การสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผัน (หรือที่รู้จักกันในชื่อการสุ่มตัวอย่างแบบผกผันการแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็นผกผันวิธีการแปลงผกผันหรือการแปลงSmirnov ) เป็นวิธีการพื้นฐานสำหรับการสุ่มตัวอย่างตัวเลขสุ่มเทียม กล่าวคือ สำหรับการ สร้าง ตัวเลขตัวอย่างแบบสุ่มจากฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น ใดๆ โดยกำหนดฟังก์ชันการกระจายสะสม

การสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผัน (Inverse transformation sampling) จะสุ่มตัวอย่างแบบสม่ำเสมอด้วยตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ซึ่งตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็น แล้วส่งคืนตัวเลขที่เล็กที่สุดที่ทำให้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มนั้นเป็นจริง ตัวอย่างเช่น สมมติว่า คือ การแจกแจงปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่ง ตารางด้านล่างแสดงตัวอย่างที่ได้จากการแจกแจงแบบสม่ำเสมอและการแสดงผลบนการแจกแจงปกติมาตรฐาน ${\displaystyle u}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle F(x)\geq u}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

การเปลี่ยนจากตัวอย่างที่เป็นเนื้อเดียวกันไปเป็นปกติ

${\displaystyle u}$	${\displaystyle F^{-1}(u)}$
0.5	0
0.975	1.95996
0.995	2.5758
.999999	4.75342
1-2 −52	8.12589

เราสุ่มเลือกสัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง และส่งคืนค่าตัวเลขในโดเมน โดยที่สัดส่วนของพื้นที่นั้นจะปรากฏอยู่ทางด้านซ้ายของตัวเลขที่เลือกไว้ โดยสัญชาตญาณแล้ว เราไม่น่าจะเลือกตัวเลขที่อยู่ปลายสุดของเส้นโค้ง เพราะมีพื้นที่น้อยมาก ซึ่งจะทำให้ต้องเลือกตัวเลขที่ใกล้เคียงกับศูนย์หรือหนึ่งมาก

ในเชิงการคำนวณ วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจง — กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของการแจกแจง (ซึ่งแปลงตัวเลขในโดเมนเป็นความน่าจะเป็นระหว่าง 0 ถึง 1) แล้วจึงหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันนั้น นี่คือที่มาของคำว่า "ผกผัน" หรือ "การกลับด้าน" ในชื่อส่วนใหญ่ของวิธีนี้ โปรดทราบว่าสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องการคำนวณ CDF โดยทั่วไปไม่ใช่เรื่องยากเกินไป: เราเพียงแค่บวกความน่าจะเป็นแต่ละจุดของการแจกแจงเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องเราจำเป็นต้องหาปริพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจง ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะทำได้โดยวิธีวิเคราะห์สำหรับหลายๆ การแจกแจง (รวมถึงการแจกแจงปกติ ) ด้วยเหตุนี้ วิธีนี้อาจไม่มีประสิทธิภาพในการคำนวณสำหรับหลายๆ การแจกแจง และอาจนิยมใช้วิธีอื่นๆ มากกว่า อย่างไรก็ตาม วิธีนี้เป็นวิธีที่มีประโยชน์สำหรับการสร้างตัวสุ่มตัวอย่างที่ใช้งานได้ทั่วไปมากขึ้น เช่น ตัวสุ่มตัวอย่างที่ใช้การ สุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธ

สำหรับการแจกแจงปกติการขาดการแสดงออกเชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันควอนไทล์ที่สอดคล้องกันหมายความว่าวิธีการอื่น ๆ (เช่นการแปลง Box–Muller ) อาจเป็นที่ต้องการมากกว่าในเชิงการคำนวณ บ่อยครั้งที่แม้แต่สำหรับการแจกแจงแบบง่าย ๆ วิธีการสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผันก็สามารถปรับปรุงได้^{[ 1 ]}ดูตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมซิกกูแรตและการสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธ ในทางกลับกัน เป็นไปได้ที่จะประมาณฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงปกติได้อย่างแม่นยำมากโดยใช้พหุนามระดับปานกลาง และในความเป็นจริงวิธีการทำเช่นนี้เร็วพอที่การสุ่มตัวอย่างแบบผกผันจะ ^เป็นวิธีการเริ่มต้นสำหรับการสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงปกติในแพ็คเกจทางสถิติR [ ^{2 ]}

สำหรับตัวแปรสุ่ม ใดๆ บนตัวแปรสุ่มจะมีการกระจายแบบเดียวกันกับโดยที่คือผกผันทั่วไปของฟังก์ชันการกระจายสะสมของและเป็นแบบเอกรูปบน^{[ 3 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{X}^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}^{-1}}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [0,1]}$

สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง การแปลงอินทิก รัลความน่าจะเป็นผกผันนั้นแท้จริงแล้วคือส่วนกลับของการแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็นซึ่งระบุว่าสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ที่มีฟังก์ชันการกระจายสะสมตัวแปรสุ่มนั้นจะเป็นแบบเอกรูป บน${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle U=F_{X}(X)}$${\displaystyle [0,1]}$

จากนั้นเราต้องการสร้างด้วยฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF)เราสมมติว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่เพิ่มขึ้น อย่างเคร่งครัด ซึ่งช่วยให้เข้าใจได้ง่าย ${\displaystyle U\sim \mathrm {Unif} [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}(x).}$${\displaystyle F_{X}(x)}$

เราต้องการตรวจสอบว่าเราสามารถหาการแปลงแบบโมโนโทนอย่างเคร่งครัดได้หรือไม่ เช่นเราจะมี ${\displaystyle T:[0,1]\mapsto \mathbb {R} }$${\displaystyle T(U){\overset {d}{=}}X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\Pr(T(U)\leq x)=\Pr(U\leq T^{-1}(x))=T^{-1}(x),{\text{ สำหรับ }}x\in \mathbb {R} ,}$

โดยขั้นตอนสุดท้ายใช้เมื่อเป็นแบบสม่ำเสมอบน. ${\displaystyle \Pr(U\leq y)=y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [0,1]}$

ดังนั้น เราจึงต้องเป็นฟังก์ชันผกผันของหรือเทียบเท่ากับ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(u)=F_{X}^{-1}(u),u\in [0,1].}$

ดังนั้น เราจึงสามารถสร้างจาก${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}^{-1}(U).}$

ปัญหาที่วิธีการสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผันช่วยแก้ไขมีดังนี้:

• ให้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายตัวตามฟังก์ชันการกระจายสะสม${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}}$
• เราต้องการสร้างค่าต่างๆ ที่มีการกระจายตัวตามการแจกแจงนี้${\displaystyle X}$

วิธีการสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผันทำงานดังนี้:

1. สร้างเลขสุ่ม จาก1การแจกแจงเอกรูปมาตรฐานในช่วงเช่น จาก${\displaystyle u}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle U\sim \mathrm {Unif} [0,1].}$
2. หาอินเวอร์สทั่วไปของฟังก์ชันการกระจายสะสมที่ต้องการ นั่นคือ${\displaystyle F_{X}^{-1}(u)}$
3. คำนวณตัวแปรสุ่มที่คำนวณได้จะมีการกระจายตัวแบบเดียวกันกับ และด้วยเหตุนี้จึงมีกฎการกระจายตัวแบบเดียวกันกับ${\displaystyle X'(u)=F_{X}^{-1}(u)}$${\displaystyle X'(U)}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อกำหนดฟังก์ชันการกระจายสะสมและตัวแปรสม่ำเสมอตัวแปรสุ่มจะมีการกระจาย^{[ 3 ]}${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle U\in [0,1]}$${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(U)}$${\displaystyle F_{X}}$

ในกรณีต่อเนื่อง การปฏิบัติต่อฟังก์ชันผกผันดังกล่าวในฐานะวัตถุที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามารถทำได้^{[ 4 ]}สมการเชิงอนุพันธ์บางสมการยอมรับ คำตอบ อนุกรมกำลัง ที่ชัดเจน แม้ว่าจะไม่เชิงเส้นก็ตาม^{[ 5 ]}

• ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่มและฟังก์ชันการกระจายสะสม${\displaystyle U\sim \mathrm {Unif} (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=1-\exp(-{\sqrt {x}})\end{aligned}}}$

เพื่อทำการผกผัน เราต้องการหาคำตอบสำหรับ${\displaystyle F(F^{-1}(u))=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(F^{-1}(u))&=u\\1-\exp \left(-{\sqrt {F^{-1}(u)}}\right)&=u\\F^{-1}(u)&=(-\log(1-u))^{2}\\&=(\log(1-u))^{2}\end{aligned}}}$

จากตรงนี้ เราจะดำเนินการตามขั้นตอนที่หนึ่ง สอง และสาม

• อีกตัวอย่างหนึ่ง เราใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยที่x ≥ 0 (และ 0 ในกรณีอื่น ๆ) โดยการแก้สมการ y=F(x) เราจะได้ฟังก์ชันผกผัน${\displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-\lambda x}}$

${\displaystyle x=F^{-1}(y)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-y).}$

หมายความว่า ถ้าเราสุ่มตัวอย่างบางส่วนจาก a แล้วคำนวณ ผลลัพธ์ ที่ได้จะมีการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle U\sim \mathrm {Unif} (0,1)}$${\displaystyle x_{0}=F_{X}^{-1}(y_{0})=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-y_{0}),}$${\displaystyle x_{0}}$

แนวคิดนี้แสดงให้เห็นได้ในกราฟต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าการแจกแจงจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราเริ่มต้นด้วย 1-y แทนที่จะเป็น y ดังนั้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการคำนวณ จึงเพียงพอที่จะสร้างตัวเลขสุ่ม y ในช่วง [0, 1] แล้วคำนวณค่าออกมา

${\displaystyle x=F^{-1}(y)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(y).}$

ให้เป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมและให้เป็นฟังก์ชันผกผันทั่วไป (โดยใช้ค่าต่ำสุดเนื่องจาก CDF เป็นแบบโมโนโทนิกอ่อนและต่อเนื่องทางขวา ): ^{[ 6 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{-1}}$

${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf \;\{x\mid F(x)\geq u\}\qquad (0<u<1).}$

ข้ออ้าง:ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มเอกรูปบนแล้วจะมีเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของมัน ${\displaystyle U}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle F^{-1}(U)}$${\displaystyle F}$

การพิสูจน์:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(F^{-1}(U)\leq x)\\&{}=\Pr(U\leq F(x))\quad &(F{\text{ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวา ดังนั้น }}\{u:F^{-1}(u)\leq x\}=\{u:u\leq F(x)\})\\&{}=F(x)\quad &({\text{เนื่องจาก }}\Pr(U\leq u)=u,{\text{ เมื่อ }}U{\text{ เป็นฟังก์ชันเอกรูปบน }}[0,1])\\\end{aligned}}}$

การสุ่มตัวอย่างแบบแปลงผกผันสามารถขยายไปยังกรณีของการแจกแจงแบบตัดทอนในช่วงได้ อย่างง่ายดาย โดยไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายในการสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธ: สามารถใช้อัลกอริทึมเดียวกันได้ แต่แทนที่จะสร้างตัวเลขสุ่มที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอระหว่าง 0 และ 1 ให้สร้างตัวเลขสุ่มที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอระหว่างและจากนั้นจึงเลือกอีกครั้ง ${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle F(a)}$${\displaystyle F(b)}$${\displaystyle F^{-1}(u)}$

เพื่อให้ได้ตัวอย่างจำนวนมาก จำเป็นต้องทำการผกผันการแจกแจงจำนวนเท่ากัน วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการลดจำนวนการผกผันในขณะที่ได้ตัวอย่างจำนวนมากคือการประยุกต์ใช้ตัวสุ่มแบบมอนเตคาร์โลแบบการจัดเรียงแบบสุ่ม (SCMC sampler) ภายใน กรอบการขยาย ความโกลาหลพหุนามซึ่งช่วยให้เราสามารถสร้างตัวอย่างมอนเตคาร์โลจำนวนเท่าใดก็ได้ด้วยการผกผันการแจกแจงดั้งเดิมเพียงไม่กี่ครั้งด้วยตัวอย่างอิสระของตัวแปรที่สามารถผกผันได้โดยการวิเคราะห์ เช่น ตัวแปรปกติมาตรฐาน^{[ 7 ]}

มีการใช้งานซอฟต์แวร์สำหรับการประยุกต์ใช้วิธีการสุ่มตัวอย่างแบบผกผันโดยใช้การประมาณเชิงตัวเลขของค่าผกผันในกรณีที่ไม่มีอยู่ในรูปแบบปิด ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณค่าประมาณของค่าผกผันได้หากผู้ใช้ให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับการกระจาย เช่น PDF ^{[ 8 ]}หรือ CDF

• ไลบรารี C UNU.RAN ^{[ 9 ]}
• ไลบรารี R Runuran ^{[ 10 ]}
• การสุ่มตัวอย่างแพ็กเกจย่อย Python ในscipy.stats ^{[ 11 ] [ 12 ]}

• การแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็น
• โคปูลา (Copula ) ถูกกำหนดโดยใช้การแปลงอินทิกรัลความน่าจะเป็น
• ฟังก์ชันควอนไทล์สำหรับการสร้างฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผันอย่างชัดเจน
• ฟังก์ชันการแจกแจงผกผันสำหรับนิยามทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำของการแจกแจงที่มีส่วนประกอบแบบไม่ต่อเนื่อง
• การสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธ (Rejection sampling)เป็นอีกเทคนิคหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปในการสร้างตัวแปรสุ่มที่ไม่ต้องอาศัยการผกผันของฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF)