ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขอธิบายถึงสถานการณ์ที่การสังเกตการณ์นั้นไม่เกี่ยวข้องหรือไม่มีความจำเป็นเมื่อประเมินความแน่นอนของสมมติฐาน ซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงข้ามกับความขึ้นอยู่แบบมีเงื่อนไข โดยทั่วไปแล้ว ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขจะถูกกำหนดในรูปของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งเป็นกรณีพิเศษที่ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเมื่อมีการสังเกตการณ์ที่ไม่ให้ข้อมูลนั้นเท่ากับความน่าจะเป็นเมื่อไม่มีการสังเกตการณ์นั้น ถ้าคือสมมติฐาน และ และเป็นการสังเกตการณ์ ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขสามารถระบุได้ในรูปของสมการ: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

โดยที่คือความน่าจะเป็นของเมื่อกำหนดให้ทั้งและเนื่องจากความน่าจะเป็นของ เมื่อกำหนดให้เท่ากับความน่าจะเป็นของเมื่อกำหนดให้ทั้งและความเท่าเทียมกันนี้แสดงว่าไม่ได้มีส่วนช่วยอะไรเลยต่อความแน่นอนของในกรณีนี้และกล่าวได้ว่าเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดให้ เขียนในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้: ${\displaystyle P(A\mid B,C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$

แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีการอนุมานทางสถิติที่ใช้กราฟ เนื่องจากเป็นการสร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างชุดของข้อความเงื่อนไขกับกราฟอยด์

ให้, , และเป็นเหตุการณ์และกล่าวได้ว่าเป็นอิสระต่อกันโดยมีเงื่อนไขก็ต่อเมื่อและคุณสมบัตินี้สมมาตร (รายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ด้านล่าง ) และมักเขียนเป็นซึ่งควรอ่านว่า ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P(C)>0}$${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\vert C)}$

ในทำนอง เดียวกัน ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขอาจกล่าวได้ว่า โดยที่คือความน่าจะเป็นร่วมของและเมื่อกำหนดให้สูตรทางเลือกนี้ระบุว่าและเป็นเหตุการณ์อิสระเมื่อกำหนดให้ ${\displaystyle P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)}$${\displaystyle P(A,B|C)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

แสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับ ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$${\displaystyle (B\perp \!\!\!\perp A\mid C)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A,B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)&\iff {\frac {P(A,B,C)}{P(C)}}=\left({\frac {P(A,C)}{P(C)}}\right)\left({\frac {P(B,C)}{P(C)}}\right)&{\text{นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข}}\\&\iff P(A,B,C)={\frac {P(A,C)P(B,C)}{P(C)}}&{\text{คูณทั้งสองข้างด้วย P(C)}}\\&\iff {\frac {P(A,B,C)}{P(B,C)}}={\frac {P(A,C)}{P(C)}}&{\text{หารทั้งสองข้างด้วย P(B, C)}}\\&\iff P(A\mid B,C)=P(A\mid C)&{\text{นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข}}\end{aligned}}}$

แต่ละช่องแสดงถึงผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เหตุการณ์, และถูกแทนด้วยพื้นที่ที่แรเงาเป็นสีแดงสีน้ำเงินและสีเหลืองตามลำดับ ส่วนที่ทับซ้อนกันระหว่างเหตุการณ์และถูกแรเงาเป็น สี ม่วง${\displaystyle \color {red}R}$${\displaystyle \color {blue}B}$${\displaystyle \color {gold}Y}$${\displaystyle \color {red}R}$${\displaystyle \color {blue}B}$

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้แสดงด้วยพื้นที่แรเงาเมื่อเทียบกับพื้นที่ทั้งหมด ในทั้งสองตัวอย่าง เหตุการณ์และเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเนื่องจาก: ${\displaystyle \color {red}R}$${\displaystyle \color {blue}B}$${\displaystyle \color {gold}Y}$

${\displaystyle \Pr({\color {red}R},{\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})=\Pr({\color {red}R}\mid {\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})}$^{[ 1 ]}

แต่ไม่เป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขเนื่องจาก: ${\displaystyle \left[{\text{not }}{\color {gold}Y}\right]}$

${\displaystyle \Pr({\color {red}R},{\color {blue}B}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\not =\Pr({\color {red}R}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})}$

ให้เหตุการณ์ A และ B ถูกกำหนดให้เป็นความน่าจะเป็นที่บุคคล A และบุคคล B จะกลับบ้านทันเวลารับประทานอาหารเย็น โดยที่ทั้งสองคนถูกสุ่มเลือกมาจากทั่วโลก เหตุการณ์ A และ B สามารถถือได้ว่าเป็นอิสระต่อกัน กล่าวคือ ความรู้ที่ว่า A มาสายจะมีผลกระทบต่อความน่าจะเป็นที่ B จะมาสายเพียงเล็กน้อยหรือไม่เปลี่ยนแปลงเลย อย่างไรก็ตาม หากมีเหตุการณ์ที่สามเกิดขึ้น คือ บุคคล A และบุคคล B อาศัยอยู่ในละแวกเดียวกัน เหตุการณ์ทั้งสองจะไม่ถือว่าเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขอีกต่อไป สภาพการจราจรและเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับสภาพอากาศที่อาจทำให้บุคคล A ล่าช้า อาจทำให้บุคคล B ล่าช้าด้วยเช่นกัน เมื่อมีเหตุการณ์ที่สามและความรู้ที่ว่าบุคคล A มาสาย ความน่าจะเป็นที่บุคคล B จะมาสายจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 2 ]}

ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับลักษณะของเหตุการณ์ที่สาม หากคุณทอยลูกเต๋า 2 ลูก คุณอาจสันนิษฐานได้ว่าลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นอิสระต่อกัน การดูผลลัพธ์ของลูกเต๋าหนึ่งลูกจะไม่บอกคุณเกี่ยวกับผลลัพธ์ของลูกเต๋าลูกที่สอง (นั่นคือ ลูกเต๋าทั้งสองลูกเป็นอิสระต่อกัน) อย่างไรก็ตาม หากผลลัพธ์ของลูกเต๋าลูกแรกคือ 3 และมีคนบอกคุณเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่สาม นั่นคือ ผลรวมของผลลัพธ์ทั้งสองเป็นเลขคู่ ข้อมูลเพิ่มเติมนี้จะจำกัดตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่สองให้เป็นเลขคี่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เหตุการณ์สองเหตุการณ์อาจเป็นอิสระต่อกัน แต่ไม่เป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไข^{[ 2 ]}

ส่วนสูงและคำศัพท์มีความสัมพันธ์กัน เนื่องจากคนตัวเล็กมักจะเป็นเด็ก ซึ่งมีคำศัพท์พื้นฐานมากกว่า แต่หากเรารู้ว่าคนสองคนอายุ 19 ปีเท่ากัน (กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับอายุ) ก็ไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่าคำศัพท์ของคนใดคนหนึ่งจะมากกว่า หากเรารู้ว่าเขาสูงกว่า

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อ เนื่องสองตัว คือ และจะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องตัวที่สามก็ต่อเมื่อ ตัวแปรสุ่มทั้งสอง เป็นอิสระต่อกันในความน่าจะเป็น แบบมีเงื่อนไข เมื่อ กำหนด ตัวแปรสุ่ม ตัวที่สาม นั่นคือและจะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไข เมื่อกำหนด ตัวแปรสุ่มตัว ที่สาม ก็ต่อเมื่อ เมื่อกำหนดค่าใดๆ ของความน่าจะเป็นของและ จะเหมือนกันสำหรับทุกค่าของและความน่าจะเป็นของจะเหมือนกันสำหรับทุกค่าของเขียนในเชิงรูปธรรมได้ดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid Z\quad \iff \quad F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=F_{X\,\mid \,Z\,=\,z}(x)\cdot F_{Y\,\mid \,Z\,=\,z}(y)\quad {\text{for all }}x,y,z}$

สมการที่ 2

โดยที่คือฟังก์ชันการกระจายสะสม แบบมีเงื่อนไข ของและเมื่อกำหนดให้ ${\displaystyle F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

เหตุการณ์สองเหตุการณ์และจะเป็นอิสระต่อกันโดยมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดพีชคณิต σถ้า ${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma ){\text{ a.s.}}}$

โดยที่หมายถึงค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของเหตุการณ์, , เมื่อกำหนดพีชคณิตซิกมานั่นคือ ${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \chi _{A}}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ].}$

ตัวแปรสุ่มสองตัวและ จะ เป็น อิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดพีชคณิต σ หากสมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุกค่าในและใน${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sigma (X)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma (Y)}$

ตัวแปรสุ่มสองตัวและเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งหากตัวแปรสุ่มทั้งสองเป็นอิสระต่อกันเมื่อกำหนดσ ( W ): σ-algebra ที่สร้างขึ้นโดย ซึ่งโดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid W}$หรือ

${\displaystyle X\perp Y\mid W}$

อ่านว่า " เป็นอิสระจากเมื่อกำหนด " เงื่อนไขนี้ใช้กับประโยคทั้งหมด: "( เป็นอิสระจาก) เมื่อกำหนด" ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$

สัญลักษณ์นี้ขยายความสำหรับ " เป็นอิสระจาก" ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าสมมติว่าเป็นเซตของค่าที่นับได้ นี่จะเทียบเท่ากับความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขของXและYสำหรับเหตุการณ์ในรูปแบบความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์มากกว่าสองเหตุการณ์ หรือของตัวแปรสุ่มมากกว่าสองตัว จะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle W}$${\displaystyle [W=w]}$

ตัวอย่างสองข้อต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า ทั้งสอง ข้อไม่ได้หมายความถึงหรือถูกหมายความถึงโดยข้อใดข้อหนึ่ง ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$

ก่อนอื่น สมมติว่าW มีค่าเป็น 0 ด้วยความน่าจะเป็น 0.5 และมีค่าเป็น 1 ในกรณีอื่น ๆ เมื่อW  = 0 ให้ถือว่าW และ Y เป็นอิสระต่อกัน โดยแต่ละค่ามีค่าเป็น 0 ด้วยความน่าจะเป็น 0.99 และมีค่าเป็น 1 ในกรณีอื่น ๆ เมื่อW = 0 และ Y เป็นอิสระต่อกันอีกครั้ง แต่คราวนี้มีค่าเป็น 1 ด้วยความน่าจะเป็น 0.99 ดังนั้นแต่ W และ Y ขึ้นต่อกัน เพราะ Pr( X  = 0) < Pr( X  = 0| Y  = 0) เนื่องจาก Pr( X  = 0) = 0.5 แต่ถ้าY  = 0 แล้วมีความเป็นไปได้สูงมากที่W  = 0 และดังนั้นX  = 0 ด้วย ดังนั้น Pr( X  = 0| Y  = 0) > 0.5 ${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

สำหรับตัวอย่างที่สอง สมมติว่าแต่ละค่าเป็น 0 และ 1 ด้วยความน่าจะเป็น 0.5 ให้เป็นผลคูณจากนั้นเมื่อPr( X  = 0) = 2/3 แต่ Pr( X  = 0| Y  = 0) = 1/2 ดังนั้น จึงเป็นเท็จ นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของการอธิบายให้พ้นทาง ดูบทช่วยสอนของ Kevin Murphy ^{[ 3 ]}ที่และมีค่าเป็น "ฉลาด" และ "มีทักษะกีฬา" ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X\cdot Y}$${\displaystyle W=0}$${\displaystyle (X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

เวกเตอร์สุ่ม สอง ตัว และจะเป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดเวกเตอร์สุ่มตัวที่สามก็ต่อเมื่อเวกเตอร์สุ่มทั้งสองเป็นอิสระต่อกันในการกระจายสะสมแบบมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดเวกเตอร์สุ่มตัวที่สาม กล่าวอย่างเป็นทางการคือ: ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{l})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{m})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

${\displaystyle (\mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} )\mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad {\text{for all }}\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} }$

สมการที่ 3

โดยที่และและการแจกแจงสะสมแบบมีเงื่อนไขถูกกำหนดไว้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{l})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l},Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}}$

ให้pเป็นสัดส่วนของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่จะลงคะแนน "เห็นด้วย" ในการลงประชามติ ที่จะเกิดขึ้น ใน การสำรวจความคิดเห็น นั้น จะเลือก ผู้มีสิทธิเลือกตั้ง nคนแบบสุ่มจากประชากร สำหรับi  = 1, ...,  nให้X _i  = 1 หรือ 0 สอดคล้องกับว่า ผู้มีสิทธิเลือกตั้งคนที่ iที่ถูกเลือกนั้นจะลงคะแนน "เห็นด้วย" หรือไม่

ในแนวทางการอนุมานทางสถิติแบบความถี่เราจะไม่กำหนดการกระจายความน่าจะเป็นใดๆ ให้กับp (เว้นแต่ว่าความน่าจะเป็นเหล่านั้นจะสามารถตีความได้ว่าเป็นความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง หรือเป็นสัดส่วนของประชากรบางกลุ่ม) และเราจะกล่าวว่าX ₁ , ..., X _nเป็นตัวแปรสุ่ม อิสระ

ในทางตรงกันข้าม ใน แนวทางแบบ เบย์เซียนสำหรับการอนุมานทางสถิติ เราจะกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็นให้กับpโดยไม่คำนึงถึงการไม่มีอยู่ของการตีความ "ความถี่" ดังกล่าว และเราจะตีความความน่าจะเป็นว่าเป็นระดับความเชื่อที่ว่าpอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งที่กำหนดความน่าจะเป็นให้ ในแบบจำลองนั้น ตัวแปรสุ่มX ₁ , ...,  X _nไม่เป็นอิสระต่อกัน แต่เป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดค่าของp โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากพบว่า Xจำนวนมากมีค่าเท่ากับ 1 นั่นจะหมายความว่ามีความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สูง เมื่อพิจารณาจากการสังเกตนั้น ว่าpอยู่ใกล้ 1 และดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สูง เมื่อพิจารณาจากการสังเกตนั้น ว่าX ตัวถัดไป ที่จะสังเกตได้จะมีค่าเท่ากับ 1

ชุดกฎที่ควบคุมข้อความของการเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขได้มาจากคำจำกัดความพื้นฐาน^{[ 4 ] [ 5 ]}

กฎเหล่านี้ถูกเรียกว่า " สัจพจน์ กราฟอยด์" โดย Pearl และ Paz ^{[ 6 ]}เนื่องจากกฎเหล่านี้ใช้ได้กับกราฟ ซึ่งตีความได้ว่า "เส้นทางทั้งหมดจากXไปยังAถูกตัดโดยเซตB " ^{[ 7 ]}${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Leftrightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid Z}$

การพิสูจน์:

จากนิยามของความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไข

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Leftrightarrow \quad P(X,Y\mid Z)=P(X\mid Z)P(Y\mid Z)\quad \Leftrightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid Z}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Rightarrow \quad h(X)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z}$

บทพิสูจน์ จากนิยามของความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไข เราต้องการแสดงให้เห็นว่า:

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Rightarrow \quad P(h(X),Y\mid Z)=P(h(X)\mid Z)P(Y\mid Z)}$

ด้านซ้ายของสมการนี้คือ:

${\displaystyle P(h(X)=a,Y=y\mid Z=z)=\sum _{X\colon h(X)=a}P(X=x,Y=y\mid Z=z)}$

โดยที่นิพจน์ทางด้านขวาของสมการนี้คือผลรวมของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของบนเมื่อแยกย่อยเพิ่มเติม ${\displaystyle X}$${\displaystyle h(X)=a}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{X\colon h(X)=a}P(X=x,Y=y\mid Z=z)=&\sum _{X\colon h(X)=a}P(X=x\mid Z=z)P(Y=y\mid Z=z)\\=&P(Y=y\mid Z=z)\sum _{X\colon h(X)=a}P(X=x\mid Z=z)\\=&P(Y\mid Z)P(h(X)\mid Z)\end{aligned}}}$

กรณีพิเศษของคุณสมบัตินี้ได้แก่

• ${\displaystyle (X,W)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z}$
  • บทพิสูจน์:ให้เรากำหนดและเป็นฟังก์ชัน 'การสกัด' จากนั้น:${\displaystyle A=(X,W)}$${\displaystyle h(\cdot )}$${\displaystyle h(X,W)=X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,W)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad &\Leftrightarrow \quad A\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\\&\Rightarrow \quad h(A)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad &{\text{Decomposition}}\\&\Leftrightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp (Y,W)\mid Z\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z}$
  • พิสูจน์:ให้เรากำหนดและเป็นฟังก์ชัน 'การสกัด' อีกครั้งจากนั้น:${\displaystyle V=(Y,W)}$${\displaystyle h(\cdot )}$${\displaystyle h(Y,W)=Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp (Y,W)\mid Z\quad &\Leftrightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp V\mid Z\\&\Leftrightarrow \quad V\perp \!\!\!\perp X\mid Z\quad &{\text{Symmetry}}\\&\Rightarrow \quad h(V)\perp \!\!\!\perp X\mid Z\quad &{\text{Decomposition}}\\&\Leftrightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid Z\\&\Leftrightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad &{\text{Symmetry}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid (Z,h(X))}$

การพิสูจน์:

เมื่อกำหนดแล้วเราตั้งเป้าที่จะแสดงให้เห็น ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp Y\mid (Z,h(X))\quad &\Leftrightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid U\quad &{\text{where}}\quad U=(Z,h(X))\\&\Leftrightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid U\quad &{\text{Symmetry}}\\&\Leftrightarrow \quad P(Y\mid X,U)=P(Y\mid U)\\&\Leftrightarrow \quad P(Y\mid X,Z,h(X))=P(Y\mid Z,h(X))\end{aligned}}}$

เราเริ่มจากด้านซ้ายของสมการก่อน

${\displaystyle {\begin{aligned}P(Y\mid X,Z,h(X))&=P(Y\mid X,Z)\\&=P(Y\mid Z)&{\text{Since by symmetry }}Y\perp \!\!\!\perp X\mid Z\end{aligned}}}$

จากเงื่อนไขที่กำหนด

${\displaystyle {\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad &\Rightarrow \quad h(X)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad &{\text{Decomposition}}\\&\Leftrightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp h(X)\mid Z\quad &{\text{Symmetry}}\\&\Rightarrow \quad P(Y\mid Z,h(X))=P(Y\mid Z)\end{aligned}}}$

ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle P(Y\mid X,Z,h(X))=P(Y\mid Z,h(X))}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid (Z,h(X))}$

กรณีพิเศษ:

ตำราเรียนบางเล่มนำเสนอคุณสมบัตินี้ไว้ดังนี้

• ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp (Y,W)\mid Z\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid (Z,W)}$[ ^{8 ]​}

• ${\displaystyle (X,W)\perp \!\!\!\perp Y\mid Z\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp Y\mid (Z,W)}$.

ทั้งสองเวอร์ชันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นผลมาจากคุณสมบัติการรวมแบบอ่อนที่ระบุไว้ในตอนต้น โดยใช้วิธีเดียวกับในส่วนการแยกส่วนข้างต้น

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\end{aligned}}\right\}{\text{ and }}\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp A,B}$

การพิสูจน์

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการสังเกตซึ่งความเท่าเทียมกันแต่ละข้อได้รับการยืนยันโดยและตามลำดับ ${\displaystyle \Pr(X\mid A,B)=\Pr(X\mid B)=\Pr(X)}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp B}$

สำหรับการกระจายความน่าจะเป็นที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด^{[ 5 ]}ต่อไปนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน:

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z,W\\X\perp \!\!\!\perp W\mid Z,Y\end{aligned}}\right\}{\text{ and }}\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp W,Y\mid Z}$

การพิสูจน์

โดยสมมติฐาน:

${\displaystyle P(X|Z,W,Y)=P(X|Z,W)\land P(X|Z,W,Y)=P(X|Z,Y)\implies P(X|Z,Y)=P(X|Z,W)}$

โดยใช้ความเท่าเทียมกันนี้ ร่วมกับกฎความน่าจะเป็นรวมที่นำมาประยุกต์ใช้กับ: ${\displaystyle P(X|Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X|Z)&=\sum _{w\in W}P(X|Z,W=w)P(W=w|Z)\\[4pt]&=\sum _{w\in W}P(X|Y,Z)P(W=w|Z)\\[4pt]&=P(X|Z,Y)\sum _{w\in W}P(W=w|Z)\\[4pt]&=P(X|Z,Y)\end{aligned}}}$

เนื่องจากและดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle P(X|Z,W,Y)=P(X|Z,Y)}$${\displaystyle P(X|Z,Y)=P(X|Z)}$${\displaystyle P(X|Z,W,Y)=P(X|Z)\iff X\perp \!\!\!\perp Y,W|Z}$

หมายเหตุทางเทคนิค: เนื่องจากข้อสรุปเหล่านี้ใช้ได้กับปริภูมิความน่าจะ เป็นใดๆ ข้อ สรุปเหล่านี้จึงยังคงใช้ได้อยู่หากเราพิจารณาจักรวาลย่อยโดยกำหนดเงื่อนไขทุกอย่างบนตัวแปรอื่น เช่น  Kตัวอย่างเช่น ก็หมายความว่า เช่นกัน ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X}$${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X\mid K}$

• กราฟอยด์
• การพึ่งพาแบบมีเงื่อนไข
• ทฤษฎีบทของเดอ ฟิเนตติ
• ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเอกราชแบบมีเงื่อนไขในวิกิมีเดียคอมมอนส์