ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงความน่าจะเป็นอธิบายถึงวิธีการกำหนดความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของปรากฏการณ์สุ่ม—หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือเหตุการณ์ซึ่งเป็นเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองเชิงความน่า จะเป็น โดยทั่วไป การแจกแจงความน่าจะเป็นบอกเราว่าผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด ในทางทฤษฎีแล้ว มันคือการวัดความน่าจะเป็น : ฟังก์ชันที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับเหตุการณ์ในลักษณะที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

การแจกแจงความน่าจะเป็นมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับตัวแปรสุ่มตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่กำหนดค่าให้กับผลลัพธ์แต่ละอย่างของการทดลองเชิงความน่าจะเป็น โดยจะสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นบนเซตของค่าที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้ ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญสามารถแทนด้วยตัวแปรสุ่มXที่เท่ากับ1สำหรับหัวและ0สำหรับก้อย หากเหรียญนั้นยุติธรรม การแจกแจงนี้จะกำหนดความน่าจะเป็น1/2ให้กับX = 1และความน่าจะเป็น1/2ให้กับX = 0เมื่อมองในแง่ของการวัดความน่าจะเป็น การแจกแจงของXจะกำหนดค่า ℙ( X ∈ A )ให้กับแต่ละเซตA ⊆ {0,1 }; สำหรับเหรียญที่ยุติธรรมℙ( X ∈ {1}) = ℙ( X ∈ {0}) = 1/2 , ℙ( X ∈ {0,1}) = 1 , และℙ( X ∈ ∅) = 0

ในทางปฏิบัติ การแจกแจงความน่าจะเป็นมักถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันต่างๆ เช่นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นการเลือกใช้คำอธิบายใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของการแจกแจง: ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นใช้สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องในขณะที่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นใช้สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง หลายๆ แบบ

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งหรือมีความสำคัญทางทฤษฎีเป็นพิเศษ มักจะได้รับชื่อเฉพาะ ตัวอย่างต่างๆ ได้ถูกรวบรวมไว้ในรายการของการแจกแจงความน่าจะเป็น

การแจกแจงความน่าจะเป็นคือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ กล่าวคือ เซตย่อยของปริภูมิของตัวอย่าง ปริภูมิของตัวอย่างซึ่งมักแสดงด้วยสัญลักษณ์ Ω คือเซต ของ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปรากฏการณ์ สุ่ม ที่กำลังสังเกต ปริภูมิของตัวอย่างอาจเป็นเซตของตัวเลขเวกเตอร์ป้ายกำกับ หรือสิ่งอื่นๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิของตัวอย่างของการโยนเหรียญอาจเป็นΩ = { "หัว", "ก้อย" }ในขณะที่สำหรับ ทอย ลูกเต๋าอาจเป็นΩ = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6 }${\displaystyle \ \โอเมก้า \ ,}$

เพื่อกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับกรณีเฉพาะของตัวแปรสุ่ม (เพื่อให้ปริภูมิของตัวอย่างสามารถแมปไปยังปริภูมิที่วัดได้เช่นจำนวนจริง ) เป็นเรื่องปกติที่จะแยกแยะระหว่าง ตัวแปรสุ่มแบบ ไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง เพียงพอที่จะระบุฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น ที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละอย่าง (เช่น เมื่อทอยลูกเต๋าที่ยุติธรรม ตัวเลขทั้งหกตัว“1”ถึง“6”ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนจุดบนลูกเต๋า มีความน่าจะเป็นที่จะอยู่ด้านบนเมื่อลูกเต๋าตกลงมา) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเหตุการณ์นั้น ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ “ลูกเต๋าออกเลขคู่” คือ ในทางตรงกันข้าม เมื่อตัวแปรสุ่มรับค่าจากค่าต่อเนื่อง เว้นแต่ว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นจะมีจุดสูงสุดที่มีความหนาแน่นอนันต์ ผลลัพธ์แต่ละอย่างจะมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องดังกล่าว เฉพาะเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์อนันต์จำนวน เช่นช่วง เท่านั้น ที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 0 ${\displaystyle p}$${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$$${\displaystyle p({\text{“}}2{\text{”}})+p({\text{“}}4{\text{”}})+p({\text{“}}6{\text{”}})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}.}$$

ยกตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการชั่งน้ำหนักแฮมชิ้นหนึ่งในซูเปอร์มาร์เก็ต และสมมติว่าเครื่องชั่งสามารถให้ความแม่นยำได้หลายหลักอย่างไม่จำกัด ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่แฮมจะมีน้ำหนัก500  กรัมพอดีจะต้องเป็นศูนย์ เพราะไม่ว่าระดับความแม่นยำที่เลือกจะสูงแค่ไหน ก็ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์หลังจากตัวเลขที่เครื่องชั่งแสดงผลออกมา อย่างไรก็ตาม สำหรับกรณีการใช้งานเดียวกันนี้ เป็นไปได้ที่จะตอบสนอง ความต้องการ ด้านการควบคุมคุณภาพเช่น แฮมหนึ่งห่อที่มีน้ำหนัก "500 กรัม" จะต้องมีน้ำหนักอยู่ระหว่าง 490 กรัมถึง 510 กรัม ซึ่งเป็นไปได้เพราะการวัดนี้ไม่ต้องการความแม่นยำสูงมากจากอุปกรณ์ที่ใช้ และยังมีความคลาดเคลื่อน ในระดับหนึ่ง สำหรับความแปรปรวนในวัตถุและกระบวนการทางกายภาพ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องสามารถอธิบายได้โดยใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมซึ่งอธิบายความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะไม่มากกว่าค่าที่กำหนด (เช่นP ( X ≤ x )สำหรับx บางค่า ) ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมคือพื้นที่ใต้ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นจาก-∞ถึงxดังแสดงในรูปที่ 1 ^{[ 1 ]}

