กระบวนการปัวซง
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
หมายถึง	${\displaystyle a_{0,t}=\int _{0}^{t}\lambda (\alpha )d\alpha }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}-(a_{0,t})^{2}=a_{0,t}}$ เนื่องจาก${\displaystyle R_{x}(t_{1},t_{2})=a_{0,min(t_{1},t_{2})}+a_{0,t_{1}}a_{0,t_{2}}}$ ที่ไหนสำหรับ ${\displaystyle E\{X^{2}\}=R_{x}(t,t)=a_{0,t}+(a_{0,t})^{2}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสถิติและสาขาที่เกี่ยวข้องกระบวนการจุดปัวซง (หรือที่รู้จักกันในชื่อ: การวัดแบบสุ่มปัวซงสนามจุดแบบสุ่มปัวซงและสนามจุดปัวซง ) เป็น วัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่งที่ประกอบด้วยจุดที่ตั้งอยู่แบบสุ่มบนพื้นที่ทางคณิตศาสตร์โดยมีคุณสมบัติที่สำคัญคือจุดเหล่านั้นเกิดขึ้นอย่างอิสระต่อกัน^{[ 1 ]} ชื่อของกระบวนการนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนจุดในบริเวณจำกัดใดๆ ก็ตามเป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซงกระบวนการและการแจกแจงนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสSiméon Denis Poissonกระบวนการนี้ถูกค้นพบอย่างอิสระและซ้ำๆ ในหลายบริบท รวมถึงการทดลองเกี่ยวกับการสลายตัวของกัมมันตรังสีการมาถึงของสายโทรศัพท์ และวิทยาศาสตร์ประกันภัย^{[ 2 ] [ 3 ]}

กระบวนการจุด^นี้ใช้เป็น^{แบบจำลองทาง}คณิตศาสตร์ สำหรับกระบวนการ ที่ดูเหมือนสุ่มในหลายสาขาวิชา รวมถึง ดาราศาสตร์^{[ 4 ]} ชีววิทยา[ ^{5 ]}นิเวศวิทยา^{[ 6 ]}ธรณีวิทยา^{[ 7 ]}แผ่นดินไหววิทยา^{[ 8} ] ฟิสิกส์^{[ 9 ]}เศรษฐศาสตร์^{[ 10 ]}การประมวลผลภาพ^{[ 11 ] [ 12 ]}และโทรคมนาคม^{[ 13} ] ^{[ 14} ]

กระบวนการจุดปัวซงมักถูกกำหนดบนเส้นจำนวนจริง ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่มตัวอย่างเช่น ใช้ในทฤษฎีการเข้าคิว^{[ 15 ]}เพื่อจำลองเหตุการณ์สุ่มที่กระจายตามเวลา เช่น การมาถึงของลูกค้าที่ร้านค้า การโทรศัพท์ที่ชุมสายโทรศัพท์หรือการเกิดแผ่นดินไหว ในระนาบกระบวนการจุด—หรือที่รู้จักกันใน ชื่อ กระบวนการปัวซงเชิงพื้นที่^{[ 16 ]} —สามารถแสดงตำแหน่งของวัตถุที่กระจัดกระจาย เช่น เครื่องส่งสัญญาณในเครือข่ายไร้สาย [ ^{13 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}อนุภาคที่ชนกับเครื่องตรวจจับอนุภาคหรือต้นไม้ในป่า^{[ 20 ]}กระบวนการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และในสาขาที่เกี่ยวข้อง รวมถึงกระบวนการจุดเชิงพื้นที่[ ^{21 ]เรขาคณิตสุ่ม} [ 1 ^{] สถิติ}เชิงพื้นที่^{[ 21 ] [ 22 ] และ}ทฤษฎีการซึมผ่านแบบต่อเนื่อง^{[ 23 ]}

กระบวนการจุดขึ้นอยู่กับวัตถุทางคณิตศาสตร์เพียงตัวเดียว ซึ่งขึ้นอยู่กับบริบท อาจเป็นค่าคง ที่ ฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้ในระดับท้องถิ่นหรือในบริบททั่วไป อาจเป็นการวัดของ Radon ^{[ 24 ]}ในกรณีแรก ค่าคงที่ที่เรียกว่าอัตราหรือความเข้มคือความหนาแน่น เฉลี่ย ของจุดในกระบวนการปัวซงที่อยู่ในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของพื้นที่ กระบวนการจุดที่ได้เรียกว่ากระบวนการจุดปัวซงแบบเอกพันธุ์หรือแบบอยู่กับที่ [ 25 ] ^{ในกรณีที่}สอง กระบวนการจุดเรียกว่ากระบวนการจุดปัวซงแบบไม่เอกพันธุ์หรือแบบไม่เป็นเอกพันธุ์และความหนาแน่นเฉลี่ยของจุดขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพื้นที่พื้นฐานของกระบวนการจุดปัวซง^{[ 26 ]}คำว่าจุดมักถูกละเว้น^{[ 27 ]}แต่มีกระบวนการปัวซงของวัตถุอื่นๆ ซึ่งแทนที่จะเป็นจุด ประกอบด้วยวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่า เช่นเส้นและรูปหลายเหลี่ยมและกระบวนการดังกล่าวสามารถอิงตามกระบวนการจุดปัวซงได้^{[ 28 ]}ทั้งกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์และไม่เป็นเอกพันธุ์ต่างก็เป็นกรณีเฉพาะของกระบวนการต่ออายุทั่วไป

ขึ้นอยู่กับการตั้งค่า กระบวนการนี้มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันหลายประการ^{[ 29 ]}รวมถึงคำจำกัดความที่มีความทั่วไปแตกต่างกันเนื่องจากการใช้งานและลักษณะเฉพาะหลายประการ^{[ 30 ]}กระบวนการจุดปัวซงสามารถกำหนด ศึกษา และใช้งานได้ในมิติเดียว เช่น บนเส้นจำนวนจริง ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นกระบวนการนับหรือเป็นส่วนหนึ่งของแบบจำลองคิว^{[ 31 ] [ 32 ]}ในมิติที่สูงกว่า เช่น ระนาบ ซึ่งมีบทบาทในเรขาคณิตเชิงสุ่ม^{[ 1 ]}และสถิติเชิงพื้นที่ [ ^{33 ]}หรือในพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมากขึ้น^{[ 34 ] ดังนั้น สัญกรณ์ ศัพท์เฉพาะ และระดับความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการ กำหนด}และศึกษา กระบวนการจุดปัวซงและกระบวนการจุดโดยทั่วไปจึงแตกต่างกันไปตามบริบท^{[ 35 ]}

ถึงกระนั้น กระบวนการจุดปัวซงก็มีคุณสมบัติสำคัญสองประการ ได้แก่ คุณสมบัติปัวซงและคุณสมบัติความเป็นอิสระ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในทุกสถานการณ์ที่ใช้กระบวนการจุดปัวซง^{[ 24 ] [ 36 ]}คุณสมบัติทั้งสองไม่เป็นอิสระทางตรรกะ อันที่จริง การกระจายปัวซงของจำนวนจุดบ่งบอกถึงคุณสมบัติความเป็นอิสระ^{[ a ]} ​​ในขณะที่ในทิศทางตรงกันข้าม จำเป็นต้องมีสมมติฐานว่า: (i) กระบวนการจุดนั้นเรียบง่าย (ii) ไม่มีอะตอมคงที่ และ (iii) มีค่าจำกัด^{[ 37 ]}

กระบวนการจุดปัวซงมีลักษณะเฉพาะโดยใช้การแจกแจงปัวซงการแจกแจงปัวซงคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม (เรียกว่าตัวแปรสุ่มปัวซง ) โดยที่ความน่าจะเป็นที่เท่ากับจะกำหนดโดย: ${\textstyle N}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

โดยที่หมายถึงแฟกทอเรียลและพารามิเตอร์กำหนดรูปร่างของการกระจาย (อันที่จริงเท่ากับค่าคาดหวังของ) ${\textstyle n!}$${\textstyle \Lambda }$${\textstyle \Lambda }$${\textstyle N}$

ตามคำจำกัดความ กระบวนการจุดปัวซงมีคุณสมบัติที่ว่าจำนวนจุดในบริเวณที่มีขอบเขตของพื้นที่พื้นฐานของกระบวนการนั้นเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง^{[ 36 ]}

พิจารณาชุดของ บริเวณย่อย ที่ไม่ทับซ้อนกันและมีขอบเขตจำกัดในปริภูมิพื้นฐาน ตามคำนิยาม จำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงในแต่ละบริเวณย่อยที่มีขอบเขตจำกัดจะเป็นอิสระจากกันโดยสิ้นเชิงจากบริเวณย่อยอื่นๆ ทั้งหมด

คุณสมบัตินี้เป็นที่รู้จักภายใต้ชื่อต่างๆ เช่นความสุ่มอย่างสมบูรณ์ความ เป็นอิสระอย่างสมบูรณ์^{[ 38 ]}หรือการกระจายตัวที่เป็นอิสระ^{[ 39 ] [ 40 ]}และเป็นคุณสมบัติทั่วไปของกระบวนการจุดปัวซงทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างภูมิภาคต่างๆ และจุดโดยทั่วไป^{[ 41 ]}ซึ่งเป็นแรงจูงใจให้กระบวนการปัวซงบางครั้งถูกเรียกว่ากระบวนการสุ่มอย่างแท้จริงหรือโดยสมบูรณ์^{[ 38 ]}

ถ้ากระบวนการจุดปัวซงมีพารามิเตอร์ในรูปแบบโดยที่คือการวัดของเลเบส (นั่นคือ กำหนดความยาว พื้นที่ หรือปริมาตรให้กับเซต) และคือค่าคงที่ กระบวนการจุดนั้นจะเรียกว่ากระบวนการจุดปัวซงแบบเอกพันธุ์หรือแบบคงที่ พารามิเตอร์ เรียกว่าอัตราหรือความเข้มเกี่ยวข้องกับจำนวนจุดปัวซงที่คาดหวัง (หรือเฉลี่ย) ที่มีอยู่ในบริเวณที่มีขอบเขต[ ^{42 ] [ 43 ] โดย} ปกติจะใช้ อัตราเมื่อพื้นที่พื้นฐานมีมิติเดียว^{[ 42 ]}พารามิเตอร์ สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนจุดเฉลี่ยต่อ ^{หน่วย}ของขอบเขต เช่นความยาวพื้นที่ปริมาตรหรือเวลา ขึ้นอยู่กับพื้นที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน และยังเรียกว่าความหนาแน่นเฉลี่ยหรืออัตราเฉลี่ย [ ^{44 ]}ดูคำ ศัพท์${\textstyle \แลมบ์ดา =\nu \แลมบ์ดา }$${\textstyle \nu }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \lambda }$

กระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธ์ เมื่อพิจารณาบนครึ่งเส้นบวก สามารถกำหนดได้ว่าเป็นกระบวนการนับซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มประเภทหนึ่ง ซึ่งสามารถแสดงได้เป็น[ ^{29 ] [ 32 ] กระบวนการ}นับแสดงถึงจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจนถึงและรวมถึงเวลากระบวนการนับเป็นกระบวนการนับปัวซงที่เป็นเอกพันธ์ที่มีอัตราถ้ามีคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้: ^{[ 29 ] [ 32 ]}${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\textstyle t}$${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• มีการเพิ่มขึ้นที่เป็นอิสระและ
• จำนวนเหตุการณ์ (หรือจุด) ในช่วงเวลาใดๆ ที่มีความยาวเท่ากับ เป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีพารามิเตอร์ (หรือค่าเฉลี่ย)${\textstyle t}$${\textstyle \lambda t}$

คุณสมบัติข้อสุดท้ายบ่งชี้ว่า:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าเท่ากับจะกำหนดโดย: ${\textstyle N(t)}$${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

กระบวนการนับแบบปัวซงยังสามารถกำหนดได้โดยการระบุว่าความแตกต่างของเวลาระหว่างเหตุการณ์ของกระบวนการนับเป็นตัวแปรเลขชี้กำลังที่มีค่าเฉลี่ย[ ^{45 ] ความ} แตกต่างของเวลาระหว่างเหตุการณ์หรือการมาถึงเรียกว่า ช่วงเวลาระหว่าง การมาถึง^{[ 46 ]}หรือช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์^{[ 45 ]}${\textstyle 1/\lambda }$

เมื่อตีความว่าเป็นกระบวนการจุดกระบวนการจุดปัวซงสามารถกำหนดบนเส้นจำนวนจริง ได้ โดยพิจารณาจำนวนจุดของกระบวนการในช่วงสำหรับกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธ์บนเส้นจำนวนจริงที่มีพารามิเตอร์ความน่าจะเป็นของจำนวนจุดสุ่มนี้ ซึ่งเขียนไว้ที่นี่เป็นจะเท่ากับจำนวนนับ บางจำนวน โดย กำหนดโดย: ^{[ 47 ]}${\textstyle (a,b]}$${\textstyle \lambda >0}$${\textstyle N(a,b]}$${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกบางค่ากระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์จะมีการกระจายมิติจำกัดที่กำหนดโดย: ^{[ 47 ]}${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

โดยที่ตัวเลขจริงอยู่ ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยโดยที่นอกจากนี้ จำนวนจุดในช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันสองช่วงใดๆ เช่นและเป็นอิสระต่อกัน และขยายไปถึงจำนวนช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันที่จำกัดใดๆ^{[ 47 ]}ในบริบทของทฤษฎีการเข้าคิว เราสามารถพิจารณาจุดที่มีอยู่ (ในช่วงเวลา) เป็นเหตุการณ์แต่สิ่งนี้แตกต่างจากคำว่าเหตุการณ์ในความหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็น^{[ b ]} ดังนั้นจึงเป็นจำนวนการมาถึง ที่คาดหวัง ที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา^{[ 32 ]}${\textstyle N(a,b]}$${\textstyle \lambda (b-a)}$${\textstyle a\leq b}$${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$${\textstyle \lambda }$

คำจำกัดความก่อนหน้านี้มีคุณสมบัติสำคัญสองประการที่กระบวนการจุดปัวซงโดยทั่วไปมีร่วมกัน: ^{[ 47 ] [ 24 ]}

• จำนวนผู้มาถึงในแต่ละช่วงเวลาจำกัดจะมีการกระจายแบบปัวซง
• จำนวนการมาถึงในช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ

นอกจากนี้ ยังมีคุณลักษณะที่สามที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกันอีกด้วย: ^{[ 48 ]}

• การแจกแจงแบบปัวซงของจำนวนผู้มาถึงในแต่ละช่วงเวลานั้นขึ้นอยู่กับความยาวของช่วงเวลานั้นเท่านั้น${\textstyle (a+t,b+t]}$${\textstyle b-a}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับค่าจำกัดใดๆตัวแปรสุ่มจะเป็นอิสระจากดังนั้นจึงเรียกว่ากระบวนการปัวซงแบบอยู่ตัว^{[ 47 ]}${\textstyle t>0}$${\textstyle N(a+t,b+t]}$${\textstyle t}$

ปริมาณดังกล่าวสามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนจุดที่คาดหวังหรือค่าเฉลี่ยที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาดังกล่าว กล่าวคือ: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i})]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

โดยที่หมายถึง ตัวดำเนินการ คาดหวัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง พารามิเตอร์ของกระบวนการปัวซงจะตรงกับความหนาแน่นของจุด ยิ่งไปกว่านั้น กระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธ์จะยึดตามกฎจำนวนมาก (ที่แข็งแกร่ง) ในรูปแบบของตัวเอง^{[ 49 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง: ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

โดยที่หมายถึงลิมิตของฟังก์ชัน และคือจำนวนการมาถึงที่คาดการณ์ไว้ต่อหน่วยเวลา ${\textstyle \lim }$${\displaystyle \lambda }$

ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่ต่อเนื่องกันของกระบวนการจุดบนเส้นจำนวนจริงจะเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนน เชียล ที่มีพารามิเตอร์(หรือเทียบเท่ากับค่าเฉลี่ย) ซึ่งหมายความว่าจุดเหล่านั้นมี คุณสมบัติ ไร้ความทรงจำ : การมีอยู่ของจุดหนึ่งในช่วงเวลาจำกัดจะไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็น (การกระจาย) ของการมีอยู่ของจุดอื่น^{[ 50 ] [ 51 ]}แต่คุณสมบัตินี้ไม่มีความเทียบเท่าตามธรรมชาติเมื่อกระบวนการปัวซงถูกกำหนดบนพื้นที่ที่มีมิติสูงกว่า^{[ 52 ]}${\textstyle \lambda }$${\textstyle 1/\lambda }$

บางครั้ง กระบวนการจุดที่มีการเพิ่มขึ้นคงที่เรียกว่าเป็นระเบียบ^{[ 53 ]}หรือปกติหาก: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

โดย มีการใช้ สัญลักษณ์ little-oกระบวนการจุดเรียกว่ากระบวนการจุดแบบง่ายเมื่อความน่าจะเป็นที่จุดสองจุดใดๆ ของกระบวนการนั้นจะตรงกันในตำแหน่งเดียวกันบนพื้นที่พื้นฐานเป็นศูนย์ สำหรับกระบวนการจุดโดยทั่วไปบนเส้นจำนวนจริง คุณสมบัติของความเป็นระเบียบหมายความว่ากระบวนการนั้นเป็นแบบง่าย^{[ 55 ]}ซึ่งเป็นกรณีของกระบวนการจุดปัวซงแบบเอกพันธุ์^{[ 56 ]}

บนเส้นจำนวนจริง กระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์มีความเชื่อมโยงกับทฤษฎีมาร์ติงเกลผ่านลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้: กระบวนการจุดเป็นกระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

เป็นมาร์ติงเกล^{[ 57 ] [ 58 ]}

บนเส้นจริง กระบวนการปัวซงเป็น กระบวนการมาร์คอฟแบบต่อเนื่องชนิดหนึ่งที่เรียกว่ากระบวนการเกิดซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการเกิด-ตาย (โดยมีเพียงการเกิดและการตายเป็นศูนย์) ^{[ 59 ] [ 60 ]}กระบวนการที่ซับซ้อนกว่าที่มีคุณสมบัติมาร์คอฟเช่นกระบวนการมาถึงแบบมาร์คอฟได้รับการกำหนดไว้แล้ว โดยที่กระบวนการปัวซงเป็นกรณีพิเศษ^{[ 45 ]}

หากพิจารณากระบวนการปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกันบนครึ่งเส้นตรงซึ่งอาจเป็นกรณีที่แทนเวลา^{[ 29 ]}แล้วกระบวนการที่ได้จะไม่คงที่ภายใต้การแปล^{[ 52 ]}ในกรณีนั้น กระบวนการปัวซงจะไม่คงที่อีกต่อไป ตามคำจำกัดความบางประการของความคงที่^{[ 25 ]}${\textstyle [0,\infty )}$${\textstyle t}$

มีการประยุกต์ใช้กระบวนการปัวซงแบบเอกพันธุ์บนเส้นจำนวนจริงมากมายเพื่อพยายามสร้างแบบจำลองเหตุการณ์ที่ดูเหมือนสุ่มและเป็นอิสระที่เกิดขึ้น กระบวนการนี้มีบทบาทพื้นฐานในทฤษฎีการเข้าคิวซึ่งเป็นสาขาความน่าจะเป็นของการพัฒนาแบบจำลองสุ่มที่เหมาะสมเพื่อแสดงถึงการมาถึงและการจากไปแบบสุ่มของปรากฏการณ์บางอย่าง^{[ 15 ] [ 45 ]}ตัวอย่างเช่น การมาถึงของลูกค้าและการได้รับการบริการ หรือการโทรศัพท์ที่เข้ามายังชุมสายโทรศัพท์ สามารถศึกษาได้ด้วยเทคนิคจากทฤษฎีการเข้าคิว

กระบวนการปัวซงเอกพันธุ์บนเส้นจำนวนจริงถือเป็นหนึ่งในกระบวนการสุ่มที่ง่ายที่สุดสำหรับการนับจุดจำนวนสุ่ม^{[ 61 ] [ 62 ]}กระบวนการนี้สามารถขยายได้หลายวิธี การขยายที่เป็นไปได้วิธีหนึ่งคือการขยายการกระจายของช่วงเวลาระหว่างการมาถึงจากการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลไปยังการกระจายอื่นๆ ซึ่งแนะนำกระบวนการสุ่มที่เรียกว่ากระบวนการต่ออายุ การขยายอีกวิธีหนึ่งคือการกำหนดกระบวนการจุดปัวซงบนพื้นที่มิติที่สูงกว่า เช่น ระนาบ^{[ 63 ]}

กระบวนการ ปัวซงเชิงพื้นที่คือกระบวนการจุดปัวซงที่กำหนดในระนาบ^[ 57 ^{] [ 64 ]}สำหรับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ ก่อนอื่นต้องพิจารณาบริเวณที่มีขอบเขต เปิด หรือปิด (หรือแม่นยำกว่านั้นคือ^{บริเวณ}ที่วัดได้แบบบอเรล ) ของระนาบ จำนวนจุดของกระบวนการจุดที่มีอยู่ในบริเวณนี้คือตัวแปรสุ่ม ซึ่งแทนด้วยถ้าจุดเหล่านั้นเป็นของกระบวนการปัวซงเอกพันธุ์ที่มีพารามิเตอร์แล้วความน่าจะเป็นที่จุดจะมีอยู่ในจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

โดยที่หมายถึงพื้นที่ของ ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

สำหรับจำนวนเต็มจำกัดบางค่าเราสามารถให้การกระจายมิติจำกัดของกระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์ได้โดยพิจารณาชุดของเซตโบเรล (ที่วัดได้) ที่ไม่ทับซ้อนกันและมี ขอบเขตก่อน จำนวนจุดของกระบวนการจุด ที่มีอยู่ในสามารถเขียนได้เป็น จากนั้นกระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์ที่มีพารามิเตอร์จะมีการกระจายมิติจำกัดดังนี้: ^{[ 65 ]}${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

กระบวนการจุดปัวซงเชิงพื้นที่มีบทบาทสำคัญในสถิติเชิงพื้นที่ [ ^{21 ] [ 22 ]}เรขาคณิตเชิงสุ่มและทฤษฎีการซึมผ่านแบบต่อเนื่อง [ ^{23 ] กระบวนการ จุด นี้} ถูกนำไปใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพต่างๆ เช่น แบบจำลองที่พัฒนาขึ้นสำหรับการตรวจจับอนุภาคอัลฟา ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มีการใช้บ่อยครั้งเพื่อสร้างแบบจำลองการกำหนดค่าเชิงพื้นที่ที่ดูเหมือนไม่เป็นระเบียบของเครือข่ายการสื่อสารไร้สายบางประเภท^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ตัวอย่างเช่น มีการพัฒนาแบบจำลองสำหรับเครือข่ายโทรศัพท์มือถือ โดยถือว่าเครื่องส่งสัญญาณเครือข่ายโทรศัพท์ หรือที่เรียกว่าสถานีฐาน อยู่ในตำแหน่งตามกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกัน

กระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์ก่อนหน้านี้สามารถขยายไปยังมิติที่สูงขึ้นได้ทันทีโดยการแทนที่แนวคิดของพื้นที่ด้วยปริมาตร (มิติสูง) สำหรับบริเวณที่มีขอบเขตในปริภูมิยูคลิดหากจุดต่างๆ ก่อตัวเป็นกระบวนการปัวซงเอกพันธุ์ที่มีพารามิเตอร์แล้วความน่าจะเป็นที่จุดจะปรากฏอยู่ในบริเวณนั้นจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

โดยที่ตอนนี้หมายถึงปริมาตรมิติของนอกจากนี้ สำหรับชุดของเซต Borel ที่ไม่ทับซ้อนกันและมีขอบเขตให้แทนจำนวนจุดของที่มีอยู่ในจากนั้นกระบวนการจุด Poisson เอกพันธุ์ที่สอดคล้องกันที่มีพารามิเตอร์จะมีการกระจายมิติจำกัด: ^{[ 67 ]}${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

กระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพื้นที่พื้นฐานผ่านพารามิเตอร์ซึ่งหมายความว่าเป็นทั้งกระบวนการคงที่ (ไม่เปลี่ยนแปลงต่อการเลื่อน) และกระบวนการสุ่มแบบไอโซโทรปิก (ไม่เปลี่ยนแปลงต่อการหมุน) ^{[ 25 ]}ในทำนองเดียวกันกับกรณีหนึ่งมิติ กระบวนการจุดที่เป็นเอกพันธุ์ถูกจำกัดไว้ในเซตย่อยที่มีขอบเขตของจากนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความบางประการของความคงที่ กระบวนการจะไม่คงที่อีกต่อไป^{[ 25 ] [ 52 ]}${\displaystyle \textstyle \lambda }$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

หากกระบวนการจุดเอกพันธุ์ถูกกำหนดบนเส้นจำนวนจริงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการเกิดปรากฏการณ์บางอย่าง กระบวนการนี้จะมีลักษณะเฉพาะคือ ตำแหน่งของการเกิดหรือเหตุการณ์เหล่านี้บนเส้นจำนวนจริง (มักตีความว่าเป็นเวลา) จะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเหตุการณ์เกิดขึ้น (ตามกระบวนการนี้) ในช่วงเวลาที่ตำแหน่งของเหตุการณ์นั้นจะเป็นตัวแปรสุ่มแบบเอกพันธุ์ที่กำหนดในช่วงเวลานั้น^{[ 65 ]}นอกจากนี้ กระบวนการจุดเอกพันธุ์บางครั้งเรียกว่า กระบวนการจุดปัวซง แบบเอกพันธุ์ (ดูคำศัพท์ ) คุณสมบัติความสม่ำเสมอนี้ขยายไปยังมิติที่สูงกว่าในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่ไม่ใช่ในพิกัดเชิงขั้ว เป็นต้น^{[ 68 ] [ 69 ]}${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

กระบวนการจุดปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันหรือไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (ดูคำศัพท์ ) คือกระบวนการจุดปัวซงที่มีชุดพารามิเตอร์ปัวซงเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งบางอย่างในปริภูมิพื้นฐานซึ่งกำหนดกระบวนการปัวซงไว้ สำหรับปริภูมิยุคลิดสิ่งนี้ทำได้โดยการแนะนำฟังก์ชันบวกที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นโดยที่สำหรับทุกบริเวณที่มีขอบเขต ปริมาตรอินทิกรัล ( มิติ) ของ เหนือบริเวณนั้นมีค่าจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าอินทิกรัลนี้ ซึ่งแสดงด้วยคือ: ^{[ 43 ]}${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

โดยที่เป็นองค์ประกอบปริมาตร ( มิติ) ^{[ c ]}จากนั้นสำหรับทุกชุดของเซตที่วัดได้ Borel ที่มีขอบเขตและไม่ทับซ้อนกัน กระบวนการปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีฟังก์ชัน (ความเข้ม) จะมีการกระจายมิติจำกัด: ^{[ 67 ]}${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

นอกจากนี้ยังมีการตีความว่า คือจำนวนจุดที่คาดหวังของกระบวนการปัวซงที่อยู่ในบริเวณที่มีขอบเขตกล่าวคือ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

บนเส้นจำนวนจริง กระบวนการจุดปัวซงที่ไม่เป็นเอกพันธุ์หรือไม่เป็นเอกพันธุ์จะมีค่าเฉลี่ยที่กำหนดโดยปริพันธ์หนึ่งมิติ สำหรับจำนวนจริงสองจำนวนและโดยที่แทนจำนวนจุดของกระบวนการปัวซงที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ที่มีฟังก์ชันความเข้มที่เกิดขึ้นในช่วงความน่าจะเป็นของจุดที่มีอยู่ในช่วงดังกล่าวจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \textstyle a}$${\displaystyle \textstyle b}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

โดยที่ค่าเฉลี่ยหรือค่าความเข้มข้นคือ:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

ซึ่งหมายความว่าตัวแปรสุ่มนั้นเป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีค่าเฉลี่ย. ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

คุณลักษณะของการตั้งค่าหนึ่งมิติคือ กระบวนการปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันสามารถแปลงเป็นเนื้อเดียวกันได้โดยการแปลงแบบโมโนโทนหรือการแมป ซึ่งทำได้โดยใช้การผกผันของ^{[ 70 ] [ 71 ]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

กระบวนการจุดปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เมื่อพิจารณาบนครึ่งเส้นบวก บางครั้งก็ถูกนิยามว่าเป็นกระบวนการนับเช่นกัน ด้วยการตีความนี้ กระบวนการซึ่งบางครั้งเขียนเป็นแสดงถึงจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจนถึงและรวมถึงเวลากระบวนการนับจะเรียกว่าเป็นกระบวนการนับปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันหากมีคุณสมบัติสี่ประการ: ^{[ 32 ] [ 72 ]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• มีการเพิ่มขึ้นที่เป็นอิสระ ;
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$และ
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

คำว่า asymptotic หรือlittle-o notation หมาย ถึง อะไรสำหรับas ในกรณีของกระบวนการจุดที่มีการไม่ตอบสนอง (เช่น ลำดับสไปค์ประสาท) จะใช้คุณสมบัติ 4 เวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่า: ^{[ 73 ]}${\displaystyle \textstyle o(h)}$${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

คุณสมบัติข้างต้นบ่งชี้ว่าเป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีพารามิเตอร์ (หรือค่าเฉลี่ย) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

กระบวนการปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งกำหนดไว้ในระนาบ เรียกว่ากระบวนการปัวซงเชิงพื้นที่^{[ 16 ]}มันถูกกำหนดด้วยฟังก์ชันความเข้ม และการวัดความเข้มของมันได้มาจากการอินทิกรัลพื้นผิวของฟังก์ชันความเข้มเหนือบริเวณบางส่วน^{[ 20 ] [ 74 ]}ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันความเข้มของมัน (เป็นฟังก์ชันของพิกัดคาร์ทีเซียนและ) สามารถเป็นได้ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle x}$${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

ดังนั้นค่าความเข้มที่สอดคล้องกันจึงได้มาจากปริพันธ์บนพื้นผิว

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

โดยที่ เป็นบริเวณที่มีขอบเขตจำกัด ใน ระนาบ${\textstyle B}$${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

ในระนาบจะสอดคล้องกับปริพันธ์พื้นผิว ในขณะที่ในปริพันธ์ จะกลายเป็นปริพันธ์ปริมาตร (มิติ) ${\textstyle \Lambda (B)}$${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\textstyle d}$

เมื่อเส้นจริงถูกตีความว่าเป็นเวลา กระบวนการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกนำมาใช้ในสาขาของกระบวนการนับและในทฤษฎีการเข้าคิว^{[ 72 ] [ 75 ]}ตัวอย่างของปรากฏการณ์ที่ถูกแทนด้วยหรือปรากฏเป็นกระบวนการจุดปัวซงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ได้แก่:

• ประตูที่ทำได้ในเกมฟุตบอล^{[ 76 ]}
• ข้อบกพร่องในแผงวงจร^{[ 77 ]}

ในระนาบ กระบวนการจุดปัวซงมีความสำคัญในสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องของเรขาคณิตเชิงสุ่ม^{[ 1 ] [ 33 ]}และสถิติเชิงพื้นที่^{[ 21 ] [ 22 ]}การวัดความเข้มของกระบวนการจุดนี้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของพื้นที่พื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าสามารถใช้ในการจำลองปรากฏการณ์ที่มีความหนาแน่นแปรผันไปตามบางภูมิภาค กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปรากฏการณ์สามารถแสดงเป็นจุดที่มีความหนาแน่นขึ้นอยู่กับตำแหน่ง^{[ 20 ]}กระบวนการนี้ถูกนำไปใช้ในสาขาวิชาต่างๆ และการใช้งานรวมถึงการศึกษาปลาแซลมอนและเหาทะเลในมหาสมุทร^{[ 78 ]} ป่าไม้^{[ 6 ]}และปัญหาการค้นหา^{[ 79 ]}

ฟังก์ชันความเข้มของปัวซงมีการตีความที่ถือว่าเข้าใจง่าย^{[ 20 ]}โดยมีองค์ประกอบปริมาตรในความหมายอนันต์: คือความน่าจะเป็นอนันต์ของจุดของกระบวนการจุดปัวซงที่มีอยู่ในบริเวณของพื้นที่ที่มีปริมาตรอยู่ที่^{[ 20 ]}${\textstyle \lambda (x)}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$${\textstyle \mathrm {d} x}$${\textstyle x}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์บนเส้นจำนวนจริง ความน่าจะเป็นที่จะพบจุดเดียวของกระบวนการในช่วงเวลาที่มีความกว้างเล็กน้อยนั้นโดยประมาณคือในความเป็นจริง สัญชาตญาณเช่นนี้เป็นวิธีที่บางครั้งใช้ในการแนะนำกระบวนการจุดปัวซงและหาการแจกแจงของมัน^{[ 80 ] [ 41 ] [ 81 ]}${\textstyle \delta }$${\textstyle \lambda \delta }$

ถ้ากระบวนการจุดปัวซงมีการวัดความเข้มที่จำกัดเฉพาะที่และกระจายตัว (หรือไม่เป็นอะตอม) แล้วมันจะเป็นกระบวนการจุดแบบง่ายสำหรับกระบวนการจุดแบบง่าย ความน่าจะเป็นที่จุดจะอยู่ที่จุดหรือตำแหน่งเดียวในพื้นที่พื้นฐาน (สถานะ) จะเป็นศูนย์หรือหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง จะไม่มีจุดสองจุด (หรือมากกว่า) ของกระบวนการจุดปัวซงที่ตรงกันในตำแหน่งในพื้นที่พื้นฐาน^{[ 82 ] [ 18 ] [ 83 ]}

