ในทางสถิติสถิติลำดับที่k ของตัวอย่างทางสถิติจะเท่ากับค่าที่เล็กที่สุดลำดับที่k ของมัน ^{[ 1 ]} เมื่อกำหนดตัวอย่างที่มีขนาดสถิติลำดับที่ k จะถูกแทนด้วยโดยที่สถิติลำดับร่วมกับ สถิติ อันดับ ถือเป็นเครื่องมือพื้นฐานที่สุดอย่างหนึ่งใน สถิติ และการอนุมานแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{(k)}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

กรณีพิเศษที่สำคัญของสถิติเรียงลำดับ ได้แก่ ค่าต่ำสุดและ ค่า สูงสุดของตัวอย่าง และ (โดยมีข้อจำกัดบางประการที่กล่าวถึงด้านล่าง) ค่ามัธยฐาน ของตัวอย่างและควอนไทล์อื่นๆของ ตัวอย่าง

เมื่อใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการวิเคราะห์สถิติเรียงลำดับของตัวอย่างสุ่มจากตัวแปรต่อเนื่องฟังก์ชันการกระจายสะสมจะถูกนำมาใช้เพื่อลดการวิเคราะห์ให้เหลือเพียงกรณีของสถิติเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มแบบเอกรูป

ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีการสังเกตหรือบันทึกตัวเลขสี่ตัว ทำให้ได้ตัวอย่างขนาด 4 ถ้าค่าของตัวอย่างคือ

6, 9, 3, 7

สถิติการสั่งซื้อจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{(1)}&=3\\x_{(2)}&=6\\x_{(3)}&=7\\x_{(4)}&=9\end{aligned}}}$$

สถิติอันดับแรก (หรือสถิติอันดับที่เล็กที่สุด ) จะมีค่าต่ำสุดของตัวอย่างเสมอ นั่นคือ

$${\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}}$$

โดยตามธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไป เราจะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่เพื่ออ้างถึงตัวแปรสุ่ม และตัวอักษรพิมพ์เล็ก (ดังตัวอย่างข้างต้น) เพื่ออ้างถึงค่าที่สังเกตได้จริง

ในทำนองเดียวกัน สำหรับตัวอย่างขนาดn ค่าสถิติอันดับ ที่n (หรือค่าสถิติอันดับที่ใหญ่ที่สุด ) คือค่าสูงสุดนั่นคือ

$${\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.}$$

ช่วงค่าตัวอย่างคือผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ซึ่งเป็นฟังก์ชันของสถิติเรียงลำดับ:

$${\displaystyle {\rm {ช่วง}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.}$$

สถิติสำคัญอีกอย่างหนึ่งในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสำรวจซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับสถิติเรียงลำดับโดยตรง คือช่วงควาร์ไทล์ของ ตัวอย่าง

ค่ามัธยฐานของตัวอย่างอาจเป็นหรือไม่เป็นสถิติเรียงลำดับก็ได้ เนื่องจากจะมีค่ากลางเพียงค่าเดียวก็ต่อเมื่อจำนวน การสังเกต nเป็นเลขคี่เท่านั้น กล่าวคือ ถ้าn = 2m + 1สำหรับจำนวนเต็มm บางตัว ค่ามัธยฐานของตัวอย่างจะเป็นและดังนั้นจึงเป็นสถิติเรียงลำดับ ในทางกลับกัน เมื่อnเป็นเลขคู่n = 2m และมีค่ากลางสองค่า คือและและค่ามัธยฐานของตัวอย่างจะเป็นฟังก์ชันของค่าทั้งสอง (โดยปกติคือค่าเฉลี่ย) ดังนั้นจึงไม่ใช่สถิติเรียงลำดับ ข้อสังเกตที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับควอนไทล์ของตัวอย่างทั้งหมดด้วย ${\displaystyle X_{(m+1)}}$${\displaystyle X_{(m)}}$${\displaystyle X_{(m+1)}}$

เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มใดๆตัวแปรสุ่มเหล่านั้นจะถูกกำหนดโดยการเรียงลำดับจากน้อยไปมาก ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$

กรณีที่ตัวแปรสุ่มเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงเหมือนกันจะกล่าวถึงต่อไปนี้ โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มสามารถเกิดขึ้นได้จากการสุ่มตัวอย่างจากประชากรมากกว่าหนึ่งกลุ่ม จากนั้นเราจะพิจารณากรณีที่ตัวแปรสุ่มเป็นอิสระต่อกันแต่ไม่จำเป็นต้องมีการแจกแจงเหมือนกัน และการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ของตัวแปรสุ่มนั้น กำหนดโดย ทฤษฎีบท ของ Bapat–Beg${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$

ต่อจากนี้ไป เราจะถือว่าตัวแปรสุ่มที่พิจารณานั้นเป็นตัวแปรต่อเนื่องและในกรณีที่สะดวก เราจะถือว่าตัวแปรเหล่านั้นมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ด้วย กล่าวคือ เป็นตัวแปรต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ส่วนลักษณะเฉพาะของการวิเคราะห์การแจกแจงที่กำหนดมวลให้กับจุดต่างๆ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง ) จะกล่าวถึงในตอนท้าย

สำหรับตัวอย่างสุ่มดังข้างต้นที่มีการแจกแจงสะสมสถิติลำดับสำหรับตัวอย่างนั้นมีการแจกแจงสะสมดังต่อไปนี้^{[ 2 ]} (โดยที่rระบุสถิติลำดับใด): การพิสูจน์สูตรนี้เป็นเรื่องของการจัดกลุ่ม ล้วนๆ : สำหรับสถิติลำดับที่ th ที่จะเป็นจำนวนตัวอย่างที่เป็นจะต้องอยู่ระหว่างและในกรณีที่เป็นสถิติลำดับที่ใหญ่ที่สุดจะต้องมีตัวอย่าง(แต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นอย่างอิสระ) และตัวอย่าง(แต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นอย่างอิสระ) สุดท้าย มีหลายวิธีในการเลือกตัวอย่างใดที่เป็นชนิด ${\displaystyle F_{X}(x)}$$${\displaystyle F_{X_{(r)}}(x)=\sum _{j=r}^{n}{\binom {n}{j}}\left[F_{X}(x)\right]^{j}\left[1-F_{X}(x)\right]^{n-j}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \leq x}$${\displaystyle >x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle X_{(j)}}$${\displaystyle \leq x}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \leq x}$${\displaystyle F_{X}(x)}$${\displaystyle n-j}$${\displaystyle >x}$${\displaystyle 1-F_{X}(x)}$${\textstyle {\binom {n}{j}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \leq x}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันสามารถหาได้จากผลลัพธ์นี้ และพบว่าเป็นดังนี้

$${\displaystyle f_{X_{(r)}}(x)={\frac {n!}{(r-1)!(n-r)!}}f_{X}(x)\left[F_{X}(x)\right]^{r-1}\left[1-F_{X}(x)\right]^{n-r}.}$$

นอกจากนี้ ยังมีกรณีพิเศษอีกสองกรณี ซึ่งมีฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ที่คำนวณได้ง่าย

$${\displaystyle F_{X_{(n)}}(x)=\Pr(\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=[F_{X}(x)]^{n}}$$

$${\displaystyle F_{X_{(1)}}(x)=\Pr(\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}\leq x)=1-[1-F_{X}(x)]^{n}}$$

ซึ่งสามารถหาได้จากการพิจารณาความน่าจะเป็นอย่างรอบคอบ

ในส่วนนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่าค่าสถิติเรียงลำดับของการแจกแจงเอกรูปบนช่วงหนึ่งหน่วยมีการแจกแจงแบบมาร์จินัลที่อยู่ใน ตระกูล การแจกแจงเบตานอกจากนี้ เรายังนำเสนอวิธีการง่ายๆ ในการหาการแจกแจงร่วมของค่าสถิติเรียงลำดับจำนวนใดๆ และสุดท้าย แปลผลลัพธ์เหล่านี้ไปสู่การแจกแจงต่อเนื่องใดๆ โดยใช้ฟังก์ชันการกระจายสะสม(cdf )

