บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

แกมมา
ฟังก์ชันแกมมาตามส่วนหนึ่งของแกนจริง
ข้อมูลทั่วไป
คำจำกัดความทั่วไป	${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$
ขอบเขตการประยุกต์ใช้	แคลคูลัส, การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, สถิติ, ฟิสิกส์

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันแกมมา (แทนด้วย⁠ ⁠ ซึ่ง ${\displaystyle \Gamma }$เป็นอักษรกรีกตัวใหญ่) เป็นส่วนขยายที่พบได้บ่อยที่สุดของฟังก์ชันแฟกทอเรียลไป ยัง จำนวนเชิงซ้อนแดเนียล เบอร์นูลลี เป็นผู้ศึกษา ฟังก์ชันแกมมาเป็นครั้งแรก โดยนิยามของฟังก์ชันนี้สำหรับจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก และสำหรับจำนวนเต็มบวก ทุกจำนวน ⁠ ⁠ฟังก์ชันแกมมาสามารถนิยามได้โดยใช้ปริพันธ์ไม่เหมาะสมลู่เข้าสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวก: จากนั้นฟังก์ชันแกมมาจะถูกนิยามในระนาบเชิงซ้อนเป็นการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันปริพันธ์นี้: มันเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกซึ่งเป็นฟังก์ชันโฮโลเมอร์ฟิกยกเว้น ที่ศูนย์และจำนวนเต็มลบ ซึ่งมีขั้ว เดี่ยว${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\ \qquad \Re (z)>0.}$$

เนื่องจากฟังก์ชันแกมมาไม่มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นส่วนกลับของฟังก์ชัน แกมมา จึงเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ที่จริงแล้ว ฟังก์ชันแกมมาสอดคล้องกับการแปลงเมลลินของการลดลงแบบเอกซ์ponential : ${\displaystyle {\frac {1}{\แกมมา }}}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลยังมีรูปแบบอื่น ๆอีก แต่ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันที่ได้รับความนิยมและมีประโยชน์มากที่สุด โดยปรากฏเป็นตัวประกอบในฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นต่างๆ และสูตรอื่นๆ ในสาขาความน่าจะเป็นสถิติทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์และคณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียง

ฟังก์ชันแกมมาสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีแก้ ปัญหา การแทรกสอดของการหาเส้นโค้งเรียบ ที่เชื่อมต่อจุดของลำดับแฟกทอเรียล: สำหรับค่าจำนวนเต็มบวกทั้งหมดของ⁠ ⁠สูตรง่ายๆ สำหรับแฟกทอเรียลใช้ได้เฉพาะเมื่อเป็นจำนวนเต็มบวก และไม่มีฟังก์ชันพื้นฐานใดที่มีคุณสมบัตินี้ แต่ฟังก์ชันแกมมาเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ดี⁠ ⁠ ^{[ 1 ]}${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x!=1\cdot 2\cdot 3\cdots x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

ฟังก์ชันแกมมาไม่เพียงแต่เรียบ แต่ยังเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (ยกเว้นที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก) และสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนหลายวิธี อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์เพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล เนื่องจากเราอาจเพิ่มฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆ ที่เป็นศูนย์บนจำนวนเต็มบวก เช่นสำหรับจำนวนเต็ม⁠ ⁠ ^{[ 1 ]}ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันซูโดแกมมาซึ่งฟังก์ชันที่มีชื่อเสียงที่สุดคือฟังก์ชันฮาดามาร์ด^{[ 2 ]}${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$${\displaystyle m}$

ข้อกำหนดที่เข้มงวดกว่าคือสมการเชิงฟังก์ชันที่แทรกค่าแฟกทอเรียลที่เลื่อน⁠ ⁠${\displaystyle f(n)=(n-1)!}$ : ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ สำหรับทุก }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

แต่ วิธีนี้ก็ยังไม่ให้คำตอบที่เฉพาะเจาะจง เนื่องจากอนุญาตให้คูณด้วยฟังก์ชัน คาบใด ๆ ก็ได้ที่มีและเช่น${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$${\displaystyle g(0)=1}$${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$

วิธีหนึ่งในการแก้ไขความกำกวมคือทฤษฎีบท Bohr–Mollerupซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นฟังก์ชันการแทรกสอดที่ไม่ซ้ำกันสำหรับแฟกทอเรียล ซึ่งกำหนดไว้เหนือจำนวนจริงบวก ซึ่งมีความนูนเชิงลอการิทึม [ ^{5 ] หมายความ}ว่ามีความนูน^{[ 6 ]}${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$${\displaystyle y=\log f(x)}$

สัญลักษณ์นี้มาจากเลอจองเดอร์ [ ^{1 ] ถ้า}ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ( ⁠ ⁠ ) แล้วอินทิกรัลจะลู่เข้าสัมบูรณ์และเรียกว่าอินทิกรัลออยเลอร์ชนิดที่สอง (อินทิกรัลออยเลอร์ชนิดแรกคือฟังก์ชันเบตา^{[ 1 ]} ) ${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re (z)>0}$$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

สามารถคำนวณค่า ได้ดังนี้${\displaystyle \Gamma (1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1.\end{aligned}}}$$

เมื่อทำการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนจะเห็นได้ว่าเมื่อพิจารณาว่าเป็น⁠ ⁠ (ตราบใดที่⁠ ⁠ ) และเป็น⁠ ⁠ ,$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\[6pt]&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }z\,t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$${\displaystyle t\to 0}$${\displaystyle \Re (z)>0}$${\displaystyle t\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\[6pt]&=z\,\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

ดังนั้น เราจึงแสดงให้เห็นแล้วว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ โดยใช้วิธีการอุปนัย ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$

เอกลักษณ์นี้สามารถใช้ได้ (หรือการ ใช้การขยาย เชิงวิเคราะห์ ซึ่งให้ผลลัพธ์เดียวกัน ) เพื่อขยายสูตรอินทิกรัลสำหรับฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่ไม่ซ้ำกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นจำนวนเต็มที่น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์^{[ 1 ]} เวอร์ชันที่ขยายนี้มักเรียกว่าฟังก์ชันแกมมา^{[ 1 ]}${\textstyle z\Gamma (z)=\Gamma (z+1)}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle z}$

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายอย่าง

สำหรับจำนวนเต็มคงที่เมื่อจำนวนเต็ม${\displaystyle m}$เพิ่มขึ้น เราจะได้ว่า^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

ถ้าไม่ใช่จำนวนเต็ม สมการนี้จะไม่มีความหมาย เนื่องจากในส่วนนี้ยังไม่ได้นิยามแฟกทอเรียลของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะนิยามฟังก์ชันแกมมาสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เราจะสมมติว่าสมการนี้ยังคงเป็นจริงเมื่อแทนที่ ด้วยจำนวนเชิงซ้อนใดๆก็ตาม:${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$ การคูณทั้งสองข้างด้วย จะได้ ผลคูณอนันต์นี้ซึ่งเป็นผลมาจากออยเลอร์^{[ 8 ]}ลู่เข้าสำหรับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ยกเว้นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก ซึ่งล้มเหลวเนื่องจากการหารด้วยศูนย์ อัน ที่จริง สมมติฐานข้างต้นสร้างคำจำกัดความที่ไม่ซ้ำกันของเป็น⁠ ⁠${\displaystyle (z-1)!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1)!&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[6pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdot 2\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[6pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle (z-1)!}$

โดยสัญชาตญาณ สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นผลลัพธ์โดยประมาณของการคำนวณสำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่บางจำนวนคูณด้วยเพื่อประมาณค่าและจากนั้นใช้ความสัมพันธ์ย้อนกลับไปหลายครั้งเพื่อให้ได้ค่าประมาณสำหรับและยิ่งไปกว่านั้น ค่าประมาณนี้จะแม่นยำมากขึ้นเมื่อnเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ ${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)^{z}}$${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \Gamma (z)}$

ผลคูณอนันต์ของส่วนกลับ เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ ซึ่ง ลู่ เข้าสำหรับจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวน$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$${\displaystyle z}$

นิยามของฟังก์ชันแกมมาเนื่องจากไวเออร์สตรัสยังใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด  ยกเว้นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก: โดยที่คือ ค่า คงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี [ ^{1 ] นี่}คือผลคูณฮาดามาร์ดของในรูปแบบที่เขียนใหม่ ${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$

นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นแล้วสมการเชิงฟังก์ชันที่สำคัญอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันแกมมา ได้แก่สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ซึ่งบ่งชี้ถึง และสูตรการทำซ้ำของเลอจองเดอร์$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z).}$$$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}$$$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z).}$$

สูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทการคูณ (ดู  ^{[ 9 ]}สมการ 5.5.6): $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

คุณสมบัติที่เรียบง่ายแต่มีประโยชน์ ซึ่งสามารถเห็นได้จากนิยามของลิมิต คือ: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ⁠ ⁠${\displaystyle z=a+bi}$ผลิตภัณฑ์นี้คือ $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

ถ้าส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มหรือครึ่งจำนวนเต็มจะสามารถแสดงออกมาในรูปปิด ได้โดยใช้จำนวนจำกัด : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

ค่าที่รู้จักกันดีที่สุดของฟังก์ชันแกมมาสำหรับตัวแปรที่ไม่ใช่จำนวนเต็มคือ ซึ่งสามารถหาได้โดยการกำหนดค่าในสูตรการสะท้อน โดยใช้ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเบตาที่กำหนดไว้ด้านล่างด้วยหรือเพียงแค่แทนที่ในนิยามอินทิกรัลของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งจะได้อินทิกรัลแบบเกาส์เซียนโดยทั่วไป สำหรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของเราจะได้: โดยที่ คือ แฟกทอเรี ยลคู่ดูค่าเฉพาะของฟังก์ชันแกมมาสำหรับค่าที่คำนวณ ได้$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle t=u^{2}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}\,n!\,{\sqrt {\pi }}\\[6pt]\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}\,n!}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

อาจเป็นเรื่องน่าสนใจที่จะสรุปผลลัพธ์โดยการมองหาสูตรสำหรับค่าแต่ละค่าอื่น ๆที่เป็นจำนวนตรรกยะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะตามทฤษฎีบทไดแกมมาของเกาส์เป็นไปได้ที่จะทำเช่นนั้นสำหรับฟังก์ชันไดแกมมา ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ที่ค่าตรรกยะทุกค่า อย่างไรก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้ ไม่เป็นที่ทราบกันว่าสามารถแสดงได้ ^ด้วยตัวเองในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า^{เป็นจำนวนอดิศัยและเป็นอิสระทางพีชคณิตจาก สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ และเศษส่วนแต่ละค่า [ 10} ] โดยทั่วไปเมื่อคำนวณค่าของ^{ฟังก์ชัน}แกมมาเราต้องยอมรับการประมาณค่าเชิงตัวเลข ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle \Gamma (n+r)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมาอธิบายได้โดยใช้ฟังก์ชันพหุแกมมา:${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)}$สำหรับจำนวนเต็มบวก อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมาสามารถคำนวณ ได้ดังนี้: $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ โดยที่คือเลขฮาร์มอนิกที่และคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี ${\displaystyle H(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

อนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชันแกมมาคือ: (สามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของรูปแบบอินทิกรัลของฟังก์ชันแกมมาเทียบกับ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle \Re (z)>0}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$${\displaystyle z}$

โดยใช้เอกลักษณ์ที่คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และคือพหุนามเบลล์ลำดับ ที่ เราจะได้การขยาย อนุกรมลอเรนต์ของฟังก์ชันแกมมาโดยเฉพาะ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\,\zeta (n)),}$$${\displaystyle \zeta (z)}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

เมื่อจำกัดให้อยู่ในขอบเขตของจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันแกมมาจะเป็นฟังก์ชันนูนเชิงลอการิทึม อย่างเคร่งครัด คุณสมบัตินี้สามารถระบุได้ในสามวิธีที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้:

• สำหรับจำนวนจริงบวกสองจำนวนใดๆและ⁠ ⁠และสำหรับ⁠ ⁠ ใด ๆ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$$${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• สำหรับจำนวนจริงบวกสองจำนวนใดๆและ⁠ ⁠และ>${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ ,$${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

ข้อความสุดท้ายนี้ โดยพื้นฐานแล้วตามนิยามแล้วเหมือนกับข้อความที่ว่า⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$โดยที่คือฟังก์ชันพหุแกมมาอันดับ 1 ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความนูนเชิงลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมา จึงเพียงพอที่จะสังเกตว่ามีการแสดงในรูปอนุกรม ซึ่งสำหรับจำนวนจริงบวกxจะประกอบด้วยพจน์บวกเท่านั้น ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

ความนูนเชิงลอการิทึมและอสมการของเจนเซนร่วมกันบ่งชี้ว่า สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ , $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

นอกจากนี้ยังมีขอบเขตจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันแกมมา ขอบเขตจำกัดที่รู้จักกันดีที่สุดคืออสมการของเกาต์ชีซึ่งกล่าวว่าสำหรับจำนวนจริงบวกx ใดๆ และs ∈ (0, 1)ใด ๆ$${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

พฤติกรรมของ ตัวแปรจริงบวกที่เพิ่มขึ้น นั้นกำหนดโดยสูตรของสเตอร์ลิงโดยที่สัญลักษณ์^หมาย ถึงการลู่เข้าแบบเชิงเส้น กำกับ : อัตราส่วนของทั้งสองข้างลู่เข้าสู่ในลิมิต^[ 1 ^] การเติบโต นี้ เร็วกว่าแบบเลขชี้กำลังสำหรับค่าคงที่ใดๆของ${\displaystyle \Gamma (x)}$$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \textstyle x\to +\infty }$${\displaystyle \exp(\beta x)}$${\displaystyle \beta }$

ขีดจำกัดที่มีประโยชน์อีกประการหนึ่งสำหรับการประมาณเชิงอะซิมโทติกคือ:${\displaystyle x\to +\infty }$$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

เมื่อเขียนเทอมข้อผิดพลาดเป็นผลคูณอนันต์ สามารถใช้สูตรของสเตอร์ลิงเพื่อกำหนดฟังก์ชันแกมมาได้: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right].}$$

แม้ว่าคำจำกัดความหลักของฟังก์ชันแกมมา—ปริพันธ์ออยเลอร์ชนิดที่สอง—จะใช้ได้เฉพาะ (บนแกนจริง) สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกเท่านั้น แต่โดเมนของมันสามารถขยายได้ด้วยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์^{[ 13 ]}ไปยังอาร์กิวเมนต์ที่เป็นลบโดยการเลื่อนอาร์กิวเมนต์ที่เป็นลบไปเป็นค่าบวกโดยใช้สูตรการสะท้อนของออยเลอร์หรือคุณสมบัติพื้นฐานเมื่อ⁠ ⁠ตัวอย่างเช่น$${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$$${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

พฤติกรรมสำหรับค่าที่ไม่เป็นบวกมีความซับซ้อนมากขึ้น อินทิกรัลของออยเลอร์ไม่ลู่เข้าสำหรับ⁠ ⁠แต่ฟังก์ชันที่กำหนดในระนาบครึ่งเชิงซ้อนบวกมีการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ที่ไม่ซ้ำกันไปยังระนาบครึ่งลบ วิธีหนึ่งในการหาการต่อขยายเชิงวิเคราะห์นั้นคือการใช้อินทิกรัลของออยเลอร์สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและขยายโดเมนไปยังจำนวนลบโดยการประยุกต์ใช้สูตรเวียนเกิดซ้ำ^{[ 1 ]}โดยเลือกให้ มี ค่าเป็นบวก ผลคูณในตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อเท่ากับจำนวนเต็มใดๆ⁠ ⁠ดังนั้นฟังก์ชันแกมมาจะต้องไม่นิยามที่จุดเหล่านั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์มันเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกที่มีขั้วแบบง่ายที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก^{[ 1 ]}${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle z+n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนณจุดขั้วเดี่ยวค่าตกค้างของฟังก์ชันจะกำหนดโดย:${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

สำหรับขั้วเดี่ยว⁠ ⁠${\displaystyle z=-n}$สูตรเวียนเกิดสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ตัวเศษที่⁠ ⁠คือและตัวส่วนดังนั้นเศษเหลือของฟังก์ชันแกมมาที่จุดเหล่านั้นคือ: ^{[ 14 ]}ฟังก์ชันแกมมาไม่เป็นศูนย์ทุกที่ตามเส้นจำนวนจริง แม้ว่าจะเข้าใกล้ศูนย์อย่างไม่จำกัดเมื่อ⁠ ⁠ก็ตามในความเป็นจริงไม่มีจำนวนเชิงซ้อนใดที่⁠ ⁠และด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันแกมมาผกผันจึงเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์โดยมีศูนย์ที่⁠ ⁠ ^{[ 1 ]}$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$${\displaystyle z=-n}$$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (z)=0}$${\textstyle {\dfrac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

บนเส้นจริง ฟังก์ชันแกมมามีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่z _min = +1.46163 21449 68362 34126... ^{[ 15 ]}ซึ่งมีค่าΓ( z _min ) = +0.88560 31944 10888 70027... [ ^{16 ] ฟังก์ชัน}แกมมาจะเพิ่มขึ้นไปทางด้านใดด้านหนึ่งของค่าต่ำสุดนี้ คำตอบของΓ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5)คือz = +1.5และค่าร่วมคือΓ(1) = Γ(2) = +1 คำตอบเชิงบวกของΓ( z − 1) = Γ( z + 1)คือz = φ ≈ +1.618ซึ่งเป็นอัตราส่วนทองคำและค่าทั่วไปคือΓ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! = +1.44922 96022 69896 60037... . ^{[ 17 ]}

ฟังก์ชันแกมมาต้องสลับเครื่องหมายระหว่างขั้วที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก เนื่องจากผลคูณในความสัมพันธ์เวียนเกิดไปข้างหน้าประกอบด้วยตัวประกอบลบจำนวนคี่หากจำนวนขั้วระหว่างและเป็นจำนวนคี่ และจำนวนคู่หากจำนวนขั้วเป็นจำนวนคู่^{[ 14 ]} ค่าที่จุดสุดขีดเฉพาะที่ของฟังก์ชันแกมมาตามแกนจริงระหว่างจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกมีดังนี้: ${\displaystyle z}$${\displaystyle z+n}$

Γ( −0.50408 30082 64455 40925... ^{[ 18 ]} ) = −3.54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1.57349 84731 62390 45877... ^{[ 19 ]} ) = 2.30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2.61072 08684 44144 65000... ^{[ 20 ]} ) = −0.88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3.63529 33664 36901 09783... ^{[ 21 ]} ) = 0.24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4.65323 77617 43142 44171... ^{[ 22 ]} ) = −0.05277 96395 87319 40076...ฯลฯ

นอกจากอินทิกรัลออยเลอร์ชนิดที่สองแล้ว ยังมีสูตรอีกมากมายที่แสดงฟังก์ชันแกมมาในรูปอินทิกรัล ตัวอย่างเช่น เมื่อส่วนจริงของเป็นบวก^{[ 23 ]}และ^{[ 24 ]} โดยที่อินทิกรัลทั้งสามนั้นได้มาจากการแทนที่⁠ ⁠ , ^{[ 25 ]}และ^{[ 26 ]}ในอินทิกรัลที่สองของออยเลอร์ตามลำดับ อินทิกรัลสุดท้ายโดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันแกมมาที่อาร์กิวเมนต์ครึ่งจำนวนเต็มกับอินทิกรัลเกาส์เซียน ได้อย่างชัดเจน : ถ้าเราได้${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$$${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$${\displaystyle t=e^{-x}}$${\displaystyle t=-\log x}$${\displaystyle t=cx^{2}}$${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$$${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

สูตรอินทิกรัลแรกของ Binet สำหรับฟังก์ชันแกมมาระบุว่า เมื่อส่วนจริงของzเป็นบวกแล้ว: ^{[ 27 ]}อินทิกรัลทางด้านขวามืออาจตีความได้ว่าเป็นการแปลงลาปลาสนั่นคือ$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

สูตรอินทิกรัลที่สองของ Binet ระบุว่า เมื่อส่วนจริงของzเป็นบวกอีกครั้ง: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$