ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติสั ญกรณ์กระบวนการจุด ประกอบด้วย สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์หลากหลาย รูปแบบ ที่ใช้ในการแสดงวัตถุสุ่ม ที่เรียกว่ากระบวนการจุดซึ่งใช้ในสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่นเรขาคณิตเชิงสุ่มสถิติเชิงพื้นที่และทฤษฎีการซึมผ่านแบบต่อเนื่องและมักใช้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์สุ่มที่สามารถแสดงได้ในรูปจุด ในเวลา ในอวกาศ หรือทั้งสองอย่าง

สัญลักษณ์จะแตกต่างกันไปตามประวัติของสาขาคณิตศาสตร์บางสาขาและการตีความกระบวนการจุดที่แตกต่างกัน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} และยืมสัญลักษณ์จากสาขาการศึกษาคณิตศาสตร์ เช่นทฤษฎีการวัดและทฤษฎีเซต^{[ 1 ]}

สัญลักษณ์และศัพท์เฉพาะของกระบวนการจุดขึ้นอยู่กับการตั้งค่าและการตีความในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์ซึ่งภายใต้สมมติฐานบางประการสามารถตีความได้ว่าเป็นลำดับ จุดแบบสุ่ม ชุด จุด แบบสุ่มหรือการวัดการนับแบบสุ่ม^{[ 1 ]}

ในกรอบทางคณิตศาสตร์บางกรอบ กระบวนการจุดที่กำหนดอาจถือได้ว่าเป็นลำดับของจุด โดยแต่ละจุดวางตำแหน่งแบบสุ่มในปริภูมิยุคลิดมิติ d R ^{d [ 1 ]} เช่นเดียวกับ ปริภูมิทางคณิตศาสตร์นามธรรมอื่นๆ อีกด้วย โดยทั่วไปแล้ว การที่ลำดับสุ่มเทียบเท่ากับการตีความอื่นๆ ของกระบวนการจุดหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับปริภูมิทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน แต่สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการตั้งค่าของ ^{ปริภูมิ}ยุคลิดมิติจำกัดR ^{d [ 4} ]

กระบวนการจุดเรียกว่าเรียบง่ายหากไม่มีจุดสองจุด (หรือมากกว่านั้น) ที่ตรงกันในตำแหน่งด้วยความน่าจะเป็นหนึ่งเนื่องจากกระบวนการจุดมักจะเรียบง่ายและลำดับของจุดไม่สำคัญ การรวบรวมจุดสุ่มจึงสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเซตของจุดสุ่ม^{[ 1 ] [ 5 ]}ทฤษฎีเซตสุ่มได้รับการพัฒนาโดยอิสระโดยDavid KendallและGeorges Matheronในแง่ของการพิจารณาว่าเป็นเซตสุ่ม ลำดับของจุดสุ่มจะเป็นเซตปิดสุ่มหากลำดับนั้นไม่มีจุดสะสมด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง^{[ 6 ]}

กระบวนการจุดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเดียว^{[ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]}ตัวอย่างเช่นและหากพิจารณากระบวนการจุดเป็นเซตสุ่มแล้ว สัญลักษณ์ที่สอดคล้องกันคือ: ^{[ 1 ]}${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle x\in {N},}$

ใช้เพื่อแสดงว่าจุดสุ่มเป็นสมาชิกของ (หรือเป็นส่วนหนึ่งของ) กระบวนการจุดทฤษฎีเซตสุ่มสามารถนำไปใช้กับกระบวนการจุดได้เนื่องจากการตีความนี้ ซึ่งเมื่อรวมกับการตีความลำดับสุ่มแล้ว ส่งผลให้กระบวนการจุดสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle x}$${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots \}=\{x\}_{i},}$

ซึ่งเน้นการตีความว่าเป็นลำดับสุ่มหรือเซตปิดแบบสุ่มของจุด^{[ 1 ]}นอกจากนี้ บางครั้งตัวอักษรพิมพ์ใหญ่จะแทนกระบวนการจุด ในขณะที่ตัวอักษรพิมพ์เล็กแทนจุดจากกระบวนการ ดังนั้น ตัวอย่างเช่น จุด(หรือ) เป็นส่วนหนึ่งของ หรือ เป็นจุดของกระบวนการจุดหรือด้วยสัญกรณ์เซต^{[ 8 ]}${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$

เพื่อแสดงจำนวนจุดที่อยู่ในเซต Borel บางเซต บางครั้งจะเขียนว่า^{[ 7 ]}${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=\#(B\cap {N}),}$

โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มและเป็นมาตรวัดการนับซึ่งให้จำนวนจุดในเซตบางเซต ในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ นี้ กระบวนการจุดจะถูกแทนด้วย: ${\displaystyle \Phi (B)}$${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}}$.

ในทางกลับกัน สัญลักษณ์:

${\displaystyle \Phi }$

แสดงถึงจำนวนจุดของในในบริบทของการวัดแบบสุ่ม เราสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=n}$

เพื่อระบุว่ามีเซตที่ประกอบด้วยจุดของกล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการจุดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการวัดแบบสุ่มที่กำหนดการวัด ค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ให้กับเซต^{[ 1 ]}การตีความนี้ได้กระตุ้นให้กระบวนการจุดถูกพิจารณาว่าเป็นเพียงชื่ออื่นของการวัดการนับแบบสุ่ม^{[ 9 ] : 106} และเทคนิคของทฤษฎีการวัดแบบสุ่มนำเสนอวิธีอื่นในการศึกษากระบวนการจุด^{[ 1 ] [ 10 ]}ซึ่งยังกระตุ้นให้มีการใช้สัญลักษณ์ต่างๆ ที่ใช้ใน ทฤษฎี การบูรณาการและการวัด^{[ a ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {N}}$

การตีความที่แตกต่างกันของกระบวนการจุดในฐานะเซตสุ่มและการวัดการนับนั้นถูกบันทึกไว้ด้วยสัญลักษณ์ที่ใช้บ่อย^{[ 1 ] [ 3 ] [ 8 ] [ 11 ]}ซึ่ง:

• ${\displaystyle {N}}$หมายถึงเซตของจุดสุ่ม
• ${\displaystyle {N}(B)}$หมายถึงตัวแปรสุ่มที่ให้จำนวนจุดของใน(ดังนั้นจึงเป็นการวัดการนับแบบสุ่ม)${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

เมื่อกำหนดมาตรวัดการนับอีกครั้งด้วยสัญลักษณ์นี้ สัญลักษณ์คู่ขนานนี้หมายความว่า: ${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}(B)=\#(B\cap {N}).}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่วัดได้บนR ^dแล้ว ผลรวมของเหนือจุดทั้งหมดในสามารถเขียนได้หลายวิธี^{[ 1 ] [ 3 ]}เช่น: ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots }$

ซึ่งมีลักษณะเป็นลำดับแบบสุ่ม หรือเขียนในรูปแบบเซตได้ดังนี้:

${\displaystyle \sum _{x\in {N}}f(x)}$

หรือเทียบเท่ากับการใช้สัญลักษณ์การอินทิเกรตดังนี้:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}ฉ(x){N}(dx)}$

ซึ่งเน้นการตีความว่าเป็นการวัดการนับแบบสุ่ม สามารถใช้สัญลักษณ์การอินทิเกรตแบบอื่นเพื่อเขียนอินทิกรัลนี้ได้ดังนี้: ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}}$

การตีความแบบคู่ขนานของกระบวนการจุดแสดงให้เห็นได้เมื่อเขียนจำนวนจุดในเซตดังนี้: ${\displaystyle {N}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)}$

โดยที่ฟังก์ชันตัวบ่งชี้จะมีค่าเป็น 1 ถ้าจุดนั้นมีอยู่ในและมีค่าเป็นศูนย์ถ้าไม่มี ซึ่งในการตั้งค่านี้เรียกอีกอย่างว่าการวัดแบบ Dirac ^{[ 11 ]}ในนิพจน์นี้ การตีความการวัดแบบสุ่มจะอยู่ทางด้านซ้ายมือในขณะที่การใช้สัญลักษณ์เซตแบบสุ่มจะอยู่ทางด้านขวามือ ${\displaystyle 1_{B}(x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$

ค่าเฉลี่ยหรือค่าที่คาดหวังของผลรวมของฟังก์ชันเหนือกระบวนการจุดเขียนได้ดังนี้: ^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{หรือ}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),}$

โดยที่ (ในความหมายของการวัดแบบสุ่ม) เป็นการวัดความน่าจะเป็น ที่เหมาะสม ซึ่งกำหนดไว้บนพื้นที่ของการวัดการนับ ค่าที่คาดหวังของ สามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle {\textbf {N}}}$${\displaystyle {N}(B)}$

${\displaystyle E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{หรือ}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).}$

ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการวัดโมเมนต์ แรก ของ ความคาดหวังของผลรวมสุ่มดังกล่าว ซึ่งเรียกว่ากระบวนการช็อตนอยส์ในทฤษฎีของกระบวนการจุด สามารถคำนวณได้ด้วยทฤษฎีบทของแคมป์เบลล์^{[ 2 ]}${\displaystyle {N}}$

กระบวนการจุดถูกนำไปใช้ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์และสถิติอื่นๆ ดังนั้นสัญลักษณ์นี้จึงอาจถูกนำไปใช้ในสาขาต่างๆ เช่นเรขาคณิตเชิงสุ่มสถิติเชิงพื้นที่หรือทฤษฎีการซึมผ่านแบบต่อเนื่องและสาขาอื่นๆ ที่ใช้วิธีการและทฤษฎีจากสาขาเหล่านี้

• สัญลักษณ์ตัวอักษรและตัวเลขทางคณิตศาสตร์
• สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์
• สัญลักษณ์ในความน่าจะเป็น
• ตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์