียนศูนย์หมายถึง ยูเนียนของศูนย์ ( ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ )แล้ว จะเท่ากับเซตว่าง

สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับสัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความนี้ โปรดดูตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

การรวมกันของเซตสองเซต^Aและ B คือเซตขององค์ประกอบที่อยู่ในAในBหรือในทั้งAและB [ ^{2 ]} ใน สัญกร ณ์ การสร้างเซต

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ หรือ }}x\in B\}}$[ ^{3 ]​}

ตัวอย่างเช่น ถ้าA = {1, 3, 5, 7} และB = {1, 2, 4, 6, 7} แล้วA ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตอนันต์สองเซตอนันต์) คือ:

A = { xเป็นจำนวนเต็ม คู่ที่ มากกว่า 1 }

B = { xเป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า 1 }

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

ยกตัวอย่างเช่น เลข 9 ไม่อยู่ในผลรวมของเซตของจำนวนเฉพาะ {2, 3, 5, 7, 11, ...} และเซตของจำนวนคู่ {2, 4, 6, 8, 10, ...} เพราะ 9 ไม่ใช่ทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนคู่

เซตไม่สามารถมีองค์ประกอบซ้ำกันได้^{[ 3 ] [ 4 ]}ดังนั้นการรวมกันของเซต {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} คือ {1, 2, 3, 4}

เราสามารถรวมเซตหลายๆ เซตเข้าด้วยกันได้ ตัวอย่างเช่น การรวมกันของสามเซตA , BและCจะประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของA , สมาชิกทั้งหมดของBและสมาชิกทั้งหมดของCเท่านั้น ดังนั้นxเป็นสมาชิกของA ∪ B ∪ Cก็ต่อเมื่อxอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งเซตใน A , BหรือC

ยูเนียนจำกัดคือยูเนียนของเซตจำนวนจำกัด วลีนี้ไม่ได้หมายความว่าเซตยูเนียนเป็นเซตจำกัด^{[ 5 ] [ 6 ]}

สัญลักษณ์สำหรับแนวคิดทั่วไปอาจแตกต่างกันอย่างมาก สำหรับการรวมกันของเซตแบบจำกัดมักจะเขียนว่า หรือสัญลักษณ์ทั่วไปต่างๆ สำหรับการรวมกันแบบใดๆ ได้แก่, , และสัญลักษณ์สุดท้ายนี้หมายถึงการรวมกันของชุดโดยที่Iเป็นเซตดัชนีและเป็นเซตสำหรับทุก⁠ ⁠ในกรณีที่เซตดัชนีIเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติจะใช้สัญลักษณ์ซึ่งคล้ายคลึงกับผลรวมอนันต์ในอนุกรม^{[ 7 ]}${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

เมื่อวางสัญลักษณ์ "∪" ไว้ข้างหน้าสัญลักษณ์อื่นๆ (แทนที่จะวางไว้ระหว่างสัญลักษณ์) โดยปกติแล้วจะแสดงผลในขนาดที่ใหญ่กว่า

ในUnicodeการรวมจะถูกแทนด้วยอักขระU+222A ∪ UNION [ ^{8 ]}ในTeXจะถูกแสดงผลจากและ จะถูก ^แสดงผลจากใน Typst จะแสดงผลโดยที่จะแสดงผล ${\displaystyle \cup }$\cup${\textstyle \bigcup }$\bigcupunion${\displaystyle \cup }$union.big${\displaystyle \bigcup }$

แนวคิดทั่วไปที่สุดคือการรวมกันของเซตต่างๆ ที่กำหนดขึ้นเอง ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการรวมกันแบบอนันต์ถ้าMเป็นเซตหรือคลาสที่มีสมาชิกเป็นเซต แล้วxเป็นสมาชิกของการรวมกันในM ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกA อย่างน้อยหนึ่ง^ตัวในMที่xเป็นสมาชิกของA ^{[ 7} ] ในสัญลักษณ์:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

แนวคิดนี้ครอบคลุมส่วนก่อนหน้าทั้งหมด ตัวอย่างเช่นA ∪ B ∪ Cคือการรวมกันของกลุ่ม { A , B , C } นอกจากนี้ ถ้าMคือกลุ่มว่าง การรวมกันของM ก็ คือเซตว่าง

ในทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZFC) และทฤษฎีเซตอื่นๆ ความสามารถในการรวมเซตใดๆ ก็ได้นั้นมาจากสัจพจน์ของการรวมซึ่งระบุว่า เมื่อกำหนดเซตของเซตใดๆ มาแล้วจะมีเซต อยู่เซตหนึ่งที่มีสมาชิกเหมือนกับสมาชิกของเซต ทุกประการบางครั้งสัจพจน์นี้อาจไม่เฉพาะเจาะจงนัก โดยอาจมีเซตที่มีสมาชิกเหมือนกับสมาชิกของเซตแต่เซต อาจใหญ่กว่านั้นก็ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้ว อาจเป็นไปได้ว่า เนื่องจากประกอบด้วย 1 และ 2 ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สัจพจน์ของการระบุเพื่อหาเซตย่อยของที่มีสมาชิกเหมือนกับสมาชิกของเซต ทุกประการ จากนั้นจึงสามารถใช้สัจพจน์ของการขยาย เพื่อแสดงว่าเซตนี้มีเพียงหนึ่งเดียว เพื่อความอ่านง่าย เรากำหนดความหมาย ของภาคแสดงแบบไบนารีว่า" คือการรวมกันของ" หรือ " ดังนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=\{\{1\},\{2\}\},}$${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Union} (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=\bigcup Y}$

$${\displaystyle \operatorname {Union} (X,Y)\iff \forall x(x\in X\iff \exists y\in Y(x\in y))}$$

จากนั้น เราสามารถพิสูจน์ข้อความที่ว่า "สำหรับทุก ๆจะมี ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเช่นนั้นคือการรวมกันของ": ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \forall Y\,\exists !X(\operatorname {Union} (X,Y))}$$

จากนั้น เราสามารถใช้ส่วนขยายตามคำจำกัดความเพื่อเพิ่มตัวดำเนินการยูเนียนลงในภาษาของ ZFCได้ดังนี้: ${\displaystyle \bigcup A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}B=\bigcup A&\iff \operatorname {Union} (B,A)\\&\iff \forall x(x\in B\iff \exists y\in Y(x\in y))\end{aligned}}}$$

หรือเทียบเท่า:

$${\displaystyle x\in \bigcup A\iff \exists y\in A\,(x\in y)}$$

หลังจากที่ได้กำหนดตัวดำเนินการยูเนียนแล้ว เราสามารถกำหนดยูเนียนแบบไบนารีได้โดยการแสดงให้เห็นว่ามีเซตที่ไม่ซ้ำกันโดยใช้สัจพจน์ของการจับคู่และกำหนดจากนั้น เราสามารถกำหนดยูเนียนจำกัดได้โดยวิธีอุปนัยดังนี้: ${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle C=\{A,B\}}$${\displaystyle A\cup B=\bigcup \{A,B\}}$

$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{0}A_{i}=\varnothing {\text{, and }}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_{n}}$$

ยูเนียนไบนารีเป็นการ ดำเนินการ แบบสมาคมกล่าว คือ สำหรับเซตใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle A,B,{\text{ และ }}C}$ ดังนั้น วงเล็บสามารถละเว้นได้โดยไม่มีความกำกวม: ทั้งสองข้างต้นสามารถเขียนได้เป็น⁠ ⁠นอกจากนี้ ยูเนียนยังเป็นแบบสลับที่ได้ดังนั้นเซตจึงสามารถเขียนในลำดับใดก็ได้^{[ 9 ]} เซตว่างเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการดำเนินการยูเนียน กล่าวคือ⁠ ⁠สำหรับเซตใดๆ⁠ ⁠นอกจากนี้ การดำเนินการยูเนียนยังเป็นแบบเอกลักษณ์: ⁠ ⁠คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับการแยกเชิงตรรกะ $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$${\displaystyle A\cup B\cup C}$${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cup A=A}$

การตัดกันกระจายเหนือการรวมกัน และการรวมกันกระจายเหนือการตัดกัน^{[ 2 ]} เซตกำลังของเซต⁠ ⁠พร้อมด้วยการดำเนินการที่กำหนดโดยการรวมกันการตัดกันและการเติมเต็ม เป็นพีชคณิตบูลีนในพีชคณิตบูลีนนี้ การรวมกันสามารถแสดงในรูปของการตัดกันและการเติมเต็มโดยใช้สูตร โดยที่ตัวยกหมายถึงส่วนเติมเต็มในเซตสากล⁠ ⁠หรืออีกทางหนึ่ง การตัดกันสามารถแสดงในรูปของการรวมกันและการเติมเต็มในลักษณะเดียวกัน: . นิพจน์ทั้งสองนี้รวมกันเรียกว่ากฎของเดอ มอร์แกน^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$${\displaystyle U}$$${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$${\displaystyle {}^{\complement }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$

คำภาษาอังกฤษunionมาจากคำในภาษาฝรั่งเศสยุคกลางที่มีความหมายว่า "การรวมกัน" ซึ่งมาจากภาษาละตินยุคหลังคลาสสิกunionemที่แปลว่า "ความเป็นหนึ่งเดียว" ^{[ 13 ]}คำดั้งเดิมสำหรับ union ในทฤษฎีเซตคือVereinigung (ในภาษาเยอรมัน) ซึ่ง Georg Cantorเป็นผู้แนะนำในปี 1895 ^{[ 14 ]}การใช้unionของสองเซตในทางคณิตศาสตร์ในภาษาอังกฤษเริ่มใช้กันอย่างน้อยในปี 1912 โดยJames Pierpont [ ^{15 ] [ 16 ] สัญลักษณ์}ที่ใช้สำหรับ union ในทางคณิตศาสตร์ได้รับการแนะนำโดยGiuseppe PeanoในArithmetices principia ของเขา ในปี 1889 พร้อมกับสัญลักษณ์สำหรับ intersection , set membership และsubsets ^{[ 17 ]}${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \in }$${\displaystyle \subset }$

• พีชคณิตของเซต  – เอกลักษณ์และความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเซต
• การสลับ (ทฤษฎีภาษาเชิงรูปธรรม) − การรวมกันของเซตของสตริง
• สัจพจน์ของการรวมกัน  – แนวคิดในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
• ยูเนียนที่ไม่ทับซ้อนกัน  – ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการดำเนินการกับเซต
• หลักการรวม-แยก  – เทคนิคการนับในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง
• จุดตัด (ทฤษฎีเซต)  – เซตของสมาชิกที่พบร่วมกันในทุกเซตบางเซต
• การดำเนินการไบนารีแบบวนซ้ำ  – การประยุกต์ใช้การดำเนินการซ้ำๆ กับลำดับ
• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต  – ความเท่าเทียมกันสำหรับการรวมกันของเซต
• ทฤษฎีเซตแบบง่าย  – ทฤษฎีเซตแบบไม่เป็นทางการ
• ผลต่างสมมาตร  – จำนวนสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่งจากสองเซตเท่านั้น

• "การรวมเซต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การรวมกันและการตัดกันแบบอนันต์ที่ ProvenMathกฎของเดอ มอร์แกนได้รับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการจากสัจพจน์ของทฤษฎีเซต