ค่าสัมประสิทธิ์เฮิร์สต์ (Hurst exponent)ถูกใช้เป็นมาตรวัดความจำระยะยาวของอนุกรมเวลามันเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์อัตโนมัติของอนุกรมเวลา และอัตราการลดลงของความสัมพันธ์เหล่านี้เมื่อความล่าช้าระหว่างคู่ค่าเพิ่มขึ้น การศึกษาที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์เฮิร์สต์ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกในสาขาอุทกวิทยาเพื่อวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติในการกำหนดขนาดเขื่อนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับ สภาพฝนและภัยแล้งที่ผันผวนของ แม่น้ำไนล์ซึ่งสังเกตได้ในช่วงระยะเวลานาน^{[ 1 ] [ 2 ]}ชื่อ "ค่าสัมประสิทธิ์เฮิร์สต์" หรือ "สัมประสิทธิ์เฮิร์สต์" มาจากHarold Edwin Hurst (1880–1978) ซึ่งเป็นหัวหน้านักวิจัยในการศึกษาเหล่านี้ การใช้สัญลักษณ์มาตรฐานHสำหรับสัมประสิทธิ์ก็เกี่ยวข้องกับชื่อของเขาเช่นกัน

ในเรขาคณิตแฟรกทัล ค่า เลขชี้กำลังเฮิร์สต์ทั่วไปได้รับการกำหนดโดยHหรือH _qเพื่อเป็นเกียรติแก่ Harold Edwin Hurst และLudwig Otto Hölder (1859–1937) โดยBenoît Mandelbrot (1924–2010) ^{[ 3 ]} Hมีความสัมพันธ์โดยตรงกับมิติแฟรกทัล D และเป็นตัววัดความสุ่มแบบ "อ่อน" หรือ "รุนแรง" ของอนุกรมข้อมูล^{[ 4 ]}

ค่าเลขชี้กำลังของ Hurst เรียกว่า "ดัชนีการพึ่งพา" หรือ "ดัชนีการพึ่งพาในระยะยาว" โดยจะวัดแนวโน้มสัมพัทธ์ของอนุกรมเวลาว่าจะถดถอยอย่างรุนแรงไปยังค่าเฉลี่ยหรือจะรวมกลุ่มกันในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง^{[ 5 ]}ค่าHในช่วง 0.5–1 บ่งชี้ว่าอนุกรมเวลามีความสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงบวกในระยะยาว หมายความว่าการลดลงของความสัมพันธ์อัตโนมัติจะช้ากว่าแบบเลขชี้กำลัง โดยเป็นไปตามกฎกำลังสำหรับอนุกรมนี้หมายความว่าค่าสูงมักจะตามมาด้วยค่าสูงอีกค่าหนึ่ง และการเปลี่ยนแปลงไปสู่ค่าสูงมากขึ้นในอนาคตก็เกิดขึ้นได้ ค่าในช่วง 0 – 0.5 บ่งชี้ว่าอนุกรมเวลามีการสลับระหว่างค่าสูงและต่ำในคู่ที่อยู่ติดกันในระยะยาว หมายความว่าค่าสูงค่าเดียวอาจจะตามมาด้วยค่าต่ำ และค่าหลังจากนั้นจะมีแนวโน้มที่จะสูง โดยแนวโน้มที่จะสลับระหว่างค่าสูงและต่ำนี้จะคงอยู่เป็นเวลานานในอนาคต โดยเป็นไปตามกฎกำลังเช่นกัน ค่าH = 0.5 บ่งชี้ถึงหน่วยความจำระยะสั้นโดยที่ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (สัมบูรณ์) จะลดลงอย่างรวดเร็วแบบเอกซ์ponential จนเป็นศูนย์

เลขชี้กำลัง Hurst, Hถูกกำหนดในแง่ของพฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของช่วงที่ปรับขนาดใหม่เป็นฟังก์ชันของช่วงเวลาของอนุกรมเวลาดังต่อไปนี้^{[ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,}$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle R(n)}$คือช่วงของการเบี่ยงเบนสะสมครั้งแรกจากค่าเฉลี่ย${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle S(n)}$คืออนุกรม (ผลรวม) ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน n แรก
• ${\displaystyle \mathbb {E} \left[x\right]\,}$คือค่าที่คาดหวัง
• ${\displaystyle n}$คือช่วงเวลาของการสังเกต (จำนวนจุดข้อมูลในอนุกรมเวลา)
• ${\displaystyle C}$เป็นค่าคงที่

สำหรับอนุกรมเวลาที่คล้ายคลึงกัน Hมีความสัมพันธ์โดยตรงกับมิติแฟรกทัล D โดยที่ 1 < D < 2 ซึ่งD = 2 - Hค่าของเลขชี้กำลัง Hurst จะแปรผันระหว่าง 0 ถึง 1 โดยค่าที่สูงกว่าจะบ่งชี้ถึงแนวโน้มที่ราบเรียบกว่า ความผันผวนน้อยกว่า และความหยาบน้อยกว่า^{[ 8 ]}

สำหรับอนุกรมเวลาทั่วไปหรือกระบวนการหลายมิติ สามารถเลือกค่าเลขชี้กำลังของ Hurst และมิติแฟรกทัลได้อย่างอิสระ เนื่องจากค่าเลขชี้กำลังของ Hurst แสดงถึงโครงสร้างในช่วงเวลาที่ยาวนานกว่าแบบอสิมโทติก ในขณะที่มิติแฟรกทัลแสดงถึงโครงสร้างในช่วงเวลาที่สั้นกว่าแบบอสิมโทติก^{[ 9 ]}

มีการเสนอตัวประมาณค่าการพึ่งพาในระยะยาวจำนวนมากในเอกสารทางวิชาการ ตัวที่เก่าแก่ที่สุดและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ การวิเคราะห์ ช่วงที่ปรับขนาดใหม่ (R/S) ซึ่งเป็นที่นิยมโดย Mandelbrot และ Wallis ^{[ 3 ] [ 10 ]} และอิงตามการค้นพบทางอุทกวิทยาของ Hurst ก่อนหน้านี้^{[ 1 ]}ทางเลือกอื่น ๆ ได้แก่DFAการถดถอยแบบPeriodogram ^{[ 11 ]}ความแปรปรวนที่รวมกัน^{[ 12 ]}ตัวประมาณค่า Whittle ในท้องถิ่น^{[ 13 ]}การวิเคราะห์เวฟเล็ต[ ^{14 ] [ 15 ] ทั้ง}ในโดเมนเวลาและโดเมนความถี่

To estimate the Hurst exponent, one must first estimate the dependence of the rescaled range on the time span n of observation.^[7] A time series of full length N is divided into a number of nonoverlapping shorter time series of length n, where n takes values N, N/2, N/4, ... (in the convenient case that N is a power of 2). The average rescaled range is then calculated for each value of n.

For each such time series of length ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,}$, the rescaled range is calculated as follows:^[6][7]

1. Calculate the mean; $${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.}$$
2. Create a mean-adjusted series; $${\displaystyle Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ สำหรับ }}t=1,2,\dots ,n\,.}$$
3. Calculate the cumulative deviate series ${\displaystyle Z}$; $${\displaystyle Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ สำหรับ }}t=1,2,\dots ,n\,.}$$
4. Compute the range ${\displaystyle R}$; $${\displaystyle R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).}$$
5. Compute the standard deviation${\displaystyle S}$; $${\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}$$
6. Calculate the rescaled range ${\displaystyle R(n)/S(n)}$ and average over all the partial time series of length ${\displaystyle n.}$

The Hurst exponent is estimated by fitting the power law${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}$ to the data. This can be done by plotting ${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$ as a function of ${\displaystyle \log n}$, and fitting a straight line; the slope of the line gives ${\displaystyle H}$. A more principled approach would be to fit the power law in a maximum-likelihood fashion.^[16] Such a graph is called a box plot. However, this approach is known to produce biased estimates of the power-law exponent. For small ${\displaystyle n}$ there is a significant deviation from the 0.5 slope. Anis and Lloyd^[17] estimated the theoretical (i.e., for white noise) values of the R/S statistic to be:

$${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{สำหรับ }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {ni}{i}}},&{\text{สำหรับ }}n>340\end{cases}}}$$

where ${\displaystyle \Gamma }$ is the Euler gamma function. The Anis-Lloyd corrected R/S Hurst exponent is calculated as 0.5 plus the slope of ${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$.

