ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะ เป็น กระบวนการจุดหรือฟิลด์จุด คือเซตของ จุดทางคณิตศาสตร์จำนวน สุ่ม ที่ตั้งอยู่แบบสุ่มบนพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ เช่นเส้นจำนวนจริงหรือพื้นที่ยุคลิด^{[ 1 ] [ 2 ]}

กระบวนการจุดบนเส้นจำนวนจริงถือเป็นกรณีพิเศษที่สำคัญซึ่งเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการศึกษา^{[ 3 ]}เนื่องจากจุดต่างๆ ถูกเรียงลำดับในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ และกระบวนการจุดทั้งหมดสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยช่วงเวลา (แบบสุ่ม) ระหว่างจุดต่างๆ กระบวนการจุดเหล่านี้มักใช้เป็นแบบจำลองสำหรับเหตุการณ์สุ่มในเวลา เช่น การมาถึงของลูกค้าในคิว ( ทฤษฎีคิว ) แรงกระตุ้นในเซลล์ประสาท ( ประสาทวิทยาเชิงคำนวณ ) อนุภาคในเครื่องวัดรังสีไกเกอร์ตำแหน่งของสถานีวิทยุในเครือข่ายโทรคมนาคม^{[ 4 ]}หรือการค้นหาบนเว็บทั่วโลก

กระบวนการจุดทั่วไปบนพื้นที่ยุคลิดสามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงพื้นที่ [ ^{5 ] [ 6 ]}ซึ่งเป็นที่น่าสนใจในสาขาวิชาที่หลากหลาย เช่น ป่าไม้ นิเวศวิทยาพืช ระบาดวิทยา ภูมิศาสตร์ แผ่นดินไหววิทยา วิทยาศาสตร์วัสดุ ดาราศาสตร์ โทรคมนาคม ประสาทวิทยาศาสตร์เชิงคำนวณ^{[ 7 ] เศรษฐศาสตร์} [ ^{8 ] และ}อื่นๆ

เนื่องจากกระบวนการจุดได้รับการพัฒนาโดยชุมชนต่างๆ ในอดีต จึงมีการตีความทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันของกระบวนการจุด เช่นการวัดการนับแบบสุ่มหรือเซตแบบสุ่ม^{[ 9 ] [ 10 ]}และสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน สัญลักษณ์เหล่านี้ได้รับการอธิบายโดยละเอียดในหน้า สัญลักษณ์ของกระบวนการจุด

ผู้เขียนบางคนมองว่ากระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มเป็นวัตถุสองอย่างที่แตกต่างกัน โดยที่กระบวนการจุดเป็นวัตถุสุ่มที่เกิดขึ้นจากหรือเกี่ยวข้องกับกระบวนการสุ่ม^{[ 11 ] [ 12 ]}แม้ว่าจะมีการกล่าวไว้ว่าความแตกต่างระหว่างกระบวนการจุดและกระบวนการสุ่มนั้นไม่ชัดเจน^{[ 12 ]}คนอื่นๆ พิจารณากระบวนการจุดว่าเป็นกระบวนการสุ่ม โดยที่กระบวนการนั้นถูกจัดทำดัชนีโดยเซตของพื้นที่พื้นฐาน^{[ a ]} ​​ที่กำหนด เช่น เส้นจำนวนจริงหรือ พื้นที่ยุคลิดมิติ^{[ 15 ] [ 16 ]} กระบวนการสุ่มอื่นๆ เช่น กระบวนการต่ออายุและกระบวนการนับได้รับการศึกษาในทฤษฎีของกระบวนการจุด^{[ 17 ] [ 12 ]}บางครั้งคำว่า "กระบวนการจุด" ก็ไม่เป็นที่นิยม เนื่องจากในอดีตคำว่า "กระบวนการ" หมายถึงวิวัฒนาการของระบบบางอย่างในเวลา ดังนั้นกระบวนการจุดจึงถูกเรียกว่าสนามจุดสุ่มด้วย^{[ 18 ]}${\displaystyle n}$

