ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืด ออกได้มาจากการแทรกกฎกำลัง เศษส่วน ลงในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในการใช้งานส่วนใหญ่ ฟังก์ชันนี้จะมีความหมายเฉพาะสำหรับอาร์กิวเมนต์tระหว่าง 0 และ +∞ เท่านั้น เมื่อβ = 1จะได้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบปกติกลับคืนมา เมื่อเลขชี้กำลังการยืดออกβระหว่าง 0 และ 1 กราฟของ log  fเทียบกับtจะถูกยืดออก อย่างมีลักษณะเฉพาะ ดังนั้นจึงเป็นที่มาของชื่อฟังก์ชันนี้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบบีบอัด (เมื่อβ > 1 ) มีความสำคัญในทางปฏิบัติน้อยกว่า โดยมีข้อยกเว้นที่น่าสังเกตคือβ = 2ซึ่งให้การกระจายแบบปกติและการผ่อนคลายเลขชี้กำลังแบบบีบอัดในพลวัตของของแข็งอสัณฐาน^{[ 1 ]}$${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta }}}$$

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลแบบยืดขยาย (stretched exponential) ยังรู้จักกันในชื่อ การแจกแจงไวบูล สะสมเสริม (complementary cumulative Weibull distribution ) นอกจากนี้ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลแบบยืดขยายยังเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือการแปลงฟูริเยร์ (Fourier transform ) ของการแจกแจงอัลฟาเสถียรแบบสมมาตรเลวี (Lévy symmetric alpha-stable distribution )

ในฟิสิกส์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืด (stretched exponential function) มักถูกใช้เป็นคำอธิบายเชิงปรากฏการณ์ของการผ่อนคลายในระบบที่ไม่เป็นระเบียบRudolf Kohlrausch เป็นผู้นำเสนอฟังก์ชันนี้เป็นครั้งแรก ในปี 1854 เพื่ออธิบายการคายประจุของตัวเก็บประจุ^{[ 2 ]}ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน Kohlrauschในปี 1970 G. Williams และ DC Watts ใช้การแปลงฟูริเยร์ของเลขชี้กำลังแบบยืดเพื่ออธิบายสเปกตรัมไดอิเล็กทริกของพอลิเมอร์^{[ 3 ]}ในบริบทนี้ เลขชี้กำลังแบบยืดหรือการแปลงฟูริเยร์ของมันก็เรียกว่าฟังก์ชัน Kohlrausch–Williams–Watts (KWW)ฟังก์ชัน Kohlrausch–Williams–Watts (KWW) สอดคล้องกับการตอบสนองประจุในโดเมนเวลาของแบบจำลองไดอิเล็กทริกหลัก เช่นสมการ Cole–Cole สม การCole–Davidsonและการผ่อนคลาย Havriliak–Negamiสำหรับอาร์กิวเมนต์เวลาขนาดเล็ก^{[ 4 ]}

ในการประยุกต์ใช้เชิงปรากฏการณ์ มักจะไม่ชัดเจนว่าควรใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืดหยุ่นเพื่ออธิบายฟังก์ชันการกระจายเชิงอนุพันธ์หรือเชิงปริพันธ์ หรือไม่ใช้ทั้งสองอย่าง ในแต่ละกรณี จะได้การลดลงแบบเชิงเส้นกำกับที่เหมือนกัน แต่ได้ค่าสัมประสิทธิ์กำลังที่แตกต่างกัน ซึ่งทำให้การปรับให้เข้ากับข้อมูลมีความกำกวมมากกว่าเลขชี้กำลังแบบง่าย ในบางกรณี^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}สามารถแสดงได้ว่าการลดลงแบบเชิงเส้นกำกับเป็นเลขชี้กำลังแบบยืดหยุ่น แต่ค่าสัมประสิทธิ์มักจะเป็นกำลังที่ไม่เกี่ยวข้องกัน

ตามการตีความทางกายภาพทั่วไป เราตีความตัวแปรฟังก์ชันtว่าเป็นเวลา และf _β ( t ) คือการกระจายเชิงอนุพันธ์ พื้นที่ใต้เส้นโค้งจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นเวลา การผ่อนคลายเฉลี่ย โดยที่Γคือฟังก์ชันแกมมาสำหรับการสลายตัวแบบเอกซ์ponential จะได้ ⟨ τ ⟩ = τ _Kกลับคืนมา $${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$

โมเมนต์ที่สูงกว่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ยืดออกคือ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

ในฟิสิกส์ มีความพยายามที่จะอธิบายพฤติกรรมเลขชี้กำลังแบบยืดออกว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของการสลายตัวแบบเลขชี้กำลังอย่างง่าย ซึ่งต้องอาศัยการกระจายตัวของเวลาการผ่อนคลายที่ไม่ธรรมดาρ ( u ) ซึ่งถูกกำหนดโดยปริยายโดย $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง คือการใช้ การแจกแจง$${\displaystyle G=u\rho (u)}$$

ρสามารถคำนวณได้จากการขยายอนุกรม: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

สำหรับค่าβที่ เป็นจำนวนตรรกยะ ρ ( u ) สามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน แต่โดยทั่วไปแล้วนิพจน์นั้นซับซ้อนเกินกว่าจะนำไปใช้ได้ ยกเว้นในกรณีที่ β = 1/2$${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

รูปที่ 2 แสดงผลลัพธ์เดียวกันโดยพล็อตใน รูป แบบเชิงเส้นและแบบลอการิทึมเส้นโค้งลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเดลตาของดิแรกที่มีจุดสูงสุดที่u = 1เมื่อβเข้าใกล้ 1 ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบง่าย

