ในคณิตศาสตร์และสถิติตัวแปรเชิงปริมาณอาจเป็นแบบต่อเนื่องหรือแบบไม่ต่อเนื่องหากตัวแปรสามารถรับ ค่า จริง ได้สอง ค่าและค่าทั้งหมดที่อยู่ระหว่างนั้น ตัวแปรนั้นจะเป็นแบบต่อเนื่องในช่วงนั้น^{[ 1 ]}หากตัวแปรสามารถรับค่าได้ค่าหนึ่งซึ่งมีช่องว่างที่ไม่ใช่ค่าอนันต์อยู่ทั้งสองด้านของค่านั้นซึ่งไม่มีค่าใดที่ตัวแปรสามารถรับได้ ตัวแปรนั้นจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องรอบค่านั้น^{[ 2 ]}ในบางบริบท ตัวแปรอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่องในบางช่วงของเส้นจำนวน และเป็นแบบต่อเนื่องในช่วงอื่น ในทางสถิติ ตัวแปรต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่อง เป็น ประเภทข้อมูลทางสถิติที่แตกต่างกันซึ่งอธิบายด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็น ที่แตกต่างกัน

ตัวแปรต่อเนื่องคือ ตัวแปรที่มีค่าที่เป็นไปได้อยู่ระหว่างค่าสองค่าใดๆ

ตัวอย่างเช่น ตัวแปรในช่วงที่ไม่ว่างเปล่าของจำนวนจริงจะมีความต่อเนื่องหากสามารถรับค่าใดๆ ในช่วงนั้นได้^{[ 3 ]}

วิธีการทางแคลคูลัสมักถูกนำมาใช้ในปัญหาที่ตัวแปรมีความต่อเนื่อง เช่น ในปัญหาการหาค่าเหมาะสม ที่สุดแบบต่อเนื่อง ^{[ 4 ]}

ในทฤษฎีทางสถิติการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรต่อเนื่องสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น^{[ 5 ]}

ในพลวัตเวลาต่อเนื่อง ตัวแปรเวลาจะถูกพิจารณาว่าต่อเนื่อง และสมการที่อธิบายวิวัฒนาการของตัวแปรบางตัวเมื่อเวลาผ่านไปคือ สมการ เชิงอนุพันธ์^{[ 6 ]}อัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีเป็นแนวคิดที่กำหนดไว้อย่างดีซึ่งพิจารณาอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรตามต่อตัวแปรอิสระ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

ในทางตรงกันข้าม ตัวแปรจะเป็นตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวแปรนี้กับเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ [ ^{7 ] กล่าวอีกนัย หนึ่ง}ตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงค่าจริงเฉพาะช่วงหนึ่งคือตัวแปรที่สำหรับค่าใดๆ ในช่วงที่ตัวแปรสามารถรับได้ จะมีระยะห่างขั้นต่ำที่เป็นบวกไปยังค่าที่อนุญาตอื่นๆ ที่ใกล้ที่สุด จำนวนค่าที่อนุญาตอาจเป็นจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ที่นับได้ตัวอย่างทั่วไปคือตัวแปรที่ต้องเป็นจำนวนเต็มจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จำนวนเต็มบวก หรือเฉพาะจำนวนเต็ม 0 และ 1 เท่านั้น^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {N} }$

วิธีการทางแคลคูลัสไม่เอื้อต่อปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแคลคูลัสหลายตัวแปร โมเดลจำนวนมากอาศัยสมมติฐานเรื่องความต่อเนื่อง^{[ 9 ]}ตัวอย่างของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่อง ได้แก่ การ เขียน โปรแกรมจำนวนเต็ม

ในทางสถิติ การกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น^{[ 5 ]}

ใน พลวัต เวลาไม่ต่อเนื่องตัวแปรเวลาจะถูกมองว่าไม่ต่อเนื่อง และสมการวิวัฒนาการของตัวแปรบางตัวในช่วงเวลาเรียกว่า สม การผลต่าง^{[ 10 ]}สำหรับระบบพลวัตเวลาไม่ต่อเนื่องบางระบบ การตอบสนองของระบบสามารถจำลองได้โดยการแก้สมการผลต่างเพื่อหาคำตอบเชิงวิเคราะห์

ในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณและโดยทั่วไปในการวิเคราะห์การถดถอยบางครั้งตัวแปรบางตัวที่มี ความสัมพันธ์ เชิงประจักษ์ต่อกันจะเป็นตัวแปร 0-1 ซึ่งอนุญาตให้มีค่าได้เพียงสองค่าเท่านั้น^{[ 11 ]}จุดประสงค์ของค่าที่ไม่ต่อเนื่องของ 0 และ 1 คือการใช้ตัวแปรดัมมี่เป็น 'สวิตช์' ที่สามารถ 'เปิด' และ 'ปิด' ได้โดยการกำหนดค่าทั้งสองให้กับพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันในสมการ ตัวแปรประเภทนี้เรียกว่าตัวแปรดัมมี่หากตัวแปรตามเป็นตัวแปรดัมมี่การถดถอยโลจิสติกหรือการถดถอยโพรบิตมักถูกนำมาใช้ ในกรณีของการวิเคราะห์การถดถอย ตัวแปรดัมมี่สามารถใช้เพื่อแสดงกลุ่มย่อยของตัวอย่างในการศึกษา (เช่น ค่า 0 สอดคล้องกับองค์ประกอบของกลุ่มควบคุม) ^{[ 12 ]}

แบบจำลองหลายตัวแปรแบบผสมสามารถประกอบด้วยตัวแปรทั้งแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่องได้ ตัวอย่างเช่น แบบจำลองหลายตัวแปรแบบผสมอย่างง่ายอาจมีตัวแปรแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าเพียง 0 หรือ 1 และตัวแปรแบบต่อเนื่อง[ ^{13 ] ตัวอย่าง}ของแบบจำลองแบบผสมอาจเป็นการศึกษาวิจัยเกี่ยวกับความเสี่ยงของความผิดปกติทางจิตโดยอาศัยการวัดอาการทางจิตเวชแบบไบนารีหนึ่งค่าและการวัดประสิทธิภาพการรับรู้แบบต่อเนื่องหนึ่งค่า^{[ 14 ]}แบบจำลองแบบผสมอาจเกี่ยวข้องกับตัวแปรเดียวที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงหนึ่งของเส้นจำนวนและเป็นแบบต่อเนื่องในช่วงอื่น ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบผสมประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งแบบไม่ต่อเนื่องและแบบต่อเนื่อง ตัวแปรสุ่มแบบผสมไม่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่องทุกที่ ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบผสมคือความน่าจะเป็นของเวลาที่รอในคิว ความน่าจะเป็นที่ลูกค้าจะมีเวลาที่รอเป็นศูนย์นั้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ในขณะที่เวลาที่รอที่ไม่เป็นศูนย์จะถูกประเมินบนมาตราส่วนเวลาแบบต่อเนื่อง^{[ 15 ]}ในฟิสิกส์ (โดยเฉพาะกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งการแจกแจงประเภทนี้มักเกิดขึ้น) ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac มักถูกใช้เพื่อจัดการกับส่วนประกอบแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่องในลักษณะที่เป็นหนึ่ง เดียว ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างก่อนหน้านี้อาจอธิบายได้ด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเช่นและ${\displaystyle p(t)=\alpha \delta (t)+g(t)}$${\displaystyle P(t>0)=\int _{0}^{\infty }g(t)=1-\alpha }$${\displaystyle P(t=0)=\alpha }$