ไฮเปอร์จีโอเมตริก
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
สัญกรณ์	${\displaystyle \mathrm {Hypergeometric} (N,K,n)}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,}$
สนับสนุน	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\{\max {(0,\,n+KN)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\}}\,}$
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle {\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {NK}{nk}}}{\binom {N}{n}}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{Nn} \choose {Kk-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-Kn\end{array}};1\right],}$ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปอยู่ที่ไหน${\displaystyle \,_{p}F_{q}}$
หมายถึง	${\displaystyle n{K \over N}}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \left\lfloor n{K \over N}\right\rfloor }$หรือ[ 1 ]${\displaystyle \left\lceil n{K \over N}\right\rceil }$
โหมด	${\displaystyle \left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle n{K \over N}{NK \over N}{Nn \over N-1}}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(NK)(Nn)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle \left.{\frac {1}{nK(NK)(Nn)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.}$${\displaystyle {\big [}(N-1)N^{2}{\big (}N(N+1)-6K(NK)-6n(Nn){\big )}}$ ${\displaystyle {}+6nK(NK)(Nn)(5N-6){\ใหญ่ ]}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle {\frac {{\binom {NK}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,NK-n+1\,;\,e^{t})}{\binom {N}{n}}}}$
ซีเอฟ	${\displaystyle {\frac {{\binom {NK}{n}}\,_{2}F_{1}(-n,-K\,;\,NK-n+1\,;\,e^{it})}{\binom {N}{n}}}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่อธิบายความน่าจะเป็นของความสำเร็จ (การสุ่มเลือกโดยที่วัตถุที่สุ่มได้มีคุณสมบัติที่กำหนด) ในการสุ่มแบบไม่ ใส่คืน จาก ประชากรจำกัดขนาดที่ประกอบด้วยวัตถุที่มีคุณสมบัตินั้นจำนวนหนึ่ง โดยที่ในการสุ่มแต่ละครั้งจะเป็นความสำเร็จหรือความล้มเหลว ในทางตรงกันข้ามการแจกแจงทวินามอธิบายความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการสุ่มแบบใส่คืน ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก:

• ผลลัพธ์ของการจับฉลากแต่ละครั้ง (องค์ประกอบของประชากรที่ถูกสุ่มตัวอย่าง) สามารถจำแนกได้เป็น2 ประเภทที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน (เช่น ผ่าน/ไม่ผ่าน หรือ มีงานทำ/ไม่มีงานทำ)
• ความน่าจะเป็นของความสำเร็จจะเปลี่ยนแปลงไปในแต่ละครั้งที่สุ่ม เนื่องจากแต่ละครั้งที่สุ่มจะทำให้จำนวนประชากรลดลง ( การสุ่มโดยไม่ใส่คืนจากประชากรที่มีจำนวนจำกัด)

ตัวแปรสุ่ม จะปฏิบัติตามการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกหากฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (pmf) ของมันกำหนดโดย^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$

${\displaystyle p_{X}(k)=\Pr(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {NK}{nk}}}{\binom {N}{n}}},}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle N}$คือขนาดของประชากร
• ${\displaystyle K}$คือจำนวนสถานะความสำเร็จในประชากร
• ${\displaystyle n}$คือจำนวนครั้งที่จับฉลาก (เช่น จำนวนที่จับได้ในแต่ละครั้ง)
• ${\displaystyle k}$คือจำนวนความสำเร็จที่สังเกตได้
• ${\textstyle \textstyle {a \choose b}}$เป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม

ค่าpmfจะเป็นบวกเมื่อ. ${\displaystyle \max(0,n+KN)\leq k\leq \min(K,n)}$

ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกซ์ โดยมีพารามิเตอร์, และเขียนได้ดังนี้และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่แสดงด้านบน ${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\textstyle X\sim \ชื่อผู้ดำเนินการ {ไฮเปอร์เรขาคณิต} (N,K,n)}$${\textstyle p_{X}(k)}$

ตามความจำเป็น เรามี

$${\displaystyle \sum _{0\leq k\leq {\textrm {min}}(n,K)}{{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}=1,}$$

ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นผลมาจากเอกลักษณ์ของแวนเดอร์มอนด์จากคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง

โปรดทราบด้วยว่า

${\displaystyle {{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{Nn} \choose {Kk}}} \over {N \choose K}};}$

เอกลักษณ์นี้สามารถแสดงได้โดยการแสดงสัมประสิทธิ์ทวินามในรูปของแฟกทอเรียลและจัดเรียงแฟกทอเรียลใหม่ นอกจากนี้ ยังเป็นผลมาจากสมมาตรของปัญหา ซึ่งอธิบายไว้ในสองวิธีที่แตกต่างกันแต่สามารถใช้แทนกันได้

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการสุ่มหยิบลูกแก้วสองรอบโดยไม่ใส่คืน ในรอบแรกลูกแก้วที่เป็นกลางจะถูกหยิบออกมาจากโถโดยไม่ใส่คืน และถูกระบายสีเขียว จากนั้นลูกแก้วที่ระบายสีแล้วจะถูกใส่กลับเข้าไป ในรอบที่สองลูกแก้วจะถูกหยิบออกมาโดยไม่ใส่คืน และถูกระบายสีแดง จำนวนลูกแก้วที่มีทั้งสองสี (นั่นคือ จำนวนลูกแก้วที่ถูกหยิบออกมาสองครั้ง) จะมีการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก ความสมมาตรในและมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองรอบเป็นอิสระต่อกัน และเราสามารถเริ่มต้นด้วยการหยิบลูกแก้วและระบายสีแดงก่อนก็ได้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

โปรดทราบว่าเราสนใจความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการหยิบโดยไม่ใส่คืนเนื่องจากความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละครั้งไม่เท่ากัน เพราะขนาดของประชากรที่เหลืออยู่จะเปลี่ยนแปลงไปเมื่อเราหยิบลูกแก้วออกแต่ละลูก อย่าสับสนกับ1 การแจกแจงทวินามซึ่งอธิบายถึงความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการหยิบโดยใส่คืน${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

การประยุกต์ใช้การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบคลาสสิกคือการสุ่มตัวอย่างโดยไม่ใส่คืนลองนึกถึงโถ ที่มี ลูกแก้วสองสีคือสีแดงและสีเขียว กำหนดให้การหยิบลูกแก้วสีเขียวเป็นการสำเร็จ และการหยิบลูกแก้วสีแดงเป็นการล้มเหลว ให้Nแทนจำนวนลูกแก้วทั้งหมดในโถ (ดูตารางความสัมพันธ์ด้านล่าง) และKแทนจำนวนลูกแก้วสีเขียวดังนั้นN  −  Kคือจำนวนลูกแก้วสีแดงทีนี้ ยืนอยู่ข้างโถ คุณหลับตาแล้วหยิบลูกแก้ว n ลูกโดยไม่ใส่คืน กำหนดให้Xเป็นตัวแปรสุ่มที่มีผลลัพธ์เป็นkซึ่งเป็นจำนวนลูกแก้วสีเขียวที่หยิบได้ในการทดลอง สถานการณ์นี้แสดงโดยตารางความสัมพันธ์ ต่อไปนี้ :

ที่จริงแล้ว เราสนใจที่จะคำนวณความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียวได้ k ลูก ในการหยิบ n ครั้ง โดยที่ลูกแก้วสีเขียวมีจำนวน K ลูก จากลูกแก้วทั้งหมด N ลูก ในตัวอย่างนี้ สมมติว่ามี ลูกแก้วสีเขียว 5 ลูกและ ลูกแก้วสีแดง 45ลูก อยู่ในโถ คุณยืนอยู่ข้างโถ หลับตา แล้วหยิบ ลูกแก้ว 10ลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีเขียว 4 ลูกจาก10 ลูกนั้นคือเท่าใด

ปัญหาดังกล่าวสามารถสรุปได้ด้วยตารางความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ในการหาความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียว k ลูก ในการหยิบทั้งหมด n ครั้ง จากการหยิบทั้งหมด N ครั้งเราจะกำหนดให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก เพื่อใช้สูตร

