การแพร่คือการเคลื่อนที่สุทธิของสิ่งใดๆ (เช่น อะตอม ไอออน โมเลกุล พลังงาน) โดยทั่วไปจากบริเวณที่มีความเข้มข้น สูงกว่า ไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำกว่า การแพร่เกิดขึ้นจากความแตกต่างของพลังงานอิสระของกิบส์หรือศักยภาพทางเคมีสามารถแพร่ "ขึ้นเนิน" จากบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำกว่าไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงกว่าได้ เช่นเดียวกับการสลายตัวแบบสปิโนดัลการแพร่เป็นกระบวนการสุ่ม เนื่องจากความสุ่มโดยธรรมชาติของสิ่งที่กำลังแพร่ และสามารถใช้จำลองสถานการณ์สุ่มในชีวิตจริงได้หลายอย่าง ดังนั้น การแพร่และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องจึงถูกนำไปใช้ในหลาย สาขานอกเหนือจากฟิสิกส์ เช่นสถิติทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีสารสนเทศเครือข่ายประสาทเทียมการเงินและการตลาด

แนวคิดเรื่องการแพร่กระจายถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในหลายสาขา รวมถึงฟิสิกส์ ( การแพร่กระจาย ของอนุภาค ) เคมีชีววิทยาสังคมวิทยาเศรษฐศาสตร์สถิติวิทยาศาสตร์ข้อมูลและการเงิน (การแพร่กระจายของผู้คน ความคิด ข้อมูล และมูลค่าราคา) อย่างไรก็ตาม แนวคิดหลักของการแพร่กระจายนั้นเป็นสิ่งที่เหมือนกันในทุกสาขาเหล่านี้ นั่น คือ สารหรือกลุ่ม ของสิ่งต่างๆ ที่กำลังแพร่กระจายจะกระจายออกไปจากจุดหรือตำแหน่งที่มีความเข้มข้นของสารหรือกลุ่มนั้นสูงกว่า

ความชันคือการเปลี่ยนแปลงของค่าปริมาณหนึ่ง เช่น ความเข้มข้นความดันหรืออุณหภูมิเมื่อตัวแปรอีกตัวหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป โดยปกติคือ ระยะทาง การเปลี่ยนแปลงของความเข้มข้นเมื่อระยะ ทางเพิ่มขึ้นเรียกว่าความชันของความเข้มข้นการเปลี่ยนแปลงของความดันเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้นเรียกว่าความชันของความดันและการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้นเรียกว่า ความชัน ของอุณหภูมิ

คำว่าdiffusionมาจากคำภาษาละตินdiffundereซึ่งหมายถึง "การแพร่กระจาย"

ลักษณะเด่นของการแพร่กระจายคือขึ้นอยู่กับการเดินแบบสุ่ม ของอนุภาค และส่งผลให้เกิดการผสมหรือการขนส่งมวลโดยไม่จำเป็นต้องมีการเคลื่อนที่แบบกลุ่มที่มีทิศทาง การเคลื่อนที่แบบกลุ่มหรือการไหลแบบกลุ่มเป็นลักษณะเฉพาะของการพาความร้อน [ ^{1 ] คำ}ว่าการพาความร้อนใช้เพื่ออธิบายการรวมกันของปรากฏการณ์การขนส่งทั้ง สอง

หากกระบวนการแพร่สามารถอธิบายได้ด้วยกฎของฟิก (Fick's laws ) จะเรียกว่าการแพร่แบบปกติ (หรือการแพร่แบบฟิก) มิเช่นนั้นจะเรียกว่าการแพร่แบบผิดปกติ (หรือการแพร่แบบไม่ฟิก)

เมื่อพูดถึงขอบเขตของการแพร่กระจาย จะมีการใช้มาตราส่วนความยาวสองแบบในสองสถานการณ์ที่แตกต่างกัน ( โดยที่ คือสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายซึ่งมีมิติเป็น พื้นที่ / เวลา ): ${\displaystyle D}$

1. การเคลื่อนที่แบบบราวน์ของ แหล่งกำเนิดจุดแบบ ฉับพลัน (ตัวอย่างเช่น การฉีดน้ำหอมเพียงครั้งเดียว) คือ รากที่สองของค่าเฉลี่ยกำลังสองของการกระจัดจากจุดนี้ ในการแพร่แบบฟิค (Fickian diffusion) ค่านี้คือโดยที่คือมิติของการเคลื่อนที่แบบบราวน์นี้${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$${\displaystyle n}$
2. แหล่งกำเนิดความเข้มข้นคงที่ในมิติเดียว—ความยาวการแพร่ ในการแพร่แบบฟิค (Fickian diffusion) ค่านี้คือ.${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$

"การไหลแบบกลุ่ม" คือการเคลื่อนที่/การไหลของมวลทั้งหมดเนื่องจากความแตกต่างของความดัน (ตัวอย่างเช่น น้ำที่ไหลออกมาจากก๊อกน้ำ) "การแพร่" คือการเคลื่อนที่/การกระจายตัวของความเข้มข้นภายในมวลอย่างค่อยเป็นค่อยไปโดยไม่มีการเคลื่อนที่สุทธิของสสาร ตัวอย่างของกระบวนการที่ทั้งการเคลื่อนที่แบบกลุ่มและการแพร่เกิดขึ้นคือการหายใจของมนุษย์^{[ 2 ]}

ประการแรก มีกระบวนการ "การไหลเวียนแบบรวม" ปอดตั้งอยู่ในช่องอกซึ่งจะขยายตัวเป็นขั้นตอนแรกของการหายใจภายนอก การขยายตัวนี้ทำให้ปริมาตรของถุงลมในปอดเพิ่มขึ้น ซึ่งทำให้ความดันในถุงลมลดลง ส่งผลให้เกิดความแตกต่างของความดันระหว่างอากาศภายนอกร่างกายที่มีความดันสูงกว่า และอากาศภายในถุงลมที่มีความดันต่ำกว่า อากาศจะเคลื่อนที่ตามความแตกต่างของความดันผ่านทางเดินหายใจของปอดและเข้าไปในถุงลมจนกระทั่งความดันของอากาศภายนอกและความดันในถุงลมเท่ากัน กล่าวคือ การเคลื่อนที่ของอากาศโดยการไหลเวียนแบบรวมจะหยุดลงเมื่อไม่มีความแตกต่างของความดันอีกต่อไป

ประการที่สอง คือกระบวนการ "การแพร่" อากาศที่เข้ามาในถุงลมมีปริมาณออกซิเจนสูงกว่าอากาศ "เก่า" ในถุงลม การเพิ่มขึ้นของความเข้มข้นของออกซิเจนทำให้เกิดความแตกต่างของความเข้มข้นของออกซิเจนระหว่างอากาศในถุงลมกับเลือดในเส้นเลือดฝอยที่ล้อมรอบถุงลม จากนั้นออกซิเจนจะเคลื่อนที่โดยการแพร่ตามความแตกต่างของความเข้มข้นเข้าสู่กระแสเลือด ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของการที่อากาศเข้ามาในถุงลมคือความเข้มข้นของคาร์บอนไดออกไซด์ในถุงลมลดลง ซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างของความเข้มข้นสำหรับคาร์บอนไดออกไซด์ที่จะแพร่จากเลือดเข้าสู่ถุงลม เนื่องจากอากาศใหม่มีความเข้มข้นของคาร์บอนไดออกไซด์ต่ำมากเมื่อเทียบกับเลือดในร่างกาย

ประการที่สาม มีกระบวนการ "การไหลเวียนแบบรวม" อีกอย่างหนึ่ง การทำงานของหัวใจในการสูบฉีดเลือดจะลำเลียงเลือดไปทั่วร่างกาย เมื่อห้องหัวใจด้านซ้ายหดตัว ปริมาตรเลือดจะลดลง ซึ่งทำให้ความดันในห้องหัวใจเพิ่มขึ้น ส่งผลให้เกิดความแตกต่างของความดันระหว่างหัวใจและเส้นเลือดฝอย และเลือดจะเคลื่อนที่ผ่านหลอดเลือดโดยการไหลเวียนแบบรวมตามความแตกต่างของความดันนั้น

มีสองวิธีในการแนะนำแนวคิดเรื่องการแพร่กระจาย : ไม่ว่าจะเป็นแนวทางเชิงปรากฏการณ์โดยเริ่มจากกฎการแพร่กระจายของฟิกและผลที่ตามมาทางคณิตศาสตร์ หรือแนวทางเชิงฟิสิกส์และอะตอม โดยพิจารณาการเดินแบบสุ่มของอนุภาคที่แพร่กระจาย^{[ 3 ]}

ในแนวทางปรากฏการณ์วิทยาการแพร่คือการเคลื่อนที่ของสารจากบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำโดยไม่มีการเคลื่อนที่โดยรวมตามกฎของฟิก ฟลักซ์ การแพร่ เป็นสัดส่วนกับเกร เดียนต์เชิงลบ ของความเข้มข้น โดยจะเคลื่อนที่จากบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำ ต่อมาได้มีการพัฒนากฎของฟิกในรูปแบบทั่วไปต่างๆ ในกรอบของอุณหพลศาสตร์และ อุณห พลศาสตร์ที่ไม่สมดุล^{[ 4 ]}

จากมุมมองอะตอมการแพร่ถือเป็นผลมาจากการเดินแบบสุ่มของอนุภาคที่แพร่ ในการแพร่ระดับโมเลกุลโมเลกุลที่เคลื่อนที่ในแก๊ส ของเหลว หรือของแข็งจะถูกขับเคลื่อนด้วยพลังงานจลน์ การเดินแบบสุ่มของอนุภาคขนาดเล็กที่แขวนลอยอยู่ในของเหลวถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1827 โดยโรเบิร์ต บราวน์ซึ่งพบว่าอนุภาคขนาดเล็กที่แขวนลอยอยู่ในตัวกลางของเหลวและมีขนาดใหญ่พอที่จะมองเห็นได้ภายใต้กล้องจุลทรรศน์แบบใช้แสง แสดงให้เห็นการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่รวดเร็วและไม่สม่ำเสมออย่างต่อเนื่อง ซึ่งเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวน์และพื้นฐานอะตอมของการแพร่ได้รับการพัฒนาโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ [ ^{5 ] แนวคิด} ของการแพร่โดยทั่วไปจะถูกนำไปใช้กับเรื่องใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการเดินแบบสุ่มในกลุ่มของแต่ละบุคคล

ในวิชาเคมีและวิทยาศาสตร์วัสดุการแพร่ยังหมายถึงการเคลื่อนที่ของโมเลกุลของของเหลวในของแข็งที่มีรูพรุนด้วย^{[ 6 ]}มีการจำแนกประเภทของการแพร่ที่แตกต่างกันในของแข็งที่มี รูพรุน การแพร่แบบโมเลกุลเกิดขึ้นเมื่อการชนกับโมเลกุลอื่นมีโอกาสมากกว่าการชนกับผนังรูพรุน ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ค่าการแพร่จะคล้ายกับในพื้นที่ที่ไม่จำกัดและเป็นสัดส่วนกับระยะทางอิสระเฉลี่ยการแพร่แบบ Knudsenเกิดขึ้นเมื่อเส้นผ่านศูนย์กลางของรูพรุนเทียบเท่าหรือเล็กกว่าระยะทางอิสระเฉลี่ยของโมเลกุลที่แพร่ผ่านรูพรุน ภายใต้เงื่อนไขนี้ การชนกับผนังรูพรุนจะมีโอกาสมากขึ้นเรื่อยๆ และค่าการแพร่จะต่ำลง สุดท้ายคือการแพร่แบบโครงสร้าง ซึ่งเกิดขึ้นหากโมเลกุลมีขนาดเทียบเท่ากับรูพรุน ภายใต้เงื่อนไขนี้ ค่าการแพร่จะต่ำกว่าการแพร่แบบโมเลกุลมาก และความแตกต่างเล็กน้อยในเส้นผ่านศูนย์กลางจลน์ของโมเลกุลทำให้เกิดความแตกต่างอย่างมากในค่า การแพร่

นักชีววิทยามักใช้คำว่า "การเคลื่อนที่สุทธิ" หรือ "การแพร่สุทธิ" เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของไอออนหรือโมเลกุลโดยการแพร่ ตัวอย่างเช่น ออกซิเจนสามารถแพร่ผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ได้ ตราบใดที่มีความเข้มข้นของออกซิเจนภายนอกเซลล์สูงกว่า อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการเคลื่อนที่ของโมเลกุลเป็นแบบสุ่ม บางครั้งโมเลกุลออกซิเจนจึงเคลื่อนที่ออกจากเซลล์ (สวนทางกับความเข้มข้น) เนื่องจากมีโมเลกุลออกซิเจนภายนอกเซลล์มากกว่าความน่าจะเป็นที่โมเลกุลออกซิเจนจะเข้าสู่เซลล์จึงสูงกว่าความน่าจะเป็นที่โมเลกุลออกซิเจนจะออกจากเซลล์ ดังนั้น การเคลื่อนที่ "สุทธิ" ของโมเลกุลออกซิเจน (ผลต่างระหว่างจำนวนโมเลกุลที่เข้าหรือออกจากเซลล์) จึงเป็นการเคลื่อนที่เข้าสู่เซลล์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีการเคลื่อนที่สุทธิของโมเลกุลออกซิเจนตามความเข้มข้น

ในทางดาราศาสตร์การแพร่กระจายของอะตอมถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองบรรยากาศของ ดาวฤกษ์ ที่มีองค์ประกอบทางเคมีที่แปลกประหลาด [ ^{7 ] [ 8 ] การ}แพร่กระจายของธาตุมีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจองค์ประกอบพื้นผิวของ ดาว แคระขาว ที่เสื่อมสภาพ และวิวัฒนาการของพวกมันเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 9 ]}

ในการเรียนรู้ของเครื่องและปัญญาประดิษฐ์โมเดลการแพร่กระจายหรือที่รู้จักกันในชื่อโมเดลการสร้างแบบใช้การแพร่กระจายหรือโมเดลการสร้างแบบใช้คะแนน เป็นโมเดลการสร้างตัวแปรแฝง ประเภท หนึ่ง เป้าหมายของโมเดลการแพร่กระจายคือการเรียนรู้กระบวนการแพร่กระจายสำหรับชุดข้อมูลที่กำหนด เพื่อให้กระบวนการดังกล่าวสามารถสร้างองค์ประกอบใหม่ที่มีการกระจายตัวคล้ายกับชุดข้อมูลดั้งเดิม โมเดลการแพร่กระจายได้รับการแนะนำในปี 2015 ในฐานะวิธีการฝึกโมเดลที่สามารถสุ่มตัวอย่างจากการกระจายความน่าจะเป็นที่ซับซ้อนมาก โดยใช้เทคนิคจากอุณหพลศาสตร์ที่ไม่สมดุลโดยเฉพาะอย่างยิ่งการแพร่กระจาย^{[ 10 ]}

