ในเรขาคณิตสามมิติ และแคลคูลัสเวกเตอร์เวกเตอร์พื้นที่คือเวกเตอร์ที่รวมปริมาณพื้นที่เข้ากับทิศทางจึงแสดงถึงพื้นที่ที่มีทิศทางในสามมิติ

พื้นผิวที่มีขอบเขต ทุก พื้นผิว ในสามมิติสามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์พื้นที่เฉพาะตัวที่เรียกว่าเวกเตอร์ พื้นที่ ได้ โดยมีค่าเท่ากับปริพันธ์พื้นผิวของเวก เตอร์ตั้งฉากกับ พื้นผิวและแตกต่างจากพื้นที่ผิว ปกติ ( แบบสเกลาร์ )

พื้นที่เวกเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายแนวคิดของพื้นที่ที่มีเครื่องหมายในสองมิติไปสู่มิติ สามมิติ

สำหรับพื้นผิวระนาบจำกัดที่มีพื้นที่สเกลาร์Sและเวกเตอร์ตั้งฉากหนึ่งหน่วย^nโดยเวกเตอร์พื้นที่Sถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์หน่วยปกติที่ปรับขนาดตามพื้นที่: $${\displaystyle \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}S}$$

สำหรับพื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้Sซึ่งประกอบด้วยเซต ของพื้นที่ ระนาบเรียบS _iพื้นที่เวกเตอร์ของพื้นผิวจะกำหนดโดย โดย ที่$${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}{\hat {\mathbf {n} }__{i}S_{i}}$$^n_iคือ เวก เตอร์ หน่วยตั้งฉากกับพื้นที่Si

สำหรับพื้นผิวโค้งที่มีขอบเขตและมีทิศทาง ซึ่งมีพฤติกรรมที่ดี พอสมควร เรายังคงสามารถกำหนดเวกเตอร์พื้นที่ได้ ขั้นแรก เราแบ่งพื้นผิวออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ ที่แต่ละองค์ประกอบนั้นมีลักษณะแบนราบ สำหรับแต่ละองค์ประกอบเล็กๆ ของพื้นที่ เราจะมีเวกเตอร์พื้นที่ ซึ่งก็มีขนาดเล็กมากเช่นกัน โดยที่$${\displaystyle d\mathbf {S} ={\hat {\mathbf {n} }}\ dS}$$^nคือเวกเตอร์หน่วยเฉพาะที่ตั้งฉากกับdSการอินทิเกรตจะให้เวกเตอร์พื้นที่ของพื้นผิว $${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

พื้นที่เวกเตอร์ของพื้นผิวสามารถตีความได้ว่าเป็นพื้นที่ฉาย (ที่มีเครื่องหมาย) หรือ "เงา" ของพื้นผิวในระนาบที่พื้นที่นั้นมีขนาดใหญ่ที่สุด โดยทิศทางของพื้นที่ฉายจะกำหนดโดยเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนั้น

สำหรับพื้นผิวโค้งหรือพื้นผิวเหลี่ยม (เช่น พื้นผิวที่ไม่เป็นระนาบ) พื้นที่เวกเตอร์จะมีขนาดเล็กกว่าพื้นที่ผิว จริง ตัวอย่างเช่นพื้นผิวปิดอาจมีพื้นที่ขนาดใหญ่มาก แต่พื้นที่เวกเตอร์จะต้องเป็นศูนย์^{[ 1 ]}พื้นผิวที่ใช้ขอบเขตร่วมกันอาจมีพื้นที่แตกต่างกันมาก แต่ต้องมีพื้นที่เวกเตอร์เท่ากัน—พื้นที่เวกเตอร์ถูกกำหนดโดยขอบเขตทั้งหมด สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของสโตกส์

พื้นที่เวกเตอร์ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหาได้จากผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวที่ประกอบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น โดยจะมีค่าเป็นสองเท่าของพื้นที่ (เวกเตอร์) ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์เดียวกันนั้น โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่เวกเตอร์ของพื้นผิวใดๆ ที่มีขอบเขตเป็นลำดับของส่วนของเส้น ตรง (คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมในสองมิติ) สามารถคำนวณได้โดยใช้ชุดผลคูณเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับการแบ่งพื้นผิวออกเป็นรูปสามเหลี่ยม นี่คือการขยายสูตร Shoelaceไปสู่สามมิติ

โดยใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์ประยุกต์ใช้กับสนามเวกเตอร์ที่เลือกอย่างเหมาะสม เราสามารถหาปริพันธ์ขอบเขตสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ได้ดังนี้: โดยที่∂SคือขอบเขตของS กล่าวคือเส้นโค้ง ปิดในปริภูมิที่มีทิศทางตั้งแต่หนึ่งเส้นขึ้นไป วิธีนี้คล้ายคลึงกับการคำนวณพื้นที่สองมิติโดยใช้ทฤษฎีบทของกรีน $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$

เวกเตอร์พื้นที่ถูกนำมาใช้ในการคำนวณอินทิกรัลบนพื้นผิวเช่น เมื่อหาฟลักซ์ของสนามเวกเตอร์ผ่านพื้นผิว ฟลักซ์จะหาได้จากอินทิกรัลของผลคูณดอทของสนามและเวกเตอร์พื้นที่ (ขนาดเล็กมาก) เมื่อสนามมีค่าคงที่ตลอดพื้นผิว อินทิกรัลจะลดรูปเหลือเพียงผลคูณดอทของสนามและเวกเตอร์พื้นที่ของพื้นผิว

พื้นที่ที่ฉายลงบนระนาบนั้นหาได้จากผลคูณดอทของเวกเตอร์พื้นที่Sและเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับระนาบเป้าหมาย^มตัวอย่าง เช่น พื้นที่ที่ฉายลงบน ระนาบ xyจะเทียบเท่ากับ ส่วนประกอบ zของเวกเตอร์พื้นที่ และยังเท่ากับ โดย ที่θคือมุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ$${\displaystyle A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$^nและแกน z

• ไบเวกเตอร์คือตัวแทนของพื้นที่ที่มีทิศทางในมิติใดๆ ก็ได้
• ทฤษฎีบทของเดอ กัวเกี่ยวกับการแยกพื้นที่เวกเตอร์ออกเป็นส่วนประกอบเชิงตั้งฉาก
• ผลคูณไขว้
• พื้นผิวตั้งฉาก
• อินทิกรัลพื้นผิว