รูปที่ 2กราฟเชิงเส้นและกราฟลอการิทึมคู่ของฟังก์ชันการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลที่ยืดหยุ่นเทียบกับ${\displaystyle G}$${\displaystyle t/\tau }$ สำหรับค่าพารามิเตอร์การยืดβระหว่าง 0.1 ถึง 0.9

โมเมนต์ของฟังก์ชันดั้งเดิมสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau )}$$

โมเมนต์ลอการิทึมแรกของการกระจายเวลาการผ่อนคลายแบบเอกซ์โพเนนเชียลอย่างง่ายคือ โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอร์^{[ 11 ]}$${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right)\gamma +\ln \tau _{K}}$$

ในการอธิบายผลลัพธ์จากสเปกโทรสโกปีหรือการกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่น จำเป็นต้องใช้การแปลงฟูริเยร์ไซน์หรือโคไซน์ของเลขชี้กำลังแบบยืด ซึ่งต้องคำนวณโดยการอินทิเกรตเชิงตัวเลขหรือจากการขยายอนุกรม^{[ 12 ]}อนุกรมในที่นี้ เช่นเดียวกับอนุกรมสำหรับฟังก์ชันการกระจาย เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชัน Fox–Wright ^{[ 13} ] เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ การแปลงฟูริเยร์อาจประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน Havriliak–Negami [ ^{14 ]}แม้ว่าในปัจจุบันการคำนวณเชิงตัวเลขจะทำได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก^{[ 15 ] จนไม่มีเหตุผลใด ที่จะ}ไม่ใช้ฟังก์ชัน Kohlrausch–Williams–Watts ในโดเมนความถี่อีกต่อไป

ตามที่กล่าวไว้ในบทนำ เลขชี้กำลังแบบยืดขยายได้รับการแนะนำโดยนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันRudolf Kohlrauschในปี 1854 เพื่ออธิบายการคายประจุของตัวเก็บประจุ ( ขวด Leyden ) ที่ใช้แก้วเป็นตัวกลางไดอิเล็กทริก การใช้งานที่บันทึกไว้ครั้งต่อไปคือโดยFriedrich Kohlrauschบุตรชายของ Rudolf เพื่ออธิบายการผ่อนคลายแบบบิดA. Wernerใช้มันในปี 1907 เพื่ออธิบายการสลายตัวของการเรืองแสงที่ซับซ้อนTheodor Försterในปี 1949 เป็นกฎการสลายตัวของการเรืองแสงของผู้ให้พลังงานอิเล็กตรอน^{[ 17 ]}

นอกเหนือจากฟิสิกส์สสารควบแน่นแล้วเลขชี้กำลังแบบยืดขยายยังถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายอัตราการกำจัดวัตถุขนาดเล็กที่หลงทางในระบบสุริยะ^{[ 18 ]}สัญญาณ MRI ที่ถ่วงน้ำหนักการแพร่กระจายในสมอง^{[ 19 ]}และการผลิตจากบ่อก๊าซที่ไม่ธรรมดา^{[ 20 ]}

ถ้าการแจกแจงแบบบูรณาการเป็นการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลแบบยืดออกฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นแบบนอร์มาไลซ์ จะกำหนดโดย $${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

โปรดทราบว่าผู้เขียนบางคนใช้ชื่อ "stretched exponential" เพื่ออ้างถึงการแจกแจงWeibull อย่างน่าสับสน ^{[ 21 ]}

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืดหยุ่นที่ดัดแปลงแล้ว ซึ่งมี เลขชี้กำลังβ ที่ขึ้นอยู่กับ t อย่างช้าๆได้ถูกนำมาใช้สำหรับเส้นโค้งการอยู่รอดทางชีวภาพ^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$

ในการสื่อสารไร้สาย ได้มีการแสดงเวอร์ชันที่ปรับขนาดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืดออกในการแปลงลาปลาสสำหรับกำลังการรบกวนเมื่อตำแหน่งของตัวส่งสัญญาณถูกจำลองเป็นกระบวนการจุดปัวซง 2 มิติ โดยไม่มีพื้นที่ยกเว้นรอบตัวรับ^{[ 24 ]}${\displaystyle I}$

การแปลงลาปลาสสามารถเขียนได้สำหรับ การกระจาย การลดทอน แบบใดๆ ดังนี้: โดยที่คือกำลังของการลดทอนคือเลขชี้กำลังการสูญเสียเส้นทางคือความหนาแน่นของกระบวนการจุดปัวซง 2 มิติคือฟังก์ชันแกมมา และ คือค่าคาด หวัง ของตัวแปร$${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$${\displaystyle x}$

เอกสารอ้างอิงเดียวกันนี้ยังแสดงวิธีการหาการแปลงลาปลาสผกผันสำหรับเลขชี้กำลังแบบยืดสำหรับ จำนวนเต็มลำดับสูงกว่าจากจำนวนเต็มลำดับต่ำกว่าด้วย${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$${\displaystyle \beta _{a}}$${\displaystyle \beta _{b}}$

เลขชี้กำลังแบบยืดหยุ่นถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายรูปแบบการเข้าถึงสื่ออินเทอร์เน็ต เช่น YouTube และเว็บไซต์สื่อสตรีมมิ่ง ที่เสถียรอื่นๆ ^{[ 25 ]}รูปแบบการเข้าถึงแบบกฎกำลังที่ตกลงกันโดยทั่วไปของภาระงานเว็บส่วนใหญ่สะท้อนถึงภาระงานเว็บเนื้อหาแบบข้อความ เช่น เว็บไซต์ข่าวที่อัปเดตทุกวัน^{[ 26 ]}

• J. Wuttke: ไลบรารี libkwwในภาษาซีสำหรับคำนวณการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังแบบยืด