ในทางคณิตศาสตร์การ ทดสอบ DiniและDini–Lipschitzเป็นการทดสอบที่มีความแม่นยำสูงซึ่งสามารถใช้พิสูจน์ได้ว่าอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันลู่เข้าที่จุดที่กำหนด การทดสอบเหล่านี้ตั้งชื่อตามUlisse DiniและRudolf Lipschitz ^{[ 1 ]}

ให้fเป็นฟังก์ชันบนช่วง [0,2 π ] ให้tเป็นจุดใดจุดหนึ่ง และให้δเป็นจำนวนบวก เรากำหนดโมดูลัสความต่อเนื่องเฉพาะที่ ณ จุดtโดย

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}$

โปรด สังเกตว่าในที่นี้เราถือว่าfเป็นฟังก์ชันคาบ เช่น ถ้าt = 0และεเป็นค่าลบ เราจะกำหนดf ( ε ) = f (2π + ε )

ค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องโดยรวม (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่อง ) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}$

จากคำจำกัดความเหล่านี้ เราสามารถสรุปผลลัพธ์หลักได้ดังนี้:

ทฤษฎีบท (การทดสอบของ Dini):สมมติว่าฟังก์ชันfสอดคล้องกับเงื่อนไข ณ จุดtว่า

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$

จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์ของf จะลู่เข้าที่tไปยังf ( t )

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับω _f = log ⁻² ( ⁠1/δ)แต่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข log ⁻¹ ( )1/δ) . ​

ทฤษฎีบท (การทดสอบ Dini–Lipschitz):สมมติว่าฟังก์ชันfสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์ของf จะ ลู่เข้าสู่f อย่างสม่ำเสมอ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขของ Hölderจะผ่านการทดสอบของ Dini–Lipschitz ด้วย

การทดสอบทั้งสองแบบนั้นดีที่สุดในประเภทเดียวกัน สำหรับการทดสอบ Dini-Lipschitz นั้น เป็นไปได้ที่จะสร้างฟังก์ชันfที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความต่อเนื่องที่สอดคล้องกับการทดสอบด้วยOแทนที่จะเป็นoกล่าวคือ

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

และอนุกรมฟูริเยร์ของfลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ สำหรับการทดสอบของ Dini ข้อความแสดงความแม่นยำจะยาวขึ้นเล็กน้อย โดยระบุว่าสำหรับฟังก์ชัน Ω ใดๆ ที่

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

มีฟังก์ชันf อยู่ฟังก์ชันหนึ่ง ซึ่งมีคุณสมบัติว่า

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}$

และอนุกรมฟูริเยร์ของfลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ที่ 0

• การลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์
• ความต่อเนื่องของ Dini
• เกณฑ์ของดีนี