${\displaystyle P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{NK} \choose {nk}}} \over {N \choose n}}.}$

เพื่ออธิบายสูตรที่กำหนดให้ได้อย่างเข้าใจง่าย ลองพิจารณาปัญหาสมมาตรสองข้อที่แสดงโดยเอกลักษณ์ดังกล่าว

${\displaystyle {{K \choose k}{NK \choose nk} \over {N \choose n}}={{{n \choose k}{{Nn} \choose {Kk}}} \over {N \choose K}}}$

1. ด้านซ้ายมือ - หยิบลูกแก้วทั้งหมด n ลูกออกจากโถ เราต้องการหาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้ คือหยิบลูกแก้วสีเขียว k ลูก จากลูกแก้วสีเขียวทั้งหมด K ลูก และหยิบลูกแก้วสีแดง nk ลูก จากลูกแก้วสีแดงทั้งหมด NK ลูก ใน n รอบนี้
2. ด้านขวามือ - อีกทางเลือกหนึ่งคือ การหยิบลูกแก้วทั้งหมด N ลูกออกจากโถ เราต้องการหาความน่าจะเป็นของการหยิบได้ลูกแก้วสีเขียว k ลูก ในการหยิบ n ครั้ง จากการหยิบทั้งหมด N ครั้ง และได้ลูกแก้วสีเขียว kk ลูก ในการหยิบที่เหลืออีก Nn ครั้ง

กลับมาที่การคำนวณ เราใช้สูตรข้างต้นในการคำนวณความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียว ได้จำนวน k ลูกพอดี

${\displaystyle P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .}$

โดยสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าโอกาสที่ลูกแก้วสีเขียวทั้ง 5 ลูกจะอยู่ใน 10 ลูกที่หยิบออกมานั้นจะยิ่งน้อยลงไปอีก

${\displaystyle P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots ,}$

อย่างที่คาดไว้ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแก้วสีเขียว 5 ลูกนั้น น้อยกว่าความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ 4 ลูก ประมาณ 35 เท่า

สลับบทบาทของลูกแก้วสีเขียวและสีแดง:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(n-k;N,N-K,n)}$

สลับบทบาทของลูกแก้วที่ถูกวาดและลูกแก้วที่ไม่ถูกวาด:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(K-k;N,K,N-n)}$

สลับบทบาทของลูกแก้วสีเขียวและลูกแก้วที่วาดลวดลาย:

${\displaystyle f(k;N,K,n)=f(k;N,n,K)}$

สมมาตรเหล่านี้ก่อให้เกิดกลุ่มไดเฮดรั ล ${\displaystyle D_{4}}$

ความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียวและสีแดงชุดใด ๆ (การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก) ขึ้นอยู่กับจำนวนลูกแก้วสีเขียวและสีแดงเท่านั้น ไม่ใช่ลำดับที่ปรากฏ กล่าวคือ เป็นการ แจกแจง แบบสลับเปลี่ยนได้ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียวในการจับคือ^{[ 3 ]}${\displaystyle i^{\text{th}}}$

${\displaystyle P(G_{i})={\frac {K}{N}}.}$

นี่คือ ความน่าจะ เป็นล่วงหน้า กล่าวคือ เป็นความน่าจะเป็นที่คำนวณโดยไม่ทราบผลลัพธ์ของการสุ่มครั้งก่อนๆ

ให้และ. จากนั้นสำหรับเราสามารถหาขอบเขตต่อไปนี้ได้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)}$${\displaystyle p=K/N}$${\displaystyle 0<t<K/N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p-t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p+t\parallel p)}\leq e^{-2t^{2}n}\\\end{aligned}}\!}$

ที่ไหน

${\displaystyle D(a\parallel b)=a\log {\frac {a}{b}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-b}}}$

คือความแตกต่าง Kullback–Leiblerและใช้เพื่อ^{[ 5 ]}${\displaystyle D(a\parallel b)\geq 2(a-b)^{2}}$

หมายเหตุ : เพื่อให้ได้ขอบเขตก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยการสังเกตว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่ขึ้นอยู่กันซึ่ง มีการแจกแจงเฉพาะ เนื่องจากทฤษฎีบทส่วนใหญ่เกี่ยวกับขอบเขตในผลรวมของตัวแปรสุ่มนั้นเกี่ยวข้องกับ ลำดับ ที่เป็นอิสระของตัวแปรสุ่มเหล่านั้น จึงต้องสร้างลำดับของ ตัวแปรสุ่ม อิสระที่มีการแจกแจงเดียวกัน ก่อน แล้ว จึงนำทฤษฎีบทไปใช้กับ จากนั้นพิสูจน์ได้จาก Hoeffding ^{[ 4 ]}ว่าผลลัพธ์และขอบเขตที่ได้จากกระบวนการนี้ใช้ได้กับเช่นกัน ${\displaystyle X={\frac {\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}{n}}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X'={\frac {\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}{n}}}$${\displaystyle X}$

ถ้าnมีค่ามากกว่าN /2 การใช้สมมาตรเพื่อ "กลับด้าน" ขอบเขตอาจเป็นประโยชน์ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p+{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p-{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}\\\end{aligned}}\!}$

การทดสอบไฮเปอร์จีโอเมตริกใช้การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกเพื่อวัดนัยสำคัญทางสถิติของการสุ่มตัวอย่างที่มีจำนวนความสำเร็จที่เฉพาะเจาะจง (จากจำนวนการสุ่มทั้งหมด) จากประชากรขนาดที่มีความสำเร็จจำนวนหนึ่ง ในการทดสอบการมีจำนวนความสำเร็จมากเกินไปในตัวอย่าง ค่า p ของไฮเปอร์จีโอเมตริกจะคำนวณจากความน่าจะเป็นของการสุ่มได้ความสำเร็จตั้งแต่จำนวนหนึ่งขึ้นไปจากประชากรในจำนวนการสุ่มทั้งหมด ในการทดสอบการมีจำนวนความสำเร็จน้อยเกินไป ค่า p คือความน่าจะเป็นของการสุ่มได้ความสำเร็จน้อยกว่าจำนวนหนึ่ง ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

การทดสอบตามการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก (การทดสอบไฮเปอร์จีโอเมตริก) เหมือนกับการทดสอบ Fisher's exact test แบบหางเดียว ที่ สอดคล้องกัน ^{[ 7 ]}ในทางกลับกัน ค่า p ของการทดสอบ Fisher's exact test แบบสองด้านสามารถคำนวณได้จากผลรวมของการทดสอบไฮเปอร์จีโอเมตริกที่เหมาะสมสองรายการ (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดู^{[ 8 ]} )

การทดสอบนี้มักใช้เพื่อระบุว่ากลุ่มประชากรย่อยใดมีจำนวนมากเกินไปหรือน้อยเกินไปในกลุ่มตัวอย่าง การทดสอบนี้มีประโยชน์หลากหลาย ตัวอย่างเช่น ฝ่ายการตลาดสามารถใช้การทดสอบนี้เพื่อทำความเข้าใจฐานลูกค้าของตนโดยการทดสอบกลุ่มลูกค้าที่ทราบแล้วเพื่อตรวจสอบว่ากลุ่มประชากรย่อยต่างๆ (เช่น ผู้หญิง คนอายุต่ำกว่า 30 ปี) มีจำนวนมากเกินไปหรือไม่

ให้และ. ${\displaystyle X\sim \operatorname {Hypergeometric} (N,K,n)}$${\displaystyle p=K/N}$

• ถ้าเช่นนั้นจะมีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$
• สมมติให้มีการแจกแจงแบบทวินามที่มีพารามิเตอร์และ; ซึ่งจำลองจำนวนความสำเร็จในปัญหาการสุ่มตัวอย่างแบบมีการคืนกลับที่คล้ายคลึงกัน ถ้าและมีค่ามากเมื่อเทียบกับและไม่ใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 แล้วและจะมีการแจกแจงที่คล้ายคลึงกัน กล่าวคือ${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)}$
• ถ้ามีค่ามากและมีค่ามากเมื่อเทียบกับและไม่ได้มีค่าใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 แล้ว${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle P(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)}$