ในทางคณิตศาสตร์ กระบวนการจุด (point process) คือองค์ประกอบสุ่มที่มีค่าเป็น "รูปแบบจุด" บนเซตSแม้ว่าในนิยามทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอน รูปแบบจุดจะถูกระบุว่าเป็นมาตรวัดการนับที่มีขอบเขตจำกัด แต่ เพื่อวัตถุประสงค์ในการประยุกต์ใช้มากขึ้น การคิดว่ารูปแบบจุดเป็น เซตย่อย ที่นับได้ของSที่ไม่มีจุดจำกัดก็ เพียงพอแล้ว

ในการกำหนดกระบวนการจุดทั่วไป เราเริ่มต้นด้วยปริภูมิความน่าจะเป็นและปริภูมิที่วัดได้โดยที่เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบนับได้ลำดับที่สองที่กระชับเฉพาะที่และเป็น พีชคณิตบอเรล σ ของมัน พิจารณาเคอร์เนลที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มและจำกัดเฉพาะที่ จากไปยังนั่นคือ การแมปที่ ทำให้: ${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}})}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. สำหรับทุก ๆเป็นมาตรวัดจำกัดเฉพาะที่ ( ที่ มีค่าเป็นจำนวนเต็ม) บน${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$${\displaystyle S}$
2. สำหรับทุกค่าจะเป็นตัวแปรสุ่มเหนือค่า${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

เคอร์เนลนี้กำหนดการวัดแบบสุ่มในลักษณะต่อไปนี้ เราต้องการคิดว่า มันเป็นการกำหนดแผนที่ซึ่งแมปไปยังการวัด (นั่นคือ) โดยที่คือเซตของการวัดแบบจำกัดเฉพาะที่ทั้งหมดบน ทีนี้เพื่อให้แผนที่นี้สามารถวัดได้ เราจำเป็นต้องกำหนดฟิลด์ -เหนือ ฟิลด์ -นี้ถูกสร้างขึ้นเป็นพีชคณิตขั้นต่ำเพื่อให้แผนที่การประเมินค่าทั้งหมดในรูปแบบ โดยที่มีความกะทัดรัดสัมพัทธ์สามารถวัดได้ เมื่อมีฟิลด์ -นี้แล้วจะเป็นองค์ประกอบแบบสุ่ม โดยที่สำหรับทุก จะเป็นการวัดแบบจำกัดเฉพาะที่บน ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\โอเมก้า }}$${\displaystyle S}$

ในที่นี้กระบวนการจุดบน ξ หมายถึงการวัดแบบสุ่มที่มีค่าเป็นจำนวนเต็ม (หรือเทียบเท่ากับเคอร์เนลที่มีค่าเป็นจำนวนเต็ม) ที่สร้างขึ้นดังที่กล่าวมาข้างต้น ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดสำหรับปริภูมิสถานะSคือปริภูมิยุคลิดR ⁿหรือเซตย่อยของมัน ซึ่งกรณีพิเศษที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือครึ่งเส้นจำนวนจริง [0,∞) อย่างไรก็ตาม กระบวนการจุดไม่ได้จำกัดอยู่เพียงตัวอย่างเหล่านี้ และอาจใช้ได้ในกรณีอื่นๆ ด้วย เช่น หากจุดเหล่านั้นเป็นเซตย่อยแบบกระชับของR ⁿซึ่งในกรณีนี้ξมักถูกเรียกว่ากระบวนการ อนุภาค${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi }$

ถึงแม้ว่าชื่อจะเป็น กระบวนการจุดแต่Sอาจไม่ใช่เซตย่อยของเส้นจำนวนจริง ซึ่งอาจบ่งชี้ว่า ξ เป็นกระบวนการสุ่ม

ทุกกรณี (หรือเหตุการณ์) ของกระบวนการจุด ξ สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

โดยที่แทนการวัดแบบ Dirac , nเป็นตัวแปรสุ่มจำนวนเต็ม และเป็นองค์ประกอบสุ่มของSถ้ามี ค่าแตกต่างกัน เกือบแน่นอน (หรือเทียบเท่ากับเกือบแน่นอนสำหรับทุก) แล้วกระบวนการจุดนั้นเรียกว่ากระบวนการจุดแบบ ง่าย${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

