${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y}$

${\displaystyle p(X)}$

${\displaystyle p(Y)}$

แสดงค่าสังเกตตัวอย่างจำนวนมาก (สีดำ) จากการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม นอกจากนี้ยังแสดงความหนาแน่นส่วนย่อย (สีน้ำเงินและสีแดง) ด้วย

เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่ม ซึ่งกำหนดไว้ในปริภูมิความน่าจะ เป็นเดียวกัน ^{[ 1 ]}การ แจกแจงความน่าจะ เป็นแบบหลายตัวแปรหรือแบบร่วมสำหรับคือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แต่ละจะตกอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่งโดยเฉพาะหรือเซตของค่าที่ไม่ต่อเนื่องที่ระบุสำหรับตัวแปรนั้น ในกรณีที่มีตัวแปรสุ่มเพียงสองตัว จะเรียกว่าการแจกแจงแบบทวิตัวแปรแต่แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่ตัวแปรสุ่มจำนวนใดก็ได้ ${\displaystyle X,Y,\ldots }$${\displaystyle X,Y,\ldots }$${\displaystyle X,Y,\ldots }$

การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ร่วม และในรูปของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ร่วม (ในกรณีของตัวแปรต่อเนื่อง ) หรือฟังก์ชันมวลความน่าจะ เป็นร่วม (ในกรณีของ ตัวแปร ไม่ต่อเนื่อง ) ซึ่งสามารถนำมาใช้หาการแจกแจงอีกสองประเภทได้ คือ การแจกแจงแบบมาร์จินัลซึ่งแสดงความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งโดยไม่คำนึงถึงช่วงค่าเฉพาะของตัวแปรอื่น และการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งแสดงความน่าจะเป็นสำหรับกลุ่มย่อยของตัวแปรใดๆ โดยมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับค่าเฉพาะของตัวแปรที่เหลืออยู่

โถสองใบแต่ละใบมีลูกบอลสีแดงเป็นสองเท่าของลูกบอลสีน้ำเงิน และไม่มีลูกบอลสีอื่น และจะสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโถ โดยการหยิบทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน ให้และเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ของการหยิบจากโถใบแรกและโถใบที่สองตามลำดับ ความน่าจะเป็นของการหยิบลูกบอลสีแดงจากโถใดโถหนึ่งคือ⁠${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$2/3และความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกบอลสีน้ำเงินได้คือ1/3ตารางต่อไปนี้แสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม :

แต่ละช่องภายในทั้งสี่ช่องแสดงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ได้จากการสุ่มสองครั้งในรูปแบบต่างๆ ความน่าจะเป็นเหล่านี้คือการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ในแต่ละช่อง ความน่าจะเป็นของการเกิดผลลัพธ์ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง (เนื่องจากการสุ่มเป็นอิสระต่อกัน) คือผลคูณของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ระบุสำหรับ A และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ระบุสำหรับ B ผลรวมของความน่าจะเป็นในสี่ช่องนี้เท่ากับ 1 เช่นเดียวกับการแจกแจงความน่าจะเป็นทั้งหมด

นอกจากนี้ แถวสุดท้ายและคอลัมน์สุดท้ายจะแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลสำหรับ A และการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลสำหรับ B ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น สำหรับ A เซลล์แรกจะแสดงผลรวมของความน่าจะเป็นที่ A จะเป็นสีแดง โดยไม่คำนึงถึงความเป็นไปได้ใด ๆ สำหรับ B ในคอลัมน์ด้านบนเซลล์นั้น2/3ดังนั้นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลสำหรับจะให้ความน่าจะเป็นของโดยไม่ขึ้นกับเงื่อนไข ของ ในส่วนขอบของตาราง ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

พิจารณาการโยนเหรียญยุติธรรม สองเหรียญ ให้และเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งแรกและครั้งที่สองตามลำดับ การโยนเหรียญแต่ละครั้งเป็นการทดลองแบบเบอร์นูลลีและมีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีถ้าเหรียญออก "หัว" ตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องจะมีค่าเป็น 1 และจะมีค่าเป็น 0 ในกรณีอื่น ๆ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละอย่างคือ⁠${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$1/2ดังนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นแบบมาร์จินัล (แบบไม่ขึ้นกับเงื่อนไข) คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=1/2\quad {\text{สำหรับ}}\quad A\in \{0,1\};\\P(B)&=1/2\quad {\text{สำหรับ}}\quad B\in \{0,1\}.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของและกำหนดความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์แต่ละคู่ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ เนื่องจากแต่ละผลลัพธ์มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน ฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมจึงกลายเป็น ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle (A,B)\in \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}.}$$$${\displaystyle P(A,B)=1/4\quad {\text{สำหรับ}}\quad A,B\in \{0,1\}.}$$

เนื่องจากการโยนเหรียญเป็นอิสระต่อกัน ฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมจึงเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นส่วนย่อย: $${\displaystyle P(A,B)=P(A)P(B)\quad {\text{สำหรับ}}\quad A,B\in \{0,1\}.}$$

พิจารณาการทอยลูกเต๋า ที่ยุติธรรม และให้ค่า เป็นถ้าเลขที่ได้เป็นเลขคู่ (เช่น 2, 4 หรือ 6) และเป็น ถ้าเป็นเลขอื่น นอกจากนี้ ให้ค่า เป็นถ้าเลขที่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ (เช่น 2, 3 หรือ 5) และเป็น ถ้าเป็นเลขอื่น ${\displaystyle A=1}$${\displaystyle A=0}$${\displaystyle B=1}$${\displaystyle B=0}$

จากนั้น การแจกแจงร่วมของและซึ่งแสดงในรูปของฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวล คือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (A=0,B=0)&=P\{1\}={\frac {1}{6}},&\mathrm {P} (A=1,B=0)&=P\{4,6\}={\frac {2}{6}},\\\mathrm {P} (A=0,B=1)&=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},&\mathrm {P} (A=1,B=1)&=P\{2\}={\frac {1}{6}}.\end{aligned}}}$$

ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้จะต้องเท่ากับ 1 อย่างแน่นอน เนื่องจากความน่าจะเป็นของการ เกิดเหตุการณ์ ใดๆ ก็ตาม ที่มีค่า เท่ากับ 1 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

หากมีการกำหนดตัวแปรสุ่มมากกว่าหนึ่งตัวในการทดลองสุ่ม สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของ X และ Y กับการแจกแจงความน่าจะเป็นของแต่ละตัวแปรแยกกัน การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวเรียกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัล โดยทั่วไป การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลของ X สามารถหาได้จากการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของ X และตัวแปรสุ่มอื่นๆ

ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่ม X และ Y คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นส่วนย่อยของ X และ Y ซึ่งกำหนดการแจกแจงส่วนย่อยจะกำหนดโดย: ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&=\int f_{X,Y}(x,y)\;dy\\f_{Y}(y)&=\int f_{X,Y}(x,y)\;dx\end{aligned}}}$$

โดยที่อินทิกรัลแรกครอบคลุมจุดทั้งหมดในช่วง (X,Y) ซึ่ง X=x และอินทิกรัลที่สองครอบคลุมจุดทั้งหมดในช่วง (X,Y) ซึ่ง Y=y ^{[ 2 ]}

สำหรับตัวแปรสุ่มคู่หนึ่งฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม (CDF) จะได้รับจาก^{[ 3 ] : 89} ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle F_{X,Y}}$

โดยที่ด้านขวามือแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับและตัวแปร สุ่มจะมีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$

สำหรับตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม (Joint CDF) จะกำหนดโดย ${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$

การตีความตัวแปรสุ่มเป็นเวกเตอร์สุ่มทำให้ได้สัญลักษณ์ที่สั้นกว่า: ${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$

$${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัว คือ: ${\displaystyle X,Y}$

หรือเขียนในรูปของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข โดย ที่คือความน่าจะเป็นของเมื่อกำหนดให้$${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)}$$${\displaystyle \mathrm {P} (Y=y\mid X=x)}$${\displaystyle Y=y}$${\displaystyle X=x}$

การสรุปทั่วไปของกรณีสองตัวแปรข้างต้นคือการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีดังนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&\mathrm {P} (X_{1}=x_{1})\\&\cdot \mathrm {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\\&\cdot \mathrm {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\\&\cdots \\&\cdot \mathrm {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1}).\end{aligned}}}$$

เอกลักษณ์นี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อกฎลูกโซ่ของความน่าจะเป็น

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นความน่าจะเป็น ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว

$${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}\mathrm {P} (X=x_{i}\ \mathrm {and} \ Y=y_{j})=1,\,}$$ ซึ่งสามารถขยายความทั่วไปสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องได้เป็น ${\displaystyle n\,}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}\dots \sum _{k}\mathrm {P} (X_{1}=x_{1i},X_{2}=x_{2j},\dots ,X_{n}=x_{nk})=1.\;}$$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วม สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สองตัว ถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม (ดูสมการที่ 1 ): ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

นี่เท่ากับ: $${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_{Y}(y)}$$

โดยที่และคือการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของเมื่อกำหนดให้และของเมื่อกำหนดให้ตามลำดับ และและคือการแจกแจงแบบมาร์จินัลสำหรับและตามลำดับ ${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)}$${\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=y}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle f_{Y}(y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

นิยามนี้สามารถขยายไปสู่ตัวแปรสุ่มมากกว่าสองตัวได้อย่างเป็นธรรมชาติ:

อีกครั้ง เนื่องจากสิ่งเหล่านี้คือการแจกแจงความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงมี ตามลำดับ $${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1}$$$${\displaystyle \int _{x_{1}}\ldots \int _{x_{n}}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{n}\ldots \;dx_{1}=1}$$

"ความหนาแน่นร่วมแบบผสม" อาจถูกกำหนดได้ในกรณีที่ตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นเป็นแบบต่อเนื่อง และตัวแปรสุ่มอื่นๆ เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างหนึ่งของสถานการณ์ที่เราอาจต้องการหาการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องหนึ่งตัวและตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอีกตัวหนึ่ง เกิดขึ้นเมื่อเราต้องการใช้การถดถอยโลจิสติกในการทำนายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบไบนารี Y โดยมีเงื่อนไขจากค่าของผลลัพธ์ที่มีการแจกแจงแบบต่อเนื่องเราต้องใช้ความหนาแน่นร่วมแบบ "ผสม" เมื่อหาการแจกแจงสะสมของผลลัพธ์แบบไบนารีนี้ เนื่องจากตัวแปรนำเข้าถูกกำหนดไว้ตั้งแต่แรกในลักษณะที่เราไม่สามารถกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นให้กับมันได้โดยรวม กล่าวคือคือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของโดยสัมพันธ์กับการวัดผลคูณบนส่วนรองรับของและ ตามลำดับ การแยกส่วนทั้งสองนี้สามารถใช้เพื่อกู้คืนฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วมได้ คำจำกัดความนี้สามารถขยายไปสู่ส่วนผสมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องจำนวน ใดๆ ก็ได้$${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathrm {P} (Y=y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)f_{X}(x).}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\sum _{t\leq y}\int _{-\infty }^{x}f_{X,Y}(s,t)\;ds.}$$

โดยทั่วไป ตัวแปรสุ่มสองตัวและจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)}$$

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัวและ จะ เป็น อิสระต่อกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมเป็นไปตามเงื่อนไข สำหรับทุกและ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle P(X=x\ {\text{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

เมื่อจำนวนเหตุการณ์สุ่มอิสระเพิ่มขึ้น ค่าความน่าจะเป็นร่วมที่เกี่ยวข้องจะลดลงอย่างรวดเร็วจนเป็นศูนย์ ตามกฎเลขชี้กำลังติดลบ

ในทำนองเดียวกัน ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสองตัวจะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกและซึ่งหมายความว่า การได้มาซึ่งข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับค่าของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้น จะนำไปสู่การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรอื่นๆ ที่เหมือนกับการแจกแจงแบบไม่มีเงื่อนไข (แบบมาร์จินัล) ดังนั้นจึงไม่มีตัวแปรใดให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับตัวแปรอื่น $${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ถ้าตัวแปรกลุ่ม หนึ่ง มีความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขกับตัวแปรอีกกลุ่มหนึ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการกระจายร่วมจะเป็น เท่ากับดังนั้นจึงสามารถแสดงได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยการกระจายความน่าจะเป็นที่มีมิติที่ต่ำกว่าและความสัมพันธ์แบบอิสระที่มีเงื่อนไขดังกล่าวสามารถแสดงได้ด้วยเครือข่ายเบย์เซียนหรือฟังก์ชันโคปูลา ${\displaystyle A}$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle \mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle P(B)\cdot P(A\mid B)}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle P(A\mid B)}$

เมื่อมีการกำหนดตัวแปรสุ่มสองตัวขึ้นไปบนปริภูมิความน่าจะเป็น การอธิบายว่าตัวแปรเหล่านั้นเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรด้วยกันนั้นเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ กล่าวคือ การวัดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเหล่านั้นเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ มาตรวัดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวที่ใช้กันทั่วไปคือ ค่าความแปรปรวนร่วม (covariance) ค่าความแปรปรวนร่วมเป็นมาตรวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม หากความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มไม่ใช่เชิงเส้น ค่าความแปรปรวนร่วมอาจไม่ไวต่อความสัมพันธ์นั้น ซึ่งหมายความว่ามันไม่สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวได้

ความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรสุ่มและคือ^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sigma _{XY}=\operatorname {E} \left[(X-\mu _{x})(Y-\mu _{y})\right]=\operatorname {E} (XY)-\mu _{x}\mu _{y}.}$$

มีมาตรวัดความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัวอีกแบบหนึ่ง ซึ่งมักจะตีความได้ง่ายกว่าค่าความแปรปรวนร่วม

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นการปรับขนาดค่าความแปรปรวนร่วมโดยคูณด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของแต่ละตัวแปร ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์จึงเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ ซึ่งสามารถใช้เปรียบเทียบความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรคู่ต่างๆ ที่มีหน่วยต่างกันได้ หากจุดในแผนภูมิความน่าจะเป็นร่วมของ X และ Y ที่ได้รับความน่าจะเป็นเป็นบวก มีแนวโน้มที่จะตกอยู่บนเส้นตรงที่มีความชันเป็นบวก (หรือลบ) ค่า ρXY _จะอยู่ใกล้ +1 (หรือ −1) ถ้า ρXY _{เท่ากับ} +1 หรือ −1 แสดงว่าจุดในแผนภูมิความน่าจะเป็นร่วมที่ได้รับความน่าจะเป็นเป็นบวกนั้นตกอยู่บนเส้นตรงเดียวกันพอดี ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ไม่เป็นศูนย์เรียกว่ามีความสัมพันธ์กัน เช่นเดียวกับค่าความแปรปรวนร่วม ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นการวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างตัวแปรสุ่ม

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มและคือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \rho _{XY}={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {V(X)V(Y)}}}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.}$$

การแจกแจงร่วมที่มีชื่อซึ่งพบได้บ่อยในทางสถิติ ได้แก่การแจกแจงปกติหลายตัวแปรการแจกแจงเสถียร หลายตัวแปร การแจกแจงพหุนามการแจกแจงพหุนามเชิงลบการแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริกหลายตัวแปรและ การ แจกแจง วงรี

• การเขียนโปรแกรมแบบเบย์เซียน
• ต้นไม้โจวหลิว
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
• โคปูล่า (ทฤษฎีความน่าจะเป็น)
• ทฤษฎีบทการสลายตัว
• สถิติหลายตัวแปร
• การรบกวนทางสถิติ
• การกระจายแบบอิสระเป็นคู่ๆ

• "การแจกแจงร่วม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "การแจกแจงแบบหลายมิติ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• บทนำสมัยใหม่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นและสถิติ: ทำความเข้าใจว่าทำไมและอย่างไรเดคกิ้ง, มิเชล, 1946-. ลอนดอน: สปริงเกอร์. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC  262680588.
• "ฟังก์ชันความหนาแน่นร่วมต่อเนื่อง " PlanetMath
• Mathworld: ฟังก์ชันการแจกแจงร่วม