ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงความน่าจะเป็นคือ ฟังก์ชัน ผกผันของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมกล่าวคือ ฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงคือฟังก์ชันที่ทำให้สำหรับตัวแปรสุ่ม ใดๆ และความน่าจะเป็นใด ๆ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \Pr \left[\mathrm {X} \leq Q(p)\right]=p}$${\displaystyle \mathrm {X} \sim {\mathcal {D}}}$${\displaystyle p\in (0,1)}$

ฟังก์ชันควอนไทล์เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเปอร์เซ็นไทล์ (ตั้งชื่อตามเปอร์เซ็นไทล์ ) ฟังก์ชันจุดเปอร์เซ็นต์ฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผันหรือฟังก์ชัน การกระจายผกผัน

เมื่ออ้างอิงถึงฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ที่ต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ของตัวแปรสุ่มXฟังก์ชันควอนไทล์จะแปลงค่าอินพุตpไปยังค่าเกณฑ์xโดยที่ความน่าจะเป็นที่Xจะน้อยกว่าหรือเท่ากับxคือpในแง่ของฟังก์ชันการกระจายFฟังก์ชันควอนไทล์Qจะส่งคืนค่าxที่ทำให้ ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$${\displaystyle Q\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,}$$

ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปผกผันของฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf)

$${\displaystyle Q(p)=F_{X}^{-1}(p).}$$

ในกรณีทั่วไปของฟังก์ชันการกระจายที่ไม่เป็นฟังก์ชันเอกภาคอย่างเคร่งครัด และดังนั้นจึงไม่อนุญาตให้มีฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผันควอนไทล์จะเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเซต (อาจเป็นไปได้) ของฟังก์ชันการกระจายFซึ่งกำหนดโดยช่วง

$${\displaystyle {\begin{aligned}Q(p)&={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\ \sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}\\&={\big [}\inf\{x\colon F(x)\geq p\},\ \inf\{x\colon F(x)>p\}{\big ]}.\end{aligned}}}$$

ช่วงแรก^{[ 1 ]}เทียบเท่ากับช่วงที่สองเนื่องจากความเป็นเอกรูป (ที่ไม่เข้มงวด) ของF [ ^{หมายเหตุ 1 ]}

โดยทั่วไปมักเลือกค่าที่ต่ำที่สุด ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปแบบเดียวกันดังนี้

$${\displaystyle Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}$$

ในที่นี้เราได้บันทึกข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันควอนไทล์จะส่งคืนค่าต่ำสุดของxจากค่าทั้งหมดที่มีค่า cdf มากกว่าpซึ่งเทียบเท่ากับข้อความความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ในกรณีพิเศษที่การแจกแจงเป็นแบบต่อเนื่อง

ควอนไทล์ยังเป็นฟังก์ชันเดียวที่สอดคล้องกับอสมการกาโลอิส อีกด้วย

$${\displaystyle Q(p)\leq x}$$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle p\leq F(x).}$

ถ้าฟังก์ชันFต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด เราสามารถแทนที่อสมการด้วยสมการได้ และเราจะได้ว่า

$${\displaystyle Q=F^{-1}.}$$

โดยทั่วไป แม้ว่าฟังก์ชันการกระจายFอาจไม่มีตัวผกผันซ้ายหรือขวาแต่ฟังก์ชันควอนไทล์Qจะทำหน้าที่เสมือนเป็น "ตัวผกผันซ้ายที่แน่นอนเกือบทั้งหมด" สำหรับฟังก์ชันการกระจาย ในแง่ที่ว่า

$${\displaystyle Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X\quad {\text{เกือบแน่นอน}}}$$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการกระจายสะสมของเลขชี้กำลัง( λ ) (เช่น ความเข้มข้นλและค่าที่คาดหวัง ( ค่า เฉลี่ย )  1/ λ ) คือ

$${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันควอนไทล์สำหรับExponential( λ )ได้มาจากการหาค่าของQที่ทำให้: ${\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}$

$${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},}$$

สำหรับ0 ≤ p < 1 ดังนั้น ควอไทล์จึงเป็นดังนี้:

ควาร์ไทล์แรก ( p = 1/4 )

${\displaystyle -\ln(3/4)/\แลมบ์ดา ,}$

ค่ามัธยฐาน ( p = 2/4 )

${\displaystyle -\ln(1/2)/\แลมบ์ดา ,}$

ควาร์ไทล์ที่สาม ( p = 3/4 )

${\displaystyle -\ln(1/4)/\แลมบ์ดา .}$

ฟังก์ชันควอนไทล์ถูกนำไปใช้ทั้งในงานทางสถิติและวิธีการมอนเตคาร์โล

ฟังก์ชันควอนไทล์เป็นวิธีหนึ่งในการกำหนดการกระจายความน่าจะเป็น และเป็นทางเลือกแทนฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) หรือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ฟังก์ชันควอนไทล์Qของการกระจายความน่าจะเป็นคือส่วนกลับของฟังก์ชันการกระจายสะสมFอนุพันธ์ของฟังก์ชันควอนไทล์ นั่นคือฟังก์ชันความหนาแน่นควอนไทล์เป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดการกระจายความน่าจะเป็น มันคือส่วนกลับของ pdf ที่ประกอบกับฟังก์ชันควอนไทล์

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทางสถิติที่ผู้ใช้จำเป็นต้องทราบจุดเปอร์เซ็นต์ สำคัญ ของการแจกแจงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น พวกเขาต้องการค่ามัธยฐานและควอไทล์ที่ 25% และ 75% ดังตัวอย่างข้างต้น หรือระดับ 5%, 95%, 2.5%, 97.5% สำหรับการประยุกต์ใช้อื่นๆ เช่น การประเมินนัยสำคัญทางสถิติของการสังเกตที่มีการแจกแจงที่ทราบแล้ว ดูที่ รายการ ควอไทล์ก่อนที่คอมพิวเตอร์จะแพร่หลาย หนังสือมักจะมีภาคผนวกที่มีตารางทางสถิติที่สุ่มตัวอย่างฟังก์ชันควอไทล์^{[ 2 ]}การประยุกต์ใช้ทางสถิติของฟังก์ชันควอไทล์ได้รับการกล่าวถึงอย่างกว้างขวางโดย Gilchrist ^{[ 3 ]}

การจำลองแบบมอนเตคาร์โลใช้ฟังก์ชันควอนไทล์เพื่อสร้าง ตัวเลขสุ่มที่ไม่สม่ำเสมอหรือ ตัวเลขสุ่มเทียม เพื่อใช้ในการคำนวณการจำลองประเภทต่างๆ ตัวอย่างจากการกระจายที่กำหนดอาจได้รับในทางทฤษฎีโดยการใช้ฟังก์ชันควอนไทล์กับตัวอย่างจากการกระจายแบบสม่ำเสมอ ความต้องการของวิธีการจำลอง เช่น ในด้านการเงินเชิงคำนวณ สมัยใหม่ กำลังมุ่งเน้นความสนใจที่เพิ่มขึ้นในวิธีการที่ใช้ฟังก์ชันควอนไทล์ เนื่องจากวิธีการเหล่านี้ทำงานได้ดีกับ เทคนิค หลายตัวแปรที่ใช้โคปูลาหรือวิธีการกึ่งมอนเตคาร์โล^{[ 4 ]}และวิธีการมอนเตคาร์โลในด้านการเงิน

การประเมินฟังก์ชันควอนไทล์มักเกี่ยวข้องกับวิธีการเชิงตัวเลขเช่น การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล ข้างต้น ซึ่งเป็นหนึ่งในไม่กี่การแจกแจงที่ สามารถหาการแสดงออกในรูปแบบปิดได้ (การแจกแจงอื่นๆ ได้แก่ การ แจกแจงแบบเอกรูป การแจกแจงไวบูลการ แจกแจงทัมคีย์แลมบ์ดา (ซึ่งรวมถึงการแจกแจงโลจิสติก ) และการแจกแจงล็อกโลจิสติก ) เมื่อฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) มีการแสดงออกในรูปแบบปิด เราสามารถใช้อัลกอริธึมการหาค่าราก เชิงตัวเลข เช่นวิธีการแบ่งครึ่งช่วงเพื่อหาค่าผกผันของฟังก์ชันการกระจายสะสมได้เสมอ วิธีการอื่นๆ อาศัยการประมาณค่าผกผันผ่านเทคนิคการแทรกสอด^{[ 5 ] [ 6 ]} อัลกอริธึมเพิ่มเติมสำหรับการประเมินฟังก์ชันควอนไทล์มีอยู่ใน หนังสือชุด Numerical Recipesอัลกอริธึมสำหรับการแจกแจงทั่วไปถูกสร้างขึ้นในซอฟต์แวร์ทางสถิติ หลาย แพ็กเกจ วิธีการทั่วไปในการคำนวณฟังก์ชันควอนไทล์เชิงตัวเลขสำหรับคลาสการแจกแจงทั่วไปสามารถพบได้ในไลบรารีต่อไปนี้:

• ไลบรารี C UNU.RAN ^{[ 7 ]}
• ไลบรารี R Runuran ^{[ 8 ]}
• การสุ่มตัวอย่างแพ็กเกจย่อย Python ในscipy.stats ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ฟังก์ชันควอนไทล์อาจมีลักษณะเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับกรณี การแจกแจง แบบปกติแบบสตูเดนต์แบบเบตาและแบบแกมมาได้รับการกำหนดและแก้ไขแล้ว^{[ 11 ]}

การแจกแจงปกติอาจเป็นกรณีที่สำคัญที่สุด เนื่องจาก การแจกแจงปกติเป็นตระกูลตำแหน่ง-มาตราส่วน ฟังก์ชันควอนไทล์สำหรับพารามิเตอร์ใดๆ สามารถหาได้จากการแปลงอย่างง่ายของฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันโพ รบิตน่าเสียดายที่ฟังก์ชันนี้ไม่มีการแสดงในรูปแบบปิดโดยใช้ฟังก์ชันพีชคณิตพื้นฐาน ส่งผลให้มักใช้การแสดงโดยประมาณ การประมาณค่าเชิงตรรกะและพหุนามแบบผสมที่ละเอียดถี่ถ้วนได้รับการนำเสนอโดย Wichura ^{[ 12 ]}และ Acklam ^{[ 13 ]}การประมาณค่าเชิงตรรกะที่ไม่ใช่แบบผสมได้รับการพัฒนาโดย Shaw ^{[ 14 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบไม่เชิงเส้นสำหรับควอนไทล์ปกติw ( p )อาจกำหนดได้ดังนี้

$${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$$

โดยมีเงื่อนไขศูนย์กลาง (เริ่มต้น)

$${\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}$$$${\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}$$

สมการนี้สามารถแก้ได้ด้วยหลายวิธี รวมถึง วิธี อนุกรมกำลัง แบบคลาสสิก จากวิธีนี้จะสามารถพัฒนาคำตอบที่มีความแม่นยำสูงได้ตามต้องการ (ดู Steinbrecher และ Shaw, 2008)

ในอดีตกรณีนี้ถือเป็นหนึ่งในกรณีที่จัดการได้ยากที่สุด เนื่องจากมีพารามิเตอร์νซึ่งเป็นระดับความเป็นอิสระ ทำให้การใช้การประมาณค่าเชิงตรรกะและค่าประมาณอื่นๆ ทำได้ไม่สะดวก มีสูตรง่ายๆ เมื่อν = 1, 2, 4และปัญหาอาจลดลงเหลือเพียงการแก้สมการพหุนามเมื่อνเป็นจำนวนคู่ ในกรณีอื่นๆ ฟังก์ชันควอนไทล์อาจพัฒนาเป็นอนุกรมกำลังได้^{[ 15 ]}กรณีง่ายๆ มีดังต่อไปนี้:

• ν = 1 (การแจกแจงแบบโคชี ):$${\displaystyle Q(p)=\tan \left(\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\,;}$$
• v = 2 :$${\displaystyle Q(p)=2\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\,;}$$
• v = 4 :$${\displaystyle Q(p)=2\operatorname {sign} \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {q-1}}\,;}$$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \alpha =4p(1-p)}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle q={\tfrac {1}{\sqrt {\alpha }}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\right)\right)}$ , และ $${\displaystyle \operatorname {sign} x={\begin{cases}-1&{\text{ถ้า }}x<0;\\{\hphantom {-}}0&{\text{ถ้า }}x=0;\\{\hphantom {-}}1&{\text{ถ้า }}x>0.\end{cases}}}$$

ในทำนองเดียวกันกับการผสมความหนาแน่นการกระจายสามารถกำหนดเป็นการผสมควอนไทล์ได้ โดยที่, เป็นฟังก์ชันควอนไทล์ และ,เป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลอง พารามิเตอร์จะต้องถูกเลือกเพื่อให้เป็นฟังก์ชันควอนไทล์ การผสมควอนไทล์สี่พารามิเตอร์สองแบบ ได้แก่ การผสมควอนไทล์พหุนามปกติและการผสมควอนไทล์พหุนามโคชี ได้รับการนำเสนอโดย Karvanen ^{[ 16 ]}$${\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p),}$$${\displaystyle Q_{i}(p)}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle Q(p)}$

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เชิงเส้นที่กำหนดให้สำหรับการแจกแจงปกติเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ใช้ได้กับฟังก์ชันควอนไทล์ใดๆ ที่มีอนุพันธ์อันดับสองอยู่ โดยทั่วไปแล้ว สมการสำหรับควอนไทล์Q ( p )อาจกำหนดได้ดังนี้

$${\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}$$

เสริมด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม โดยที่

$${\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)}$$

และf ( x )คือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น รูปแบบของสมการนี้ และการวิเคราะห์แบบคลาสสิกโดยใช้ชุดอนุกรมและคำตอบเชิงอะซิมโทติก สำหรับกรณีของการแจกแจงแบบปกติ แบบสตูเดนต์ แบบแกมมา และแบบเบตา ได้รับการอธิบายโดย Steinbrecher และ Shaw (2008) คำตอบดังกล่าวให้เกณฑ์มาตรฐานที่แม่นยำ และในกรณีของแบบสตูเดนต์ ชุดอนุกรมที่เหมาะสมสำหรับการใช้งาน Monte Carlo แบบเรียลไทม์

• การสุ่มตัวอย่างการแปลงผกผัน
• จุดเปอร์เซ็นต์
• การแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็น
• ควอนไทล์
• การกระจายขนาดลำดับ

• Abernathy, Roger W. และ Smith, Robert P. (1993) * "การประยุกต์ใช้การขยายอนุกรมกับการแจกแจงเบตาผกผันเพื่อหาเปอร์เซ็นไทล์ของการแจกแจง F" , ACM Trans. Math. Softw. , 9 (4), 478–480 doi : 10.1145/168173.168387
• การปรับปรุงควอนไทล์ปกติ
• วิธีการใหม่ในการจัดการการแจกจ่าย T ของ "นักเรียน"
• ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles