เลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \lambda >0,}$อัตรา หรือมาตราส่วน ผกผัน
สนับสนุน	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
พีดี	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$
ควอนไทล์	${\displaystyle -{\frac {\ln(1-p)}{\แลมบ์ดา }}}$
หมายถึง	${\displaystyle {\frac {1}{\แลมบ์ดา }}}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\แลมบ์ดา }}}$
โหมด	${\displaystyle 0}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {1}{\แลมบ์ดา ^{2}}}}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle 2}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle 6}$
เอนโทรปี	${\displaystyle 1-\ln \แลมบ์ดา }$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ สำหรับ }}t<\lambda }$
ซีเอฟ	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\displaystyle {\frac {1}{\แลมบ์ดา ^{2}}}}$
ความแตกต่าง Kullback–Leibler	${\displaystyle \ln {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลหรือการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลเชิงลบคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของระยะห่างระหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการจุดปัวซง กล่าวคือ กระบวนการที่เหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องและเป็นอิสระในอัตราเฉลี่ยคงที่ พารามิเตอร์ระยะห่างอาจเป็นการวัดมิติเดียวที่มีความหมายของกระบวนการ เช่น เวลาระหว่างข้อผิดพลาดในการผลิต หรือความยาวตามม้วนผ้าในกระบวนการผลิตการทอ^{[ 1 ]}เป็นการแจกแจงแกมมา แบบเฉพาะเจาะจง เป็นอนาล็อกแบบต่อเนื่องของการแจกแจงเรขาคณิตและมีคุณสมบัติสำคัญคือไม่มีความจำ^{[ 2 ]}นอกจากการใช้สำหรับการวิเคราะห์กระบวนการจุดปัวซงแล้ว ยังพบได้ในบริบทอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 3 ]}

การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลไม่เหมือนกับกลุ่ม การแจกแจง แบบตระกูลเอกซ์โพเนนเชีย ล ซึ่งเป็นกลุ่มการแจกแจงความน่าจะเป็นขนาดใหญ่ที่รวมการแจกแจงแบบเอกซ์โพเน นเชียลไว้เป็นหนึ่งในสมาชิก แต่ยังรวมถึงการแจกแจงอื่นๆ อีกมากมาย เช่นการแจกแจงแบบปกติแบบทวินาม แบบแกมมา และแบบปัวซง^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลคือ

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

ในที่นี้λ > 0 คือพารามิเตอร์ของการแจกแจง ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์อัตรา การแจกแจง นี้ ครอบคลุมช่วง  [0, ∞)หากตัวแปรสุ่มXมีการแจกแจงนี้ เราจะเขียน  X ~ Exp( λ )

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลแสดงให้เห็นถึงการ หารลงตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ฟังก์ชันการกระจายสะสมกำหนดโดย

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลบางครั้งจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยใช้พารามิเตอร์มาตราส่วนβ = 1/ λซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน: $${\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มX ที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์อัตราλจะกำหนดโดย $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}$$

จากตัวอย่างที่ยกมาด้านล่างนี้ ทำให้เข้าใจได้ คนที่ได้รับโทรศัพท์โดยเฉลี่ยสองสายต่อชั่วโมง สามารถคาดหวังได้ว่าช่วงเวลาระหว่างการโทรแต่ละครั้งจะอยู่ที่ 0.5 ชั่วโมง หรือ 30 นาที

ความแปรปรวนของXหาได้จากสูตร ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงเท่ากับค่าเฉลี่ย $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}$$

โมเมนต์ของXสำหรับจะได้รับโดย ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}$$

โมเมนต์กลางของXสำหรับจะกำหนดโดย โดย ที่ ! nคือ แฟกทอเรี ยล ย่อยของn${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$$

ค่ามัธยฐานของXหาได้จากสูตร โดย ที่lnหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติดังนั้นผลต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานคือ $${\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],}$$$${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}$$

ตามความไม่เท่าเทียมกันระหว่างค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ย

ตัวแปรสุ่มT ที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล เป็นไปตามความสัมพันธ์ ดังต่อไปนี้$${\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}$$

สามารถเห็นได้จากการพิจารณาฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$$

เมื่อตีความT ว่าเป็นเวลาที่ต้องรอให้เหตุการณ์เกิดขึ้นเมื่อเทียบกับเวลาเริ่มต้นบางค่า ความสัมพันธ์นี้บ่งชี้ว่า หาก Tมีเงื่อนไขว่าไม่สามารถสังเกตเห็นเหตุการณ์ได้ในช่วงเวลาเริ่มต้นsค่าความน่าจะเป็นของเวลาที่ต้องรอที่เหลืออยู่จะเหมือนกับค่าความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขเดิม ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์ไม่เกิดขึ้นหลังจาก 30 วินาทีความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในอีกอย่างน้อย 10 วินาทีข้างหน้าจะเท่ากับความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขของการสังเกตเห็นเหตุการณ์หลังจากเวลาเริ่มต้นมากกว่า 10 วินาที

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแจกแจงแบบเรขาคณิตเป็นเพียงการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ไม่มีความจำเพียงสองแบบเท่านั้น

ดังนั้น การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลจึงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวที่มีอัตราความล้มเหลว คงที่ด้วยเช่น กัน

ฟังก์ชันควอนไทล์ (ฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน) สำหรับ Exp( λ ) คือ $${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$$

ดังนั้น ควาร์ไทล์จึงเป็นดังนี้:

• ควาร์ไทล์แรก: ln(4/3)/ λ
• ค่ามัธยฐาน : ln(2)/ λ
• ควาร์ไทล์ที่สาม: ln(4)/ λ

และผลที่ตามมาคือช่วงควาร์ไทล์คือ ln(3)/ λ

ค่าความเสี่ยงตามเงื่อนไข (CVaR) หรือที่รู้จักกันในชื่อการขาดทุนที่คาดหวังหรือซูเปอร์ควอนไทล์สำหรับ Exp( λ ) ได้มาดังนี้: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}$$

ความน่าจะเป็นของการเกินค่าบัฟเฟอร์คือหนึ่งลบด้วยระดับความน่าจะเป็นที่ CVaR เท่ากับเกณฑ์โดยคำนวณดังนี้: ^{[ 4 ]}${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}$$

ความแตกต่าง แบบKullback–Leibler ที่มีทิศทาง ในnatsของ(การแจกแจงแบบ "ประมาณ") จาก(การแจกแจงแบบ "จริง") กำหนดโดย ${\displaystyle e^{\lambda }}$${\displaystyle e^{\lambda _{0}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}$$

ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นต่อเนื่องทั้งหมดที่มีช่วง[0, ∞)และค่าเฉลี่ยμการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่มีλ = 1/ μ มี เอนโทรปีเชิงอนุพันธ์มากที่สุดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีเอนโทรปีสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มXซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และ E[ X ] ถูกกำหนดไว้^{[ 5 ]}

ให้X ₁ , ..., X _nเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์อัตราλ 1 _, ..., λ _nแล้ว ก็มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเช่นกัน โดยมีพารามิเตอร์ $${\displaystyle \min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}}$$$${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.}$$

สามารถเห็นได้จากการพิจารณาฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}}$$

ดัชนีของตัวแปรที่ได้ค่าต่ำสุดจะมีการกระจายตัวตามการแจกแจงเชิงหมวดหมู่ $${\displaystyle \Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.}$$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการกำหนดให้จากนั้น ${\displaystyle I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}}$$

โปรดทราบว่าไม่ได้ มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล หากX ₁ , ..., X _nไม่มีพารามิเตอร์เป็น 0 ทั้งหมด^{[ 6 ]}$${\displaystyle \max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$$

ให้และ เป็น ตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนน เชียลอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันโดยมีพารามิเตอร์อัตราλให้แทนสถิติเรียงลำดับที่สอดคล้องกันสำหรับโมเมนต์ร่วมของสถิติเรียงลำดับและจะกำหนดโดย ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]}$${\displaystyle X_{(i)}}$${\displaystyle X_{(j)}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการอ้างอิงกฎแห่งความคาดหวังโดยรวมและคุณสมบัติไร้ความทรงจำ: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

สมการแรกได้มาจากกฎของความคาดหวังโดยรวมสมการที่สองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อเราพิจารณาเงื่อนไขบน แล้วจะต้องเป็นไปตามนั้นสมการที่สามอาศัยคุณสมบัติไร้ความทรงจำเพื่อแทนที่ ด้วย${\displaystyle X_{(i)}=x}$${\displaystyle X_{(j)}\geq x}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]}$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}$

ฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็น (PDF) ของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวคือการสังเคราะห์ของ PDF ของแต่ละตัวถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลอิสระที่มีพารามิเตอร์อัตราตามลำดับและความหนาแน่นความน่าจะเป็นของจะกำหนดโดย เอนโทรปีของการกระจายนี้มีอยู่ในรูปแบบปิด: สมมติว่า(โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป) แล้ว โดยที่คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีและคือ ฟังก์ชัน ไดแกมมา^{[ 7 ]}${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},}$${\displaystyle Z=X_{1}+X_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi (\cdot )}$

ในกรณีที่พารามิเตอร์อัตราเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้คือการแจกแจงแบบ Erlangที่มีรูปร่าง 2 และพารามิเตอร์ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของ การแจกแจง แบบ แกมมา${\displaystyle \lambda ,}$

ผลรวมของตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลอิสระ n ตัว Exp( λ) มี การแจกแจง แบบแกมมา(n, λ)

• ถ้าX ~ Laplace(μ, β ⁻¹ )แล้ว | X − μ| ~ ประสบการณ์(β) ^{[ 8 ]}
• ถ้าX ~ U (0, 1)แล้ว −log( X ) ~ Exp(1)
• ถ้าX ~ Pareto(1, λ)แล้ว log( X ) ~ Exp(λ) ^{[ 8 ]}
• ถ้าX ~ SkewLogistic(θ)แล้ว.${\displaystyle \log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )}$
• ถ้าX _i ~ U (0, 1)แล้ว$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\min \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\sim \operatorname {Exp} (1)}$$
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเป็นลิมิตของการแจกแจงแบบเบตา ที่ปรับขนาดแล้ว :$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\operatorname {Beta} (1,n)=\operatorname {Exp} (1).}$$
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเน นเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบเพียร์สัน ประเภทที่ 3
• การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปร่างเท่ากับ 1 ^{[ 8 ]}
• ถ้าX ~ Exp(λ) และX _i ~ Exp(λ _i ) แล้ว:
  • ${\displaystyle kX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{k}}\right)}$การปิดภายใต้การปรับขนาดด้วยปัจจัยบวก
  • 1 +  X ~ BenktanderWeibull (λ, 1) ซึ่งลดรูปเป็นการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลแบบตัดทอน
  • ke ^X ~ พาเรโต ( k , แลม). ^{[ 8 ]}
  • e ^−λX ~ U (0, 1) .
  • e ^−X ~ Beta (λ, 1). ^{[ 8 ]}
  • ⁠1/เคe ^X ~ PowerLaw ( k , λ )
  • ${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)}$การกระจายแบบเรย์ลี^{[ 8 ]}
  • ${\displaystyle X\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)}$การกระจาย Weibull ^{[ 8 ]}
  • ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)}$^{[ 8 ]}
  • μ - β log(แลX ) ∼ Gumbel (μ, β)
  • ${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)}$การแจกแจงทางเรขาคณิตบน 0, 1, 2, 3,...
  • ${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)}$การแจกแจงทางเรขาคณิตบน 1,2,3,4,...
  • ถ้าY ~ Erlang( n , λ) หรือแล้ว${\displaystyle Y\sim \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)}$${\displaystyle {\frac {X}{Y}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
  • ถ้าเป็น แล ~ แกมมา ( k , θ) (รูปร่าง, การกำหนดพารามิเตอร์มาตราส่วน) ดังนั้นการกระจายส่วนขอบของXคือLomax ( k , 1/θ) ซึ่ง เป็นส่วนผสมของแกมมา
  • แลส₁ X ₁ − แลม₂ Y ₂ ~ ลาปลาซ(0, 1) .
  • นาที{ X ₁ , ..., X _n } ~ ประสบการณ์(แล₁ + ... + แลม_n )
  • ถ้า λ _i = λ แล้ว:
    • ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{k}=\sum _{i}X_{i}\sim }$Erlang ( k , λ) = Gamma ( k , λ) โดยมีพารามิเตอร์รูปร่างจำนวนเต็มkและพารามิเตอร์อัตรา λ ^{[ 9 ]}
    • ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle T=(X_{1}+\cdots +X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle 2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}}$
    • X _i − X _j ~ Laplace(0, λ ⁻¹ ).
  • ถ้าX _iเป็นอิสระต่อกันแล้ว:
    • ${\displaystyle {\frac {X_{i}}{X_{i}+X_{j}}}}$~ U (0, 1)
    • ${\displaystyle Z={\frac {\lambda _{i}X_{i}}{\lambda _{j}X_{j}}}}$มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับได้${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}}$
  • ถ้า λ = 1 ด้วย:
    • ${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$การแจกแจงโลจิสติกส์
    • ${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {X_{i}}{X_{j}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$
    • μ − σ บันทึก( X ) ~ GEV (μ, σ, 0)
    • นอกจากนี้ ถ้าเช่นนั้น( การแจกแจง K )${\displaystyle Y\sim \Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)}$${\displaystyle {\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )}$
  • ถ้า λ = 1/2 ด้วยแล้วX ∼ χ² ₂กล่าวคือXมีการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มี 2 องศาอิสระดังนั้น:$${\displaystyle \operatorname {Exp} (\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2}^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exp} (\lambda )\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2n}^{2}}$$
• ถ้าและ~ Poisson( X )แล้ว ( การแจกแจงแบบเรขาคณิต )${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\lambda }}\right)}$${\displaystyle Y\mid X}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Geometric} \left({\frac {1}{1+\lambda }}\right)}$
• การแจกแจงฮอยต์สามารถได้มาจากการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลและการแจกแจงอาร์คไซน์
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเป็นลิมิตของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลκในกรณี นี้${\displaystyle \kappa =0}$
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเป็นลิมิตของการแจกแจงแกมมาทั่วไปแบบ κใน กรณี ต่างๆ ดังนี้: ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \nu =1}$

  ${\displaystyle \lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}}$

การแจกแจงอื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

• การแจกแจงแบบไฮเปอร์เอ็กซ์โพเนนเชียล – การแจกแจงที่มีความหนาแน่นเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของความหนาแน่นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
• การแจกแจงไฮโปเอ็กซ์โพเนนเชียล – การแจกแจงผลรวมทั่วไปของตัวแปรสุ่มเอ็กซ์โพเนนเชียล^{[ 8 ]}
• การแจกแจงแบบเอ็ก-เกาส์เซียน – ผลรวมของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแจกแจงแบบปกติ

ต่อไปนี้ สมมติว่าตัวแปรสุ่มXมีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยมีพารามิเตอร์อัตรา λ และnเป็นตัวอย่างอิสระจากXโดยมีค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

ตัว ประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับ λ ถูกสร้างขึ้นดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับ λ เมื่อกำหนดตัวอย่างx = ( x ₁ , ..., x _n ) ที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันซึ่งสุ่มมาจากตัวแปร มีดังนี้: $${\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),}$$

โดยที่: คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง $${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ: $${\displaystyle {\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}}$$

ดังนั้น ค่าประมาณ ความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับพารามิเตอร์อัตราจึงเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i}x_{i}}}}$$

นี่ไม่ใช่ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของแม้ว่าจะเป็น ตัวประมาณค่า MLE ที่ไม่เอนเอียง^{[ 10 ] [ 11 ]}ของและค่าเฉลี่ยการกระจาย ${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle 1/\lambda }$

อคติของมีค่าเท่ากับ ซึ่งจะให้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดที่แก้ไขอคติแล้ว${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}}$$${\displaystyle B\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}}$$$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}^{*}={\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-B.}$$

สามารถหา ค่าประมาณต่ำสุดของข้อผิดพลาดกำลังสองเฉลี่ย (ดูเพิ่มเติม: การแลกเปลี่ยนระหว่างอคติและความแปรปรวน ) ^ได้โดยสมมติว่าขนาดตัวอย่างมากกว่าสอง โดยใช้ปัจจัยแก้ไขสำหรับ MLE: ซึ่งได้มาจากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบอินเวอร์สแกมมา [ ^{12 ]}$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}=\left({\frac {n-2}{n}}\right)\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)={\frac {n-2}{\sum _{i}x_{i}}}}$$${\textstyle {\mbox{Inv-Gamma}}(n,\lambda )}$

ข้อมูลฟิชเชอร์ (Fisher information)ซึ่งแทนด้วยสำหรับตัวประมาณค่าพารามิเตอร์อัตรามีดังนี้: ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}$$

เมื่อแทนค่าการแจกแจงและแก้สมการจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.}$$

สิ่งนี้จะกำหนดปริมาณข้อมูลที่แต่ละตัวอย่างอิสระของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีเกี่ยวกับพารามิเตอร์อัตราที่ไม่ทราบค่า ${\displaystyle \lambda }$

ช่วงความเชื่อมั่น 100(1 − α)% ที่แน่นอนสำหรับพารามิเตอร์อัตราของการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลกำหนดโดย: ^{[ 13 ]} ซึ่งเท่ากับ โดย ที่χ$${\displaystyle {\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$$${\displaystyle {\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$² _{พี , วี}คือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 100( p ) ของ การแจกแจงไคกำลังสองที่มีv องศาอิสระ n คือจำนวนการสังเกต และ x-bar คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง สามารถประมาณค่าจุดปลายช่วงที่แน่นอนอย่างง่ายได้โดยใช้การประมาณค่าปกติของχ²² _{พี , วี}การกระจายตัว การประมาณค่านี้ให้ค่าต่อไปนี้สำหรับช่วงความเชื่อมั่น 95%: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$$

การประมาณค่านี้อาจยอมรับได้สำหรับตัวอย่างที่มีองค์ประกอบอย่างน้อย 15 ถึง 20 รายการ^{[ 14 ]}

การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบสังยุคสำหรับการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลคือการแจกแจงแกมมา (ซึ่งการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมา) การกำหนดพารามิเตอร์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของแกมมาต่อไปนี้มีประโยชน์:

$${\displaystyle \operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).}$$

การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังpสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ข้างต้นและค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าแบบแกมมา:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}}$$

ตอนนี้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลังpได้ถูกกำหนดไว้แล้ว ยกเว้นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานที่ขาดหายไป เนื่องจากมีรูปแบบเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบแกมมา จึงสามารถเติมค่านี้ได้อย่างง่ายดาย และจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).}$$

ในที่นี้พารามิเตอร์αสามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการสังเกตการณ์ก่อนหน้า และβเป็นผลรวมของการสังเกตการณ์ก่อนหน้า ค่าเฉลี่ยภายหลังในที่นี้คือ: $${\displaystyle {\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.}$$

การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นหนึ่งในการแจกแจงทางสถิติหลายแบบที่มี โครงสร้าง แบบกลุ่มอันเป็นผลมาจากโครงสร้างแบบกลุ่ม การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลจึงมีมาตรวัด Haar ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งก็คือการใช้มาตรวัด Haarเป็นค่าก่อนหน้า (เรียกว่า Haar prior) ในการทำนายแบบเบย์เซียนจะให้ความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบได้อย่างสมบูรณ์แบบ สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แท้จริงใดๆ ก็ตาม^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}ความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบได้อย่างสมบูรณ์แบบมีคุณสมบัติที่ว่าความน่าจะเป็นที่ทำนายไว้จะตรงกับความถี่ของเหตุการณ์นอกตัวอย่างอย่างแม่นยำ สำหรับการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล มีนิพจน์ที่แน่นอนสำหรับการทำนายแบบเบย์เซียนที่สร้างขึ้นโดยใช้ Haar prior ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle 1/\lambda .}$

${\displaystyle p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.}$

นี่เป็นตัวอย่างของการปรับเทียบการทำนายก่อนหน้า โดยที่การทำนายก่อนหน้าจะถูกเลือกเพื่อปรับปรุงการปรับเทียบ (และในกรณีนี้ เพื่อทำให้การปรับเทียบสมบูรณ์แบบ) การปรับเทียบการทำนายก่อนหน้าสำหรับเลขชี้กำลังโดยใช้การทำนายก่อนหน้าของ Haar นั้นดำเนินการใน แพ็คเกจซอฟต์แวร์ R fitdistcp [1]

การคาดการณ์เดียวกันนี้สามารถได้มาจากมุมมองอื่นๆ อีกหลายประการ ดังที่ได้กล่าวไว้ใน ส่วน การคาดการณ์ด้านล่าง

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเน น เชียลเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่ออธิบายความยาวของช่วงเวลาระหว่างการมาถึงในกระบวนการปัวซง ที่เป็นเอกพันธ์

การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอาจมองได้ว่าเป็นรูปแบบต่อเนื่องที่เทียบเคียงได้กับการแจกแจงแบบเรขาคณิตซึ่งอธิบายจำนวนครั้งของการทดลองแบบเบอร์นูลลีที่จำเป็นสำหรับ กระบวนการ แบบไม่ต่อเนื่องในการเปลี่ยนสถานะ ในทางตรงกันข้าม การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอธิบายถึงเวลาที่กระบวนการแบบต่อเนื่องจะเปลี่ยนสถานะ

ในสถานการณ์จริง การสมมติว่าอัตราคงที่ (หรือความน่าจะเป็นต่อหน่วยเวลา) นั้นแทบจะไม่เป็นจริงเลย ตัวอย่างเช่น อัตราการโทรเข้าจะแตกต่างกันไปตามช่วงเวลาของวัน แต่ถ้าเราพิจารณาช่วงเวลาที่อัตราค่อนข้างคงที่ เช่น ตั้งแต่ 2 ถึง 4 โมงเย็นในวันทำงาน การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสามารถใช้เป็นแบบจำลองโดยประมาณที่ดีสำหรับเวลาจนกว่าจะมีสายเรียกเข้าครั้งต่อไป ข้อควรระวังที่คล้ายกันนี้ใช้กับตัวอย่างต่อไปนี้ซึ่งให้ตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยประมาณ:

• ระยะเวลาจนกว่าอนุภาคกัมมันตรังสีจะสลายตัวหรือระยะเวลาระหว่างการนับของเครื่องวัดรังสีไกเกอร์ แต่ละครั้ง
• ช่วงเวลาระหว่างการรับโทรศัพท์ครั้งหนึ่งกับการรับโทรศัพท์ครั้งต่อไป
• ระยะเวลาจนกว่าจะผิดนัดชำระหนี้ (แก่เจ้าหนี้ของบริษัท) ในแบบจำลองความเสี่ยงด้านเครดิตแบบลดรูป

ตัวแปรเลขชี้กำลังยังสามารถใช้ในการจำลองสถานการณ์ที่เหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ต่อหน่วยความยาว เช่น ระยะห่างระหว่างการกลายพันธุ์บน สาย ดีเอ็นเอหรือระยะห่างระหว่างสัตว์ที่ถูกรถชนตายบนถนนสายใดสายหนึ่ง

ในทฤษฎีการเข้าคิวเวลาในการให้บริการของตัวแทนในระบบ (เช่น ระยะเวลาที่พนักงานธนาคารใช้ในการให้บริการลูกค้า) มักถูกจำลองเป็นตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล (ตัวอย่างเช่น การมาถึงของลูกค้าก็ถูกจำลองโดยการแจกแจงแบบปัวซง เช่นกัน หากการมาถึงเป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน) ความยาวของกระบวนการที่สามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับของงานอิสระหลายงานนั้นเป็นไปตามการแจกแจงแบบเออร์ลัง (ซึ่งเป็นการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรอิสระหลายตัวที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล)

ทฤษฎีความน่าเชื่อถือและวิศวกรรมความน่าเชื่อถือยังใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลอย่างกว้างขวาง เนื่องจากคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงของค่าที่หายไป การแจกแจงนี้จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการจำลองส่วนอัตราความเสี่ยง คงที่ของ เส้นโค้งรูปอ่างอาบน้ำที่ใช้ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ นอกจากนี้ยังสะดวกมากเพราะง่ายต่อการเพิ่มอัตราความล้มเหลวในแบบจำลองความน่าเชื่อถือ อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลไม่เหมาะสมที่จะใช้จำลองอายุการใช้งานโดยรวมของสิ่งมีชีวิตหรืออุปกรณ์ทางเทคนิค เนื่องจาก "อัตราความล้มเหลว" ในที่นี้ไม่คงที่ กล่าวคือ ระบบที่อายุน้อยมากและระบบที่เก่ามากจะเกิดความล้มเหลวมากกว่า

ในวิชาฟิสิกส์หากคุณสังเกตก๊าซที่อุณหภูมิและความดัน คงที่ใน สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอระดับความสูงของโมเลกุลต่างๆ จะมีการกระจายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลโดยประมาณ ซึ่งเรียกว่าสูตรบารอมิเตอร์นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติของเอนโทรปีที่กล่าวถึงด้านล่าง

ในด้านอุทกวิทยาการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียลใช้ในการวิเคราะห์ค่าสุดขั้วของตัวแปรต่างๆ เช่น ค่าสูงสุดรายเดือนและรายปีของปริมาณน้ำฝนรายวันและปริมาณการไหลของแม่น้ำ^{[ 18 ]}

ภาพสีน้ำเงินแสดงตัวอย่างการปรับใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลกับปริมาณน้ำฝนสูงสุดในหนึ่งวันต่อปีที่เรียงลำดับแล้ว โดยแสดงแถบความเชื่อมั่น 90% ตามการแจกแจงแบบทวินาม ด้วย ข้อมูลปริมาณน้ำฝนแสดงโดย การพล็ อตตำแหน่งเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ความถี่สะสม

ในการจัดการห้องผ่าตัด การกระจายระยะเวลาการผ่าตัดสำหรับประเภทของการผ่าตัดที่ไม่มีเนื้อหางานที่แน่นอน (เช่น ในห้องฉุกเฉิน ซึ่งครอบคลุมการผ่าตัดทุกประเภท)

เมื่อได้สังเกตตัวอย่าง ข้อมูล nจุดจาก1การแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่ไม่ทราบค่าแล้ว งานทั่วไปอย่างหนึ่งคือการใช้ตัวอย่างเหล่านี้เพื่อทำนายข้อมูลในอนาคตจากแหล่งเดียวกัน การแจกแจงทำนายทั่วไปสำหรับตัวอย่างในอนาคตคือการแจกแจงแบบปลั๊กอิน ซึ่งเกิดจากการแทนค่าประมาณที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์อัตราλลงในฟังก์ชันความหนาแน่นเอกซ์โพเนนเชียล ตัวเลือกทั่วไปของค่าประมาณคือค่าที่ได้จากหลักการความน่าจะเป็นสูงสุด และการใช้ค่านี้จะให้ความหนาแน่นของการทำนายสำหรับตัวอย่างในอนาคตx _{n +1}โดยมีเงื่อนไขจากตัวอย่างที่สังเกตได้x = ( x ₁ , ..., x _n ) ที่กำหนดโดย $${\displaystyle p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).}$$

แนวทางแบบเบย์เซียนให้การแจกแจงการทำนายที่คำนึงถึงความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ที่ประมาณค่าได้ แม้ว่าสิ่งนี้อาจขึ้นอยู่กับการเลือกค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าอย่างมากก็ตาม