ตลอดทั้งส่วนนี้ เราจะถือว่าเป็นตัวอย่างสุ่ม ที่ได้ มาจากการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf ) โดยกำหนดให้เราจะได้ตัวอย่างสุ่มที่สอดคล้องกันจากการแจกแจงเอกรูป มาตรฐาน โปรดทราบว่าสถิติเรียงลำดับยังเป็นไปตามเงื่อนไขด้วย ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของสถิติลำดับเท่ากับ^{[ 3 ]}${\displaystyle U_{(k)}}$

$${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}}$$

นั่นคือ สถิติลำดับที่ kของการแจกแจงแบบเอกรูปเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเบต้า^{[ 3 ] [ 4 ]}

$${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$$

การพิสูจน์ข้อความเหล่านี้มีดังนี้ เพื่อให้ค่าอยู่ระหว่างuและu  +  duจำเป็นต้องมี องค์ประกอบในตัวอย่าง อย่างน้อย k − 1 ตัวที่เล็กกว่า uและอย่างน้อยหนึ่งตัวอยู่ระหว่างuและu  + du ความน่าจะเป็นที่มากกว่าหนึ่งตัวอยู่ในช่วงหลังนี้คือดังนั้นเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ค่าสังเกตอย่างน้อยk  − 1, 1 และn  −  kค่าจะตกอยู่ในช่วง, และตามลำดับ ซึ่งเท่ากับ (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมในเรื่อง การแจกแจงแบบพหุนาม ) ${\displaystyle U_{(k)}}$${\displaystyle O(du^{2})}$${\displaystyle (0,u)}$${\displaystyle (u,u+du)}$${\displaystyle (u+du,1)}$

$${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot du\cdot (1-u-du)^{n-k}}$$

และผลลัพธ์ก็เป็นเช่นนี้

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงนี้คือk / ( n + 1)

ในทำนองเดียวกัน สำหรับi  <  jฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมของสถิติลำดับสองค่าU _{( i )}  <  U _{( j )}สามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)=n!{u^{i-1} \over (i-1)!}{(v-u)^{j-i-1} \over (j-i-1)!}{(1-v)^{n-j} \over (n-j)!}}$$

ซึ่งก็คือ (โดยพิจารณาถึงเงื่อนไขที่มีลำดับสูงกว่า) ความน่าจะเป็นที่ องค์ประกอบตัวอย่าง i  − 1, 1, j  − 1 −  i , 1 และn  −  jจะตกอยู่ในช่วง, , , , ตามลำดับ ${\displaystyle O(du\,dv)}$${\displaystyle (0,u)}$${\displaystyle (u,u+du)}$${\displaystyle (u+du,v)}$${\displaystyle (v,v+dv)}$${\displaystyle (v+dv,1)}$

เราใช้เหตุผลในลักษณะที่คล้ายคลึงกันอย่างสิ้นเชิงเพื่อหาการแจกแจงร่วมลำดับสูงกว่า อาจเป็นเรื่องน่าประหลาดใจที่ความหนาแน่นร่วมของสถิติลำดับที่nกลับมีค่าคงที่ :

$${\displaystyle f_{U_{(1)},U_{(2)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})=n!.}$$

วิธีหนึ่งที่จะเข้าใจเรื่องนี้คือ ตัวอย่างที่ไม่ได้เรียงลำดับนั้นมีความหนาแน่นคงที่เท่ากับ 1 และมี ลำดับการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกัน n ! แบบของตัวอย่างที่สอดคล้องกับลำดับสถิติการเรียงลำดับเดียวกัน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า 1/ n ! คือปริมาตรของบริเวณนอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งของสถิติการเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มเอกรูป: จากความไม่เท่าเทียมกันของ BRSจะได้ว่าจำนวนสูงสุดที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มเอกรูป U(0,1] ที่สามารถเลือกได้จากตัวอย่างขนาด n ที่มีผลรวมไม่เกิน นั้นมีขอบเขตบนโดยซึ่งจึงไม่เปลี่ยนแปลงบนเซตของทั้งหมดที่มีผลคูณคงที่ ${\displaystyle 0<u_{1}<\cdots <u_{n}<1}$${\displaystyle 0<s<n/2}$${\displaystyle {\sqrt {2sn}}}$${\displaystyle s,n}$${\displaystyle sn}$