การจำลองกระบวนการจุดปัวซงบนคอมพิวเตอร์มักจะทำในพื้นที่จำกัดที่เรียกว่าหน้าต่าง จำลอง และต้องใช้สองขั้นตอน: สร้างจุดจำนวนสุ่มที่เหมาะสม แล้ววางจุดเหล่านั้นในลักษณะสุ่มอย่างเหมาะสม ทั้งสองขั้นตอนนี้ขึ้นอยู่กับกระบวนการจุดปัวซงเฉพาะที่กำลังจำลอง^{[ 84 ] [ 85 ]}

จำนวนจุดในหน้าต่าง ซึ่งในที่นี้แทนด้วยจำเป็นต้องได้รับการจำลอง ซึ่งทำได้โดยใช้ ฟังก์ชัน สร้างตัวเลขสุ่ม (เสมือน) ที่สามารถจำลองตัวแปรสุ่มปัวซงได้ ${\textstyle N}$${\textstyle W}$

สำหรับกรณีเอกพันธุ์ที่มีค่าคงที่ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มปัวซงจะถูกกำหนดให้เป็น โดยที่คือความยาว พื้นที่ หรือปริมาตร (มิติ) ของ ${\textstyle \lambda }$${\textstyle N}$${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle |W|}$${\textstyle d}$${\textstyle W}$

สำหรับกรณีที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันจะถูกแทนที่ด้วยปริมาตรอินทิกรัล (มิติ) ${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

ขั้นตอนที่สองคือการวางจุดต่างๆ ลงในหน้าต่างแบบ สุ่ม${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle W}$

สำหรับกรณีเอกพันธุ์ในมิติเดียว จุดทั้งหมดจะถูกวางอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระในหน้าต่างหรือช่วงเวลาสำหรับมิติที่สูงกว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน พิกัดแต่ละจุดจะถูกวางอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระในหน้าต่างหากหน้าต่างไม่ใช่พื้นที่ย่อยของพื้นที่คาร์ทีเซียน (เช่น ภายในทรงกลมหน่วยหรือบนพื้นผิวของทรงกลมหน่วย) จุดจะไม่ถูกวางอย่างสม่ำเสมอในและจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนพิกัดที่เหมาะสม (จากคาร์ทีเซียน) ^{[ 84 ]}${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$

สำหรับกรณีที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน สามารถใช้วิธีการที่แตกต่างกันสองสามวิธีได้ ขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชันความเข้ม[ ^{84 ] หาก}ฟังก์ชันความเข้มมีความเรียบง่ายเพียงพอ พิกัดที่ไม่สม่ำเสมอ (คาร์ทีเซียนหรืออื่นๆ) ที่เป็นอิสระและสุ่มของจุดต่างๆ สามารถสร้างขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น การจำลองกระบวนการจุดปัวซงบนหน้าต่างวงกลมสามารถทำได้สำหรับฟังก์ชันความเข้มแบบไอโซโทรปิก (ในพิกัดเชิงขั้วและ) ซึ่งหมายความว่ามันแปรผันตามการหมุนหรือเป็นอิสระจากแต่ขึ้นอยู่กับโดยการเปลี่ยนตัวแปรในหากฟังก์ชันความเข้มมีความเรียบง่ายเพียงพอ^{[ 84 ]}${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle \theta }$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle r}$

สำหรับฟังก์ชันความเข้มที่ซับซ้อนมากขึ้น สามารถใช้วิธีการยอมรับ-ปฏิเสธซึ่งประกอบด้วยการใช้ (หรือ 'ยอมรับ') เฉพาะจุดสุ่มบางจุดเท่านั้น และไม่ใช้ (หรือ 'ปฏิเสธ') จุดอื่นๆ โดยพิจารณาจากอัตราส่วน: ^{[ 86 ]}

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

จุดที่กำลังพิจารณาเพื่อยอมรับหรือปฏิเสธนั้นอยู่ ที่ใด${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

กล่าวคือ จะสุ่มเลือกตำแหน่งหนึ่งเพื่อพิจารณา จากนั้นเพื่อตัดสินว่าจะวางตัวอย่างที่ตำแหน่งนั้นหรือไม่ จะนำตัวเลขที่สุ่มเลือกมาอย่างสม่ำเสมอไปเปรียบเทียบกับฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นโดยจะยอมรับก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นน้อยกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น และทำซ้ำจนกว่าจะได้จำนวนตัวอย่างที่เลือกไว้ก่อนหน้านี้ครบ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\frac {\lambda (x)}{\Lambda (W)}}}$

ในทฤษฎีการวัดกระบวนการจุดปัวซงสามารถขยายความทั่วไปได้อีกเป็นกระบวนการจุดปัวซงทั่วไป^{[ 20 ] [ 87 ]}หรือกระบวนการปัวซงทั่วไป^{[ 74 ]}โดยใช้การวัดแบบเรดอน ซึ่งเป็นการวัดแบบจำกัดเฉพาะที่โดยทั่วไป การวัดแบบเรดอนนี้สามารถเป็นแบบอะตอมิกได้ ซึ่งหมายความว่าจุดหลายจุดของกระบวนการจุดปัวซงสามารถมีอยู่ได้ในตำแหน่งเดียวกันของพื้นที่พื้นฐาน ในสถานการณ์นี้ จำนวนจุดที่เป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีค่าเฉลี่ย[ ^{87 ] แต่}บางครั้งก็มีการสมมติในทางกลับกัน ดังนั้นการวัดแบบเรดอนจึงเป็นแบบกระจายหรือไม่เป็นอะตอมิก^{[ 20 ]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

กระบวนการจุดเป็นกระบวนการจุดปัวซงทั่วไปที่มีความเข้มข้นหากมีคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้: ^{[ 20 ]}${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• จำนวนจุดในเซตโบเรล ที่มีขอบเขตจำกัด เป็นตัวแปรสุ่มปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยσ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้ แทนจำนวนจุดทั้งหมดที่อยู่ในเซตโบเรลแล้วความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม σ จะเท่ากับσ คือ:${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• จำนวนจุดในเซตบอเรลที่ไม่ซ้ำกันก่อให้เกิดตัวแปรสุ่มอิสระ${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle n}$

การวัดค่าเรดอนยังคงความหมายเดิม คือ เป็นจำนวนจุดที่คาดว่าจะอยู่ในบริเวณที่กำหนดกล่าวคือ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

นอกจากนี้ ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์และมีความหนาแน่น (ซึ่งก็คือความหนาแน่นหรืออนุพันธ์ของ Radon–Nikodym ) เทียบกับมาตรวัด Lebesgue แล้ว สำหรับเซต Borel ทั้งหมดฟังก์ชันนั้นสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

โดยที่ความหนาแน่นเป็นที่รู้จักกันในชื่อต่างๆ เช่น ฟังก์ชันความเข้ม ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

แม้จะมีชื่อว่ากระบวนการจุดปัวซง แต่กระบวนการนี้ก็ไม่ได้ถูกค้นพบหรือศึกษาโดยผู้ที่ตั้งชื่อตามมัน มันถูกยกมาเป็นตัวอย่างของกฎการตั้งชื่อตามบุคคลของสติกล์เลอร์ [ ^{2 ] [ 3 ] ชื่อ}นี้เกิดขึ้นจากความสัมพันธ์โดยธรรมชาติของกระบวนการกับการกระจายปัวซง ซึ่งปัวซงได้มาจากกรณีจำกัดของ การกระจาย ทวินาม^{[ 88 ]}มันอธิบายถึงความน่าจะเป็นของผลรวมของการทดลองเบอร์นูลลีด้วยความน่าจะเป็นซึ่งมักเปรียบเทียบกับจำนวนหัว (หรือก้อย) หลังจากการโยนเหรียญแบบลำเอียงโดยความน่าจะเป็นที่จะเกิดหัว (หรือก้อย) คือสำหรับค่าคงที่บวกบางค่าเมื่อเพิ่มขึ้นไปสู่ค่าอนันต์และลดลงไปสู่ศูนย์ โดยที่ผลคูณคงที่ การกระจายปัวซงจะใกล้เคียงกับการกระจายทวินามมากขึ้น^{[ 89 ]}${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

ในปี พ.ศ. 2384 ปัวซงได้อนุมานการแจกแจงปัวซงโดยศึกษาการแจกแจงทวินามในลิมิตเมื่อเข้าใกล้ศูนย์และเข้าใกล้อนันต์ การแจกแจงนี้ปรากฏเพียงครั้งเดียวในงานของปัวซง^{[ 90 ]}และผลลัพธ์นี้ยังไม่เป็นที่รู้จักมากนักในสมัยของเขา ในช่วงหลายปีต่อมา คนอื่นๆ ได้ใช้การแจกแจงนี้โดยไม่ได้อ้างอิงถึงปัวซง รวมถึงฟิลิปป์ ลุดวิก ฟอน ไซเดลและเอิร์นสต์ แอ็บเบ [ ^{91 ] [ 2 ] ใน}ช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ลาดิสเลาส์ บอร์ทคีวิชได้ฟื้นฟูความสนใจในการแจกแจงนี้โดยอ้างอิงถึงปัวซงและใช้ข้อมูลจริงเกี่ยวกับจำนวนผู้เสียชีวิตจากการถูกม้าเตะในกองทัพปรัสเซีย^{[ 88 ] [ 92 ]}${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$

มีการอ้างสิทธิ์หลายประการเกี่ยวกับการใช้งานหรือการค้นพบกระบวนการจุดปัวซงในยุคแรก^{[ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่นจอห์น มิเชลล์ในปี 1767 ซึ่งเป็นทศวรรษก่อนที่ปัวซงจะเกิด สนใจในความน่าจะเป็นที่ดาวดวงหนึ่งจะอยู่ในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของดาวอีกดวงหนึ่งภายใต้สมมติฐานที่ผิดพลาดว่าดาวเหล่านั้น "กระจัดกระจายไปโดยบังเอิญ" และศึกษาตัวอย่างที่ประกอบด้วยดาว ที่สว่างที่สุดหกดวง ในกลุ่ม ดาวลูกไก่ โดยไม่ได้หาอนุพันธ์ของการแจกแจงปัวซง งานนี้เป็นแรงบันดาลใจให้ไซมอน นิวคอมบ์ศึกษาปัญหาและคำนวณการแจกแจงปัวซงเป็นการประมาณค่าของการแจกแจงทวินามในปี 1860 ^{[ 3 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 กระบวนการปัวซง (ในมิติเดียว) จะเกิดขึ้นอย่างอิสระในสถานการณ์ต่างๆ^{[ 2 ] [ 3 ]} ในประเทศสวีเดนในปี 1903 ฟิลิป ลุนด์เบิร์กได้ตีพิมพ์วิทยานิพนธ์ที่มีผลงานซึ่งปัจจุบันถือว่าเป็นงานพื้นฐานและบุกเบิก โดยเขาเสนอให้สร้างแบบจำลองการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนประกันภัยด้วยกระบวนการปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกัน^{[ 93 ] [ 94 ]}

ในเดนมาร์กA.K. Erlangได้คิดค้นการแจกแจงปัวซงในปี 1909 ขณะพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนสายโทรศัพท์ขาเข้าในช่วงเวลาจำกัด Erlang ไม่ทราบถึงงานก่อนหน้าของปัวซงและสันนิษฐานว่าจำนวนสายโทรศัพท์ที่เข้ามาในแต่ละช่วงเวลาเป็นอิสระต่อกัน จากนั้นเขาจึงพบกรณีลิมิต ซึ่งก็คือการปรับเปลี่ยนการแจกแจงปัวซงให้เป็นลิมิตของการแจกแจงทวินาม^{[ 2 ]}

ในปี พ.ศ. 2453 เออร์เนสต์ รัทเทอร์ฟอร์ดและฮันส์ ไกเกอร์ได้ตีพิมพ์ผลการทดลองเกี่ยวกับการนับอนุภาคอัลฟา งานทดลองของพวกเขามีส่วนสนับสนุนทางคณิตศาสตร์จากแฮร์รี เบทแมนซึ่งได้อนุมานความน่าจะเป็นแบบปัวซงเป็นคำตอบของตระกูลสมการเชิงอนุพันธ์ แม้ว่าคำตอบจะได้รับการอนุมานมาก่อนหน้านี้แล้วก็ตาม ส่งผลให้มีการค้นพบกระบวนการปัวซงอย่างอิสระ^{[ 2 ]}หลังจากนั้น มีการศึกษาและการประยุกต์ใช้กระบวนการปัวซงมากมาย แต่ประวัติศาสตร์ในช่วงแรกนั้นซับซ้อน ซึ่งได้รับการอธิบายโดยการประยุกต์ใช้กระบวนการนี้ในหลากหลายสาขาโดยนักชีววิทยา นักนิเวศวิทยา วิศวกร และนักวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ต่างๆ^{[ 2 ]}

ช่วงหลายปีหลังปี 1909 นำไปสู่การศึกษาและการประยุกต์ใช้กระบวนการจุดปัวซงจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม ประวัติศาสตร์ในช่วงแรกมีความซับซ้อน ซึ่งได้รับการอธิบายโดยการประยุกต์ใช้กระบวนการนี้ในหลายสาขาโดยนักชีววิทยานักนิเวศวิทยา วิศวกร และบุคคลอื่น ๆ ที่ทำงานในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพผลลัพธ์ในช่วงแรกได้รับการตีพิมพ์ในภาษาที่แตกต่างกันและในบริบทที่แตกต่างกัน โดยไม่มีการใช้คำศัพท์และสัญลักษณ์มาตรฐาน^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น ในปี 1922 นักเคมี ชาวสวีเดน และผู้ได้รับรางวัลโนเบลTheodor Svedbergได้เสนอแบบจำลองที่กระบวนการจุดปัวซงเชิงพื้นที่เป็นกระบวนการพื้นฐานเพื่อศึกษาการกระจายตัวของพืชในชุมชนพืช^{[ 95 ]}นักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งเริ่มศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการนี้ในช่วงต้นทศวรรษ 1930 และAndrey Kolmogorov , William FellerและAleksandr Khinchin [ ^{2 ] ได้} มีส่วนร่วม ที่ สำคัญ ^{[ 96 ]}ในสาขาวิศวกรรมโทรคมนาคมนักคณิตศาสตร์และนักสถิติได้ศึกษาและใช้กระบวนการปัวซงและกระบวนการจุดอื่นๆ^{[ 97 ]}

Conny Palmชาวสวีเดนในวิทยานิพนธ์ ปี 1943 ของเขา ได้ศึกษา Poisson และกระบวนการจุดอื่นๆ ใน การตั้งค่า แบบหนึ่งมิติโดยตรวจสอบในแง่ของการพึ่งพาทางสถิติหรือความสุ่มระหว่างจุดในเวลา^{[ 98 ] [ 97 ]} ในงานของเขามีการใช้คำว่า กระบวนการจุดเป็นครั้งแรกที่บันทึกไว้ในภาษาเยอรมันว่าPunktprozesse ^{[ 98 ] [ 3 ]}

เชื่อกัน ว่า ^{[ 2 ]} William Feller เป็นคนแรกที่ใช้คำว่ากระบวนการปัวซงในงานเขียนเมื่อปี พ.ศ. 2483 แม้ว่า Ove Lundberg ชาวสวีเดนจะใช้คำว่ากระบวนการปัวซงในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาในปี พ.ศ. 2483 ^{[ 3 ]}ซึ่ง Feller ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้มีอิทธิพล^{[ 99 ]}แต่ก็มีการอ้างว่า Feller เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำนี้ก่อนปี พ.ศ. 2483 ^{[ 89 ]}มีข้อสังเกตว่าทั้ง Feller และ Lundberg ใช้คำนี้ราวกับว่าเป็นที่รู้จักกันดีอยู่แล้ว ซึ่งหมายความว่ามีการใช้คำนี้ในภาษาพูดอยู่แล้วในเวลานั้น^{[ 3 ]}เฟลเลอร์ทำงานตั้งแต่ปีพ.ศ. 2479 เคียงข้างฮาราลด์ คราเมอร์ที่มหาวิทยาลัยสตอกโฮล์มซึ่งลุนด์เบิร์กเป็นนักศึกษาปริญญาเอกภายใต้คราเมอร์ ซึ่งไม่ได้ใช้คำว่ากระบวนการปัวซงในหนังสือของเขาที่เสร็จสมบูรณ์ในปีพ.ศ. 2479 แต่ใช้ในฉบับต่อมา ซึ่งนำไปสู่การคาดการณ์ว่าคำว่ากระบวนการปัวซงถูกบัญญัติขึ้นในช่วงระหว่างปีพ.ศ. 2479 ถึง พ.ศ. 2472 ที่มหาวิทยาลัยสตอกโฮล์ม^{[ 3 ]}

คำศัพท์ของทฤษฎีกระบวนการจุดโดยทั่วไปถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่ามีความหลากหลายมากเกินไป^{[ 3 ]}นอกจากคำว่าจุดมักจะถูกละเว้น^{[ 63 ] [ 27 ]}กระบวนการปัวซง (จุด) ที่เป็นเอกพันธุ์ยังถูกเรียกว่ากระบวนการปัวซง (จุด) ที่อยู่กับที่^{[ 47 ]}เช่นเดียวกับกระบวนการปัวซง (จุด) ที่เป็นเอกพันธุ์^{[ 42 ]}กระบวนการปัวซง (จุด) ที่ไม่เอกพันธุ์ นอกจากจะถูกเรียกว่าไม่เป็นเอกพันธุ์^{[ 47 ]}ยังถูกเรียกว่ากระบวนการปัวซงที่ไม่อยู่กับที่อีก ด้วย ^{[ 72 ] [ 100 ]}

คำว่ากระบวนการจุดได้รับการวิพากษ์วิจารณ์ เนื่องจากคำว่ากระบวนการอาจหมายถึงเวลาและพื้นที่ ดังนั้นจึงหมาย^ถึงสนามจุดสุ่ม [ ^{101 ]} ส่งผลให้ มีการใช้คำว่าสนามจุดสุ่มปัวซง หรือสนามจุดปัวซง ด้วย ^{[ 102 ]}กระบวนการจุดถือเป็น และบางครั้งเรียกว่า การวัดการนับแบบสุ่ม^{[ 103 ]}ดังนั้นกระบวนการจุดปัวซงจึงถูกเรียกว่าการวัดแบบสุ่มปัวซง [ ^{104 ] ซึ่ง เป็น}คำที่ใช้ในการศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการเลวี^{[ 104 ] [ 105 ]}แต่บางคนเลือกที่จะใช้สองคำนี้สำหรับกระบวนการจุดปัวซงที่กำหนดไว้บนพื้นที่พื้นฐานที่แตกต่างกันสองแห่ง^{[ 106 ]}

พื้นที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานของกระบวนการจุดปัวซงเรียกว่า พื้นที่พาหะ [ ^{107 ] [ 108 ]}หรือ พื้นที่สถานะ แม้ว่าคำหลังจะมีความ ^หมายที่แตกต่างกันในบริบทของกระบวนการสุ่ม ในบริบทของกระบวนการจุด คำว่า "พื้นที่สถานะ" อาจหมายถึงพื้นที่ที่กำหนดกระบวนการจุด เช่น เส้นจำนวนจริง^{[ 109 ] [ 110 ]}ซึ่งสอดคล้องกับเซตดัชนี^{[ 111 ]}หรือเซตพารามิเตอร์^{[ 112 ]}ในศัพท์เฉพาะของกระบวนการสุ่ม

การวัดนี้^{เรียกว่าการวัดความเข้มข้น [ 113 ] การวัดค่าเฉลี่ย [ 36 ] หรือการวัดพารามิเตอร์ [ 67 ] เนื่องจากไม่มีคำศัพท์มาตรฐาน [ 36} ] ถ้ามี^{อนุพันธ์หรือความ}หนาแน่นซึ่ง^{แสดงด้วย}จะเรียกว่า^{ฟังก์ชันความเข้มข้น}ของ^{กระบวนการจุดปัว}ซ ง[ 20 ] ^{สำหรับกระบวนการจุด}ปัวซงที่เป็นเอกพันธุ์ อนุพันธ์ของการวัดความเข้มข้นเป็นเพียงค่าคงที่ซึ่งสามารถอ้างถึงอัตรา ได้ โดยปกติเมื่อพื้นที่พื้นฐานเป็นเส้นจำนวนจริง หรือ^ความเข้มข้น[ ^{42 ] นอกจาก}นี้ยังเรียกว่า อัตราเฉลี่ยหรือความหนาแน่นเฉลี่ย^{[ 114 ]}หรืออัตรา^{[ 32} ] สำหรับกระบวนการที่สอดคล้องกันบางครั้งเรียกว่ากระบวนการปัวซง (จุด) มาตรฐาน^{[ 43 ] [ 57 ] [ 115 ]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

ขอบเขตของกระบวนการจุดปัวซงบางครั้งเรียกว่าการเปิดรับแสง^{[ 116 ] [ 117 ]}

สัญลักษณ์ของกระบวนการจุดปัวซงขึ้นอยู่กับการตั้งค่าและขอบเขตที่นำไปใช้ ตัวอย่างเช่น บนเส้นจำนวนจริง กระบวนการปัวซง ทั้งแบบเอกพันธุ์และแบบไม่เอกพันธุ์ บางครั้งถูกตีความว่าเป็นกระบวนการนับ และสัญลักษณ์ ถูกใช้เพื่อแสดงกระบวนการปัวซง^{[ 29 ] [ 32 ]}${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

อีกเหตุผลหนึ่งที่ทำให้สัญลักษณ์แตกต่างกันคือทฤษฎีของกระบวนการจุด ซึ่งมีการตีความทางคณิตศาสตร์อยู่สองแบบ ตัวอย่างเช่น กระบวนการจุดปัวซงแบบง่ายอาจถือได้ว่าเป็นเซตสุ่ม ซึ่งแนะนำให้ใช้สัญลักษณ์ ซึ่งหมายความว่าเป็นจุดสุ่มที่อยู่ในหรือเป็นองค์ประกอบของกระบวนการจุดปัวซงการตีความอีกแบบหนึ่งที่ทั่วไปกว่าคือการพิจารณากระบวนการจุดปัวซงหรือกระบวนการจุดอื่น ๆ เป็นการวัดการนับแบบสุ่ม ดังนั้นจึงสามารถเขียนจำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงที่พบหรืออยู่ในบริเวณใดบริเวณหนึ่ง (ที่วัดได้แบบบอเรล) เป็นซึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม การตีความที่แตกต่างกันเหล่านี้ส่งผลให้มีการใช้สัญลักษณ์จากสาขาคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีการวัดและทฤษฎีเซต^{[ 118 ]}${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$

สำหรับกระบวนการจุดทั่วไป บางครั้ง จะมีการเพิ่มตัวห้อยบนสัญลักษณ์จุด เช่น เพื่อให้สามารถเขียน (ด้วยสัญลักษณ์เซต) แทนและสามารถใช้สำหรับตัวแปรขอบเขตในนิพจน์อินทิกรัล เช่น ทฤษฎีบทของแคมป์เบลล์ แทนที่จะใช้แทนจุดสุ่ม^{[ 18 ]}บางครั้งตัวอักษรพิมพ์ใหญ่จะใช้แทนกระบวนการจุด ในขณะที่ตัวอักษรพิมพ์เล็กจะใช้แทนจุดจากกระบวนการ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น จุดหรือเป็นส่วนหนึ่งของ หรือ เป็นจุดของกระบวนการจุดและสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์เซตเป็นหรือได้^{[ 110 ]}${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$${\displaystyle \textstyle x\in N}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

นอกจากนี้ สัญลักษณ์ในทฤษฎีเซตและทฤษฎีปริพันธ์หรือทฤษฎีการวัดสามารถใช้แทนกันได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับกระบวนการจุดที่กำหนดบนปริภูมิสถานะแบบยุคลิดและฟังก์ชัน (ที่วัดได้) บนนิพจน์ ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

แสดงให้เห็นสองวิธีที่แตกต่างกันในการเขียนผลรวมเหนือกระบวนการจุด (ดูทฤษฎีบทของแคมป์เบลล์ (ความน่าจะเป็น) ด้วย ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สัญลักษณ์อินทิกรัลทางด้านซ้ายมือตีความกระบวนการจุดเป็นการวัดการนับแบบสุ่ม ในขณะที่ผลรวมทางด้านขวามือแนะนำการตีความเซตแบบสุ่ม^{[ 118 ]}

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การดำเนินการต่างๆ จะถูกนำไปใช้กับตัวแปรสุ่มเพื่อวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน บางครั้งการดำเนินการเหล่านี้เป็นค่าคาดหวังปกติที่สร้างค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม การดำเนินการอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (หรือการแปลงลาปลาส) ของตัวแปรสุ่มสามารถใช้เพื่อระบุหรือกำหนดลักษณะของตัวแปรสุ่มได้อย่างเฉพาะเจาะจง และพิสูจน์ผลลัพธ์เช่นทฤษฎีบทลิมิตกลาง^{[ 119 ]}ในทฤษฎีของกระบวนการจุด มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันซึ่งมักอยู่ในรูปแบบของการวัดและฟังก์ชันแทนที่จะเป็นโมเมนต์และฟังก์ชันตามลำดับ^{[ 120 ] [ 121 ]}

สำหรับกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดความเข้มข้นบนปริภูมิบางปริภูมิ ฟังก์ชันลาปลาสจะกำหนดโดย: ^{[ 18 ]}${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

ทฤษฎีบทของแคมป์เบลล์ในรูปแบบหนึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลาปลาสของกระบวนการจุดปัวซง

ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบนำไปสู่การกำหนดฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นในลักษณะเดียวกันกับฟังก์ชันที่มีขอบเขตที่ไม่เป็นลบใดๆบนเช่นนั้นสำหรับกระบวนการจุดฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 122 ]}${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

โดยที่ผลคูณนั้นกระทำกับทุกจุดในถ้าการวัดความเข้มของ มี ค่าจำกัดในระดับท้องถิ่น แล้วจะมีความหมายที่ชัดเจนสำหรับฟังก์ชันที่วัดได้ใดๆบนสำหรับกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดความเข้มฟังก์ชันก่อกำเนิดจะกำหนดโดย: ${\textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\textstyle G}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

ซึ่งในกรณีเอกพันธุ์จะลดลงเหลือ

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

สำหรับกระบวนการจุดปัวซงทั่วไปที่มีการวัดความเข้มข้นการวัดโมเมนต์แรกคือการวัดความเข้มข้น: ^{[ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

ซึ่งสำหรับกระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์ที่มีความเข้มคงที่ หมายความว่า: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

โดยที่ความยาว พื้นที่ หรือปริมาตร (หรือโดยทั่วไปคือการวัดแบบเลเบส ) ของ คือ ค่า ใด ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

สมการเมคเค (Mecke equation) อธิบายลักษณะของกระบวนการจุดปัวซง (Poisson point process) ให้เป็นปริภูมิของการวัดแบบจำกัดบนปริภูมิทั่วไปบางปริภูมิ กระบวนการจุดที่มีความเข้มข้นบนเป็นกระบวนการจุดปัวซงก็ต่อเมื่อ สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้ทั้งหมดข้อต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle E\left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int E\left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่^{[ 123 ]}

สำหรับกระบวนการจุดปัวซงทั่วไปที่มีการวัดความเข้มข้นการวัดโมเมนต์แฟกทอเรียลลำดับที่-th จะได้รับจากนิพจน์: ^{[ 124 ]}${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

โดยที่คือมาตรวัดความเข้มข้นหรือมาตรวัดโมเมนต์แรกของซึ่งสำหรับเซตบอเรลบางเซตจะกำหนดโดย ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

สำหรับกระบวนการจุดปัวซงที่เป็นเนื้อเดียวกันการวัดโมเมนต์แฟกทอเรียลลำดับที่ -th นั้นง่ายมาก: ^{[ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

โดยที่ความยาว พื้นที่ หรือปริมาตร (หรือโดยทั่วไปคือการวัดแบบเลเบส ) ของนอกจากนี้ความหนาแน่นของโมเมนต์แฟกทอเรียลลำดับที่ คือ: ^{[ 124 ]}${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

ฟังก์ชันการหลีกเลี่ยง^{[ 69 ]}หรือความน่าจะเป็นของช่องว่าง^{[ 118 ]} ของกระบวนการจุดถูกกำหนดโดยสัมพันธ์กับเซตบางเซตซึ่งเป็นเซตย่อยของปริภูมิพื้นฐานในรูปของความน่าจะเป็นที่ไม่มีจุดใด ๆอยู่ในเซตนั้น กล่าว โดยละเอียด^{[ 125 ]}สำหรับเซตทดสอบฟังก์ชันการหลีกเลี่ยงจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

สำหรับกระบวนการจุดปัวซงทั่วไปที่มีการวัดความเข้มข้นฟังก์ชันการหลีกเลี่ยงจะกำหนดโดย: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

กระบวนการจุดแบบง่ายนั้นมีลักษณะเฉพาะอย่างสมบูรณ์โดยความน่าจะเป็นที่เป็นศูนย์^{[ 126 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ข้อมูลที่สมบูรณ์ของกระบวนการจุดแบบง่ายนั้นถูกจับได้อย่างสมบูรณ์ในความน่าจะเป็นที่เป็นศูนย์ และกระบวนการจุดแบบง่ายสองกระบวนการจะมีความน่าจะเป็นที่เป็นศูนย์เหมือนกันก็ต่อเมื่อเป็นกระบวนการจุดเดียวกันเท่านั้น กรณีของกระบวนการปัวซงบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของเรนีซึ่งตั้งชื่อตามอัลเฟรด เรนีผู้ค้นพบผลลัพธ์สำหรับกรณีของกระบวนการจุดเอกพันธุ์ในมิติเดียว^{[ 127 ]}

ในรูปแบบหนึ่ง^{[ 127 ]}ทฤษฎีบทของ Rényi กล่าวว่า ถ้าเป็นการวัด Radon แบบกระจาย (หรือไม่ใช่อะตอม) บนและเป็นกระบวนการจุดแบบง่ายที่มีขอบเขตจำกัดในท้องถิ่นบนโดยที่สำหรับเซตใดๆที่เป็นการรวมกันของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขอบเขตจำกัด จะมีข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \textstyle A}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$,

ดังนั้น จึงเป็นกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดความเข้มข้น ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์สามารถดำเนินการกับกระบวนการจุดเพื่อสร้างกระบวนการจุดใหม่และพัฒนารูปแบบทางคณิตศาสตร์ใหม่สำหรับตำแหน่งของวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างหนึ่งของการดำเนินการดังกล่าวเรียกว่าการลดจำนวนจุด ซึ่งเกี่ยวข้องกับการลบหรือเอาจุดออกจากกระบวนการจุดบางจุดตามกฎ สร้างกระบวนการใหม่ด้วยจุดที่เหลือ (จุดที่ถูกลบก็ก่อให้เกิดกระบวนการจุดเช่นกัน) ^{[ 128 ]}

สำหรับกระบวนการปัวซงการดำเนินการลดจำนวนแบบอิสระจะส่งผลให้เกิดกระบวนการจุดปัวซงอีกกระบวนการหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งการดำเนินการลดจำนวนที่ใช้กับกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดความเข้มข้นจะให้กระบวนการจุดของจุดที่ถูกลบออก ซึ่งเป็นกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดความเข้มข้น เช่นกัน ซึ่งสำหรับเซตบอเรลที่มีขอบเขตจะได้ดังนี้: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

ผลลัพธ์การลดจำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงนี้บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของ Prekopa ^{[ 129 ]}ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากลดจำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงแบบสุ่มแล้ว จุดที่ถูกเก็บไว้หรือจุดที่เหลืออยู่ก็จะก่อให้เกิดกระบวนการจุดปัวซงซึ่งมีการวัดความเข้มข้น

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

กระบวนการจุดปัวซงสองกระบวนการที่แยกจากกันซึ่งเกิดขึ้นจากจุดที่ถูกลบออกและจุดที่ถูกเก็บไว้ตามลำดับนั้นเป็นอิสระต่อกันในเชิงสุ่ม^{[ 128 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากทราบว่าบริเวณใดมีจุดที่ถูกเก็บไว้ (จากกระบวนการจุดปัวซงดั้งเดิม) แล้วสิ่งนี้จะไม่มีผลต่อจำนวนจุดที่ถูกลบออกแบบสุ่มในบริเวณเดียวกัน ความสามารถในการสร้างกระบวนการจุดปัวซงอิสระสองกระบวนการแบบสุ่มจากกระบวนการเดียวนี้บางครั้งเรียกว่าการแยก^{[ 130 ] [ 131 ]}กระบวนการจุดปัวซง ${\displaystyle \textstyle n}$

หากมีชุดกระบวนการจุดที่นับได้การซ้อนทับกัน หรือในภาษาทฤษฎีเซต การรวมกันของกระบวนการจุด ซึ่งก็คือ^{[ 132 ]}${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

นอกจากนี้ยังก่อให้เกิดกระบวนการจุด กล่าวคือ จุดใดๆ ที่อยู่ในกระบวนการจุดใดๆก็จะอยู่ในสถานะซ้อนทับของกระบวนการจุดเหล่านั้นด้วย ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle {N}}$

ทฤษฎีบทการซ้อนทับของกระบวนการจุดปัวซงกล่าวว่าการซ้อนทับของกระบวนการจุดปัวซงอิสระที่มีการวัดค่าเฉลี่ยจะเป็นกระบวนการจุดปัวซงที่มีการวัดค่าเฉลี่ยเช่นกัน^{[ 133 ] [ 89 ]}${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การรวมกันของกระบวนการปัวซงสองกระบวนการ (หรือมากกว่านั้นที่นับได้) ก็คือกระบวนการปัวซงอีกกระบวนการหนึ่ง หากสุ่มจุดหนึ่งจากผลรวมที่นับได้ของกระบวนการปัวซง ความน่าจะเป็นที่จุดนั้นเป็นของกระบวนการปัวซงที่ i จะกำหนดโดย: ${\textstyle x}$${\textstyle n}$${\displaystyle \textstyle x}$${\textstyle j}$${\textstyle N_{j}}$