ฟังก์ชันการแจกแจงปกติมาตรฐานอยู่ที่ไหน${\displaystyle \Phi }$

• ถ้าความน่าจะเป็นของการหยิบลูกแก้วสีเขียวหรือสีแดงไม่เท่ากัน (เช่น เพราะลูกแก้วสีเขียวมีขนาดใหญ่กว่า/จับง่ายกว่าลูกแก้วสีแดง) แสดงว่ามีการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกที่ไม่เป็นศูนย์กลาง${\displaystyle X}$
• การแจกแจงเบตา-ไบโนเมียลเป็นการแจกแจงก่อนหน้าแบบคอนจูเกตสำหรับการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก

ตารางต่อไปนี้อธิบายการแจกแจงสี่แบบที่เกี่ยวข้องกับจำนวนความสำเร็จในลำดับการสุ่ม:

การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบหลายตัวแปร
พารามิเตอร์	${\displaystyle c\in \mathbb {N} _{+}=\lbrace 1,2,\ldots \rbrace }$${\displaystyle (K_{1},\ldots ,K_{c})\in \mathbb {N} ^{c}}$ ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}}$${\displaystyle n\in \lbrace 0,\ldots ,N\rbrace }$
สนับสนุน	${\displaystyle \left\{\mathbf {k} \in \left(\mathbb {Z} _{0+}\right)^{c}\,:\,\forall i\ k_{i}\leq K_{i},\sum _{i=1}^{c}k_{i}=n\right\}}$
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle {\frac {\prod \limits _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}}$
หมายถึง	${\displaystyle \operatorname {E} (k_{i})=n{\frac {K_{i}}{N}}}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \operatorname {Var} (k_{i})=n{\frac {N-n}{N-1}}\;{\frac {K_{i}}{N}}\left(1-{\frac {K_{i}}{N}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} (k_{i},k_{j})=-n{\frac {N-n}{N-1}}\;{\frac {K_{i}}{N}}{\frac {K_{j}}{N}},i\neq j}$${\displaystyle \operatorname {Corr} (k_{i},k_{j})=-{\sqrt {\frac {K_{i}K_{j}}{\left(N-K_{i}\right)\left(N-K_{j}\right)}}}}$

แบบจำลองของโถที่มีลูกแก้วสีเขียวและสีแดงสามารถขยายไปสู่กรณีที่มีลูกแก้วมากกว่าสองสีได้ หากมีลูกแก้วสีi จำนวน K _i ลูก อยู่ในโถ และคุณสุ่มหยิบ ลูกแก้ว nลูกโดยไม่ใส่คืน จำนวนลูกแก้วแต่ละสีในตัวอย่าง ( k1 _, k2 _, ..., kc ₎ จะมีการแจกแจง แบบไฮเปอร์จีโอเมตริกหลายตัวแปร:

${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},\ldots ,X_{c}=k_{c})={\frac {\prod \limits _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}}$

ความสัมพันธ์ระหว่าง การแจกแจงแบบพหุนาม กับแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก นั้นคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงแบบทวินาม กล่าวคือ การแจกแจงแบบพหุนามเป็นการแจกแจงแบบ "มีการแทนที่" และการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกหลายตัวแปรเป็นการแจกแจงแบบ "ไม่มีการแทนที่"

คุณสมบัติของการกระจายนี้แสดงอยู่ในตารางที่อยู่ติดกัน^{[ 9 ]}โดยที่cคือจำนวนสีที่แตกต่างกัน และคือจำนวนลูกแก้วทั้งหมดในโถ ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}}$

สมมติว่าในโถมีลูกแก้วสีดำ 5 ลูก สีขาว 10 ลูก และสีแดง 15 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้ว 6 ลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีละ 2 ลูกพอดีคือ

${\displaystyle P(2{\text{ black}},2{\text{ white}},2{\text{ red}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}=0.079575596816976}$

โดยทั่วไป การตรวจสอบการเลือกตั้งจะทดสอบตัวอย่างของหน่วยเลือกตั้งที่นับด้วยเครื่องจักร เพื่อดูว่าการนับใหม่ด้วยมือหรือเครื่องจักรตรงกับการนับเดิมหรือไม่ หากไม่ตรงกันจะส่งผลให้มีการรายงานหรือการนับใหม่ที่ใหญ่ขึ้น อัตราการสุ่มตัวอย่างมักถูกกำหนดโดยกฎหมาย ไม่ใช่การออกแบบทางสถิติ ดังนั้นสำหรับขนาดตัวอย่างn ที่กำหนดโดยกฎหมาย ความน่าจะเป็นที่จะพลาดปัญหาที่มีอยู่ใน หน่วยเลือกตั้ง Kหน่วย เช่น การแฮ็กหรือข้อผิดพลาดคืออะไร? นี่คือความน่าจะเป็นที่k = 0ข้อผิดพลาดมักจะไม่ชัดเจน และแฮ็กเกอร์สามารถลดการตรวจจับได้โดยส่งผลกระทบต่อหน่วยเลือกตั้งเพียงไม่กี่หน่วย ซึ่งจะยังคงส่งผลกระทบต่อการเลือกตั้งที่สูสี ดังนั้นสถานการณ์ที่เป็นไปได้คือKจะอยู่ในระดับประมาณ 5% ของNการตรวจสอบโดยทั่วไปครอบคลุม 1% ถึง 10% ของหน่วยเลือกตั้ง (มักจะ 3%) ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}ดังนั้นจึงมีโอกาสสูงที่จะพลาดปัญหา ตัวอย่างเช่น หากพบปัญหาใน 5 จาก 100 เขตเลือกตั้ง การสุ่มตัวอย่าง 3% จะมีโอกาส 86% ที่k = 0ซึ่งหมายความว่าจะไม่พบปัญหา และมีโอกาสเพียง 14% ที่ปัญหาจะปรากฏในตัวอย่าง ( k เป็นบวก )

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\boldsymbol {\mathcal {P}}} \{\ X=0\ \}&={\frac {\ \left[\ {\binom {\text{Hack}}{0}}{\binom {N\ -\ {\text{Hack}}}{n\ -\ 0}}\ \right]\ }{\left[\ {\binom {N}{n}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\binom {N\ -\ {\text{Hack}}}{n}}\ \right]}{\ \left[\ {\binom {N}{n}}\ \right]\ }}={\frac {\ \left[\ {\frac {\ (N\ -\ {\text{Hack}})!\ }{n!(N\ -\ {\text{Hack}}-n)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {N!}{n!(N\ -\ n)!}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {(N-{\text{Hack}})!}{(N\ -\ {\text{Hack}}\ -\ n)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {N!}{(N\ -\ n)!}}\ \right]}}\\[8pt]&={\frac {\ \left[\ {\binom {100-5}{3}}\ \right]\ }{\ \left[\ {\binom {100}{3}}\ \right]\ }}={\frac {\ \left[\ {\frac {(100-5)!}{(100-5-3)!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {100!}{(100-3)!}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {95!}{92!}}\ \right]\ }{\ \left[\ {\frac {100!}{97!}}\ \right]\ }}={\frac {\ 95\times 94\times 93\ }{100\times 99\times 98}}=86\%\end{aligned}}}$

จำเป็นต้องมีเขตเลือกตั้ง 45 แห่งเพื่อให้มีความน่าจะเป็นที่k  = 0 ในกลุ่มตัวอย่างต่ำกว่า 5% และด้วยเหตุนี้จึงมีความน่าจะเป็นมากกว่า 95% ที่จะพบปัญหาดังกล่าว:

${\displaystyle \operatorname {\boldsymbol {\mathcal {P}}} \{\ X=0\ \}={\frac {\ \left[\ {\binom {100-5}{45}}\ \right]\ }{\left[\ {\binom {100}{45}}\ \right]}}={\frac {\ \left[\ {\frac {95!}{50!}}\ \right]\ }{\left[\ {\frac {100!}{55!}}\ \right]}}={\frac {\ 95\times 94\times \cdots \times 51\ }{\ 100\times 99\times \cdots \times 56\ }}={\frac {\ 55\times 54\times 53\times 52\times 51\ }{\ 100\times 99\times 98\times 97\times 96\ }}=4.6\%~.}$

ใน การเล่นโป๊กเกอร์ โฮลเด็มผู้เล่นจะพยายามสร้างมือที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยการรวมไพ่สองใบในมือของตนเองกับไพ่ 5 ใบ (ไพ่กองกลาง) ที่จะเปิดบนโต๊ะ สำรับไพ่มี 52 ใบ และมีไพ่แต่ละดอก 13 ใบ ในตัวอย่างนี้ สมมติว่าผู้เล่นมีไพ่ดอกคลับ 2 ใบในมือ และมีไพ่ 3 ใบเปิดอยู่บนโต๊ะ ซึ่ง 2 ใบก็เป็นดอกคลับเช่นกัน ผู้เล่นต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ 1 ใน 2 ใบถัดไปที่จะเปิดออกมาจะเป็นดอกคลับ เพื่อให้ได้ฟลัช ( หมายเหตุ: ความน่าจะเป็นที่คำนวณในตัวอย่างนี้ สมมติว่าไม่ทราบข้อมูลเกี่ยวกับไพ่ในมือของผู้เล่นคนอื่น อย่างไรก็ตาม ผู้เล่นโป๊กเกอร์ที่มีประสบการณ์อาจพิจารณาถึงวิธีการวางเดิมพันของผู้เล่นคนอื่น (เช็ค, คอล, เรส หรือโฟลด์) ในการพิจารณาความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละสถานการณ์ โดยทั่วไปแล้ว วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นที่สำเร็จตามที่อธิบายไว้ที่นี่นั้นถูกต้องในสถานการณ์ที่มีผู้เล่นเพียงคนเดียวที่โต๊ะ ในเกมที่มีผู้เล่นหลายคน ความน่าจะเป็นนี้อาจมีการปรับเปลี่ยนบ้างตามการวางเดิมพันของคู่ต่อสู้)

มีไพ่ดอกจิกแสดงอยู่ 4 ใบ ดังนั้นจึงยังเหลือไพ่ดอกจิกอีก 9 ใบที่ยังไม่เห็น มีไพ่แสดงอยู่ 5 ใบ (2 ใบในมือและ 3 ใบบนโต๊ะ) ดังนั้นจึงยังเหลือไพ่ที่ยังไม่เห็นอีกจำนวนหนึ่ง ${\displaystyle 52-5=47}$

ความน่าจะเป็นที่ไพ่สองใบถัดไปที่เปิดออกมาจะเป็นดอกจิกเพียงใบเดียว สามารถคำนวณได้โดยใช้ความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก โดยมีค่าและ(ประมาณ 31.64%) ${\displaystyle k=1,n=2,K=9}$${\displaystyle N=47}$

ความน่าจะเป็นที่ไพ่สองใบถัดไปที่เปิดออกมาจะเป็นดอกจิกทั้งสองใบ สามารถคำนวณได้โดยใช้ความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก โดยมีค่าและ(ประมาณ 3.33%) ${\displaystyle k=2,n=2,K=9}$${\displaystyle N=47}$

ความน่าจะเป็นที่ไพ่สองใบถัดไปที่เปิดจะไม่ใช่ดอกจิก สามารถคำนวณได้โดยใช้ความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก โดยมีค่าและ(ประมาณ 65.03%) ${\displaystyle k=0,n=2,K=9}$${\displaystyle N=47}$

การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการคำนวณ อัตราต่อรอง ของเกมคีโนในเกมคีโน จะมีการสุ่มหยิบลูกบอล 20 ลูกจากลูกบอลหมายเลข 80 ลูกในภาชนะ คล้ายกับเกมบิงโกของอเมริกาก่อนการจับรางวัลแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะเลือกจำนวนช่อง ที่ต้องการ โดยการทำเครื่องหมายในแบบฟอร์มกระดาษที่จัดเตรียมไว้ให้ ตัวอย่างเช่น ผู้เล่นอาจเลือกเล่น 6 ช่องโดยทำเครื่องหมาย 6 หมายเลข ตั้งแต่ 1 ถึง 80 จากนั้น (หลังจากผู้เล่นทุกคนนำแบบฟอร์มไปที่แคชเชียร์และได้รับสำเนาแบบฟอร์มที่ทำเครื่องหมายไว้แล้ว และจ่ายเงินเดิมพัน) จะมีการหยิบลูกบอล 20 ลูก ลูกบอลบางลูกที่หยิบได้อาจตรงกับหมายเลขที่ผู้เล่นเลือกไว้บางส่วนหรือทั้งหมด โดยทั่วไปแล้ว ยิ่งมีจำนวน ลูกที่ตรงกับหมายเลขที่ผู้เล่นเลือกมากเท่าไหร่ (ลูกบอลที่หยิบได้ตรงกับหมายเลขที่ผู้เล่นเลือก) ก็ยิ่งได้รับเงินรางวัลมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากลูกค้าเดิมพัน (เล่น) 1 ดอลลาร์สำหรับเลข 6 (ซึ่งเป็นตัวอย่างที่พบได้ไม่บ่อยนัก) และถูก 4 ใน 6 ตัว คาสิโนจะจ่ายเงินรางวัล 4 ดอลลาร์ อัตราการจ่ายเงินรางวัลอาจแตกต่างกันไปในแต่ละคาสิโน แต่ 4 ดอลลาร์เป็นค่าทั่วไป ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ:

${\displaystyle P(X=4)=f(4;80,6,20)={{{6 \choose 4}{{80-6} \choose {20-4}}} \over {80 \choose 20}}\approx 0.02853791}$

ในทำนองเดียวกัน โอกาสที่จะถูก 5 หมายเลขจาก 6 หมายเลขที่เลือกนั้นค่อนข้างน้อย ในขณะที่เงินรางวัลโดยทั่วไปอาจอยู่ที่ 88 ดอลลาร์ ส่วนการถูกทั้ง 6 หมายเลขจะได้รับเงินรางวัลประมาณ 1500 ดอลลาร์ (ความน่าจะเป็น ≈ 0.000128985 หรือ 7752 ต่อ 1) เงินรางวัลอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์อาจมีเพียง 1 ดอลลาร์สำหรับการถูก 3 หมายเลข (เช่น คุณได้รับเงินเดิมพันคืน) ซึ่งมีความน่าจะเป็นใกล้เคียงกับ 0.129819548 ${\displaystyle {{{6 \choose 5}{{74} \choose {15}}} \over {80 \choose 20}}\approx 0.003095639}$

เมื่อนำผลรวมของผลคูณของเงินรางวัลกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันมาคำนวณ เราจะได้ผลตอบแทนที่คาดหวังอยู่ที่ 0.70986492 หรือประมาณ 71% สำหรับการเล่น 6 สล็อต ซึ่งหมายความว่าเจ้ามือได้เปรียบ 29% สล็อตอื่นๆ ที่เล่นก็มีผลตอบแทนที่คาดหวังใกล้เคียงกัน ผลตอบแทนที่ต่ำมากนี้ (สำหรับผู้เล่น) มักอธิบายได้จากค่าใช้จ่ายคงที่จำนวนมาก (พื้นที่ อุปกรณ์ บุคลากร) ที่จำเป็นสำหรับการเล่นเกม

• การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบไม่ศูนย์กลาง
• การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงลบ
• การแจกแจงแบบพหุนาม
• การสุ่มตัวอย่าง (สถิติ)
• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป
• ปัญหาของนักสะสมคูปอง
• การแจกแจงทางเรขาคณิต
• คีโน
• หญิงสาวกำลังชิมชา

• การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกและการประมาณค่าทวินามของตัวแปรสุ่มไฮเปอร์จีโอเมตริกโดย คริส บูเชอร์โครงการสาธิตของวูล์ฟแรม
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก" . MathWorld .