อีกหนึ่งวิธีที่แตกต่างแต่มีประโยชน์ในการแสดงเหตุการณ์ (เหตุการณ์ในปริภูมิเหตุการณ์ กล่าวคือ ชุดของจุด) คือ สัญกรณ์การนับ ซึ่งแต่ละอินสแตนซ์จะถูกแทนด้วยฟังก์ชัน ฟังก์ชันต่อเนื่องที่รับค่าในช่วงหนึ่ง: ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle N{\begin{cases}{\mathbb {R} ^{2}}\to {\mathbb {N} }\\(t_{1},t_{2})\mapsto \int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt\end{cases}}}$

ซึ่งก็คือจำนวนเหตุการณ์ในช่วงเวลาการสังเกตบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์, หรือหรือค่าเฉลี่ยแทน ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$${\displaystyle N_{T}}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0,T}}$

มาตรวัดความคาดหวังEξ (หรือที่เรียกว่า มาตรวัดค่าเฉลี่ย ) ของกระบวนการจุด ξ คือมาตรวัดบนSที่กำหนดจำนวนจุดที่คาดหวังของξในB ให้กับเซตย่อยบอเรล B ทุกเซต ของSนั่นคือ

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{สำหรับทุก }}B\in {\mathcal {B}}.}$

ฟังก์ชันลาปลาส ของกระบวนการจุดNคือแผนที่จากเซตของฟังก์ชันค่าบวกทั้งหมดfบนปริภูมิสถานะของNไปยัง ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

ฟังก์ชันเหล่านี้มีบทบาทคล้ายกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มทฤษฎีบทสำคัญข้อหนึ่งกล่าวว่า กระบวนการจุดสองกระบวนการจะมีกฎเดียวกันหากฟังก์ชันลาปลาสของทั้งสองกระบวนการเท่ากัน

กำลังที่ th ของกระบวนการจุดถูกกำหนดบนปริภูมิผลคูณดังนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi ^{n},}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

ตามทฤษฎีบทชั้นโมโนโทนสิ่งนี้กำหนดมาตรวัดผลคูณบน ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ค่าคาดหวังเรียกว่ามาตรวัดโมเมนต์ที่มาตรวัดโมเมนต์แรกคือมาตรวัดค่าเฉลี่ย ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$${\displaystyle n}$

ให้. ความเข้มร่วมของกระบวนการจุดเทียบกับการวัดแบบเลเบสคือฟังก์ชันต่างๆโดยที่สำหรับเซตย่อยบอเรลที่มีขอบเขตและไม่ทับซ้อนกันใดๆ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

ความเข้มร่วมไม่ได้มีอยู่เสมอสำหรับกระบวนการจุด เนื่องจากโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มกำหนดตัวแปรสุ่มในหลายกรณี จึงคาดหวังผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับความเข้มร่วม อันที่จริง สิ่งนี้ได้รับการแสดงให้เห็นในหลายกรณี^{[ 2 ]}

กล่าวได้ว่ากระบวนการจุด เป็น แบบสถิตหากมีการแจกแจงแบบเดียวกันกับสำหรับทุกสำหรับกระบวนการจุดแบบสถิต ค่าเฉลี่ยของการวัดสำหรับค่าคงที่บางค่าและโดยที่หมายถึงการวัดแบบเลเบส สิ่งนี้เรียกว่าความเข้มของกระบวนการจุด กระบวนการจุดแบบสถิตบนมีจุดทั้งหมดเกือบแน่นอนเป็น 0 หรืออนันต์ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการจุดแบบสถิตและการวัดแบบสุ่ม โปรดดูบทที่ 12 ของ Daley & Vere-Jones ^{[ 2 ]} ความสถิตได้รับการกำหนดและ ศึกษา สำหรับกระบวนการจุดในปริภูมิทั่วไปมากกว่า${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

การแปลงกระบวนการจุด คือ ฟังก์ชันที่แมปกระบวนการจุดหนึ่งไปยังกระบวนการจุดอื่น

เราจะได้เห็นตัวอย่างของกระบวนการจุดบางส่วนใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดและพบได้ทั่วไปที่สุดของกระบวนการจุดคือกระบวนการจุดปัวซงซึ่งเป็นการขยายความเชิงพื้นที่ของกระบวนการปัวซงกระบวนการปัวซง (การนับ) บนเส้นตรงสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยคุณสมบัติสองประการ คือ จำนวนจุด (หรือเหตุการณ์) ในช่วงเวลาที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบปัวซงกระบวนการจุดปัวซงยังสามารถกำหนดได้โดยใช้คุณสมบัติทั้งสองนี้ กล่าวคือ เรากล่าวว่ากระบวนการจุดเป็นกระบวนการจุดปัวซงหากเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle \xi }$

1) เป็นอิสระสำหรับเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) สำหรับเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆจะมีการแจกแจงแบบปัวซงที่มีพารามิเตอร์โดยที่ แทนการวัดแบบเลเบส ${\displaystyle B}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \lambda \|B\|,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

เงื่อนไขทั้งสองสามารถรวมกันและเขียนได้ดังนี้: สำหรับเซตย่อยที่มีขอบเขตและไม่ทับซ้อนกันใดๆและจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเราจะได้ว่า ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

ค่าคงที่นี้เรียกว่าความเข้มของกระบวนการจุดปัวซง โปรดสังเกตว่ากระบวนการจุดปัวซงมีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์เดียวมันเป็นกระบวนการจุดแบบง่ายและอยู่กับที่ เพื่อให้เจาะจงมากขึ้น เราเรียกกระบวนการจุดข้างต้นว่ากระบวนการจุดปัวซงเอกพันธุ์กระบวนการปัวซงไม่เอกพันธุ์ถูกกำหนดไว้เช่นเดียวกับข้างต้น แต่โดยการแทนที่ด้วยโดยที่เป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ บน${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

กระบวนการค็อกซ์ ( ตั้งชื่อตามเซอร์เดวิด ค็อกซ์ ) เป็นการขยายความของกระบวนการจุดปัวซง โดยที่เราใช้มาตรวัดสุ่มแทนค่าในทางที่เป็นทางการมากขึ้น ให้เป็นมาตรวัดสุ่มกระบวนการจุดค็อกซ์ที่ขับเคลื่อนด้วยมาตรวัดสุ่มคือกระบวนการจุดที่มีคุณสมบัติสองประการดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \xi }$

1. กำหนดให้มีการแจกแจงแบบปัวซงด้วยพารามิเตอร์สำหรับเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \Lambda (B)}$${\displaystyle B.}$
2. สำหรับเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดใดๆและภายใต้เงื่อนไขเราจะได้ว่าเซตเหล่านั้นเป็นอิสระต่อกัน${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

จะเห็นได้ง่ายว่ากระบวนการจุดปัวซง (ทั้งแบบเอกพันธุ์และอเอกพันธุ์) เป็นกรณีพิเศษของกระบวนการจุดค็อกซ์ ค่าเฉลี่ยของกระบวนการจุดค็อกซ์คือและดังนั้นในกรณีพิเศษของกระบวนการจุดปัวซง ค่าเฉลี่ยคือ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

สำหรับกระบวนการจุดค็อกซ์เรียกว่าการวัดความเข้มข้นยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีความหนาแน่น (แบบสุ่ม) ( อนุพันธ์เรดอน-นิโคดิม ) กล่าวคือ ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

จากนั้นจึงเรียกว่าสนามความเข้มของกระบวนการจุดค็อกซ์ ความเสถียรของการวัดความเข้มหรือสนามความเข้มบ่งบอกถึงความเสถียรของกระบวนการจุดค็อกซ์ที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

มีกระบวนการจุดค็อกซ์หลายประเภทที่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด เช่น:

• กระบวนการจุด Cox แบบ Log-Gaussian: ^{[ 19 ]} สำหรับฟิลด์สุ่มแบบ Gaussian${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$${\displaystyle X(\cdot )}$
• กระบวนการจุด Cox ของ Shot noise: ^{[ 20 ]} สำหรับกระบวนการจุด Poisson และเคอร์เนล${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• กระบวนการจุด Cox ที่มีสัญญาณรบกวนช็อตทั่วไป: ^{[ 21 ]} สำหรับกระบวนการจุดและเคอร์เนล${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• กระบวนการจุด Cox ที่ใช้ Lévy: ^{[ 22 ]} สำหรับฐาน Lévy และเคอร์เนลและ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$${\displaystyle L(\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• กระบวนการจุดค็อกซ์ถาวร: ^{[ 23 ]} สำหรับฟิลด์สุ่มเกาส์เซียนอิสระkฟิลด์${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• กระบวนการจุด Cox เกาส์เซียนซิกมอยด์: ^{[ 24 ]} สำหรับฟิลด์สุ่มเกาส์เซียนและสุ่ม${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

จากอสมการของ Jensen เราสามารถตรวจสอบได้ว่ากระบวนการจุด Cox สอดคล้องกับอสมการต่อไปนี้: สำหรับเซตย่อย Borel ที่มีขอบเขตทั้งหมด ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

โดยที่หมายถึงกระบวนการจุดปัวซง (Poisson point process) ที่มีการวัดความเข้มข้นดังนั้น จุดต่างๆ จึงกระจายตัวด้วยความแปรปรวนที่มากกว่าในกระบวนการจุดค็อกซ์ (Cox point process) เมื่อเทียบกับกระบวนการจุดปัวซง (Poisson point process) บางครั้งเรียกปรากฏการณ์นี้ว่าการรวมกลุ่ม (clustering)หรือคุณสมบัติที่ดึงดูดใจ (attractive property ) ของกระบวนการจุดค็อกซ์ ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

กระบวนการจุดประเภทสำคัญที่มีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ทฤษฎีเมทริกซ์สุ่มและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงคือกระบวนการจุดดีเทอร์มิแนนต์^{[ 25 ]}

กระบวนการฮอว์กส์ หรือที่รู้จักกันในชื่อกระบวนการนับแบบกระตุ้นตัวเอง เป็นกระบวนการจุดอย่างง่ายที่มีความเข้มข้นแบบมีเงื่อนไขซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

โดยที่ เป็นฟังก์ชันเคอร์เนลซึ่งแสดงถึงอิทธิพลเชิงบวกของเหตุการณ์ในอดีตที่มีต่อค่าปัจจุบันของกระบวนการความเข้มข้นเป็นฟังก์ชันที่อาจไม่คงที่ซึ่งแสดงถึงส่วนที่คาดหวัง คาดการณ์ได้ หรือกำหนดได้ของความเข้มข้น และคือเวลาที่เกิด เหตุการณ์ ที่ iของกระบวนการ^{[ 26 ]}${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

เมื่อกำหนดลำดับของตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบหากตัวแปรเหล่านั้นเป็นอิสระต่อกัน และฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) ของถูกกำหนดโดยสำหรับโดยที่เป็นค่าคงที่บวก แล้วเรียกว่ากระบวนการทางเรขาคณิต (GP) ^{[ 27 ]}${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

กระบวนการทางเรขาคณิตมีส่วนขยายหลายอย่าง รวมถึงกระบวนการอนุกรม α ^{[ 28 ]}และกระบวนการทางเรขาคณิตสองเท่า^{[ 29 ]}

ในอดีต กระบวนการจุดแรกที่ได้รับการศึกษาจะมีเส้นครึ่งจริงR ₊ = [0,∞) เป็นปริภูมิสถานะ ซึ่งในบริบทนี้มักจะตีความว่าเป็นเวลา การศึกษาเหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาที่จะสร้างแบบจำลองระบบโทรคมนาคม^{[ 30 ]}ซึ่งจุดต่างๆ แทนเหตุการณ์ในเวลา เช่น การโทรไปยังชุมสายโทรศัพท์

โดย  _{ทั่วไป}กระบวนการจุดบนR ₊จะถูกอธิบายโดยการให้ลำดับของช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ (แบบสุ่ม) ( _T1 , T2  , _... ) ซึ่งสามารถหาลำดับจริง ( X1 _, X2 , ...) ของเวลาเหตุการณ์ได้ดังนี้

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

หากช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบเดียวกัน กระบวนการจุดที่ได้จะเรียกว่ากระบวนการต่ออายุ (renewal process )

ความเข้มλ ( t  |  H _t ) ของกระบวนการจุดบนครึ่งเส้นจริงโดยสัมพันธ์กับตัวกรอง H _t ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _tสามารถหมายถึงประวัติของช่วงเวลาเหตุการณ์ก่อนเวลาtแต่ก็สามารถสอดคล้องกับการกรองแบบอื่นได้เช่นกัน (ตัวอย่างเช่น ในกรณีของกระบวนการ Cox)

ในการเขียนแบบ -notation สามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้: ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

