ในสถิติเชิงพรรณนาช่วงของชุดข้อมูลคือขนาดหรือความกว้างของช่วงที่แคบที่สุดซึ่งมีข้อมูลทั้งหมดอยู่ โดยคำนวณจากความแตกต่างระหว่างค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด (เรียกอีกอย่างว่าค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของตัวอย่าง ) ^{[ 1 ]} โดยแสดงในหน่วย เดียว กับข้อมูล

ช่วงค่าแสดงถึงการกระจายตัวทางสถิติมาตรวัดช่วงค่าที่น่าเชื่อถือ ได้แก่ ช่วงค่าระหว่างเดซิไล์และช่วงค่าระหว่างควาร์ไทล์

สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอิสระและมีการกระจายเหมือนกันn ตัว X ₁ , X ₂ , ..., X _nโดยมีฟังก์ชันการกระจายสะสม G( x ) และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น g( x ) ให้ T แทนช่วงของตัวแปรเหล่านั้น นั่นคือ T = max( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) - min( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )

ช่วง T มีฟังก์ชันการกระจายสะสม^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.}$

กัมเบลตั้งข้อสังเกตว่า "ความสวยงามของสูตรนี้ถูกทำลายอย่างสิ้นเชิงด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า โดยทั่วไปแล้วเราไม่สามารถแสดงG ( x  +  t ) ด้วยG ( x ) ได้ และการอินทิเกรตเชิงตัวเลขนั้นยาวนานและน่าเบื่อหน่าย" ^{[ 2 ] : 385}

ถ้าการกระจายของX _i แต่ละตัว ถูกจำกัดไว้ทางขวา (หรือซ้าย) การกระจายแบบอะซิมโทติกของช่วงจะเท่ากับการกระจายแบบอะซิมโทติกของค่าที่มากที่สุด (น้อยที่สุด) สำหรับการกระจายทั่วไป การกระจายแบบอะซิมโทติกสามารถแสดงได้เป็นฟังก์ชันเบสเซล^{[ 2 ]}

ช่วงค่าเฉลี่ยกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$

โดยที่x ( G ) คือฟังก์ชันผกผัน ในกรณีที่X _i แต่ละค่า มีการแจกแจงปกติมาตรฐานช่วงค่าเฉลี่ยจะกำหนดโดย^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}$$

โปรดทราบว่าต่อไปนี้เป็นการพิสูจน์ผลลัพธ์อย่างไม่เป็นทางการ การคำนวณความน่าจะเป็นอาจไม่แม่นยำนัก

ให้แทนค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของตัวแปรสุ่มตามลำดับ ${\displaystyle m,M}$${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

เหตุการณ์ที่ช่วงมีขนาดเล็กกว่าสามารถแยกย่อยออกเป็นเหตุการณ์ย่อยๆ ได้ดังนี้: ${\displaystyle T}$

• ดัชนีของค่าต่ำสุด
• และค่าต่ำสุด${\displaystyle x}$

สำหรับดัชนีที่กำหนดและค่าต่ำสุดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมคือ: ${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle X_{i}}$เป็นค่าต่ำสุด
2. และ,${\displaystyle X_{i}=x}$
3. และช่วงนั้นแคบกว่า${\displaystyle T}$

กล่าวคือการรวมค่าดัชนีและการอินทิเกรตจะได้ความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์: "ช่วงนั้นเล็กกว่า" ซึ่งก็คือฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมของช่วงนั้นนั่นเองซึ่งเป็นการสรุปการพิสูจน์ $${\displaystyle g(x)\left[G(x+T)-G(x)\right]^{n-1}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)\left[G(t+x)-G(x)\right]^{n-1}\,{\text{d}}x}$$

นอกเหนือจากกรณี IID ที่มีตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแล้ว กรณีอื่นๆ มีสูตรที่ชัดเจน กรณีเหล่านี้มีความสำคัญเพียงเล็กน้อย

• ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่ไม่ใช่ IID ^{[ 3 ]}
• ตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องที่รองรับบน. ^{[ 6 ] [ 7 ]}ความยากลำบากที่สำคัญสำหรับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องคือช่วงเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งทำให้การหาอนุพันธ์ของสูตรต้องใช้การจัดเรียง${\displaystyle \mathbb {N} }$

พิสัยเป็นตัวอย่างเฉพาะของสถิติเรียงลำดับโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พิสัยเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของสถิติเรียงลำดับ ซึ่งทำให้มันอยู่ในขอบเขตของ การประมาณค่า แบบ L

• ช่วงระหว่างเดซิไล์
• ช่วงควาร์ไทล์
• ช่วงนักเรียน