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติไม่เพียงแต่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ อีก ด้วย การแจกแจงดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น โดยทั่วไป ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะอธิบายค่าสัมพัทธ์ของความ น่าจะเป็นเล็กน้อย ที่รับค่าใดๆ— นั่นคือเมื่อมีค่าเล็กมาก ความน่าจะเป็นที่อยู่ในช่วงที่กำหนดสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำโดยการอินทิเกรตฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นในช่วงนั้น^{[ 2 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(x\leq X<x+\Delta x)\approx f(x)\,\Delta x}$${\displaystyle \Delta x>0}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นเป็นปริภูมิที่วัดได้และเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าอยู่ใน แล้วการแจกแจงความน่าจะเป็นของคือการวัดแบบพุชฟอร์เวิร์ดของการวัดความน่าจะ เป็น บนที่เกิดจาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การวัดแบบพุชฟอร์เวิร์ดบน นี้กำหนดโดย สำหรับ${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle X:\Omega \to E}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$$${\displaystyle X_{*}(P)(B)=P\left(X^{-1}(B)\right)}$$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}.}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ ก็ตามเป็นการวัดความน่าจะเป็นบน(โดยทั่วไปจะแตกต่างจากเว้นแต่ว่าจะเป็นแผนที่เอกลักษณ์) ^{[ 3 ]}${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถอธิบายได้หลายรูปแบบ เช่น โดยฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันการแจกแจงสะสม หนึ่งในคำอธิบายที่ครอบคลุมที่สุด ซึ่งใช้ได้กับตัวแปรต่อเนื่องและตัวแปรไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ คือ โดยใช้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่มีปริภูมิอินพุต เป็นพีชคณิต σและให้ ความน่าจะเป็น เป็นจำนวนจริงเป็นเอาต์พุต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนใน ${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสามารถรับเซตย่อยของปริภูมิของตัวอย่างเป็นอาร์กิวเมนต์ได้ ดังเช่นในตัวอย่างการโยนเหรียญ ซึ่งฟังก์ชันถูกกำหนดให้P (หัว) = 0.5และP (ก้อย) = 0.5อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการใช้ตัวแปรสุ่ม อย่างแพร่หลาย ซึ่งแปลงปริภูมิของตัวอย่างให้เป็นเซตของตัวเลข (เช่น, ) จึงเป็นเรื่องปกติมากกว่าที่จะศึกษาการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเซตย่อยของเซตประเภทนี้ (เซตตัวเลข) ^{[ 4 ]}และการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทความนี้เป็นประเภทนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ แทนความน่าจะเป็นที่ค่าใดค่าหนึ่งของตัวแปรเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง^{[ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle P(X\in E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นข้างต้นจะอธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นได้ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามสัจพจน์ของ Kolmogorov ทั้งหมด กล่าวคือ:

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงไม่ใช่ค่าลบ
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงไม่เกินกว่า${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$สำหรับเซตตระกูลหนึ่งที่นับได้และไม่ซ้อนทับกัน${\displaystyle \{E_{i}\}}$

แนวคิดของฟังก์ชันความน่าจะเป็นมีความเข้มงวดมากขึ้นโดยกำหนดให้เป็นองค์ประกอบของปริภูมิความน่าจะเป็น โดยที่คือเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดที่สามารถวัดความน่าจะเป็นได้ และคือฟังก์ชันความน่าจะเป็น หรือการวัดความน่าจะเป็น ที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับเซตย่อยที่วัดได้แต่ละเซต^{[ 7 ]}${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle E\subset X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$

โดยทั่วไปแล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นจะอยู่ในสองประเภทหลักๆ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องนั้นใช้ได้กับสถานการณ์ที่ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้นั้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น การโยนเหรียญ การทอยลูกเต๋า) และความน่าจะเป็นถูกเข้ารหัสด้วยรายการความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบไม่ต่อเนื่อง ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นจะถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นและการแจกแจงความน่าจะเป็นจะกำหนดโดยผลรวมของฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์นั้นใช้ได้กับสถานการณ์ที่ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามารถมีค่าอยู่ในช่วงต่อเนื่อง (เช่น จำนวนจริง) เช่น อุณหภูมิในวันที่กำหนด ในกรณีที่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ความน่าจะเป็นจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและการแจกแจงความน่าจะเป็นนั้นโดยนิยามแล้วคือปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น^{[ 5 ] [ 2 ] [ 6 ]}การแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ที่พบได้ทั่วไป การทดลองที่ซับซ้อนกว่า เช่น การทดลองที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่มที่กำหนดในเวลาต่อเนื่องอาจต้องการใช้การวัดความน่าจะ เป็น ทั่วไป มากขึ้น

การแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีปริภูมิของตัวอย่างเป็นมิติเดียว (เช่น จำนวนจริง รายการของป้ายกำกับ ป้ายกำกับเรียงลำดับ หรือเลขฐานสอง) เรียกว่าการแจกแจง ความน่าจะเป็นแบบ ตัวแปรเดียว ในขณะที่การแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีปริภูมิของตัวอย่างเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ 2 หรือมากกว่า เรียกว่า การแจกแจงความน่า จะเป็นแบบหลายตัวแปร การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบตัวแปรเดียวให้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ตัวเดียว ที่รับค่าต่างๆ กัน การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบหลายตัวแปร ( การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ) ให้ความน่าจะเป็นของเวกเตอร์สุ่มซึ่งเป็นรายการของตัวแปรสุ่มสองตัวหรือมากกว่า ที่รับค่าต่างๆ กัน การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบตัวแปรเดียวที่สำคัญและพบได้บ่อย ได้แก่การแจกแจงทวินามการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกและการแจกแจงปกติ การแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบหลายตัวแปรที่พบได้บ่อยคือ การแจกแจง ปกติแบบหลายตัวแปร

นอกจากฟังก์ชันความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการกระจายสะสม ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแล้วฟังก์ชันสร้างโมเมนต์และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะยังใช้ในการระบุการกระจายความน่าจะเป็น เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้กำหนดฟังก์ชันการกระจายสะสมพื้นฐานได้อย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 8 ]}

แนวคิดและคำศัพท์สำคัญบางส่วนที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในเอกสารเกี่ยวกับหัวข้อการแจกแจงความน่าจะเป็นมีดังต่อไปนี้^{[ 9 ]}

• ตัวแปรสุ่ม : รับค่าจากปริภูมิของตัวอย่าง; ความน่าจะเป็นจะอธิบายว่าค่าใดและชุดของค่าใดมีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่ากัน
• เหตุการณ์ : เซตของค่าที่เป็นไปได้ (ผลลัพธ์) ของตัวแปรสุ่มที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นหรือการวัดความน่าจะเป็น : อธิบายความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ^{[ 10 ]}${\displaystyle P(X\in E)}$${\displaystyle E,}$
• ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม : ฟังก์ชันที่ประเมินความน่าจะของตัวแปรสุ่มจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าที่กำหนด${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$
• ฟังก์ชันควอนไทล์ : ส่วนกลับของฟังก์ชันการกระจายสะสม ให้ค่า ที่ทำให้ ด้วยความน่าจะเป็นจะไม่เกิน.${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง : สำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนมากที่มีค่าจำกัดหรืออนันต์นับได้
• ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล ( pmf ): ฟังก์ชันที่แสดงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะมีค่าเท่ากับค่าใดค่าหนึ่ง
• การแจกแจงความถี่ : ตารางที่แสดงความถี่ของผลลัพธ์ต่างๆในกลุ่มตัวอย่าง
• การแจกแจงความถี่สัมพัทธ์ :การแจกแจงความถี่ที่แต่ละค่าถูกหาร (ทำให้เป็นมาตรฐาน) ด้วยจำนวนผลลัพธ์ในตัวอย่าง (เช่น ขนาดตัวอย่าง)
• การแจกแจงเชิงหมวดหมู่ : สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าจำกัด

• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ : สำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนมากที่มีค่าเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน
• ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ( pdf ) หรือความหนาแน่นความน่าจะเป็น : ฟังก์ชันที่มีค่า ณ ตัวอย่างใดๆ (หรือจุดใดๆ) ในปริภูมิของตัวอย่าง (เซตของค่าที่เป็นไปได้ที่ตัวแปรสุ่มรับ) สามารถตีความได้ว่าเป็นการให้ความน่าจะเป็นสัมพัทธ์ที่ค่าของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับตัวอย่างนั้น

• ช่วงสนับสนุน : เซตของค่า xที่ทำให้ตัวแปรสุ่มมีโอกาสตกในทุกย่านเปิดของ x เป็นค่า บวก
• หาง : ^{[ 11 ]}บริเวณใกล้ขอบเขตของตัวแปรสุ่ม หาก pmf หรือ pdf ค่อนข้างต่ำในบริเวณนั้น โดยปกติจะมีรูปแบบหรือการรวมกันของทั้งสอง${\displaystyle X>a}$${\displaystyle X<b}$
• ค่าที่คาดหวังหรือค่าเฉลี่ย :ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยใช้ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าเป็นน้ำหนัก หรือค่าที่เทียบเท่าในรูปแบบต่อเนื่อง
• ค่ามัธยฐาน : ค่าที่ทำให้เซตของค่าที่น้อยกว่าค่ามัธยฐาน และเซตของค่าที่มากกว่าค่ามัธยฐาน แต่ละเซตมีโอกาสปรากฏไม่เกินหนึ่งในสอง
• โหมด : สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ตำแหน่งที่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีค่าสูงสุดเฉพาะที่
• ควอนไทล์ : ควอนไทล์ q คือค่าที่ทำให้.${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X<x)=q}$
• ความแปรปรวน : โมเมนต์อันดับสองของตัวแปรสุ่มเทียบกับค่าเฉลี่ย เป็นมาตรวัดที่สำคัญของการกระจายตัวของข้อมูล
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน : รากที่สองของความแปรปรวน ดังนั้นจึงเป็นอีกมาตรวัดหนึ่งของการกระจายตัว
• สมมาตร : คุณสมบัติอย่างหนึ่งของการแจกแจงข้อมูลบางประเภท ซึ่งส่วนของการแจกแจงข้อมูลทางด้านซ้ายของค่าเฉพาะค่าหนึ่ง (โดยปกติคือค่ามัธยฐาน) จะเป็นภาพสะท้อนของส่วนทางด้านขวาของค่าดังกล่าว
• ความเบี่ยงเบน (Skewness) : การวัดระดับที่ฟังก์ชันความน่าจะเป็น (pmf) หรือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) "เอนเอียง" ไปทางด้านใดด้านหนึ่งของค่าเฉลี่ยโมเมนต์มาตรฐานลำดับ ที่สาม ของการกระจายตัว
• ค่า ความโค้ง (Kurtosis ): เป็นตัววัด "ความอ้วน" ของส่วนหางของฟังก์ชันความน่าจะเป็น (pmf) หรือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ค่าโมเมนต์มาตรฐานลำดับที่สี่ของการกระจายตัว

ในกรณีพิเศษของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนจริง การแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถแสดงได้อย่างเทียบเท่าด้วยฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแทนที่จะเป็นการวัดความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็นนั้นกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}$$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มค่าจริงใดๆ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle F(x)}$เป็นค่าที่ไม่ลดลง ;
• ${\displaystyle F(x)}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวา ;
• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$และ; และ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$
• ${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$.