โดยใช้สูตรข้างต้น เราสามารถหาการแจกแจงของช่วงของสถิติเรียงลำดับได้ นั่นคือ การแจกแจงของค่าสูงสุดลบด้วยค่าต่ำสุด โดยทั่วไปแล้ว สำหรับก็มีการแจกแจงแบบเบต้าเช่นกัน: จากสูตรเหล่านี้ เราสามารถหาค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างสถิติเรียงลำดับสองตัวได้: สูตรนี้ได้มาจากการสังเกตว่าและเปรียบเทียบว่า กับโดยที่คือการแจกแจงที่แท้จริงของผลต่าง ${\displaystyle U_{(n)}-U_{(1)}}$${\displaystyle n\geq k>j\geq 1}$${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}}$$${\displaystyle U_{(k)}-U_{(j)}\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})={\frac {j(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (U_{(k)}-U_{(j)})&=\operatorname {Var} (U_{(k)})+\operatorname {Var} (U_{(j)})-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})\\[1ex]&={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}+{\frac {j(n-j+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}-2\cdot \operatorname {Cov} (U_{(k)},U_{(j)})\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} (U)={\frac {(k-j)(n-(k-j)+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$$${\displaystyle U\sim \operatorname {Beta} (k-j,n-(k-j)+1)}$

สำหรับตัวอย่างสุ่มขนาดnจากการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์λสถิติเรียงลำดับX _{( i )}สำหรับi = 1, 2, 3, ..., nแต่ละตัวมีการแจกแจงดังนี้ ${\displaystyle X_{1},X_{2},..,X_{n}}$

$${\displaystyle X_{(i)}{\stackrel {d}{=}}{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum _{j=1}^{i}{\frac {Z_{j}}{n-j+1}}\right)}$$

โดยที่Z _jเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลมาตรฐานแบบ iid (กล่าวคือมีพารามิเตอร์อัตรา 1) ผลลัพธ์นี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยAlfréd Rényi ^{[ 5 ] [ 6 ]}

การแปลงลาปลาสของสถิติลำดับอาจสุ่มตัวอย่างจากการกระจาย Erlangผ่านวิธีการนับเส้นทาง^{[ 7 ]}

ถ้าF _Xเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องสัมบูรณ์จะมีความหนาแน่นที่และเราสามารถใช้การแทนที่ได้ ${\displaystyle dF_{X}(x)=f_{X}(x)\,dx}$

$${\displaystyle u=F_{X}(x)}$$

และ

$${\displaystyle du=f_{X}(x)\,dx}$$

เพื่อหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นต่อไปนี้สำหรับสถิติเรียงลำดับของตัวอย่างขนาดnที่สุ่มมาจากการแจกแจงของX :

$${\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}$$

$${\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[F_{X}(y)-F_{X}(x)]^{k-1-j}[1-F_{X}(y)]^{n-k}f_{X}(x)f_{X}(y)}$$ที่ไหน${\displaystyle x\leq y}$

$${\displaystyle f_{X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=n!f_{X}(x_{1})\cdots f_{X}(x_{n})}$$ที่ไหน${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}.}$

คำถามที่น่าสนใจคือ สถิติเรียงลำดับนั้นมีประสิทธิภาพเพียงใดในการประมาณค่าควอนไทล์ของการกระจายตัวพื้นฐาน

กรณีที่ง่ายที่สุดที่จะพิจารณาคือ มัธยฐานของกลุ่มตัวอย่างสามารถประมาณค่ามัธยฐานของประชากรได้ดีเพียงใด

