ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการสลายตัว (Disintegration Theorem)เป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีการวัดและทฤษฎีความน่าจะเป็นมันให้คำจำกัดความอย่างเข้มงวดถึงแนวคิดของการ "จำกัด" ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาของการ วัด ไปยัง เซตย่อยที่มีการวัด เป็นศูนย์ ในปริภูมิ การวัดนั้น มันเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของการวัดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในแง่หนึ่ง "การสลายตัว" เป็นกระบวนการตรงกันข้ามกับการสร้างการวัดแบบผลคูณ

พิจารณาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยใน ระนาบยุคลิด พิจารณามาตรวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดบนพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส หน่วยโดยการจำกัด มาตรวัดเลเบสสองมิติไว้ที่พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ ก็คือพื้นที่ของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยนั่นเอง เราสมมติว่า พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยเป็นเซตย่อยที่วัดได้ของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย ${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lambda ^{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E\subseteq S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$

พิจารณาเซตย่อยหนึ่งมิติของเช่น ส่วนของเส้นตรงมีค่าการวัดเป็นศูนย์ ทุกเซตย่อยของเป็นเซตว่างเนื่องจากปริภูมิการวัดของเลเบสเป็นปริภูมิ การวัดที่สมบูรณ์${\displaystyle S}$${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

แม้จะเป็นความจริง แต่ก็ยังไม่น่าพอใจนัก จะดีกว่าถ้าบอกว่า"จำกัดอยู่เฉพาะ" คือมาตรวัดเลเบสแบบหนึ่งมิติแทนที่จะเป็นมาตรวัดศูนย์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "สองมิติ" สามารถหาได้จากการอินทิเกรตความน่าจะ เป็น แบบ หนึ่งมิติของ "ส่วน" แนวตั้ง กล่าวคือ ถ้าแทนมาตรวัดเลเบสแบบหนึ่งมิติบนแล้ว สำหรับ "ค่าที่เหมาะสม" ใดๆทฤษฎีบทการสลายตัวทำให้ข้อโต้แย้งนี้มีความเข้มงวดในบริบทของมาตรวัดบนปริภูมิ เมตริก${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle \lambda ^{1}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\cap L_{x}}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle L_{x}}$$${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$${\displaystyle E\subseteq S}$

(ต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์ แทนกลุ่มของมาตรวัดความน่าจะเป็นแบบบอเรลบน ปริภูมิ เชิงทอพอโลยี ) ข้อสมมติของทฤษฎีบทมีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle (X,T)}$

• ให้และ เป็น ปริภูมิโปแลนด์สอง ปริภูมิ (กล่าวคือปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์แบบแยกส่วนได้ )${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$
• อนุญาต.${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$
• ให้เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ แบบบอเรล ในที่นี้ควรคิดว่าเป็นฟังก์ชันที่ "แยกส่วน" ในแง่ของการแบ่งส่วนออกเป็นตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างที่ยกมาข้างต้น เราสามารถกำหนด, , ซึ่งทำให้ เป็นส่วนที่เราต้องการจับภาพ${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$
• ให้เป็นมาตรวัดแบบผลักดันไปข้างหน้ามาตรวัดนี้ให้การกระจายของ(ซึ่งสอดคล้องกับเหตุการณ์ต่างๆ)${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

ข้อสรุปของทฤษฎีบท: มีตระกูลของการวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจงเกือบทุกที่ซึ่งให้ "การแยกส่วน" ของเป็นเช่นนั้น: ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• ฟังก์ชันนี้สามารถวัดได้แบบบอเรล ในแง่ที่ว่าเป็นฟังก์ชันที่วัดได้แบบบอเรลสำหรับแต่ละเซตที่วัดได้แบบบอเรล${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$${\displaystyle B\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \mu _{x}}$"ดำรงชีวิตอยู่บน" เส้นใย : สำหรับ- เกือบทั้งหมดและอื่นๆ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$
• สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้แบบ Borel ทุกฟังก์ชันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเหตุการณ์ใดๆโดยกำหนด^ให้เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของ[ ^{1 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าตระกูลนี้เป็น ความน่าจะ เป็นแบบมีเงื่อนไขปกติ${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$$${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$${\displaystyle E\subseteq Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x),}$$${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

ตัวอย่างเดิมเป็นกรณีพิเศษของปัญหาปริภูมิผลคูณ ซึ่งทฤษฎีบทการแตกสลายสามารถนำไปใช้ได้

เมื่อเขียนในรูปผลคูณคาร์ทีเซียนและเป็นการฉายภาพ ตามธรรมชาติ แล้ว ไฟเบอร์แต่ละเส้นสามารถ ระบุได้ อย่างชัดเจนด้วยและมีตระกูลของมาตรวัดความน่าจะเป็นแบบบอเรลใน(ซึ่งถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันเกือบทุกที่) เช่นนั้น ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$${\displaystyle \pi _{i}:Y\to X_{i}}$${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(x_{1})}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X_{2})}$${\displaystyle (\pi _{1})_{*}(\mu )}$$${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$$$${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$$${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$$

ความสัมพันธ์กับความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขนั้นกำหนดโดยเอกลักษณ์ต่างๆ $${\displaystyle \operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),}$$$${\displaystyle \mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).}$$

ทฤษฎีบทการสลายตัวยังสามารถมองได้ว่าเป็นการพิสูจน์การใช้การวัดแบบ "จำกัด" ในแคลคูลัสเวกเตอร์ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีบทของสโตกส์ที่ใช้กับสนามเวกเตอร์ที่ไหลผ่านพื้นผิวขนาดกะทัดรัด เป็นที่เข้าใจโดยปริยายว่าการวัดแบบ "ถูกต้อง" บนคือการสลายตัวของการวัดแบบเลเบสสามมิติบนและการสลายตัวของการวัดนี้บน ∂Σ ก็เหมือนกับการสลายตัวของบน^{[ 2 ]}${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda ^{3}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda ^{3}}$${\displaystyle \partial \Sigma }$

ทฤษฎีบทการแตกสลายสามารถนำไปใช้เพื่อให้การจัดการที่เข้มงวดของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในทางสถิติ ในขณะที่หลีกเลี่ยงการกำหนดสูตรนามธรรมของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยสิ้นเชิง^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์Borel–Kolmogorov paradoxเป็นต้น

• ทฤษฎีบทอิโอเนสคู-ทูลเซีย  – ทฤษฎีบทความน่าจะเป็น
• การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม  – ประเภทของการแจกแจงความน่าจะเป็น
• โคปูลา (สถิติ)  – การแจกแจงทางสถิติสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม
• ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไข  – ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม โดยที่ทราบว่ามีเงื่อนไขบางประการเกิดขึ้น
• ปรากฏการณ์บอเรล-โคลโมโกโรฟ  – ปรากฏการณ์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
• ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขปกติ
• ทฤษฎีการยก