No asymptotic distribution theory has been derived for most of the Hurst exponent estimators so far. However, Weron^[18] used bootstrapping to obtain approximate functional forms for confidence intervals of the two most popular methods, i.e., for the Anis-Lloyd^[17] corrected R/S analysis:

and for DFA:

ในที่นี้และคือความยาวของอนุกรม ในทั้งสองกรณีจะพิจารณาเฉพาะอนุกรมย่อยที่มีความยาวเท่ากับ เพื่อประมาณค่าเลขชี้กำลังของเฮิร์สต์เท่านั้น อนุกรมย่อยที่มีความยาวน้อยกว่าจะส่งผลให้ค่าประมาณ R/S มีความแปรปรวนสูง ${\displaystyle M=\log _{2}N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>50}$

ค่าเลขชี้กำลัง Hurst พื้นฐานสามารถเชื่อมโยงกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงที่คาดหวังได้ โดยเป็นฟังก์ชันของช่วงเวลาล่าช้าระหว่างการสังเกตการณ์ ซึ่งวัดได้จาก E(| X _{t + τ} − X _t | ² ) สำหรับรูปแบบทั่วไปของสัมประสิทธิ์ ค่าเลขชี้กำลังในที่นี้จะถูกแทนที่ด้วยพจน์ทั่วไปมากขึ้น ซึ่งแสดงด้วย q

มีเทคนิคหลากหลายในการประมาณค่าHอย่างไรก็ตาม การประเมินความแม่นยำของการประมาณค่าอาจเป็นเรื่องที่ซับซ้อน ในทางคณิตศาสตร์ ในเทคนิคหนึ่ง ค่าเลขชี้กำลัง Hurst สามารถประมาณได้ดังนี้: ^{[ 19 ] [ 20 ]} สำหรับอนุกรมเวลา อาจถูกกำหนดโดยคุณสมบัติการปรับขนาดของฟังก์ชันโครงสร้าง ( ): โดย ที่คือช่วงเวลาหน่วง และการหาค่าเฉลี่ยจะทำในช่วงเวลา ที่ปกติแล้วจะเป็นช่วงเวลาที่ใหญ่ที่สุดของระบบ $${\displaystyle H_{q}=H(q),}$$$${\displaystyle g(t),t=1,2,\dots }$$${\displaystyle S_{q}}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},}$$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle t\gg \tau ,}$$

ในทางปฏิบัติ ในธรรมชาติไม่มีข้อจำกัดของเวลา ดังนั้นH จึง ไม่สามารถกำหนดได้ เนื่องจากสามารถประมาณได้จากข้อมูลที่สังเกตได้เท่านั้น เช่น การเคลื่อนไหวขึ้นรายวันที่รุนแรงที่สุดเท่าที่เคยเห็นในดัชนีตลาดหุ้นสามารถถูกทำลายได้ในวันถัดไปเสมอ^{[ 21 ]}

_{ในเทคนิคการประมาณ ค่า}ทางคณิตศาสตร์ข้างต้น ฟังก์ชันH ( q )ประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับความผันผวนทั่วไปเฉลี่ยในระดับ( ใช้ เฉพาะ q = 1, 2 ใน_{การ กำหนดความผันผวน) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เลขชี้กำลัง} H1 บ่งชี้ถึงพฤติกรรมที่คง อยู่ ( H1 > 1/2 ) หรือไม่คงอยู่( H1 < 1/2 )_ของแนวโน้ม ${\displaystyle \tau }$

สำหรับ BRW ( สัญญาณรบกวนสีน้ำตาล ) จะได้ และสำหรับสัญญาณรบกวนสีชมพู ( ) ${\displaystyle 1/f^{2}}$$${\displaystyle H_{q}={\frac {1}{2}},}$$${\displaystyle 1/f}$$${\displaystyle H_{q}=0.}$$

ค่าเลขชี้กำลัง Hurst สำหรับสัญญาณรบกวนสีขาวขึ้นอยู่กับมิติ^{[ 22 ]}และสำหรับ 1 มิติและ 2 มิติจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle H_{q}^{1D}=-{\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.}$$

สำหรับกระบวนการ Lévy stable ที่ได้รับความนิยม และกระบวนการ Lévy แบบตัดทอนที่มีพารามิเตอร์ α พบว่า

$${\displaystyle H_{q}=q/\alpha ,}$$สำหรับและสำหรับการวิเคราะห์ความผันผวนแบบมัลติแฟรกทัลที่ตัดแนวโน้ม [ ^{23 ] เป็น}วิธีหนึ่งในการประมาณค่าจากอนุกรมเวลาที่ไม่คงที่ เมื่อเป็นฟังก์ชันที่ไม่เชิงเส้นของ q อนุกรมเวลาจะเป็นระบบมัลติแฟรกทัล ${\displaystyle q<\alpha }$${\displaystyle H_{q}=1}$${\displaystyle q\geq \alpha }$${\displaystyle H(q)}$${\displaystyle H(q)}$

ในคำจำกัดความข้างต้น ข้อกำหนดสองข้อที่แยกจากกันถูกผสมเข้าด้วยกันราวกับว่าเป็นข้อเดียว^{[ 24 ]}นี่คือข้อกำหนดอิสระสองข้อ: (i) ความเสถียรของส่วนเพิ่ม x ( t + T ) − x ( t ) = x ( T ) − x ( 0 )ในการกระจาย นี่คือเงื่อนไขที่ทำให้เกิดความสัมพันธ์อัตโนมัติในระยะยาว (ii) ความคล้ายคลึงกันในตัวเองของกระบวนการสุ่มจะทำให้เกิดการปรับขนาดความแปรปรวน แต่ไม่จำเป็นสำหรับหน่วยความจำในระยะยาว ตัวอย่างเช่น ทั้งกระบวนการ Markov (เช่น กระบวนการที่ไม่มีหน่วยความจำ) และการเคลื่อนที่แบบ Brownian เศษส่วนจะปรับขนาดที่ระดับความหนาแน่น 1 จุด (ค่าเฉลี่ยอย่างง่าย) แต่ทั้งสองอย่างจะไม่ปรับขนาดที่ระดับความสัมพันธ์แบบคู่หรือความหนาแน่นความน่าจะเป็น 2 จุด

ตลาดที่มีประสิทธิภาพต้องอาศัย เงื่อนไข มาร์ติงเกลและเว้นแต่ว่าความแปรปรวนจะเป็นเชิงเส้นตามเวลา ซึ่งจะทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นที่ไม่คงที่x ( t + T ) − x ( t ) ≠ x ( T ) − x (0)มาร์ติงเกลเป็นแบบมาร์โคเวียนในระดับความสัมพันธ์แบบคู่ หมายความว่าความสัมพันธ์แบบคู่ไม่สามารถนำมาใช้เอาชนะตลาดมาร์ติงเกลได้ ในทางกลับกัน การเพิ่มขึ้นที่คงที่พร้อมความแปรปรวนที่ไม่เป็นเชิงเส้น จะเหนี่ยวนำให้เกิดความทรงจำแบบคู่ในระยะยาวของการเคลื่อนที่แบบบราวน์เศษส่วนซึ่งจะทำให้ตลาดสามารถเอาชนะได้ในระดับความสัมพันธ์แบบคู่ ตลาดเช่นนี้จึงห่างไกลจากคำว่า "มีประสิทธิภาพ" อย่างแน่นอน

นักเศรษฐศาสตร์ฟิสิกส์ AF Bariviera ได้ทำการวิเคราะห์อนุกรมเวลาทางเศรษฐกิจโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ Hurst โดยใช้ช่วงที่ปรับขนาดใหม่และการวิเคราะห์ความผันผวนที่ตัดแนวโน้มออก^{[ 25 ]}บทความนี้ศึกษาลักษณะที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของการพึ่งพาในระยะยาวและประสิทธิภาพของข้อมูล

เลขชี้กำลังของ Hurst ยังถูกนำไปใช้ในการตรวจสอบการพึ่งพาระยะไกลในDNA ^{[ 26 ]}และวัสดุช่องว่างแถบ โฟตอนิก ^{[ 27 ]}

• การพึ่งพาในระยะยาว  – ปรากฏการณ์ในด้านภาษาศาสตร์และการวิเคราะห์ข้อมูลPages displaying short descriptions of redirect targets
• การแพร่แบบผิดปกติ  – กระบวนการแพร่ที่มีความสัมพันธ์แบบไม่เป็นเชิงเส้นกับเวลา
• ช่วงที่ปรับขนาดใหม่  – มาตรวัดทางสถิติของความแปรปรวนของอนุกรมเวลา
• การวิเคราะห์ความผันผวนแบบตัดแนวโน้มออก  – วิธีการตรวจจับการปรับขนาดตามกฎกำลังในอนุกรมเวลา

• โค้ด Matlabสำหรับคำนวณค่าประมาณ R/S, DFA, การถดถอยแบบพีริโอโดแกรม และค่าประมาณเวฟเล็ตของค่าเลขชี้กำลังเฮิร์สต์และช่วงความเชื่อมั่นที่เกี่ยวข้อง สามารถดาวน์โหลดได้จาก RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• การนำ R/S ไปใช้ใน Python: https://github.com/Mottl/hurstและการนำ DFA และ MFDFA ไปใช้ใน Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• โค้ด Matlab สำหรับคำนวณค่า Hurst จริงและค่า Hurst เชิงซ้อน: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• สามารถใช้โปรแกรม Excel ในการคำนวณได้เช่นกัน: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator