ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่เมตริกซ์ที่สมบูรณ์^{[ 1 ]} ( พื้นที่เมตริกซ์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์^{[ 2 ]} ) คือพื้นที่ทอพอโลยี ( X , T ) ซึ่งมีเมตริกซ์d อย่างน้อยหนึ่งตัว บนXเช่นนั้น ( X , d ) เป็นพื้นที่เมตริกซ์ที่สมบูรณ์และdเหนี่ยวนำให้เกิดทอพอโลยีTดังนั้นจึงเป็นกรณีพิเศษของพื้นที่เมตริกซ์

คำว่าพื้นที่สมบูรณ์เชิงโทโพโลยีถูกใช้โดยผู้เขียนบางคนเป็นคำพ้องความหมายสำหรับ^{พื้นที่}เมตริกซ์สมบูรณ์ [ ^{3 ]}แต่บางครั้งก็ใช้สำหรับพื้นที่โทโพโลยีประเภทอื่น เช่นพื้นที่เอกรูปสมบูรณ์^{[ 4 ]}หรือพื้นที่สมบูรณ์ของเช็ก

ความแตกต่างระหว่างปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์และปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์อยู่ที่คำว่า " มีเมตริกซ์อย่างน้อยหนึ่งตัว"ในคำจำกัดความของปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์ ซึ่งไม่เหมือนกับการมีเมตริกซ์ที่กำหนด (อย่างหลังจะให้คำจำกัดความของปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์) เมื่อเราเลือกเมตริกซ์บนปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์ (จากเมตริกซ์สมบูรณ์ทั้งหมดที่เข้ากันได้กับโทโพโลยี) เราจะได้ปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งหมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์เป็นหมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยี ในขณะที่หมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์ไม่ใช่ (แต่เป็นหมวดหมู่ย่อยของหมวดหมู่ของปริภูมิเมตริกซ์) ความสามารถในการกำหนดเมตริกซ์สมบูรณ์เป็นคุณสมบัติทางโทโพโลยี ในขณะที่ความสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์^{[ 5 ]}

• พื้นที่(0,1) ⊂ R ซึ่ง ^เป็นช่วงหน่วยเปิด ไม่ใช่พื้นที่เมตริกสมบูรณ์ที่มีเมตริกปกติที่สืบทอดมาจากRแต่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์เนื่องจากเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับR [ ^{6 ]}
• พื้นที่Qของจำนวนตรรกยะที่มีโทโพโลยีของพื้นที่ย่อยที่สืบทอดมาจากRสามารถกำหนดเมตริกได้ แต่ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์^{[ 7 ]}

• พื้นที่โทโพโลยีXจะสามารถวัดได้อย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อXสามารถวัดได้และมี^G δ _ในการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็ก β X [ ^{8 ]}
• ปริภูมิย่อยของปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์Xจะเป็นปริภูมิเมตริกซ์สมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นG _δในXเท่านั้น^{[ 9 ]}
• ผลคูณที่นับได้ของปริภูมิเมตริกที่ไม่ว่างเปล่าจะเป็นเมตริกสมบูรณ์ในโทโพโลยีผลคูณก็ต่อเมื่อปัจจัยแต่ละตัวเป็นเมตริกสมบูรณ์^{[ 10 ]}ดังนั้น ผลคูณของปริภูมิเมตริกที่ไม่ว่างเปล่าจะเป็นเมตริกสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมีปัจจัยไม่เกินจำนวนนับได้ที่มีจุดมากกว่าหนึ่งจุด และปัจจัยแต่ละตัวเป็นเมตริกสมบูรณ์^{[ 11 ]}
• สำหรับปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิจะมีปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่บรรจุปริภูมิเมตริกนั้นไว้เป็นปริภูมิย่อยหนาแน่น เนื่องจากปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิมีการเติมเต็ม [ ^{12 ] โดย}ทั่วไปแล้วจะมีปริภูมิเมตริกสมบูรณ์จำนวนมาก เนื่องจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เติมเต็มโดยสัมพันธ์กับเมตริกที่แตกต่างกันซึ่งเข้ากันได้กับทอพอโลยีของปริภูมิเมตริกนั้นสามารถให้การเติมเต็มเชิงทอพอโลยีที่แตกต่างกันได้

เมื่อพูดถึงปริภูมิที่มีโครงสร้างมากกว่าแค่โทโพโลยี เช่นกลุ่มโทโพโลยีความหมายตามธรรมชาติของคำว่า “สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์” อาจหมายถึงการมีอยู่ของเมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งเข้ากันได้กับโครงสร้างเพิ่มเติมนั้น นอกเหนือจากการเหนี่ยวนำโทโพโลยีของมัน สำหรับ กลุ่มโทโพโลยี แบบอาเบเลียนและปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี “เข้ากันได้กับโครงสร้างเพิ่มเติม” อาจหมายความว่าเมตริกนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน

อย่างไรก็ตาม ความสับสนจะไม่เกิดขึ้นเมื่อพูดถึงกลุ่มโทโพโลยีอาเบลหรือปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีที่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์: สามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกกลุ่มโทโพโลยีอาเบล (และด้วยเหตุนี้ทุกปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี) ที่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์ในฐานะปริภูมิโทโพโลยี (กล่าวคือ ยอมรับเมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งเหนี่ยวนำโทโพโลยีของมัน) ยังยอมรับเมตริกที่สมบูรณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งเหนี่ยวนำโทโพโลยีของมันด้วย^{[ 13 ]}

สิ่งนี้หมายความว่า ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์ทุกปริภูมิจะสมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะเรียกว่าสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อความเป็นเอกรูป (ที่เกิดจากทอพอโลยีและการดำเนินการบวก) นั้นสมบูรณ์ ความเป็นเอกรูปที่เกิดจากเมตริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่งซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดทอพอโลยีนั้น สอดคล้องกับความเป็นเอกรูปดั้งเดิม

• พื้นที่เมตริกสมบูรณ์
• พื้นที่ที่สามารถปรับแต่งให้เป็นแบบเดียวกันได้อย่างสมบูรณ์
• พื้นที่ที่สามารถวัดได้