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวอย่างสุ่มขนาด 6 ในกรณีนี้ ค่ามัธยฐานของตัวอย่างมักถูกกำหนดให้เป็นจุดกึ่งกลางของช่วงที่กำหนดโดยสถิติอันดับที่ 3 และ 4 อย่างไรก็ตาม เรารู้จากการอธิบายก่อนหน้านี้ว่า ความน่าจะเป็นที่ช่วงดังกล่าวจะครอบคลุมค่ามัธยฐานของประชากรนั้นคือ

$${\displaystyle {6 \choose 3}(1/2)^{6}={5 \over 16}\approx 31\%.}$$

แม้ว่าค่ามัธยฐานของตัวอย่างอาจเป็นค่าประมาณจุด ที่ไม่ขึ้นกับการกระจายตัวที่ดีที่สุด ค่าหนึ่งของค่ามัธยฐานของประชากร แต่ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่ามันไม่ใช่ค่าประมาณที่ดีนักในเชิงสัมบูรณ์ ในกรณีนี้ ช่วงความเชื่อมั่นที่ดีกว่าสำหรับค่ามัธยฐานคือช่วงที่กำหนดโดยสถิติอันดับที่ 2 และ 5 ซึ่งมีค่ามัธยฐานของประชากรอยู่ภายในด้วยความน่าจะเป็น

$${\displaystyle \left[{6 \choose 2}+{6 \choose 3}+{6 \choose 4}\right](1/2)^{6}={25 \over 32}\approx 78\%.}$$

ด้วยขนาดตัวอย่างที่เล็กเช่นนี้ หากต้องการความมั่นใจอย่างน้อย 95% จะต้องกล่าวว่าค่ามัธยฐานอยู่ระหว่างค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของข้อมูลทั้ง 6 ค่า ด้วยความน่าจะเป็น 31/32 หรือประมาณ 97% ที่จริงแล้ว ขนาดตัวอย่าง 6 คือขนาดตัวอย่างที่เล็กที่สุดที่ทำให้ช่วงความเชื่อมั่นที่กำหนดโดยค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดมีความมั่นใจอย่างน้อย 95% สำหรับค่ามัธยฐานของประชากร

สำหรับการแจกแจงแบบเอกรูป เมื่อnมีค่าเข้าสู่∞ ค่าควอนไทล์ตัวอย่างที่ p จะมีการแจกแจงแบบปกติเชิงอะซิมโทติก^{เนื่องจาก}สามารถประมาณได้ด้วย

$${\displaystyle U_{(\lceil np\rceil )}\sim AN{\left(p,{\frac {p(1-p)}{n}}\right)}.}$$

สำหรับการกระจายทั่วไปFที่มีความหนาแน่นต่อเนื่องที่ไม่เป็นศูนย์ที่F  ⁻¹ ( p ) ความเป็นปกติเชิงอะซิมโทติกที่คล้ายกันก็ใช้ได้เช่นกัน:

$${\displaystyle X_{(\lceil np\rceil )}\sim AN{\left(F^{-1}(p),{\frac {p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^{2}}}\right)}}$$

โดยที่fคือฟังก์ชันความหนาแน่นและF  ⁻¹คือฟังก์ชันควอนไทล์ที่เกี่ยวข้องกับFหนึ่งในบุคคลแรกที่กล่าวถึงและพิสูจน์ผลลัพธ์นี้คือFrederick Mostellerในบทความสำคัญของเขาในปี 1946 ^{[ 8 ]}การวิจัยเพิ่มเติมนำไปสู่ การแสดงแทนของ Bahadur ในช่วงทศวรรษ 1960 ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับขอบเขตข้อผิดพลาด การลู่เข้าสู่การกระจายแบบปกติยังคงใช้ได้ในความหมายที่แข็งแกร่งกว่า เช่น การลู่เข้าในเอนโทรปีสัมพัทธ์หรือความแตกต่าง KL ^{[ 9 ]}

ข้อสังเกตที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ ในกรณีที่การกระจายตัวสมมาตร และค่ามัธยฐานของประชากรเท่ากับค่าเฉลี่ยของประชากร ในกรณีนี้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างตามทฤษฎีบทลิมิตกลางจะมีการกระจายแบบปกติเชิงอะซิปโทติกเช่นกัน แต่มีค่าความแปรปรวน เท่ากับ ^σ² /nแทน การวิเคราะห์เชิงอะซิปโทติกนี้ชี้ให้เห็นว่า ค่าเฉลี่ยให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าค่ามัธยฐานในกรณีที่ค่าความโค้ง ต่ำ และในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น ค่ามัธยฐานให้ช่วงความเชื่อมั่นที่ดีกว่าสำหรับการกระจายแบบลาปลาซในขณะที่ค่าเฉลี่ยให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าสำหรับXที่มีการกระจายแบบปกติ

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

$${\displaystyle B(k,n+1-k)\ {\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\ {\frac {X}{X+Y}},}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i},\quad Y=\sum _{i=k+1}^{n+1}Z_{i},}$$

โดยที่Z _iเป็น ตัวแปรสุ่มเอกซ์ โพเนนเชียลอิสระ ที่มีการแจกแจงเหมือนกันทุกประการ ด้วยอัตรา 1 เนื่องจากX / nและY / nมีการแจกแจงแบบปกติเชิงอะซิมโทติกตามทฤษฎีบทขีดจำกัดส่วนกลาง ผลลัพธ์ของเราจึงได้มาจากการใช้วิธีเดลต้า

ข้อมูลร่วมกันและความแตกต่าง fระหว่างสถิติลำดับก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น หากการแจกแจงหลักเป็นแบบต่อเนื่อง สำหรับทุก ๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อมูลร่วมกันเป็นอิสระจากการแจกแจงหลัก สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความเท่าเทียมกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริง และเรามีเพียงแค่ ${\displaystyle 1\leq r,m\leq n}$$${\displaystyle I(X_{(r)};X_{(m)})=I(U_{(r)};U_{(m)}),}$$$${\displaystyle I(X_{(r)};X_{(m)})\leq I(U_{(r)};U_{(m)}),}$$

ข้อมูลร่วมกันระหว่างสถิติเรียงลำดับสม่ำเสมอจะกำหนดโดย โดย ที่ คือเลขฮาร์มอนิก ที่$${\displaystyle I(U_{(r)};U_{(m)})=T_{m-1}+T_{n-r}-T_{m-r+1}-T_{n}}$$$${\displaystyle T_{k}=\log(k!)-kH_{k}}$$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle k}$

โมเมนต์ของการกระจายสำหรับสถิติอันดับแรกสามารถใช้ในการพัฒนาตัวประมาณความหนาแน่นแบบไม่ใช้พารามิเตอร์ได้^{[ 11 ]}สมมติว่าเราต้องการประมาณความหนาแน่นที่จุดพิจารณาตัวแปรสุ่มซึ่งเป็น iid ที่มีฟังก์ชันการกระจายโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle Y_{i}=|X_{i}-x^{*}|}$${\displaystyle g_{Y}(y)=f_{X}(y+x^{*})+f_{X}(x^{*}-y)}$${\displaystyle f_{X}(x^{*})={\frac {g_{Y}(0)}{2}}}$

ค่าที่คาดหวังของสถิติอันดับแรกเมื่อกำหนดตัวอย่างที่มีจำนวนการสังเกตทั้งหมด จะได้ดังนี้ ${\displaystyle Y_{(1)}}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E(Y_{(1)})={\frac {1}{(N+1)g(0)}}+{\frac {1}{(N+1)(N+2)}}\int _{0}^{1}Q''(z)\delta _{N+1}(z)\,dz}$$

โดยที่คือฟังก์ชันควอนไทล์ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงและสมการนี้เมื่อรวมกับ เทคนิค แจ็กไนฟ์จะกลายเป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริธึมการประมาณความหนาแน่นต่อไปนี้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle g_{Y}}$${\displaystyle \delta _{N}(z)=(N+1)(1-z)^{N}}$

 อินพุต: ตัวอย่างข้อมูลการสังเกตจุดประเมินความหนาแน่น พารามิเตอร์ปรับแต่ง(โดยปกติคือ 1/3)${\displaystyle N}$${\displaystyle \{x_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$${\displaystyle a\in (0,1)}$ ผลลัพธ์: ความหนาแน่นโดยประมาณ ณ จุดประเมิน ${\displaystyle \{{\hat {f}}_{\ell }\}_{\ell =1}^{M}}$

 1: ชุดที่ 2: ชุดที่ 3: สร้างเมทริก ซ์ ที่เก็บเซตย่อยที่มีข้อมูลสังเกตการณ์ในแต่ละเซต${\displaystyle m_{N}=\operatorname {round} (N^{1-a})}$${\displaystyle s_{N}={\frac {N}{m_{N}}}}$${\displaystyle s_{N}\times m_{N}}$${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle m_{N}}$${\displaystyle s_{N}}$ 4. สร้างเวกเตอร์เพื่อเก็บค่าการประเมินความหนาแน่น${\displaystyle {\hat {f}}}$ 5: สำหรับdo 6: สำหรับdo 7: ค้นหาระยะทางที่ใกล้ที่สุดไปยังจุดปัจจุบันภายในเซตย่อยที่ th${\displaystyle \ell =1\to M}$${\displaystyle k=1\to m_{N}}$${\displaystyle d_{\ell k}}$${\displaystyle x_{\ell }}$${\displaystyle k}$ 8: สิ้นสุดสำหรับ 9: คำนวณค่าเฉลี่ยของระยะทางย่อยไปยัง 10: คำนวณค่าประมาณความหนาแน่นที่ 11: สิ้นสุดสำหรับ 12: ส่งคืน${\displaystyle x_{\ell }:d_{\ell }=\sum _{k=1}^{m_{N}}{\frac {d_{\ell k}}{m_{N}}}}$${\displaystyle x_{\ell }:{\hat {f}}_{\ell }={\frac {1}{2(1+s_{N})d_{\ell }}}}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

ตรงกันข้ามกับพารามิเตอร์การปรับแต่งตามแบนด์วิดท์/ความยาวสำหรับวิธี การแบบ ฮิสโตแกรมและเคอร์เนล พารามิเตอร์การปรับแต่งสำหรับตัวประมาณความหนาแน่นตามสถิติลำดับคือขนาดของชุดย่อยตัวอย่าง ตัวประมาณดังกล่าวมีความแข็งแกร่งกว่าวิธีการแบบฮิสโตแกรมและเคอร์เนล ตัวอย่างเช่น ความหนาแน่นเช่นการแจกแจงโคชี (ซึ่งไม่มีโมเมนต์จำกัด) สามารถอนุมานได้โดยไม่ต้องมีการปรับเปลี่ยนเฉพาะ เช่นแบนด์วิดท์ตาม IQRทั้งนี้เนื่องจากโมเมนต์แรกของสถิติลำดับจะมีอยู่เสมอหากค่าที่คาดหวังของการแจกแจงพื้นฐานมีอยู่ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป^{[ 12 ]}

สมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มอิสระและมีแจกแจงเหมือนกัน (iid) จากการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete distribution) ที่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (cumulative distribution function) และฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล (probability mass function ) ในการหาความน่าจะเป็นของสถิติเรียงลำดับ (order statistics) จำเป็นต้องมีค่าสามค่าก่อน ได้แก่ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=\Pr(X<x)=F(x)-f(x),\\p_{2}&=\Pr(X=x)=f(x),{\text{ and }}\\p_{3}&=\Pr(X>x)=1-F(x).\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมของสถิติลำดับสามารถคำนวณได้โดยสังเกตว่า ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}\leq x)&=\Pr({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than or equal to }}x),\\&=\Pr({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}.\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกันจะได้รับจาก ${\displaystyle P(X_{(k)}<x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}<x)&=\Pr({\text{there are at least }}k{\text{ observations less than }}x),\\&=\Pr({\text{there are at most }}n-k{\text{ observations greater than or equal to }}x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{n \choose j}(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}.\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของคือผลต่างของค่าเหล่านี้ กล่าวคือ ${\displaystyle X_{(k)}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X_{(k)}=x)&=\Pr(X_{(k)}\leq x)-\Pr(X_{(k)}<x),\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}\left[p_{3}^{j}(p_{1}+p_{2})^{n-j}-(p_{2}+p_{3})^{j}(p_{1})^{n-j}\right],\\&=\sum _{j=0}^{n-k}{\binom {n}{j}}\left[\left(1-F(x)\right)^{j}F(x)^{n-j}-\left(1-F(x)+f(x)\right)^{j}\left(F(x)-f(x)\right)^{n-j}\right].\end{aligned}}}$$

ปัญหาการคำนวณหา องค์ประกอบที่เล็กที่สุด (หรือใหญ่ที่สุด) อันดับที่ kของรายการเรียกว่าปัญหาการเลือก และสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึมการเลือก แม้ว่าปัญหานี้จะยากสำหรับรายการขนาดใหญ่มาก แต่ก็มีการสร้างอัลกอริธึมการเลือกที่ซับซ้อนขึ้นมาซึ่งสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในเวลาที่แปรผันตามจำนวนองค์ประกอบในรายการ แม้ว่ารายการนั้นจะไม่มีลำดับเลยก็ตาม หากข้อมูลถูกจัดเก็บไว้ในโครงสร้างข้อมูลเฉพาะบางอย่าง เวลาที่ใช้สามารถลดลงเหลือ O(log n ) ได้ ในหลายแอปพลิเคชัน จำเป็นต้องใช้สถิติการเรียงลำดับทั้งหมด ในกรณีนี้ สามารถใช้ อัลกอริธึมการเรียงลำดับได้และเวลาที่ใช้จะเป็น O( n log n )

สถิติเชิงลำดับมีการประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ เช่น ทฤษฎีความน่าเชื่อถือ คณิตศาสตร์การเงิน การวิเคราะห์การอยู่รอด ระบาดวิทยา กีฬา การควบคุมคุณภาพ และความเสี่ยงทางคณิตศาสตร์ประกันภัย มีงานวิจัยจำนวนมากที่ศึกษาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้สถิติเชิงลำดับในสาขาเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น การประยุกต์ใช้ล่าสุดในความเสี่ยงทางคณิตศาสตร์ประกันภัยสามารถพบได้ใน^{[ 13 ]}ซึ่งมีหลักการเบี้ยประกันภัยแบบถ่วงน้ำหนักบางประการในแง่ของการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนที่บันทึกไว้และการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนที่บันทึกไว้ครั้งที่ k

• แรนกิต
• แผนภาพกล่อง
• ความไม่เท่าเทียมกันของ BRS
• สถิติร่วม (สถิติ)
• การแจกแจงแบบฟิชเชอร์-ทิปเพ็ตต์
• ทฤษฎีบท Bapat–Begสำหรับสถิติเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ไม่จำเป็นต้องมีการแจกแจงเหมือนกัน
• พหุนามเบิร์นสไตน์
• ตัวประมาณค่า L – การรวมเชิงเส้นของสถิติลำดับ
• การกระจายขนาดอันดับ
• อัลกอริทึมการเลือก

• ตัวอย่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
• ควอนไทล์
• เปอร์เซ็นไทล์
• เดซิล์
• ควาร์ไทล์
• ค่ามัธยฐาน
• หมายถึง
• ค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนร่วมของตัวอย่าง

• สถิติการสั่งซื้อที่PlanetMathสืบค้นเมื่อ 2 กุมภาพันธ์ 2548
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สถิติลำดับ" . แมธเวิลด์ .สืบค้นข้อมูลเมื่อวันที่ 2 กุมภาพันธ์ 2548
• โค้ด C++ สถิติการสั่งซื้อแบบไดนามิก