ในเชิงเวลา การแพร่ในของแข็งถูกนำมาใช้ก่อนที่จะมีการสร้างทฤษฎีการแพร่เสียอีก ตัวอย่างเช่นพลินีผู้เฒ่าได้อธิบายกระบวนการซีเมนต์เทชันซึ่งผลิตเหล็กจากธาตุเหล็ก (Fe) ผ่านการแพร่ของคาร์บอน ตัวอย่างอื่นที่รู้จักกันดีมาหลายศตวรรษคือ การแพร่ของสีในกระจกสีหรือเครื่องปั้นดินเผาและ เครื่องเซรามิ ก จีน

ในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาเชิงทดลองอย่างเป็นระบบครั้งแรกเกี่ยวกับการแพร่กระจายนั้นดำเนินการโดยโทมัส เกรแฮมเขาศึกษาการแพร่กระจายในก๊าซ และปรากฏการณ์หลักได้รับการอธิบายโดยเขาในปี พ.ศ. 2474–2476: ^{[ 11 ]}

"...เมื่อก๊าซที่มีคุณสมบัติแตกต่างกันมาสัมผัสกัน ก๊าซเหล่านั้นจะไม่เรียงตัวตามความหนาแน่น โดยให้ก๊าซที่หนักที่สุดอยู่ด้านล่างและก๊าซที่เบาที่สุดอยู่ด้านบน แต่จะแพร่กระจายเข้าหากันเองโดยธรรมชาติและอย่างเท่าเทียมกัน ทำให้คงอยู่ในสภาวะผสมกันอย่างใกล้ชิดได้เป็นเวลานาน"

การวัดของเกรแฮมมีส่วนช่วยให้เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์คำนวณค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของ CO2 ในอากาศได้ในปี 1867 โดย_มีอัตราความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า 5%

ในปี ค.ศ. 1855 อดอล์ฟ ฟิกก์ผู้สาธิตกายวิภาคศาสตร์วัย 26 ปีจากซูริค ได้เสนอกฎการแพร่กระจายของเขาเขาใช้ผลงานวิจัยของเกรแฮม โดยระบุเป้าหมายของเขาว่า "การพัฒนากฎพื้นฐานสำหรับการทำงานของการแพร่กระจายในองค์ประกอบเดียวของพื้นที่" เขายืนยันความคล้ายคลึงกันอย่างลึกซึ้งระหว่างการแพร่กระจายและการนำความร้อนหรือไฟฟ้า สร้างรูปแบบที่เป็นทางการที่คล้ายกับกฎของฟูริเยร์สำหรับการนำความร้อน (ค.ศ. 1822) และกฎของโอห์มสำหรับกระแสไฟฟ้า (ค.ศ. 1827)

โรเบิร์ต บอยล์ได้สาธิตการแพร่กระจายในของแข็งในศตวรรษที่ 17 ^{[ 12 ]}โดยการแทรกซึมของสังกะสีเข้าไปในเหรียญทองแดง อย่างไรก็ตาม การแพร่กระจายในของแข็งไม่ได้ถูกศึกษาอย่างเป็นระบบจนกระทั่งช่วงกลางศตวรรษที่ 19 วิลเลียม แชนด์เลอร์ โรเบิร์ตส์-ออสตินนักโลหะวิทยาชาวอังกฤษผู้มีชื่อเสียงและอดีตผู้ช่วยของโทมัส เกรแฮม ได้ศึกษาการแพร่กระจายในสถานะของแข็งอย่างเป็นระบบโดยใช้ทองคำในตะกั่วเป็นตัวอย่างในปี พ.ศ. 2449 ^{[ 13 ]}

"...ความสัมพันธ์อันยาวนานของผมกับงานวิจัยของเกรแฮม ทำให้ผมรู้สึกเหมือนเป็นหน้าที่ที่จะต้องพยายามต่อยอดงานวิจัยของเขาเกี่ยวกับการแพร่กระจายของของเหลวไปสู่โลหะ"

ในปี พ.ศ. 2391 รูดอล์ฟ คลอเซียสได้นำเสนอแนวคิดเรื่องระยะทางอิสระเฉลี่ยในปีเดียวกันนั้นเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ได้พัฒนาทฤษฎีอะตอมิกแรกของกระบวนการขนส่งในก๊าซ ทฤษฎีอะตอมิกสมัยใหม่ของการแพร่และการเคลื่อนที่แบบบราวน์ได้รับการพัฒนาโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ มาเรียนสโมลูโชฟสกีและฌอง-แบปติสต์ แปร์แร็งลุดวิก โบลต์ซมันน์ในการพัฒนาพื้นฐานอะตอมิกของกระบวนการขนส่ง ระดับมหภาค ได้นำเสนอสมการโบลต์ซมันน์ซึ่งเป็นแหล่งที่มาของแนวคิดและข้อกังวลในกระบวนการขนส่งในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์มานานกว่า 140 ปี^{[ 14 ]}

ในช่วงปี ค.ศ. 1920–1921 จอร์จ เดอ เฮเวซีได้ทำการวัดการแพร่กระจายตัวเองโดยใช้ไอโซโทปรังสีเขาศึกษาการแพร่กระจายตัวเองของไอโซโทปรังสีของตะกั่วในตะกั่วเหลวและตะกั่วแข็ง

ยาคอฟ เฟรนเคล (บางครั้งเขียนว่า จาคอฟ/จาคอบ เฟรนเคล) ได้เสนอและอธิบายแนวคิดเรื่องการแพร่ในผลึกผ่านข้อบกพร่องเฉพาะที่ (ช่องว่างและ อะตอม แทรก ) ในปี ค.ศ. 1926 เขาได้สรุปว่า กระบวนการแพร่ในสสารควบแน่นเป็นกลุ่มของการกระโดดขั้นพื้นฐานและการปฏิสัมพันธ์แบบกึ่งเคมีของอนุภาคและข้อบกพร่อง เขาได้นำเสนอกลไกการแพร่หลายอย่างและพบค่าคงที่อัตราจากข้อมูลการทดลอง

ต่อมาคาร์ล แวกเนอร์และวอลเตอร์ เอช. ชอตต์กีได้พัฒนาแนวคิดของเฟรนเคลเกี่ยวกับกลไกการแพร่กระจายต่อไป ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าข้อบกพร่องของอะตอมมีความจำเป็นต่อการแพร่กระจายในผลึก^{[ 13 ]}

เฮนรี ไอรินพร้อมด้วยผู้เขียนร่วม ได้นำทฤษฎีอัตราการเกิดปฏิกิริยาสัมบูรณ์ ของเขาไปใช้ กับแบบจำลองการแพร่แบบกึ่งเคมีของเฟรนเคล^{[ 15 ]}ความคล้ายคลึงกันระหว่างจลนศาสตร์ของปฏิกิริยาและการแพร่ นำไปสู่กฎของฟิกในรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นต่างๆ^{[ 16 ]}

แบบจำลองการแพร่แต่ละแบบแสดงฟลักซ์การแพร่โดยใช้ความเข้มข้น ความหนาแน่น และอนุพันธ์ของค่าเหล่านั้น ฟลักซ์เป็นเวกเตอร์ที่แสดงปริมาณและทิศทางการถ่ายโอน เมื่อกำหนดพื้นที่ ขนาดเล็ก ที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากการถ่ายโอนปริมาณทางกายภาพผ่านพื้นที่นั้นต่อเวลาคือ ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldสัญลักษณ์ {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

โดยที่ผลคูณภายในและสัญลักษณ์ลิตเติ้ลโอคือจุดถ้าเราใช้สัญลักษณ์พื้นที่เวกเตอร์แล้ว ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldสัญลักษณ์ {\nu }})}$${\displaystyle o(\cdots )}$${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldสัญลักษณ์ {\nu }}\,\Delta S}$

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

มิติของฟลักซ์การแพร่คือ [ฟลักซ์] = [ปริมาณ]/([เวลา]·[พื้นที่]) ปริมาณทางกายภาพที่แพร่ไปอาจเป็นจำนวนอนุภาค มวล พลังงาน ประจุไฟฟ้า หรือปริมาณสเกลาร์แบบขยาย ใดๆ ก็ได้ สำหรับความหนาแน่นของมันสมการการแพร่จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

โดยที่คือความเข้มของแหล่งกำเนิดเฉพาะที่ของปริมาณนี้ (ตัวอย่างเช่น อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี) สำหรับสมการการแพร่เงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีการไหลสามารถกำหนดได้ดังนี้บนขอบเขต โดยที่คือเวกเตอร์ตั้งฉากกับขอบเขต ณจุด ${\displaystyle W}$${\displaystyle (\mathbf {J} (x),{\boldสัญลักษณ์ {\nu }}(x))=0}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}$${\displaystyle x}$

กฎข้อแรกของฟิก: อัตราการแพร่กระจาย ( ) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับค่าลบของความชันของความเข้มข้นเชิงพื้นที่ ( : ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle n(x,t)}$

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

โดยที่Dคือสัมประสิทธิ์การแพร่ซึ่งสามารถประมาณได้สำหรับส่วนผสมที่กำหนดโดยใช้แบบจำลองความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ของ Vignes ^{[ 17 ]}หรือการปรับขนาดเอนโทรปีที่ได้รับแรงบันดาลใจทางกายภาพ^{[ 18 ]}สมการการแพร่ที่สอดคล้องกัน(กฎข้อที่สองของ Fick) คือ

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

ในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ไม่ขึ้นอยู่กับกฎข้อที่สองของฟิกสามารถลดรูปได้เป็น ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

ตัวดำเนินการลาปลาซ อยู่ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

กฎของฟิก (Fick's law) อธิบายถึงการแพร่ของสารเจือปนในตัวกลาง ความเข้มข้นของสารเจือปนนี้ควรมีค่าน้อย และความชันของความเข้มข้นก็ควรมีค่าน้อยเช่นกัน แรงขับเคลื่อนของการแพร่ในกฎของฟิกคือค่าผกผันของความเข้มข้น (antigradient ) ${\displaystyle -\nabla n}$

ในปี พ.ศ. 2474 Lars Onsager ^{[ 19 ]}ได้รวมกระบวนการขนส่งหลายองค์ประกอบไว้ในบริบททั่วไปของอุณหพลศาสตร์เชิงเส้นที่ไม่สมดุล สำหรับการขนส่งหลายองค์ประกอบ

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

โดยที่คือฟลักซ์ของปริมาณทางกายภาพ (ส่วนประกอบ) ที่ th, คือแรงทางเทอร์โมไดนามิกที่ th และคือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์การขนส่งจล น์ของออนซา เกอร์ ${\displaystyle \mathbf {J} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle L_{ij}}$

ออนซาเกอร์ได้นำเสนอแรงทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับกระบวนการขนส่ง โดยพิจารณาจากความชันเชิงพื้นที่ของอนุพันธ์ของความหนาแน่น ของ เอนโทรปี (เขาใช้คำว่า "แรง" ในเครื่องหมายอัญประกาศหรือ "แรงขับเคลื่อน") ${\displaystyle s}$

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

พิกัดทางเทอร์โมไดนามิกอยู่ที่ไหน สำหรับการถ่ายเทความร้อนและมวล เราสามารถใช้ (ความหนาแน่นของพลังงานภายใน ) และคือความเข้มข้นขององค์ประกอบที่ th แรงขับเคลื่อนที่สอดคล้องกันคือเวกเตอร์ในอวกาศ ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{0}=u}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$เพราะ${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

โดยที่Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ และคือศักยภาพทางเคมีของส่วนประกอบที่ th ควรเน้นว่าสมการการแพร่แยกกันนั้นอธิบายถึงการผสมหรือการขนส่งมวลโดยไม่มีการเคลื่อนที่โดยรวม ดังนั้นจึงละเลยพจน์ที่มีการเปลี่ยนแปลงของความดันรวม เป็นไปได้สำหรับการแพร่ของสารผสมขนาดเล็กและสำหรับความชันขนาดเล็ก ${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle i}$

สำหรับสมการออนซาเกอร์เชิงเส้น เราต้องพิจารณาแรงทางเทอร์โมไดนามิกส์ในเชิงประมาณเชิงเส้นใกล้สภาวะสมดุล:

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

โดยที่อนุพันธ์ของจะถูกคำนวณที่สภาวะสมดุลเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์จลนศาสตร์ควรเป็นเมทริกซ์สมมาตร ( ความสัมพันธ์ผกผันของออนซาเกอร์ ) และเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ( สำหรับการเติบโตของเอนโทรปี ) ${\displaystyle s}$${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle L_{ij}}$

สมการการขนส่งคือ

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

ในที่นี้ ดัชนีi , j , k = 0, 1, 2, ... ทั้งหมด เกี่ยวข้องกับพลังงานภายใน (0) และส่วนประกอบต่างๆ นิพจน์ในวงเล็บเหลี่ยมคือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์การแพร่ ( i , k  > 0), การแพร่ความร้อน ( i  > 0, k  = 0 หรือk  > 0, i  = 0) และการนำความร้อน ( i = k = 0 ) ${\displaystyle D_{ik}}$

ภายใต้สภาวะอุณหภูมิ คงที่ T  = ค่าคงที่ ศักยภาพทางเทอร์โมไดนามิก ที่เกี่ยวข้อง คือพลังงานอิสระ (หรือเอนโทรปีอิสระ ) แรงขับเคลื่อนทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับการแพร่แบบอุณหภูมิคงที่คือค่าผกผันของศักยภาพทางเคมีและเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์การแพร่คือ ${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  > 0)

มีความไม่แน่นอนโดยเนื้อแท้ในการกำหนดแรงทางเทอร์โมไดนามิกและสัมประสิทธิ์จลน์ เนื่องจากไม่สามารถวัดแยกกันได้ และสามารถวัดได้เฉพาะการรวมกันของแรงเหล่านั้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในงานดั้งเดิมของ Onsager ^{[ 19 ]}แรงทางเทอร์โมไดนามิกประกอบด้วยตัวคูณเพิ่มเติมTในขณะที่ในCourse of Theoretical Physics ^{[ 20 ]}ตัวคูณนี้ถูกละเว้น แต่เครื่องหมายของแรงทางเทอร์โมไดนามิกกลับตรงกันข้าม การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนี้ได้รับการเสริมด้วยการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในสัมประสิทธิ์และไม่ส่งผลกระทบต่อปริมาณที่วัดได้ ${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$

รูปแบบทางเทอร์โมไดนามิกส์เชิงเส้นแบบผันกลับไม่ได้ (ออนซาเกอร์) สร้างระบบสมการการแพร่เชิงเส้นในรูปแบบ

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}\,\Delta c_{j}.}$

ถ้าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์การแพร่เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ระบบสมการนี้จะเป็นเพียงชุดของสมการ Fick ที่แยกออกจากกันสำหรับส่วนประกอบต่างๆ สมมติว่าการแพร่ไม่ใช่เมทริกซ์ทแยงมุม เช่นและพิจารณาสถานะที่มีที่สถานะนี้ถ้าที่บางจุด จะกลายเป็นค่าลบที่จุดเหล่านั้นในเวลาอันสั้น ดังนั้น การแพร่เชิงเส้นที่ไม่ใช่เมทริกซ์ทแยงมุมจึงไม่รักษาความเป็นบวกของความเข้มข้น สมการที่ไม่ใช่เมทริกซ์ทแยงมุมของการแพร่แบบหลายองค์ประกอบจะต้องไม่ใช่เชิงเส้น^{[ 16 ]}${\displaystyle D_{12}\neq 0}$${\displaystyle c_{2}=\cdots =c_{n}=0}$${\displaystyle \partial c_{2}/\partial t=D_{12}\,\Delta c_{1}}$${\displaystyle D_{12}\,\Delta c_{1}(x)<0}$${\displaystyle c_{2}(x)}$

ความสัมพันธ์ ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์)เชื่อมโยงสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายและความคล่องตัว (อัตราส่วนของความเร็วการเคลื่อนที่ ขั้นสุดท้ายของอนุภาค ต่อแรง ที่ใช้ ) ^{[ 21 ]}สำหรับอนุภาคที่มีประจุ:

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

โดยที่Dคือค่าคงที่การแพร่กระจาย μ คือ "ความคล่องตัว" kBคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์_T คืออุณหภูมิสัมบูรณ์และ q คือประจุพื้นฐานซึ่งก็คือประจุของอิเล็กตรอนหนึ่งตัว

ด้านล่างนี้ เพื่อรวมศักยภาพทางเคมี μ และความคล่องตัวไว้ ในสูตรเดียวกันเราใช้สัญลักษณ์ μ แทนความคล่องตัว ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

T. Teorell ได้นำแนวทางที่อิงตามการเคลื่อนที่มาประยุกต์ใช้เพิ่มเติม^{[ 22 ]}ในปี พ.ศ. 2478 เขาได้ศึกษาการแพร่กระจายของไอออนผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ เขาได้กำหนดสาระสำคัญของแนวทางของเขาไว้ในสูตรดังนี้:

ฟลักซ์เท่ากับค่าการเคลื่อนที่ × ความเข้มข้น × แรงต่อกรัมไอออน

นี่คือ สูตรเทโอเรลล์ (Teorell formula ) คำ ว่า"กรัมไอออน" ("กรัมอนุภาค") ใช้สำหรับปริมาณของสารที่มีไอออน (อนุภาค) เท่ากับเลขอะโวกาโด คำที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันคือ โมล (mole )

แรงภายใต้สภาวะอุณหภูมิคงที่ประกอบด้วยสองส่วน:

1. แรงแพร่กระจายที่เกิดจากความแตกต่างของความเข้มข้น: .${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$
2. แรงไฟฟ้าสถิตที่เกิดจากความแตกต่างของศักย์ไฟฟ้า: .${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$

ในที่นี้Rคือค่าคงที่ของแก๊ส T คืออุณหภูมิสัมบูรณ์n คือความเข้มข้น โดยความเข้มข้นที่สมดุลจะแสดงด้วยตัวยก "eq" qคือประจุ และφคือศักย์ไฟฟ้า

ความแตกต่างที่เรียบง่ายแต่สำคัญยิ่งระหว่างสูตรของ Teorell กับกฎของ Onsager คือปัจจัยความเข้มข้นในนิพจน์ของ Teorell สำหรับฟลักซ์ ในแนวทางของ Einstein–Teorell หากสำหรับแรงที่มีค่าจำกัด ความเข้มข้นมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ ฟลักซ์ก็จะมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์เช่นกัน ในขณะที่สมการของ Onsager ขัดแย้งกับกฎที่เรียบง่ายและชัดเจนทางกายภาพนี้

สูตรทั่วไปของสูตร Teorell สำหรับระบบที่ไม่สมบูรณ์ภายใต้เงื่อนไขอุณหภูมิคงที่คือ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

โดยที่μคือศักยภาพทางเคมี μ 0คือค่ามาตรฐานของศักยภาพทางเคมี นิพจน์นี้_{เรียก}ว่ากิจกรรมมันวัด "ความเข้มข้นที่มีประสิทธิภาพ" ของสปีชีส์ในส่วนผสมที่ไม่เป็นอุดมคติ ในสัญลักษณ์นี้ สูตร Teorell สำหรับฟลักซ์มีรูปแบบที่ง่ายมาก^{[ 16 ]}${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

การหาอนุพันธ์มาตรฐานของกิจกรรมนั้นรวมถึงปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน และสำหรับความเข้มข้นต่ำโดยที่คือความเข้มข้นมาตรฐาน ดังนั้น สูตรสำหรับฟลักซ์นี้จึงอธิบายถึงฟลักซ์ของปริมาณไร้มิติ ที่เป็นมาตรฐาน : ${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$${\displaystyle n^{\ominus }}$${\displaystyle n/n^{\ominus }}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

แบบจำลองของไอน์สไตน์ละเลยความเฉื่อยของอนุภาคย่อยที่แพร่กระจาย สมการ Langevin ทางเลือก เริ่มต้นด้วยกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

ที่ไหน

• xคือตำแหน่ง
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์ )
• mคือมวลของอนุภาค
• Fคือแรงสุ่มที่กระทำต่ออนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

เมื่อแก้สมการนี้แล้ว จะได้ค่าคงที่การแพร่กระจายที่ขึ้นอยู่กับเวลาในขีดจำกัดเวลาที่ยาวนาน และเมื่ออนุภาคมีความหนาแน่นมากกว่าของเหลวโดยรอบอย่างมีนัยสำคัญ^{[ 23 ]}

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

ที่ไหน

• k _Bคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ ;
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ (ทฤษฎีจลน์ )
• mคือมวลของอนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

ในระยะเวลาอันยาวนาน ผลลัพธ์ของไอน์สไตน์จะกลับคืนมา แต่ในระยะเวลาอันสั้น ระบอบขีปนาวิถีก็ได้รับการอธิบายเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น แตกต่างจากแนวทางของไอน์สไตน์ ความเร็วสามารถกำหนดได้ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีบทความผันผวนและการกระจายพลังงานโดยเชื่อมโยงการแข่งขันระหว่างแรงเสียดทานและแรงสุ่มในการกำหนดอุณหภูมิ^{[ 23 ] : 3.2}

การแพร่กระจายของสารตั้งต้นบนพื้นผิวของตัวเร่งปฏิกิริยาอาจมีบทบาทสำคัญในปฏิกิริยาเร่งปฏิกิริยาแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แบบจำลองการแพร่กระจายในชั้นโมโนเลเยอร์ ในอุดมคติ จะอิงตามการกระโดดของสารตั้งต้นไปยังตำแหน่งว่างที่ใกล้ที่สุด แบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้กับการออกซิเดชันของ CO บน Pt ภายใต้ความดันก๊าซต่ำ

ระบบนี้ประกอบด้วยสารรีเอเจนต์หลายชนิดบนพื้นผิว ความเข้มข้นของสารรีเอเจนต์บนพื้นผิวคือ พื้นผิวเป็นโครงข่ายของตำแหน่งการดูดซับ โมเลกุลของสารรีเอเจนต์แต่ละโมเลกุลจะเติมเต็มตำแหน่งหนึ่งบนพื้นผิว บางตำแหน่งว่างอยู่ ความเข้มข้นของตำแหน่งว่างคือผลรวมของความเข้มข้นทั้งหมด(รวมถึงตำแหน่งว่าง) มีค่าคงที่ ความหนาแน่นของตำแหน่งการดูดซับคือ b${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$${\displaystyle z=c_{0}}$${\displaystyle c_{i}}$

แบบจำลองการกระโดดให้ค่าฟลักซ์การแพร่กระจายของ( i  = 1, ...,  n ): ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

สมการการแพร่กระจายที่สอดคล้องกันคือ: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

เนื่องจากกฎการอนุรักษ์เราจึงมีระบบ สมการการแพร่กระจาย mสมการ สำหรับองค์ประกอบเดียว เราจะได้กฎของฟิกและสมการเชิงเส้น เพราะสำหรับองค์ประกอบสองหรือมากกว่านั้น สมการจะเป็นแบบไม่เชิงเส้น ${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$

ถ้าอนุภาคทุกตัวสามารถแลกเปลี่ยนตำแหน่งกับอนุภาคเพื่อนบ้านที่อยู่ใกล้ที่สุดได้ การสรุปแบบง่ายๆ ก็จะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์ที่บ่งบอกถึงความเข้มของการกระโดด ตำแหน่งว่าง (ช่องว่าง) ควรได้รับการพิจารณาว่าเป็น "อนุภาค" พิเศษที่มีความเข้มข้น ${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$${\displaystyle c_{0}}$

แบบจำลองการกระโดดแบบต่างๆ เหล่านี้ยังเหมาะสำหรับกลไกการแพร่แบบง่ายในของแข็งอีกด้วย

สำหรับการแพร่ในตัวกลางที่มีรูพรุน สมการพื้นฐานคือ (ถ้า Φ คงที่): ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

โดยที่Dคือสัมประสิทธิ์การแพร่, Φ คือความพรุน, nคือความเข้มข้น, m  > 0 (โดยปกติm  > 1 กรณีm  = 1 สอดคล้องกับกฎของฟิกก์)

ต้องระมัดระวังในการคำนึงถึงความพรุน (Φ) ของตัวกลางที่มีรูพรุนอย่างเหมาะสมทั้งในเทอมฟลักซ์และเทอมการสะสม^{[ 25 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อความพรุนเข้าใกล้ศูนย์ ฟลักซ์โมลาร์ในตัวกลางที่มีรูพรุนจะเข้าใกล้ศูนย์สำหรับความชันความเข้มข้นที่กำหนด เมื่อใช้การล divergence ของฟลักซ์ เทอมความพรุนจะหักล้างกันและสมการที่สองข้างต้นจะเกิดขึ้น

สำหรับการแพร่กระจายของก๊าซในตัวกลางที่มีรูพรุน สมการนี้เป็นการนำกฎของดาร์ซี มาใช้ในรูปแบบที่เป็นทางการ กล่าว คืออัตราการไหลเชิงปริมาตรของก๊าซในตัวกลางที่มีรูพรุนคือ

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

โดยที่kคือค่าการซึมผ่านของตัวกลางμคือค่าความหนืดและpคือค่าความดัน

ฟลักซ์โมลาร์แบบพาความร้อนกำหนดโดย

J  =  nq

และกฎของดาร์ซีให้สมการการแพร่ในตัวกลางที่มีรูพรุนโดยมีm  =  γ  + 1 ${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$

ในตัวกลางที่มีรูพรุน ความเร็วเชิงเส้นเฉลี่ย (ν) มีความสัมพันธ์กับอัตราการไหลเชิงปริมาตรดังนี้:

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

การรวมฟลักซ์โมลาร์แบบพาความร้อนเข้ากับฟลักซ์แบบแพร่ จะได้สมการการกระจายตัวแบบพาความร้อน

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

สำหรับการซึมผ่านของน้ำใต้ดินการประมาณค่าแบบ Boussinesqให้สมการเดียวกันโดยที่  m  = 2

สำหรับพลาสมาที่มีระดับการแผ่รังสีสูง สม การ Zeldovich –Raizer ให้ค่าm  > 4 สำหรับการถ่ายเทความร้อน

สัมประสิทธิ์การแพร่คือสัมประสิทธิ์ในกฎข้อแรกของฟิก (Fick's first law ) โดยที่Jคือฟลักซ์การแพร่ ( ปริมาณสาร ) ต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลาn (สำหรับสารผสมในอุดมคติ) คือความเข้มข้น และxคือตำแหน่ง [ความยาว] ${\displaystyle D}$${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$

พิจารณาก๊าซสองชนิดที่มีโมเลกุลขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง dและมวลmเท่ากัน( การแพร่ด้วยตัวเอง ) ในกรณีนี้ ทฤษฎีระยะทางอิสระเฉลี่ยเบื้องต้นของการแพร่จะให้ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ดังนี้

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

โดยที่k _Bคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ , Tคืออุณหภูมิ , Pคือความดัน , คือระยะทางอิสระเฉลี่ยและv _Tคือความเร็วเชิงความร้อนเฉลี่ย: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

เราจะเห็นได้ว่าสัมประสิทธิ์การแพร่ในวิธีการประมาณระยะทางอิสระเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นตามTเป็นสัดส่วนกับT³ ^/²และลดลงตามPเป็นสัดส่วนกับ 1/ Pถ้าเราใช้กฎของก๊าซอุดมคติ P = RnT สำหรับP โดยมี  ความ  เข้มข้นรวม n แล้วเราจะเห็นได้ว่าสำหรับความเข้มข้นn ที่กำหนด สัมประสิทธิ์การแพร่จะเพิ่มขึ้นตามT เป็นสัดส่วน กับT¹ ^/²และสำหรับอุณหภูมิที่กำหนด สัมประสิทธิ์การแพร่จะลดลงตามความเข้มข้นรวมเป็นสัดส่วนกับ 1 / n

สำหรับก๊าซสองชนิดที่แตกต่างกัน คือ A และ B ซึ่งมีมวลโมเลกุลm _A , m _Bและเส้นผ่านศูนย์กลางโมเลกุลd _A , d _Bค่าประมาณระยะทางอิสระเฉลี่ยของสัมประสิทธิ์การแพร่ของ A ใน B และ B ใน A คือ:

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

ในจลนศาสตร์ของโบลต์ซมันน์สำหรับส่วนผสมของก๊าซ ก๊าซแต่ละชนิดมีฟังก์ชันการกระจายตัวของตัวเองโดยที่tคือช่วงเวลาxคือตำแหน่ง และcคือความเร็วของโมเลกุลขององค์ประกอบที่iในส่วนผสม แต่ละองค์ประกอบมีความเร็วเฉลี่ยถ้าความเร็วไม่ตรงกัน แสดงว่ามีการแพร่กระจายเกิดขึ้น ${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$${\displaystyle C_{i}(x,t)}$

ใน การประมาณค่า ของ Chapman–Enskogฟังก์ชันการกระจายทั้งหมดจะแสดงผ่านความหนาแน่นของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้: ^{[ 14 ]}

• ความเข้มข้นของอนุภาคแต่ละชนิด(จำนวนอนุภาคต่อปริมาตร)${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$
• ความหนาแน่นของโมเมนตัม( m _iคือ มวลของอนุภาคที่ i )${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$
• ความหนาแน่นของพลังงานจลน์$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

อุณหภูมิจลน์Tและความดันจลน์Pถูกกำหนดในพื้นที่ 3 มิติ ดังนี้

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

ความหนาแน่นรวมอยู่ ที่ไหน${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$

สำหรับก๊าซสองชนิด ความแตกต่างระหว่างความเร็วจะกำหนดโดยนิพจน์: ^{[ 14 ]}${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

โดยที่คือแรงที่กระทำต่อโมเลกุลขององค์ประกอบที่iและคืออัตราส่วนการแพร่ความร้อน ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle k_{T}}$

สัมประสิทธิ์D ₁₂มีค่าเป็นบวก นี่คือสัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย สี่พจน์ในสูตรสำหรับC ₁ − C ₂อธิบายถึงผลกระทบหลักสี่ประการในการแพร่กระจายของก๊าซ:

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$อธิบายถึงการไหลขององค์ประกอบแรกจากพื้นที่ที่มีอัตราส่วนn ₁ / n สูง ไปยังพื้นที่ที่มีค่าอัตราส่วนนี้ต่ำกว่า (และในทำนองเดียวกัน การไหลขององค์ประกอบที่สองจากn ₂ / n สูง ไปยังn ₂ / n ต่ำ เนื่องจากn ₂ / n  = 1 –  n ₁ / n )
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$อธิบายถึงการไหลของโมเลกุลที่หนักกว่าไปยังบริเวณที่มีความดันสูงกว่า และโมเลกุลที่เบากว่าไปยังบริเวณที่มีความดันต่ำกว่า ซึ่งเรียกว่า บาโรดิฟ ฟิวชัน ( barodiffusion )
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$อธิบายถึงการแพร่ที่เกิดจากความแตกต่างของแรงที่กระทำต่อโมเลกุลประเภทต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในสนามโน้มถ่วงของโลก โมเลกุลที่หนักกว่าควรจะเคลื่อนที่ลง หรือในสนามไฟฟ้า โมเลกุลที่มีประจุควรจะเคลื่อนที่ จนกว่าผลกระทบนี้จะสมดุลกับผลรวมของปัจจัยอื่นๆ ผลกระทบนี้ไม่ควรสับสนกับการแพร่แบบบารอดิฟฟิวชันที่เกิดจากความแตกต่างของความดัน
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$อธิบายถึงการแพร่ความร้อนซึ่งเป็นการไหลของสารที่เกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิ

ปรากฏการณ์ทั้งหมดนี้เรียกว่าการแพร่กระจาย (diffusion)เพราะเป็นการอธิบายความแตกต่างระหว่างความเร็วของส่วนประกอบต่างๆ ในส่วนผสม ดังนั้น ปรากฏการณ์เหล่านี้จึงไม่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการ ขนส่ง แบบรวม (bulk transport) และแตกต่างจากการพาความร้อน (advection) หรือการไหลเวียน (convection)

ในการประมาณค่าครั้งแรก^{[ 14 ]}

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$สำหรับทรงกลมแข็ง
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$สำหรับแรงผลัก${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

ตัวเลขนี้กำหนดโดยการคำนวณเชิงตัวเลข (สูตร (3.7), (3.9), บทที่ 10 ของหนังสือคลาสสิกของ Chapman และ Cowling ^{[ 14 ]} ) ${\displaystyle A_{1}({\nu })}$

เราจะเห็นได้ว่าการพึ่งพาTสำหรับทรงกลมแข็งนั้นเหมือนกับทฤษฎีระยะทางอิสระเฉลี่ยแบบง่าย แต่สำหรับกฎการผลักกำลังนั้นเลขชี้กำลังจะแตกต่างกัน การพึ่งพาความเข้มข้นรวมn สำหรับอุณหภูมิที่กำหนดจะมีลักษณะเดียวกันเสมอ คือ 1/ n

ในการประยุกต์ใช้กับพลศาสตร์ของแก๊ส ฟลักซ์การแพร่และการไหลรวมควรถูกรวมเข้าไว้ในระบบสมการการขนส่งเดียวกัน การไหลรวมอธิบายถึงการถ่ายโอนมวล ความเร็วV ของการไหลรวม คือความเร็วเฉลี่ยของมวล ซึ่งกำหนดโดยความหนาแน่นของโมเมนตัมและความเข้มข้นของมวล:

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

โดยที่คือความเข้มข้นของมวลของชนิดที่i และ คือความหนาแน่นของมวล ${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$

ตามนิยามแล้ว ความเร็วการแพร่ของ องค์ประกอบที่ iคือ. การถ่ายโอนมวลของ องค์ประกอบที่ iอธิบายได้ด้วยสมการความต่อเนื่อง${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

อัตราการผลิตมวลสุทธิในปฏิกิริยาเคมีอยู่ที่ ใด${\displaystyle W_{i}}$${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$

ในสมการเหล่านี้ เทอมอธิบายถึงการเคลื่อนที่แบบพาความร้อนของ องค์ประกอบที่ iและเทอมแสดงถึงการแพร่กระจายขององค์ประกอบนี้ ${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$

ในปี พ.ศ. 2491 Wendell H. Furryเสนอให้ใช้รูปแบบของอัตราการแพร่ที่พบในทฤษฎีจลนศาสตร์เป็นกรอบสำหรับแนวทางปรากฏการณ์วิทยาใหม่ในการแพร่ในก๊าซ แนวทางนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดย FA Williams และ SH Lam ^{[ 26 ]}สำหรับความเร็วการแพร่ในก๊าซหลายองค์ประกอบ ( Nองค์ประกอบ) พวกเขาใช้

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

ในที่นี้คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์การแพร่คือสัมประสิทธิ์การแพร่ความร้อนคือแรงต่อหน่วยมวลที่กระทำต่อชนิดที่iคือเศษส่วนความดันย่อยของ ชนิดที่ i (และคือความดันย่อย) คือเศษส่วนมวลของ ชนิดที่ iและ${\displaystyle D_{ij}}$${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

เมื่อความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในของแข็งไม่อยู่ในสภาวะสมดุล การแพร่ของอิเล็กตรอนจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อมีการให้แรงดันไฟฟ้ากับปลายทั้งสองข้างของชิ้นส่วนสารกึ่งตัวนำ หรือเมื่อมีแสงส่องไปที่ปลายด้านหนึ่ง (ดูภาพด้านขวา) อิเล็กตรอนจะแพร่จากบริเวณที่มีความหนาแน่นสูง (ตรงกลาง) ไปยังบริเวณที่มีความหนาแน่นต่ำ (ปลายทั้งสองข้าง) ทำให้เกิดการไล่ระดับความหนาแน่นของอิเล็กตรอน กระบวนการนี้ก่อให้เกิดกระแสไฟฟ้า ซึ่งเรียกว่ากระแสการแพร่

กระแสการแพร่กระจายสามารถอธิบายได้ด้วยกฎข้อแรกของฟิกก์ เช่นกัน

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

โดยที่Jคือความหนาแน่นของกระแสการแพร่ ( ปริมาณสาร ) ต่อหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา, n (สำหรับสารผสมในอุดมคติ) คือความหนาแน่นของอิเล็กตรอน, และxคือตำแหน่ง [ความยาว]

แบบจำลองเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลขที่แก้สมการการแพร่กระจายสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขขอบเขตที่แตกต่างกันได้รับความนิยมในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงพื้นผิวโลกที่หลากหลาย การแพร่กระจายถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการศึกษาการกัดเซาะ เช่น การถอยร่นของเนินเขา การกัดเซาะหน้าผา การเสื่อมสภาพของหน้าผาที่เกิดจากรอยแตก การถอยร่นของระเบียง/แนวชายฝั่งที่เกิดจากการกัดเซาะของคลื่น การกัดเซาะของช่องทางน้ำที่เกิดจากการทับถม การถอยร่นของชั้นหินชายฝั่ง และการขยายตัวของดินดอนสามเหลี่ยมปากแม่น้ำ^{[ 27 ]}แม้ว่าพื้นผิวโลกจะไม่ได้แพร่กระจายอย่างแท้จริงในหลายกรณีเหล่านี้ แต่กระบวนการแพร่กระจายก็เลียนแบบการเปลี่ยนแปลงแบบองค์รวมที่เกิดขึ้นในช่วงหลายทศวรรษถึงหลายพันปีได้อย่างมีประสิทธิภาพ แบบจำลองการแพร่กระจายยังสามารถใช้ในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตผกผันซึ่งทราบข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมการสะสมจากการสร้างสภาพแวดล้อมโบราณขึ้นใหม่ และใช้สมการการแพร่กระจายเพื่อหาการไหลเข้าของตะกอนและอนุกรมเวลาของการเปลี่ยนแปลงของภูมิประเทศ^{[ 28 ]}

การฟอกไตทำงานบนหลักการของการแพร่ของสารละลายและการกรองของเหลวผ่านเยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้การแพร่เป็นคุณสมบัติของสารในน้ำ สารในน้ำมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนที่จากบริเวณที่มีความเข้มข้นสูงไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำ^{[ 29 ]}เลือดไหลผ่านด้านหนึ่งของเยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้ และไดอะไลเซตหรือของเหลวฟอกไตชนิดพิเศษจะไหลผ่านอีกด้านหนึ่ง เยื่อกั้นกึ่งซึมผ่านได้เป็นชั้นบางๆ ของวัสดุที่มีรูพรุนขนาดต่างๆ สารละลายและของเหลวขนาดเล็กจะผ่านเยื่อกั้นได้ แต่เยื่อกั้นจะปิดกั้นการผ่านของสารขนาดใหญ่ (เช่น เม็ดเลือดแดงและโปรตีนขนาดใหญ่) กระบวนการนี้จำลองกระบวนการกรองที่เกิดขึ้นในไตเมื่อเลือดเข้าสู่ไตและสารขนาดใหญ่จะถูกแยกออกจากสารขนาดเล็กในโกลเมอรูลัส^{[ 29 ]}

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือ การที่อะตอม ไอออน หรือโมเลกุลแต่ละตัวเคลื่อนที่แบบสุ่ม ซึ่งความจริงแล้วไม่ใช่เช่นนั้น ในภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา ไอออนในแผงด้านซ้ายดูเหมือนจะเคลื่อนที่แบบ "สุ่ม" ในกรณีที่ไม่มีไอออนอื่นอยู่ด้วย อย่างไรก็ตาม ดังที่แผงด้านขวาแสดงให้เห็น การเคลื่อนที่นี้ไม่ได้เป็นการเคลื่อนที่แบบสุ่ม แต่เป็นผลมาจากการ "ชนกัน" กับไอออนอื่น ดังนั้น การเคลื่อนที่ของอะตอม ไอออน หรือโมเลกุลเพียงตัวเดียวในสารผสมจึงดูเหมือนสุ่มเมื่อมองแยกออกมา การเคลื่อนที่ของสารในสารผสมโดย "การเดินแบบสุ่ม" นั้นถูกควบคุมโดยพลังงานจลน์ภายในระบบ ซึ่งอาจได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงความเข้มข้น ความดัน หรืออุณหภูมิ (นี่คือคำอธิบายแบบคลาสสิก ในระดับที่เล็กกว่านั้น ผลกระทบทางควอนตัมจะไม่สามารถละเลยได้โดยทั่วไป ดังนั้น การศึกษาการเคลื่อนที่ของอะตอมเพียงตัวเดียวจึงมีความซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากอนุภาคในระดับที่เล็กมากนั้นถูกอธิบายด้วยแอมพลิจูดความน่าจะเป็นมากกว่าการวัดตำแหน่งและความเร็วแบบกำหนดได้)

ในขณะที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาคขนาดกลางที่มีหลายโมเลกุล (เช่น ละอองเกสรดอกไม้ที่บราวน์ศึกษา) สามารถสังเกตได้ภายใต้กล้องจุลทรรศน์แบบใช้แสง การแพร่กระจายของโมเลกุลนั้นสามารถตรวจสอบได้เฉพาะในสภาวะการทดลองที่ควบคุมอย่างระมัดระวังเท่านั้น นับตั้งแต่การทดลองของเกรแฮมเป็นต้นมา เป็นที่ทราบกันดีว่าการหลีกเลี่ยงการพาความร้อนเป็นสิ่งจำเป็น และนี่อาจเป็นงานที่ไม่ง่ายนัก

ภายใต้สภาวะปกติ การแพร่ของโมเลกุลจะมีบทบาทสำคัญเฉพาะในระยะความยาวระดับนาโนเมตรถึงมิลลิเมตรเท่านั้น ในระยะความยาวที่ใหญ่กว่านั้น การขนส่งในของเหลวและก๊าซมักเกิดจากปรากฏการณ์การขนส่ง อื่น นั่น คือการพาความร้อนการแยกการแพร่ในกรณีเหล่านี้จำเป็นต้องใช้ความพยายามเป็นพิเศษ

ในทางตรงกันข้ามการนำความร้อนผ่านตัวกลางที่เป็นของแข็งเป็นปรากฏการณ์ที่พบได้ทั่วไปในชีวิตประจำวัน (ตัวอย่างเช่น ช้อนโลหะที่จุ่มลงในของเหลวร้อนบางส่วน) นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการแพร่กระจายความร้อนจึงได้รับการอธิบายทางคณิตศาสตร์ก่อนการแพร่กระจายของมวล

• การแพร่แบบไม่เป็นไอโซโทรปิกหรือที่รู้จักกันในชื่อสมการเปโรนา-มาลิก ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของการไล่ระดับความชันสูง
• การแพร่ของอะตอมในของแข็ง
• การแพร่แบบโบห์ม (Bohm diffusion ) คือการแพร่กระจายของพลาสมาข้ามสนามแม่เหล็ก
• การแพร่แบบกระแสน้ำวนในคำอธิบายแบบหยาบของการไหลแบบปั่นป่วน
• การซึมผ่านของก๊าซผ่านรูเล็กๆ
• การแพร่กระจาย ของอิเล็กตรอนส่งผลให้เกิดกระแสไฟฟ้าที่เรียกว่ากระแสแพร่กระจาย
• การแพร่แบบอำนวยความสะดวกพบได้ในสิ่งมีชีวิตบางชนิด
• การแพร่กระจายของก๊าซใช้สำหรับการแยกไอโซโทป
• สมการความร้อนการแพร่กระจายของพลังงานความร้อน
• การแพร่แบบอิโตะ (Itō diffusion)คือการนำคณิตศาสตร์มาใช้กับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ (Brownian motion) ซึ่งเป็นกระบวนการสุ่มต่อเนื่อง
• การแพร่แบบ Knudsenของก๊าซในรูพรุนยาวที่มีการชนกับผนังบ่อยครั้ง
• เที่ยวบินเลวี
• การแพร่ของโมเลกุลคือการแพร่ของโมเลกุลจากบริเวณที่มีความหนาแน่นสูงไปยังบริเวณที่มีความหนาแน่นต่ำกว่า
• การแพร่กระจายของโมเมนตัมเช่น การแพร่กระจายของสนามความเร็วของของเหลว
• การแพร่กระจายของโฟตอน
• การแพร่กระจายของพลาสมา
• การเดินแบบสุ่ม [ ^{30 ] แบบ}จำลองสำหรับการแพร่กระจาย
• การแพร่แบบย้อนกลับ คือ การแพร่สวนทางกับความเข้มข้น ในการแยกเฟส
• การแพร่แบบหมุนคือการจัดเรียงตัวใหม่แบบสุ่มของโมเลกุล
• การแพร่กระจายของสปิน (Spin diffusion)คือการแพร่กระจายของโมเมนต์แม่เหล็กสปินในของแข็ง
• การแพร่บนพื้นผิวคือการแพร่ของอนุภาคเกาะติดบนพื้นผิว
• แท็กซี่คือพฤติกรรมการเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งของสัตว์เพื่อตอบสนองต่อสิ่งเร้า
  • ไคเนซิสคือ การเคลื่อนไหวที่ไม่กำหนดทิศทางของสัตว์เพื่อตอบสนองต่อสิ่งเร้า
• การแพร่กระจายข้ามวัฒนธรรมคือการแพร่กระจายลักษณะทางวัฒนธรรมข้ามพื้นที่ทางภูมิศาสตร์
• การแพร่แบบปั่นป่วนคือ การขนส่งมวล ความร้อน หรือโมเมนตัมภายในของเหลวที่ปั่นป่วน