การแจกแจงการทำนายที่ปราศจากปัญหาในการเลือกค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า (priors) ที่เกิดขึ้นภายใต้แนวทางแบบเบย์เซียนเชิงอัตวิสัย คือ

$${\displaystyle p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},}$$

ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น

1. การกระจายความเชื่อมั่น^แบบความถี่ซึ่งได้มาจากการกระจายของปริมาณสำคัญ[ ^{19 ]}${\displaystyle {x_{n+1}}/{\overline {x}}}$
2. ความน่าจะเป็นในการทำนายโปรไฟล์ที่ได้มาจากการกำจัดพารามิเตอร์λจากความน่าจะเป็นร่วมของx _{n +1}และλโดยการเพิ่มค่าสูงสุด^{[ 20 ]}
3. การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังแบบเบย์เซียนเชิงวัตถุประสงค์ที่ได้มาโดยใช้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของเจฟฟรีย์ที่ ไม่ให้ข้อมูล 1/ λซึ่งเท่ากับความน่าจะเป็นก่อนหน้าของฮาร์ด้านขวาในกรณีนี้ การคาดการณ์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าของฮาร์ด้านขวาจะรับประกันว่าจะให้ความน่าจะเป็นที่ปรับเทียบอย่างสมบูรณ์แบบ^{[ 21 ] [ 22 ]}
4. การแจกแจงการทำนายความน่าจะเป็นสูงสุดแบบปกติตามเงื่อนไข (CNML) จากการพิจารณาทางทฤษฎีสารสนเทศ^{[ 23 ]}

ความแม่นยำของการแจกแจงการทำนายสามารถวัดได้โดยใช้ระยะทางหรือความแตกต่างระหว่างการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลที่แท้จริงที่มีพารามิเตอร์อัตราλ ₀และการแจกแจงการทำนายโดยอิงจากตัวอย่างx ความแตกต่างของ Kullback –Leiblerเป็นมาตรวัดความแตกต่างระหว่างการแจกแจงสองแบบที่ใช้กันทั่วไปและไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ให้ Δ( λ ₀ || p ) แทนความแตกต่างของ Kullback–Leibler ระหว่างเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราλ ₀และการแจกแจงการทำนายpจะสามารถแสดงได้ว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}$$

โดยที่ค่าคาดหวังจะคำนวณจากค่าการแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์อัตราλ ₀ ∈ (0, ∞)และψ( · )คือฟังก์ชันไดแกมมา เห็นได้ชัดว่าการแจกแจงทำนาย CNML นั้นเหนือกว่าการแจกแจงแบบปลั๊กอินความน่าจะเป็นสูงสุดอย่างชัดเจนในแง่ของค่าเฉลี่ยความแตกต่างของ Kullback–Leibler สำหรับขนาดตัวอย่างทั้งหมดn > 0

วิธีการที่เข้าใจง่ายมากในการสร้างตัวแปร เลขชี้กำลังนั้น ใช้หลักการสุ่มแบบแปลงผกผัน : เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มUที่ได้จากการแจกแจงเอกรูปในช่วงหน่วย(0, 1)ตัวแปรนั้น...

$${\displaystyle T=F^{-1}(U)}$$

มีการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยที่F ⁻¹คือฟังก์ชันควอนไทล์ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}.}$$

นอกจากนี้ ถ้าUเป็นค่าเอกซ์โปเนนเชียลบนช่วง (0, 1) แล้ว 1 − U ก็เป็น ค่าเอกซ์โปเนนเชียลเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสร้างตัวแปรเลขชี้กำลังได้ดังนี้:

$${\displaystyle T={\frac {-\ln(U)}{\lambda }}.}$$

^{Knuth [ 24 ]}และ Devroye ^{[ 25 ]}ได้กล่าวถึงวิธีการอื่นๆ ในการสร้างตัวแปรเลขชี้กำลัง

นอกจากนี้ยังมีวิธีที่รวดเร็วในการสร้างชุดตัวแปรเลขชี้กำลังที่เรียงลำดับไว้แล้วโดยไม่ต้องใช้ขั้นตอนการเรียงลำดับ^{[ 25 ]}

• เวลาหยุดทำงาน – การประยุกต์ใช้การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลในการวิเคราะห์เครื่องตรวจจับอนุภาค
• การแจกแจงแบบลาปลาสหรือ "การแจกแจงแบบเลขชี้กำลังคู่"
• ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็น
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลของ Marshall–Olkin

เว็บไซต์วิกิบุ๊คเรื่องความน่าจะเป็นมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

• "การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• เครื่องคำนวณการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลออนไลน์