ค่า ความสูญเสียที่คาดหวัง (Expected shortfallหรือES ) เป็นมาตรวัดความเสี่ยงซึ่งเป็นแนวคิดที่ใช้ในด้าน การวัด ความเสี่ยงทางการเงินเพื่อประเมินความเสี่ยงด้านตลาดหรือความเสี่ยงด้านเครดิตของพอร์ตการลงทุน "ค่าความสูญเสียที่คาดหวังที่ระดับ q%" คือผลตอบแทนที่คาดหวังของพอร์ตการลงทุนในกรณีที่เลวร้ายที่สุด ES เป็นทางเลือกแทนมูลค่าความเสี่ยง (Value at Risk หรือ Value)ที่มีความไวต่อรูปร่างของส่วนท้ายของกราฟการกระจายความสูญเสียมากกว่า ${\displaystyle q\%}$

การขาดทุนที่คาดหวังยังเรียกว่ามูลค่าความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไข ( CVaR ), มูลค่าความเสี่ยงเฉลี่ย ( AVaR ), มูลค่าความเสี่ยงส่วนท้าย ( TVaR ), ความคาดหวังส่วนท้ายแบบมีเงื่อนไข ( CTE ), การสูญเสียส่วนท้ายที่คาดหวัง ( ETL ) และซูเปอร์ควอนไทล์ [ ^{1 ] [ 2 ] ชื่อ}เหล่านี้มักใช้แทนกันได้ แม้ว่าจะมีคำจำกัดความหลายอย่างในเอกสารทางวิชาการ คำจำกัดความเหล่านี้ตรงกันในหลายกรณี แต่อาจแตกต่างกันสำหรับรูปแบบการกระจายการสูญเสียบางประเภท^{[ 3 ]}

การวัดความเสี่ยงถูกนำมาใช้ทั้งในด้านคณิตศาสตร์การเงินและคณิตศาสตร์ประกันภัยและค่าความเสี่ยง (Value-at-Risk) และการขาดทุนที่คาดการณ์ไว้ (Expected Shortfall) มักแสดงออกมาโดยใช้ข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายและข้อกำหนดเรื่องส่วนท้ายที่แตกต่างกันในสาขาวิชาเหล่านี้ การอธิบายต่อไปนี้จะพิจารณาจากมุมมองของคณิตศาสตร์การเงิน

ในคณิตศาสตร์การเงิน การวัดความเสี่ยงเกิดขึ้นเมื่อพิจารณาการกระจายกำไร/ขาดทุน หรือผลตอบแทน สำหรับพอร์ตการลงทุนทางการเงิน ซึ่งจำลองเป็นตัวแปรสุ่มค่านี้สามารถเป็นบวกหรือลบได้ และความเสี่ยงด้านลบจะสอดคล้องกับควอนไทล์ที่มีค่าใกล้เคียง 0 จะมีการเลือกเกณฑ์ความเสี่ยงและกำหนดให้เป็นค่าสัมบูรณ์ของควอนไทล์ของ(โดยไม่คำนึงถึงรายละเอียดทางเทคนิคบางประการ) ซึ่งก็คือควอนไทล์ของ เช่นกัน จากนั้นค่า ขาดทุนที่คาดหวัง ณ ระดับจะถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของสำหรับในช่วง กล่าวคือ เป็นค่าเฉลี่ยของ VaR ในทุกระดับที่ต่ำกว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle -X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\gamma }(X)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [0,\alpha ]}$${\displaystyle \alpha }$

โดยทั่วไปแล้ว Expected shortfall (ES) มักถูกมองว่าดีกว่า VaR (Value of Risk) เพราะ ES คำนึงถึงความรุนแรงของความล้มเหลว ไม่ใช่แค่โอกาสที่จะเกิดความล้มเหลวเท่านั้น นอกจากนี้ ES ยังเป็นการวัดความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนทางการเงินที่สอดคล้องกัน ในขณะที่ VaR ไม่ใช่ ES เกิดจากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์หลายประการ หนึ่งในนั้นคือการกระจายความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุนจะไม่นำไปสู่ความเสี่ยงที่สูงขึ้น หากมองค่าที่ได้จากการวัดความเสี่ยงเป็นอัตราส่วนของเงินทุนสำรอง ES ในระดับหนึ่ง จะมีความอนุรักษ์นิยมมากกว่า VaR ในระดับเดียวกันเสมอ กล่าวคือ ES จะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับ VaR ในระดับเดียวกันเสมอ ${\displaystyle \alpha }$

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ซึ่งแสดงถึงผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอในอนาคต และผลขาดทุนที่คาดหวังของที่ระดับคือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma }$

มูลค่าที่เสี่ยง อยู่ที่ไหน${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {VaR} _{\gamma }}$

ในเอกสารทางวิชาการมีคำจำกัดความอื่นๆ อีกหลายแบบ เช่น ES, TVaR, AVaR, CTE และ CVaR สูตรข้างต้นที่เป็นปริพันธ์ของค่า VaR นั้นมีความสอดคล้องและชัดเจนในกรณีทั่วไป คำจำกัดความอื่นๆ มักจะสอดคล้องกันภายใต้สมมติฐานทั่วไป เช่น ความต่อเนื่องของการกระจายความสูญเสีย แต่Hอาจแตกต่างกันไปสำหรับการกระจายที่มีอะตอม

คำจำกัดความข้างต้นเทียบเท่ากับ

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

โดยที่ควอนไทล์ล่างและฟังก์ชันตัวบ่งชี้คือ^{[ 3 ]}${\displaystyle x_{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :P(X\leq x)\geq \alpha \}=-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}x\in A\\0&{\text{มิฉะนั้น}}\end{cases}}}$

ผู้เขียนบางท่านกำหนดนิยามของการขาดดุลที่คาดหวัง ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่ส่วนท้าย หรือปริมาณที่เกี่ยวข้องโดยตรงว่าเป็นความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่เกินควอนไทล์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-E[X|X<x_{\alpha }]}$

สูตรนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความทั่วไปข้างต้นเมื่อการแจกแจงมีความต่อเนื่องที่แต่Hอาจแตกต่างกันสำหรับการแจกแจงที่มีอะตอมอยู่ที่ควอนไทล์ อันที่จริง พจน์ที่สองในสูตรก่อนหน้านี้จะหายไปสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันการแจกแจงแบบต่อเนื่อง และสูตรความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขนี้จึงตามมา ${\displaystyle x_{\alpha }}$

ความแตกต่างบางประการในคำจำกัดความเกิดขึ้นจากธรรมเนียมปฏิบัติที่แตกต่างกันระหว่างคณิตศาสตร์ทางการเงินและวิทยาศาสตร์ประกันภัย ซึ่งสิ่งที่เขียนด้วยธรรมเนียมปฏิบัติชุดหนึ่งอาจถูกแปลเป็นบริบทที่มีธรรมเนียมปฏิบัติที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ยังมีความไม่สอดคล้องกันเพิ่มเติม โดยบางกรณีมีการใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญสำหรับคำเดียวกัน ตัวอย่างเช่น Sweeting นิยาม TVaR ว่าเป็นความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขที่ส่วนท้าย ในขณะที่เขานิยามการขาดทุนที่คาดหวังว่าเป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาด^{[ 8 ]}${\displaystyle \alpha \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)}$

มีสูตรที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันเล็กน้อยหลายสูตรสำหรับ TVaR ในเอกสารทางวิชาการ กรณีทั่วไปในเอกสารทางวิชาการคือการกำหนด TVaR และค่าเฉลี่ยความเสี่ยงให้เป็นการวัดเดียวกัน^{[ 9 ]} ภายใต้สูตรบางอย่าง มันจะเทียบเท่ากับการขาดดุลที่คาดหวังก็ต่อ เมื่อ ฟังก์ชันการกระจายพื้นฐานมีความต่อเนื่องที่ระดับ ซึ่งเป็นค่าความเสี่ยง ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \alpha }$

การแสดงผลแบบคู่คือ

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }}E^{Q}[X]}$

โดยที่เซตของการวัดความน่าจะเป็นซึ่งมีความต่อเนื่องสัมบูรณ์กับการวัดทางกายภาพซึ่งเกือบจะแน่นอน [ ^{10 ] โปรด}ทราบว่าคืออนุพันธ์ Radon–Nikodymของเทียบกับ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha ^{-1}}$${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

การขาดแคลนที่คาดหวังสามารถสรุปได้เป็นคลาสทั่วไปของการวัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกันบนพื้นที่ ( พื้นที่ Lp ) พร้อมลักษณะคู่ที่สอดคล้องกันในพื้นที่คู่ ที่สอดคล้องกัน โดเมนสามารถขยายได้สำหรับ Orlicz Hearts ทั่วไปมากขึ้น^{[ 11 ]}${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{q}}$

หากการแจกแจงพื้นฐานเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง การขาดทุนที่คาดหวังจะเทียบเท่ากับ การคาด ^หวังแบบมีเงื่อนไขที่ส่วนหางที่กำหนดโดย[ ^{12 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$

โดยคร่าวๆ และไม่ได้ยึดหลักความเคร่งครัด สมการนี้หมายความว่า "ในกรณีที่เกิดความเสียหายรุนแรงจนเกิดขึ้นเพียงร้อยละอัลฟาของเวลาทั้งหมด ความเสียหายโดยเฉลี่ยของเราคือเท่าไร"

ความขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้สามารถเขียนได้ในรูปของการวัดความเสี่ยงจากการบิดเบือนซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชันการบิดเบือน

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{ถ้า }}0\leq x<1-\alpha ,\\1&{\text{ถ้า }}1-\alpha \leq x\leq 1.\end{cases}}\quad }$^{[ 13 ] [ 14 ]}

ตัวอย่างที่ 1. หากเราเชื่อว่าค่าเฉลี่ยของการขาดทุนใน 5% ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่แย่ที่สุดสำหรับพอร์ตโฟลิโอของเราคือ 1,000 ยูโร เราก็สามารถกล่าวได้ว่าการขาดทุนที่คาดการณ์ไว้ของเราคือ 1,000 ยูโรสำหรับ 5% ที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาพอร์ตการลงทุนที่จะมีมูลค่าดังต่อไปนี้เมื่อสิ้นสุดงวด:

สมมติว่าเราจ่ายเงิน 100 ในตอนต้นของช่วงเวลาสำหรับพอร์ตการลงทุนนี้ ดังนั้นกำไรในแต่ละกรณีคือ ( มูลค่าสุดท้าย −100) หรือ:

จากตารางนี้ เรามาคำนวณค่าความขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้สำหรับค่าต่างๆ ของ: ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle q}$	การขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46. ​​6
40%	40
50%	32
60%	26. 6
80%	20
90%	12.2​
100%	6

เพื่อดูวิธีการคำนวณค่าเหล่านี้ ลองพิจารณาการคำนวณค่าคาดหวังในกรณีที่แย่ที่สุด 5% กรณีเหล่านี้อยู่ใน (เป็นส่วนย่อยของ) แถวที่ 1 ในตารางกำไร ซึ่งมีกำไร −100 (ขาดทุนทั้งหมดจากเงินลงทุน 100) กำไรที่คาดหวังสำหรับกรณีเหล่านี้คือ −100 ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.05}}$

ทีนี้ลองพิจารณาการคำนวณค่าคาดหวังใน 20 กรณีที่แย่ที่สุดจากทั้งหมด 100 กรณี กรณีเหล่านี้ได้แก่ 10 กรณีจากแถวที่หนึ่ง และ 10 กรณีจากแถวที่สอง (โปรดทราบว่า 10+10 เท่ากับ 20 กรณีที่ต้องการ) สำหรับแถวที่หนึ่งมีกำไรเท่ากับ -100 ในขณะที่แถวที่สองมีกำไรเท่ากับ -20 เมื่อใช้สูตรค่าคาดหวัง เราจะได้ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{0.20}}$

${\displaystyle {\frac {{\frac {10}{100}}(-100)+{\frac {10}{100}}(-20)}{\frac {20}{100}}}=-60.}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับค่าใดๆ ของเราจะเลือกแถวจากบนสุดเท่าที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นสะสมของแล้วจึงคำนวณค่าคาดหวังจากกรณีเหล่านั้น โดยทั่วไปแล้ว แถวสุดท้ายที่เลือกอาจไม่ได้ถูกใช้ทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณเราใช้เพียง 10 จาก 30 กรณีต่อ 100 กรณีที่ได้จากแถวที่ 2) ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle -\operatorname {ES} _{0.20}}$

ตัวอย่างสุดท้ายคือ คำนวณค่านี่คือค่าคาดหวังในทุกกรณี หรือ ${\displaystyle -\operatorname {ES} _{1}}$

${\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

ค่าความเสี่ยง (VaR) แสดงไว้ด้านล่างเพื่อใช้ในการเปรียบเทียบ

${\displaystyle q}$	${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$
${\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$	100
${\displaystyle 10\%\leq q<40\%}$	20
${\displaystyle 40\%\leq q<80\%}$	0
${\displaystyle 80\%\leq q\leq 100\%}$	-50

การขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้จะเพิ่มขึ้นเมื่อลดลง ${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle q}$

ค่าความขาดทุนที่คาดการณ์ไว้ที่ควอนไทล์ 100% จะเท่ากับค่าลบของมูลค่าที่คาดการณ์ไว้ของพอร์ตโฟลิโอ ${\displaystyle \operatorname {ES} _{1}}$

สำหรับพอร์ตการลงทุนที่กำหนดไว้ การขาดทุนที่คาดการณ์ไว้จะมากกว่าหรือเท่ากับมูลค่าความเสี่ยง (Value at Risk) ใน ระดับ เดียวกัน${\displaystyle \operatorname {ES} _{q}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$${\displaystyle q}$

เป็นที่ทราบกันดีว่าการขาดทุนที่คาดหวังในรูปแบบมาตรฐานจะนำไปสู่ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่ไม่นูนโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะแปลงปัญหาเป็นโปรแกรมเชิงเส้นและค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วโลก^{[ 15 ]}คุณสมบัตินี้ทำให้การขาดทุนที่คาดหวังเป็นรากฐานสำคัญของทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอแบบค่าเฉลี่ย- ความแปรปรวน ซึ่งคำนึงถึงโมเมนต์ที่สูงกว่า (เช่น ความเบี่ยงเบนและความโค้ง ) ของการกระจายผลตอบแทน

สมมติว่าเราต้องการลดค่าความสูญเสียที่คาดหวังของพอร์ตโฟลิโอให้เหลือน้อยที่สุด ผลงานสำคัญของ Rockafellar และ Uryasev ในบทความปี 2000 คือการแนะนำฟังก์ชันเสริม สำหรับค่าความสูญเสียที่คาดหวัง: โดยที่และเป็นฟังก์ชันความสูญเสียสำหรับชุดน้ำหนักพอร์ตโฟลิโอที่จะนำไปใช้กับผลตอบแทน Rockafellar/Uryasev พิสูจน์แล้วว่าเป็นฟังก์ชันนูนเมื่อเทียบกับและเทียบเท่ากับค่าความสูญเสียที่คาดหวัง ณ จุดต่ำสุด ในการคำนวณค่าความสูญเสียที่คาดหวังสำหรับชุดผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอในเชิงตัวเลข จำเป็นต้องสร้างการจำลององค์ประกอบของพอร์ตโฟลิโอ ซึ่งมักทำโดยใช้copulasเมื่อได้การจำลองเหล่านี้แล้ว ฟังก์ชันเสริมอาจประมาณได้โดย: ซึ่งเทียบเท่ากับสูตร: สุดท้าย การเลือกฟังก์ชันความสูญเสียเชิงเส้นจะเปลี่ยนปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดให้เป็นโปรแกรมเชิงเส้น โดยใช้วิธีการมาตรฐาน จึงง่ายที่จะหาพอร์ตโฟลิโอที่ลดค่าความสูญเสียที่คาดหวังให้เหลือน้อยที่สุด ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {1-\alpha }}\int _{\ell (w,x)\geq \gamma }\left[\ell (w,x)-\gamma \right]_{+}p(x)\,dx}$$${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle \ell (w,x)}$${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\widetilde {F}}_{\alpha }(w,\gamma )=\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}[\ell (w,x_{j})-\gamma ]_{+}}$$$${\displaystyle \min _{\gamma ,z,w}\;\gamma +{1 \over {(1-\alpha )J}}\sum _{j=1}^{J}z_{j},\quad {\text{s.t. }}z_{j}\geq \ell (w,x_{j})-\gamma ,\;z_{j}\geq 0}$$${\displaystyle \ell (w,x_{j})=-w^{T}x_{j}}$

มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับการคำนวณค่าความสูญเสียที่คาดหวังเมื่อผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอหรือการขาดทุนที่สอดคล้องกันเป็นไปตามการแจกแจงแบบต่อเนื่องเฉพาะ ในกรณีแรก ค่าความสูญเสียที่คาดหวังจะสอดคล้องกับจำนวนตรงข้ามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขด้านซ้ายดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

ค่าทั่วไปของในกรณีนี้คือ 5% และ 1% ${\textstyle \alpha }$

สำหรับการใช้งานด้านวิศวกรรมหรือคณิตศาสตร์ประกันภัย มักจะพิจารณาการกระจายของความสูญเสียมากกว่าโดยความขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้ในกรณีนี้จะสอดคล้องกับความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขทางด้านขวาที่กล่าวมาข้างต้นและค่าทั่วไปของคือ 95% และ 99%: ${\displaystyle L=-X}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)\,d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

เนื่องจากสูตรบางส่วนด้านล่างได้มาจากกรณีหางซ้ายและบางส่วนจากกรณีหางขวา ดังนั้นการเปรียบเทียบต่อไปนี้จึงอาจเป็นประโยชน์:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงปกติ (เกาส์เซียน)ที่มี pdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือ pdf ของการแจกแจงปกติมาตรฐานคือ cdf ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน และคือควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน^{[ 16 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

หากการสูญเสียของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการกระจายแบบปกติ การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอ เป็นไปตาม การแจกแจง t ของนักเรียนทั่วไปที่มี pdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับโดยที่คือ pdf ของการแจกแจง t มาตรฐานคือ cdf ของการแจกแจง t มาตรฐาน และคือควอนไทล์ของการแจกแจง t มาตรฐาน^{[ 16 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจง t ของนักเรียนทั่วไป การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบลาปลาซโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-|x-\mu |/b}}$

และฟังก์ชันการกระจายสะสม

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

^{ดังนั้นการ ขาดแคลน}ที่คาดไว้จึงเท่ากับสำหรับ[ ^{16 ]}${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )}$${\displaystyle \alpha \leq 0.5}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการกระจายแบบลาปลาซ การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตาม การแจกแจงโล ^จิสติกส์ที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^[ 16 ^]${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตาม การกระจายแบบโลจิสติก^การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^[ 17 ^]${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$

หากการสูญเสียของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตาม การแจกแจงแบบเอกซ์โพเนนเชียล^ที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^[ 17 ^]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}}$

หากการสูญเสียของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตาม การ ^{แจกแจง}พาเรโตที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ^[ 17 ^]${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามGDPที่มี pdf ${\displaystyle L}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$

และฟังก์ชันการกระจายสะสม

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

ดังนั้น การขาดทุนที่คาดการณ์ไว้จึงเท่ากับ

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

และ VaR เท่ากับ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$

หากการสูญเสียของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจง Weibullที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านบน^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามGEVที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับและ VaR จะเท่ากับโดยที่คือฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านบนคือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม^{[ 18 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \Gamma (s,x)}$${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตาม GEVแล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับโดยที่คือฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างและคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}$${\displaystyle \gamma (s,x)}$${\displaystyle y}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจง GHSที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือได^โลการิธึมและคือหน่วยจินตนาการ [ ^{18 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจง SU ของจอห์นสันด้วย cdf แล้วการขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับโดยที่คือ cdf ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน^{[ 19 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right]}$${\displaystyle \Phi }$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบ Burr ประเภท XII pdf และ cdf การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกหรืออีกทางหนึ่ง^{[ 18 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right]}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)}$

หากผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจง Dagumที่มี pdf และ cdf การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก^{[ 18 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}}$${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$${\displaystyle _{2}F_{1}}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบลอคนอร์มอลกล่าวคือ ตัวแปรสุ่มเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติที่มี pdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับโดยที่คือ cdf มาตรฐานของการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้นคือควอนไทล์มาตรฐานของการแจกแจงแบบปกติ^{[ 20 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบลอจิสติกส์ (log-logistic distribution ) กล่าวคือ ตัวแปรสุ่มเป็นไปตามการแจกแจงแบบโลจิสติกส์ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) แล้วค่าความขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบปรับค่า ( regularized incomplete beta function )${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$${\displaystyle I_{\alpha }}$${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$

เนื่องจากฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์ถูกกำหนดไว้สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกเท่านั้น สำหรับกรณีทั่วไปมากขึ้น ความขาดแคลนที่คาดหวังสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอ^{เมตริก} : [ ^{20 ]}${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha )}$

หากการสูญเสียพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบลอจิสติกที่มี pdf และ cdf แล้ว การขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ โดยที่คือฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์^{[ 17 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right]}$${\displaystyle B_{\alpha }}$

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบลอการิทึมลาปลาซกล่าวคือ ตัวแปรสุ่มเป็นไปตามการแจกแจงแบบลาปลาซ (pdf) แล้ว ค่าขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}$^{[ 20 ]}

ถ้าผลตอบแทนของพอร์ตโฟลิโอเป็นไปตามการแจกแจงแบบ log-GHS กล่าวคือ ตัวแปรสุ่มเป็นไปตามการแจกแจง GHSที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น ความน่าจะเป็น แล้วค่าขาดทุนที่คาดหวังจะเท่ากับ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ln(1+X)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),}$

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอ^{เมตริก}อยู่ที่ไหน[ ^{20 ]}${\displaystyle _{2}F_{1}}$

รูป แบบ เงื่อนไขของความขาดแคลนที่คาดการณ์ไว้ ณ เวลาtถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

ที่. ^{[ 21 ] [ 22 ]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$

นี่ไม่ใช่ มาตรวัดความเสี่ยง ที่คงที่ตลอดเวลามาตรวัดความเสี่ยงที่คงที่ตลอดเวลาแสดงโดย

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

โดยที่^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

• การวัดความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน
• EMP สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงสุ่ม – เทคโนโลยีแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดที่เกี่ยวข้องกับ ES และ VaR
• ค่าเอนโทรปีที่มีความเสี่ยง
• มูลค่าที่มีความเสี่ยง

วิธีการประมาณค่าทางสถิติของ VaR และ ES สามารถพบได้ใน Embrechts et al. ^{[ 24 ]}และ Novak ^{[ 25 ]}เมื่อพยากรณ์ VaR และ ES หรือปรับพอร์ตโฟลิโอให้เหมาะสมเพื่อลดความเสี่ยงด้านหาง สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงการพึ่งพาที่ไม่สมมาตรและความไม่เป็นปกติในการกระจายของผลตอบแทนหุ้น เช่น การถดถอยอัตโนมัติ ความผันผวนที่ไม่สมมาตร ความเบี่ยงเบน และความโค้ง^{[ 26 ]}

• Rockafellar, Uryasev: การเพิ่มประสิทธิภาพของ Value-at-Risk แบบมีเงื่อนไข, 2000.
• C. Acerbi และ D. Tasche: ว่าด้วยความสอดคล้องของความขาดแคลนที่คาดหวัง, 2002
• Rockafellar, Uryasev: มูลค่าความเสี่ยงแบบมีเงื่อนไขสำหรับการกระจายความสูญเสียทั่วไป, 2002
• Acerbi: การวัดความเสี่ยงเชิงสเปกตรัม, 2005
• พอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุดของ Phi-Alpha และการจัดการความเสี่ยงขั้นรุนแรง, Best of Wilmott, 2003
• " มาตรการความเสี่ยงที่สอดคล้องกัน " โดย ฟิลิปป์ อาร์ตซ์เนอร์, เฟรดดี้ เดลบาเอน, ฌอง-มาร์ค เอเบอร์ และเดวิด ฮีธ