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันใดๆที่ตรงตามคุณสมบัติสี่ข้อแรกข้างต้น จะเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายความน่าจะเป็นบางอย่างบนจำนวนจริง^{[ 12 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

การแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ สามารถแยกส่วนได้เป็นส่วนผสมของการ แจกแจง แบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงแบบต่อเนื่อง โดยสมบูรณ์และการแจกแจงแบบต่อเนื่องเอกพจน์ [ ^{13 ] และ}ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมใดๆ จึงยอมรับการแยกส่วนเป็นผลรวมนูนของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมทั้งสามตามลำดับ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าได้เพียงจำนวนนับเท่านั้น^{[ 14 ]} ( เกือบแน่นอน ) ^{[ 15 ]}ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆสามารถแสดงเป็นผลรวม (จำกัดหรืออนันต์แบบนับได้ ) ได้ดังนี้: โดยที่เป็นเซตที่นับได้ที่มีดังนั้น ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง) ก็คือตัวแปรที่มีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น ในกรณีที่ช่วงของค่าเป็นอนันต์แบบนับได้ ค่าเหล่านี้จะต้องลดลงเป็นศูนย์เร็วพอที่ความน่าจะเป็นจะรวมกันได้เท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น ถ้าสำหรับผลรวมของความน่าจะเป็นจะเป็น ${\displaystyle E}$$${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A\cap E}P(X=\omega ),}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(X\in A)=1}$${\displaystyle p(x)=P(X=x)}$${\displaystyle p(n)={\tfrac {1}{2^{n}}}}$${\displaystyle n=1,2,...}$${\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots =1}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งใช้ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ได้แก่ การแจกแจงปัวซงการแจกแจงเบอร์นูลลีการแจกแจงทวินามการแจกแจงเรขาคณิต การแจกแจงทวินามเชิง ลบและการแจกแจงเชิงหมวดหมู่^{[ 16 ]}เมื่อสุ่มตัวอย่าง (ชุดของการสังเกต) จากประชากรขนาดใหญ่ จุดตัวอย่างจะมีการแจกแจงเชิงประจักษ์ที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับการกระจายของประชากร นอกจากนี้การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องยังใช้กันทั่วไปในโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำการเลือกแบบสุ่มที่มีความน่าจะเป็นเท่ากันระหว่างตัวเลือกจำนวนหนึ่ง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสมเพิ่มขึ้นเฉพาะที่จุดกระโดดที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น กล่าวคือ ฟังก์ชันการกระจายสะสมจะเพิ่มขึ้นเฉพาะที่จุดที่มีการ "กระโดด" ไปสู่ค่าที่สูงกว่า และจะมีค่าคงที่ในช่วงที่ไม่มีการกระโดด จุดที่มีการกระโดดเกิดขึ้นคือค่าที่ตัวแปรสุ่มอาจมีได้ ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายสะสมจึงมีรูปแบบดังนี้ จุดที่ฟังก์ชันการกระจายสะสมกระโดดจะประกอบกันเป็นเซตที่นับได้ ซึ่งอาจเป็นเซตที่นับได้ใดๆ ก็ได้ และดังนั้นอาจมีความหนาแน่นในจำนวนจริงด้วย $${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{\omega \leq x}p(\omega ).}$$

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องมักแสดงด้วยมาตรวัดของ Diracหรือที่เรียกว่าการแจกแจงแบบจุดเดียว (ดูด้านล่าง) ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเชิงกำหนดสำหรับผลลัพธ์ใดๆให้เป็นมาตรวัดของ Dirac ที่กระจุกตัวอยู่ที่เมื่อกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง จะมีเซตที่นับได้ที่มีและฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นถ้าเป็นเหตุการณ์ใดๆ แล้ว หรือกล่าวโดยย่อคือ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \delta _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(X\in A)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }(E),}$$$${\displaystyle P_{X}=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }.}$$

ในทำนองเดียวกัน การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเดลต้าของ Diracเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นทั่วไป ซึ่ง หมายความว่า สำหรับเหตุการณ์ใดๆ^{[ 17 ]}${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta (x-\omega ),}$$$${\displaystyle P(X\in E)=\int _{E}f(x)\,dx=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\int _{E}\delta (x-\omega )=\sum _{\omega \in A\cap E}p(\omega )}$$${\displaystyle E.}$

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องให้เป็นค่าที่ตัวแปรสุ่มนั้นสามารถรับได้ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ กำหนดให้ เป็นเซตที่ไม่ซ้ำกันและสำหรับเซตดังกล่าว จะได้ว่าความน่าจะเป็นที่ รับค่าใดๆ ยกเว้นคือศูนย์ ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้เป็น ยกเว้นบนเซตที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ โดยที่คือฟังก์ชันบ่งชี้ของ นี่อาจใช้เป็นนิยามทางเลือกของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots }$$${\displaystyle \Omega _{i}=X^{-1}(u_{i})=\{\omega :X(\omega )=u_{i}\},\,i=0,1,2,\dots }$$$${\displaystyle P\left(\bigcup _{i}\Omega _{i}\right)=\sum _{i}P(\Omega _{i})=\sum _{i}P(X=u_{i})=1.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle X(\omega )=\sum _{i}u_{i}1_{\Omega _{i}}(\omega )}$$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

กรณีพิเศษคือการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องของตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าคงที่ได้เพียงค่าเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การวัดแบบ Dirac กล่าวอย่างเป็นทางการ ตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบจุดเดียวหากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เช่นนั้น^{[ 18 ]}ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้อื่นๆ ทั้งหมดจะมีโอกาสเป็น 0 ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมจะกระโดดจาก 0 ทันทีก่อนเป็น 1 ที่มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงแบบกำหนด ซึ่งไม่สามารถรับค่าอื่นใดได้ ในขณะที่การแจกแจงแบบจุดเดียวสามารถรับค่าอื่นได้ แม้ว่าจะมีโอกาสเป็น 0 เท่านั้น สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่ แนวคิดทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P(X{=}x)=1.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์คือการแจกแจงความน่าจะเป็นบนจำนวนจริงที่มีค่าที่เป็นไปได้นับไม่ถ้วน เช่น ช่วงทั้งหมดบนเส้นจำนวนจริง และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์^{[ 19 ]}กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวแปรสุ่มจริงมี การแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์หากมีฟังก์ชันที่สำหรับแต่ละช่วงความน่าจะเป็นของการเป็นสมาชิกของ ช่วง นั้นกำหนดโดยปริพันธ์ของฟังก์ชันในช่วง: ^{[ 20 ] [ 21 ]} นี่คือนิยามของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นดังนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์จึงเป็นการแจกแจงที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นที่ค่าใดค่าหนึ่ง(นั่นคือ) จะเป็นศูนย์ เพราะปริพันธ์ที่มีขอบเขตบนและล่างที่ตรงกันจะเท่ากับศูนย์เสมอ หากช่วงถูกแทนที่ด้วยเซตที่วัดได้ใดๆความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องก็ยังคงเป็นจริง: ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]}$${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle P\left(a\leq X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\leq X\leq a}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx.}$$

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องโดยสมบูรณ์คือ ตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์

มีตัวอย่างมากมายของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ เช่น การแจกแจงแบบปกติ การแจกแจง แบบเอกรูป การแจกแจงแบบไคกำลังสองและอื่นๆ

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ตามที่นิยามไว้ข้างต้น คือการแจกแจงที่มี ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม แบบต่อเนื่องโดยสมบูรณ์ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมจะมีรูปแบบ โดยที่คือความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจง ${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์:ควรแยกแยะการแจกแจงแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์ออกจากการแจกแจงแบบต่อเนื่องซึ่งเป็นการแจกแจงที่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบต่อเนื่อง การแจกแจงแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์ทุกแบบเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง มีการแจกแจงแบบเอกฐานซึ่งไม่ใช่ทั้งแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์หรือแบบไม่ต่อเนื่อง หรือเป็นการผสมผสานของทั้งสองอย่าง และไม่มีความหนาแน่น ตัวอย่างเช่น การแจกแจงแคนเตอร์อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "การแจกแจงแบบต่อเนื่อง" เพื่อหมายถึงการแจกแจงทั้งหมดที่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์กล่าวคือ อ้างถึงการแจกแจงแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์ว่าเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง^{[ 5 ]}

สำหรับคำจำกัดความทั่วไปของฟังก์ชันความหนาแน่นและมาตรวัดต่อเนื่องสัมบูรณ์ที่เทียบเท่ากัน โปรดดูที่ มาตรวัด ต่อ เนื่องสัมบูรณ์

ในการ กำหนด รูปแบบเชิงวัดของทฤษฎีความน่าจะ เป็น ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ จากปริภูมิความน่าจะ เป็น ไปยังปริภูมิที่วัดได้เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในรูปแบบเป็นไปตามสัจพจน์ความน่าจะเป็นของ Kolmogorovการแจกแจงความน่าจะเป็นของคือการวัดภาพของซึ่งเป็นการวัดความน่าจะ เป็น บนที่สอดคล้อง กับ ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}$

การแจกแจงแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ที่มีส่วนรองรับบนหรือมีประโยชน์อย่างยิ่งในการจำลองปรากฏการณ์มากมาย^{[ 5 ] [ 1 ]}เนื่องจากส่วนใหญ่การแจกแจงในทางปฏิบัติจะมีส่วนรองรับบนเซตย่อยที่ค่อนข้างง่าย เช่นไฮเปอร์คิวบ์หรือลูกบอลอย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป และมีปรากฏการณ์ที่มีส่วนรองรับที่เป็นเส้นโค้งที่ซับซ้อนภายในพื้นที่บางอย่างหรือคล้ายกัน ในกรณีเหล่านี้ การแจกแจงความน่าจะเป็นจะมีส่วนรองรับบนภาพของเส้นโค้งดังกล่าว และมีแนวโน้มที่จะถูกกำหนดโดยประสบการณ์มากกว่าการหาสูตรปิด^{[ 25 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ตัวอย่างหนึ่งแสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา ซึ่งแสดงวิวัฒนาการของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (โดยทั่วไปเรียกว่าสมการ Rabinovich–Fabrikant ) ที่สามารถใช้จำลองพฤติกรรมของคลื่น Langmuirในพลาสมาได้^{[ 26 ]}เมื่อศึกษาปรากฏการณ์นี้ สถานะที่สังเกตได้จากเซตย่อยจะแสดงเป็นสีแดง ดังนั้นจึงอาจถามได้ว่าความน่าจะเป็นของการสังเกตสถานะในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งของเซตย่อยสีแดงคืออะไร หากมีความน่าจะเป็นดังกล่าวอยู่ จะเรียกว่าการวัดความน่าจะเป็นของระบบ^{[ 27 ] [ 25 ]}

การสนับสนุนที่ซับซ้อนประเภทนี้มักปรากฏในระบบพลวัตบ่อย ครั้ง การพิสูจน์ว่าระบบมีการวัดความน่าจะเป็นนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และปัญหาหลักคือดังต่อไปนี้ ให้เป็นช่วงเวลา และเป็นเซตย่อยของการสนับสนุน ถ้าหากการวัดความน่าจะเป็นมีอยู่สำหรับระบบ เราคาดหวังว่าความถี่ของการสังเกตสถานะภายในเซตจะเท่ากันในช่วงเวลาและซึ่งอาจไม่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น อาจแกว่งไปมาคล้ายกับฟังก์ชันไซน์ซึ่งลิมิตเมื่อไม่ลู่เข้า ในทางทฤษฎี การวัดจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อลิมิตของความถี่สัมพัทธ์ลู่เข้าเมื่อสังเกตระบบในอนาคตอันไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 28 ]}สาขาของระบบพลวัตที่ศึกษาการมีอยู่ของการวัดความน่าจะเป็นคือทฤษฎีเออร์โกดิก ${\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle [t_{2},t_{3}]}$${\displaystyle \sin(t)}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

โปรดทราบว่าแม้ในกรณีเหล่านี้ การกระจายความน่าจะเป็น หากมีอยู่จริง ก็อาจยังคงถูกเรียกว่า "ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์" หรือ "ไม่ต่อเนื่อง" ขึ้นอยู่กับว่าขอบเขตนั้นนับไม่ได้หรือนับได้ ตามลำดับ

ทฤษฎีบทการแยกส่วนของเลเบสก์ระบุว่าการกระจายความน่าจะเป็นใดๆ บนเส้นจำนวนจริงสามารถแยกส่วนได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นส่วนผสมของประเภทพื้นฐานสามประเภท โดยที่ผลรวมของสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ส่วนประกอบทั้งสามคือ: ^{[ 29 ]}${\displaystyle F=\alpha F_{\text{discrete}}+\beta F_{\text{ac}}+\gamma F_{\text{singular}}}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in [0,1]}$

• แบบไม่ต่อเนื่อง :ความน่าจะเป็นจะกระจุกตัวอยู่บนชุดค่า (จุด) ที่นับได้ ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) เป็นฟังก์ชันขั้นบันได
• ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ :การแจกแจงมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ที่ โดยที่เซตของค่าที่มีความหนาแน่นความน่าจะเป็นไม่เป็นศูนย์จะมีค่าการวัดของเลเบสมากกว่าศูนย์${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$
• ความต่อเนื่องแบบเอกลักษณ์ :ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ต่อเนื่องทุกที่ แต่ค่าอนุพันธ์ของมันเป็นศูนย์เกือบทุกที่ (เมื่อเทียบกับการวัดแบบเลเบส) ความน่าจะเป็นจะกระจุกตัวอยู่บนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ (เช่นเซตแคนเตอร์ ) ตัวอย่างคลาสสิกคือการกระจายแบบแคนเตอร์

การแจกแจงมาตรฐานส่วนใหญ่ในการประยุกต์ใช้ทางสถิติจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องล้วนๆ ( ) หรือแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์ล้วนๆ ( ) การแจกแจงเอกลักษณ์ไม่ค่อยปรากฏในสถิติประยุกต์ แต่มีความสำคัญในทฤษฎีของกระบวนการสุ่มและแฟรกทัล ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =1}$

อัลกอริทึมส่วนใหญ่ใช้ตัวสร้างเลขสุ่มเทียมที่สร้างตัวเลขที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงครึ่งเปิด[0, 1) จากนั้น ตัวแปรสุ่มเหล่านี้จะถูกแปลงผ่านอัลกอริทึมบางอย่างเพื่อสร้างตัวแปรสุ่มใหม่ที่มีการกระจายความน่าจะเป็นที่ต้องการ ด้วยแหล่งที่มาของความสุ่มเทียมแบบสม่ำเสมอนี้ สามารถสร้างค่าของตัวแปรสุ่มใดๆ ก็ได้^{[ 30 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าUมีการแจกแจงแบบเอกรูประหว่าง 0 และ 1 เพื่อสร้างตัวแปรเบอร์นูลีแบบสุ่มสำหรับ0 < p < 1 บางค่า ให้กำหนด ดังนั้นเราจึงมี ดังนั้นตัวแปรสุ่มX จึงมีการแจกแจงแบบเบอร์นูลี ที่มีพารามิเตอร์p ^{[ 30 ]}$${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{if }}U<p\\0&{\text{if }}U\geq p.\end{cases}}}$$$${\displaystyle P(X=1)=P(U<p)=p,\quad P(X=0)=P(U\geq p)=1-p.}$$

วิธีนี้สามารถปรับใช้เพื่อสร้างตัวแปรสุ่มค่าจริงที่มีการแจกแจงใดๆ ก็ได้: สำหรับ f เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมใดๆFให้F ^invเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายทั่วไปของ f ซึ่งในบริบทนี้เรียกว่าฟังก์ชันควอนไทล์หรือฟังก์ชันการแจกแจงผกผัน : จากนั้นF ^inv ( p ) ≤ xก็ต่อเมื่อp ≤ F ( x ) เท่านั้น ดังนั้น ถ้าUมีการแจกแจงแบบเอกรูปบน[0, 1]แล้ว ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของ X = F ^inv ( U )คือF${\displaystyle F,}$$${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}$$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราต้องการสร้างตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์— นั่นคือ มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ดังนั้นและถ้าUมีการแจกแจงแบบเอกรูปบน[0, 1)แล้ว ก็มีการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์^{[ 30 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F:x\mapsto 1-e^{-\lambda x}.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\[2pt]&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\[2pt]&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\[2pt]&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}}$$${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(u)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u)}$${\displaystyle X=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-U)}$${\displaystyle \lambda .}$

แม้ว่าในทางทฤษฎีแล้ว วิธีนี้จะใช้ได้ผลเสมอ แต่ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันการแจกแจงผกผันนั้นไม่เป็นที่รู้จักและ/หรือไม่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในกรณีเช่นนี้ จึงต้องใช้วิธีการอื่น (เช่นวิธีมอนเตคาร์โล )

แนวคิดเรื่องการกระจายความน่าจะเป็นและตัวแปรสุ่มที่อธิบายถึงการกระจายนั้นเป็นพื้นฐานของวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีความน่าจะเป็นและวิทยาศาสตร์สถิติ เกือบทุกค่าที่สามารถวัดได้ในประชากร (เช่น ความสูงของคน ความทนทานของโลหะ การเติบโตของยอดขาย การจราจร ฯลฯ) ล้วนมีการกระจายหรือความแปรปรวน การวัดเกือบทั้งหมดมีข้อผิดพลาดโดยธรรมชาติ ในวิชาฟิสิกส์ กระบวนการหลายอย่างถูกอธิบายด้วยความน่าจะเป็น ตั้งแต่คุณสมบัติทางจลน์ของก๊าซไปจนถึง คำอธิบาย ทางกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคพื้นฐาน ด้วยเหตุผลเหล่านี้และเหตุผลอื่นๆ อีกมากมาย ตัวเลขธรรมดาจึงมักไม่เพียงพอสำหรับการอธิบายปริมาณ ในขณะที่การกระจายความน่าจะเป็นมักเหมาะสมกว่า

ต่อไปนี้เป็นรายการของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่พบบ่อยที่สุดบางส่วน โดยจัดกลุ่มตามประเภทของกระบวนการที่เกี่ยวข้อง สำหรับรายการที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดดูที่รายการการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งจัดกลุ่มตามลักษณะของผลลัพธ์ที่พิจารณา (แบบไม่ต่อเนื่อง แบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ แบบหลายตัวแปร ฯลฯ)

การแจกแจงแบบตัวแปรเดียวทั้งหมดด้านล่างนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว กล่าวคือ สมมติว่าค่าต่างๆ กระจุกตัวอยู่รอบจุดเดียว ในทางปฏิบัติ ปริมาณที่สังเกตได้จริงอาจกระจุกตัวอยู่รอบค่าหลายค่า ปริมาณดังกล่าวสามารถจำลองได้โดยใช้การ แจกแจงแบบผสม

• การแจกแจงแบบปกติ (การแจกแจงแบบเกาส์เซียน) สำหรับปริมาณเดียวดังกล่าว เป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ใช้กันมากที่สุด

• การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติสำหรับปริมาณเดียวดังกล่าวซึ่งค่าลอการิทมิกมีการแจกแจงแบบปกติ
• การแจกแจงพาเรโตสำหรับปริมาณเดียวที่มีลอการิทึมเป็นการแจกแจงแบบเอก ซ์โปเนนเชียล การแจกแจงแบบกฎกำลัง ที่เป็นต้นแบบ

• การแจกแจงแบบเอกรูปไม่ต่อเนื่องสำหรับชุดค่าที่จำกัด (เช่น ผลลัพธ์ของการทอยลูกเต๋าที่ยุติธรรม)
• การแจกแจงแบบเอกรูปต่อเนื่องสำหรับค่าที่มีการแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์

• การแจกแจงพื้นฐาน:
  • การแจกแจงแบบเบอร์นูลลีสำหรับผลลัพธ์ของการทดลองแบบเบอร์นูลลีครั้งเดียว (เช่น สำเร็จ/ล้มเหลว ใช่/ไม่ใช่)
  • การแจกแจงแบบทวินามสำหรับจำนวน "เหตุการณ์เชิงบวก" (เช่น ความสำเร็จ การลงคะแนนเห็นด้วย เป็นต้น) เมื่อกำหนดจำนวนเหตุการณ์อิสระ ทั้งหมดคงที่
  • การแจกแจงทวินามเชิงลบสำหรับการสังเกตแบบทวินาม แต่ปริมาณที่สนใจคือจำนวนความล้มเหลวก่อนที่จะเกิดความสำเร็จตามจำนวนที่กำหนด
  • การแจกแจงแบบเรขาคณิตสำหรับการสังเกตแบบทวินาม แต่ปริมาณที่สนใจคือจำนวนความล้มเหลวก่อนความสำเร็จครั้งแรก เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินามเชิงลบ
• เกี่ยวข้องกับแผนการสุ่มตัวอย่างในประชากรที่มีจำนวนจำกัด:
  • การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกสำหรับจำนวน "เหตุการณ์เชิงบวก" (เช่น ความสำเร็จ การลงคะแนนเห็นด้วย ฯลฯ) เมื่อกำหนดจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดคงที่ โดยใช้การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ใส่คืน
  • การแจกแจงแบบเบตา-ไบโนเมียลสำหรับจำนวน "เหตุการณ์เชิงบวก" (เช่น ความสำเร็จ การลงคะแนนเห็นด้วย ฯลฯ) เมื่อกำหนดจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดคงที่ โดยใช้การสุ่มตัวอย่างแบบโถโพลยา (ในแง่หนึ่ง เป็น "สิ่งที่ตรงกันข้าม" กับการสุ่มตัวอย่างโดยไม่ใส่คืน )

• การแจกแจงเชิงหมวดหมู่สำหรับผลลัพธ์เชิงหมวดหมู่เดียว (เช่น ใช่/ไม่ใช่/อาจจะ ในแบบสำรวจ) ซึ่งเป็นการขยายความของการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี
• การแจกแจงพหุนามสำหรับจำนวนของผลลัพธ์เชิงหมวดหมู่แต่ละประเภท เมื่อกำหนดจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคงที่ เป็นการขยายความของการแจกแจงทวินาม
• การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบหลายตัวแปรคล้ายกับการแจกแจงมัลติโนเมียลแต่ใช้การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ใส่คืนเป็นการขยายความของการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก

• การแจกแจงปัวซงสำหรับจำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ประเภทปัวซงในช่วงเวลาที่กำหนด
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสำหรับช่วงเวลาก่อนที่เหตุการณ์แบบปัวซงครั้งถัดไปจะเกิดขึ้น
• การแจกแจงแกมมาสำหรับช่วงเวลาก่อนที่เหตุการณ์แบบปัวซง k ครั้งถัดไปจะเกิดขึ้น

• การแจกแจงแบบเรย์ลี (Rayleigh distribution ) คือการแจกแจงขนาดของเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเชิงตั้งฉากแบบการแจกแจงแบบเกาส์เซียน การแจกแจงแบบเรย์ลีพบได้ในสัญญาณ RF ที่มีส่วนประกอบจริงและส่วนประกอบจินตนาการแบบเกาส์เซียน
• การแจกแจงแบบไรซ์ (Rice distribution ) เป็นการขยายความของการแจกแจงแบบเรย์ลี (Rayleigh distribution) สำหรับกรณีที่มีส่วนประกอบของสัญญาณพื้นหลังที่คงที่ พบได้ในการลดทอนสัญญาณวิทยุแบบไรซ์เนื่องจากการแพร่กระจายแบบหลายเส้นทาง และในภาพ MRI ที่มีการรบกวนจากสัญญาณรบกวนในสัญญาณ NMR ที่ไม่เป็นศูนย์

• การแจกแจงไคกำลังสองคือการแจกแจงของผลรวมของกำลังสองของ ตัวแปร ปกติมาตรฐานมีประโยชน์ เช่น สำหรับการอนุมานเกี่ยวกับความแปรปรวนของตัวอย่างที่มีการแจกแจงแบบปกติ (ดูการทดสอบไคกำลังสอง )
• การแจกแจงแบบ t ของนักเรียนคือการแจกแจงของอัตราส่วนระหว่าง ตัวแปร ปกติมาตรฐานกับรากที่สองของ ตัวแปร ไคกำลังสอง ที่ปรับขนาดแล้ว มีประโยชน์สำหรับการอนุมานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่มีการแจกแจงแบบปกติโดยที่ค่าความแปรปรวนไม่ทราบค่า (ดูการทดสอบ t ของนักเรียน )
• การแจกแจง Fคือการแจกแจงของอัตราส่วนของ ตัวแปร ไคกำลัง สองที่ปรับขนาดแล้วสองตัว ซึ่งมีประโยชน์ เช่น สำหรับการอนุมานที่เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบความแปรปรวน หรือเกี่ยวข้องกับค่า R-squared ( สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ กำลังสอง )

• การแจกแจงเบตาสำหรับความน่าจะเป็นเดียว (จำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1) เป็นคู่ควบกับการแจกแจงเบอร์นูลลีและการแจกแจงทวินาม
• การแจกแจงแกมมาสำหรับพารามิเตอร์การปรับขนาดที่ไม่เป็นลบ; คู่กับพารามิเตอร์อัตราของการแจกแจงปัวซงหรือการแจกแจงเอกซ์โปเนนเชียลความแม่นยำ (ส่วนกลับของความแปรปรวน ) ของการแจกแจงปกติเป็นต้น
• การแจกแจงแบบ Dirichletคือการแจกแจงเวกเตอร์ของความน่าจะเป็นที่ผลรวมต้องเท่ากับ 1 ซึ่งเป็นการแจกแจงคู่ขนานกับการแจกแจงแบบหมวดหมู่และการแจกแจงแบบพหุนามและเป็นการวางนัยทั่วไปของการแจกแจงแบบเบตา
• การแจกแจง Wishartสำหรับเมทริกซ์สมมาตรที่ไม่เป็นลบแน่นอน ; สอดคล้องกับเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ความแปรปรวน ร่วม ของการแจกแจงปกติหลายตัวแปร ; การวางนัยทั่วไปของการแจกแจงแกมมา^{[ 31 ]}

• แบบจำลองภาษาแคชและแบบจำลองภาษาเชิงสถิติ อื่นๆ ที่ใช้ในการประมวลผลภาษาธรรมชาติเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของคำและลำดับคำเฉพาะนั้น จะทำโดยอาศัยการแจกแจงความน่าจะเป็น
• ในกลศาสตร์ควอนตัม ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค ณ จุดที่กำหนดนั้นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของขนาดของฟังก์ชันคลื่น ของอนุภาค ณ จุดนั้น (ดูกฎของบอร์น ) ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นของตำแหน่งของอนุภาคจึงอธิบายได้ด้วย ความน่าจะเป็นที่ตำแหน่ง xของอนุภาคจะอยู่ในช่วงa ≤ x ≤ bในมิติหนึ่ง และปริพันธ์สามชั้น ที่คล้ายกัน ในมิติสาม นี่เป็นหลักการสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 32 ]}${\textstyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\,|\Psi (x,t)|^{2}}$
• การไหลของโหลดเชิงความน่าจะเป็นในการศึกษาการไหลของพลังงานจะอธิบายความไม่แน่นอนของตัวแปรอินพุตเป็นการกระจายความน่าจะเป็น และให้การคำนวณการไหลของพลังงานในแง่ของการกระจายความน่าจะเป็นเช่นกัน^{[ 33 ]}
• การคาดการณ์การเกิดปรากฏการณ์ธรรมชาติโดยอาศัยการกระจายความถี่ ก่อนหน้า เช่นพายุหมุนเขตร้อนลูกเห็บ ระยะเวลาระหว่างเหตุการณ์ ฯลฯ^{[ 34 ]}

แนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือการลู่เข้าของลำดับการแจกแจงความน่าจะเป็น ลำดับการแจกแจงความน่าจะเป็นจะลู่เข้าอย่างอ่อน (หรือในเชิงการแจกแจง ) ไปยังการแจกแจงความน่าจะเป็นถ้า สำหรับทุกเซตที่มีขอบเขตซึ่งมีความน่าจะเป็น 0 ${\displaystyle (P_{n})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(A)=P(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$

ในทำนองเดียวกัน การใช้ฟังก์ชันการกระจายสะสมลำดับจะลู่เข้าสู่ถ้า สำหรับทุก ๆที่ ซึ่งมีความต่อเนื่อง^{[ 35 ]}${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$

แนวคิดนี้มีความสำคัญต่อทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางซึ่งระบุว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของผลรวมมาตรฐานของตัวแปรสุ่มอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันจะลู่เข้าสู่การแจกแจงปกติมาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงการแจกแจงพื้นฐานของตัวแปรแต่ละตัว^{[ 36 ]}

• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
• การกระจายความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์
• ฮิสโตแกรม
• การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม
• การวัดความน่าจะเป็น
• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบกึ่ง
• การประยุกต์ใช้ปริพันธ์ Riemann–Stieltjes ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

• รายการการแจกแจงความน่าจะเป็น
• รายชื่อหัวข้อทางสถิติ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงความน่าจะเป็น

• "การแจกแจงความน่าจะเป็น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• คู่มือภาคสนามสำหรับความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องโดย Gavin E. Crooks
• ความแตกต่างระหว่างการวัดความน่าจะเป็น ฟังก์ชันความน่าจะเป็น และการแจกแจงความน่าจะเป็น Math Stack Exchange