ตัวชดเชยของกระบวนการจุด หรือที่รู้จักกันในชื่อการฉายภาพที่ทำนายได้แบบคู่คือฟังก์ชันความเข้มแบบมีเงื่อนไขแบบบูรณาการที่กำหนดโดย

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

ฟังก์ชันความเข้มของปาแปงเจลูสำหรับกระบวนการจุดในปริภูมิยุคลิดมิติ n ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

โดยที่ทรงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่รัศมี และแทน ข้อมูลของกระบวนการจุด ภายนอก${\displaystyle B_{\delta }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

ความน่าจะเป็นเชิงลอการิทึมของกระบวนการจุดแบบง่ายที่มีพารามิเตอร์ โดยมีเงื่อนไขขึ้นอยู่กับข้อมูลที่สังเกตได้บางส่วน เขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^{[ 31 ]}

การวิเคราะห์ข้อมูลรูปแบบจุดในเซตย่อยขนาดกะทัดรัดSของR ⁿเป็นหัวข้อหลักของการศึกษาในสถิติเชิงพื้นที่ข้อมูลดังกล่าวปรากฏในหลากหลายสาขาวิชา^{[ 32 ]}ซึ่งรวมถึง

• ป่าไม้และนิเวศวิทยาของพืช (ตำแหน่งของต้นไม้หรือพืชโดยทั่วไป)
• ระบาดวิทยา (สถานที่อยู่อาศัยของผู้ป่วยที่ติดเชื้อ)
• สัตววิทยา (โพรงหรือรังของสัตว์)
• ภูมิศาสตร์ (ตำแหน่งที่ตั้งของชุมชนมนุษย์ เมือง หรือนคร)
• ธรณีวิทยาแผ่นดินไหว (จุดศูนย์กลางแผ่นดินไหว)
• วิทยาศาสตร์วัสดุ (ตำแหน่งของข้อบกพร่องในวัสดุอุตสาหกรรม)
• ดาราศาสตร์ (ตำแหน่งของดาวฤกษ์หรือกาแล็กซี)
• ประสาทวิทยาเชิงคำนวณ (สัญญาณกระตุ้นของเซลล์ประสาท)

ความจำเป็นในการใช้กระบวนการจุดเพื่อสร้างแบบจำลองข้อมูลประเภทนี้เกิดจากโครงสร้างเชิงพื้นที่โดยธรรมชาติของข้อมูลเหล่านั้น ดังนั้น คำถามแรกที่น่าสนใจมักจะเป็นว่าข้อมูลที่ให้มานั้นแสดงถึงความสุ่มเชิงพื้นที่อย่างสมบูรณ์ หรือ ไม่ (กล่าวคือ เป็นผลลัพธ์ของกระบวนการปัวซง เชิงพื้นที่ ) หรือแสดงให้เห็นถึงการรวมกลุ่มเชิงพื้นที่หรือการยับยั้งเชิงพื้นที่

ในทางตรงกันข้าม ชุดข้อมูลจำนวนมากที่นำมาพิจารณาในสถิติหลายตัวแปรแบบ ดั้งเดิม นั้น ประกอบด้วยจุดข้อมูลที่สร้างขึ้นอย่างอิสระ ซึ่งอาจถูกควบคุมโดยตัวแปรเสริมหนึ่งตัวหรือหลายตัว (โดยทั่วไปไม่ใช่ตัวแปรเชิงพื้นที่)

นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้ในสถิติเชิงพื้นที่แล้ว กระบวนการจุดยังเป็นหนึ่งในวัตถุพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงสุ่มงานวิจัยยังให้ความสำคัญอย่างกว้างขวางกับแบบจำลองต่างๆ ที่สร้างขึ้นจากกระบวนการจุด เช่นการปูพื้นแบบโวโรนอยกราฟเรขาคณิตแบบสุ่มและแบบจำลองบูลีน

• การวัดเชิงประจักษ์
• การวัดแบบสุ่ม
• สัญกรณ์กระบวนการจุด
• การดำเนินการกระบวนการจุด
• กระบวนการปัวซง
• ทฤษฎีการต่ออายุ
• การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลง
• ผู้ดำเนินการโอนย้าย
• ผู้ดำเนินการคูปแมน
• พนักงานกะ