การแจกแจง K
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu \in (0,+\infty )}$, ,${\displaystyle \alpha \in [0,+\infty )}$${\displaystyle \beta \in [0,+\infty )}$
สนับสนุน	${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$
หมายถึง	${\displaystyle \mu }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle \left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right)}$

ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติ การ แจกแจงK แบบทั่วไปเป็นตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่มีพารามิเตอร์สามตัว การแจกแจงนี้เกิดขึ้นจากการรวมกันของการแจกแจงแกมมา สองแบบ ในแต่ละกรณี จะใช้การกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ของรูปแบบปกติของตระกูลการแจกแจงแกมมา โดยที่พารามิเตอร์คือ:

• ค่าเฉลี่ยของการกระจาย
• พารามิเตอร์รูปร่างปกติ

การแจกแจง K เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมาซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงไฮเปอร์โบลิกแบบทั่วไปกรณีพิเศษที่ง่ายกว่าของการแจกแจง K แบบทั่วไปมักถูกเรียกว่าการแจกแจง K

สมมติว่าตัวแปรสุ่ม มีการแจกแจงแบบแกมมาโดยมีค่าเฉลี่ยและพารามิเตอร์รูปร่างโดยถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบแกมมาอีกตัวหนึ่ง คราวนี้มีค่าเฉลี่ยและพารามิเตอร์รูปร่างผลลัพธ์คือ มี ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ต่อไปนี้ สำหรับ : ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\alpha ,\beta )={\frac {2}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,\left({\frac {\alpha \beta }{\mu }}\right)^{\frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu }}}\right),}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง โปรดทราบว่าสำหรับฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง เรามีในการพิสูจน์นี้ การแจกแจง K เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบผสมนอกจากนี้ยังเป็นการแจกแจงผลคูณ ด้วย : ^{[ 1 ]}เป็นการแจกแจงผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว ตัวหนึ่งมีการแจกแจงแกมมาที่มีค่าเฉลี่ย 1 และพารามิเตอร์รูปร่างตัวที่สองมีการแจกแจงแกมมาที่มีค่าเฉลี่ยและพารามิเตอร์รูปร่าง ${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\nu }=K_{-\nu }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \beta }$

การกำหนดรูปแบบพารามิเตอร์สองตัวที่ง่ายกว่าของการแจกแจง K สามารถทำได้โดยการตั้งค่าเป็น^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle f_{X}(x;b,v)={\frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

โดยที่คือปัจจัยรูปร่างคือปัจจัยมาตราส่วน และคือฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดที่สอง การกำหนดรูปแบบพารามิเตอร์สองตัวข้างต้นสามารถได้มาจากการตั้งค่า, , และเช่นกัน แม้ว่าการตีความทางกายภาพของ พารามิเตอร์ และ จะแตกต่างกัน การกำหนดรูปแบบพารามิเตอร์สองตัวนี้มักเรียกว่าการแจกแจง K ในขณะที่การกำหนดรูปแบบพารามิเตอร์สามตัวเรียกว่าการแจกแจง K แบบทั่วไป ${\displaystyle v=\alpha }$${\displaystyle b=\alpha /\mu }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle v=\beta }$${\displaystyle b=\beta /\mu }$${\displaystyle b}$${\displaystyle v}$

การแจกแจงนี้ได้มาจากบทความของEric JakemanและPeter Pusey (1978) ซึ่งใช้แบบจำลองคลื่นเสียงสะท้อนไมโครเวฟในทะเล^{[ 4 ]} Jakeman และ Tough (1987) ได้มาจากแบบจำลองการเดินสุ่มแบบมีอคติ^{[ 5 ]} Keith D. Ward (1981) ได้มาจากผลคูณของตัวแปรสุ่มสองตัวz = a yโดยที่a มีการแจกแจงไคกำลังสองและyมีการแจกแจงเกาส์เซียนเชิงซ้อน ค่าสัมบูรณ์ของz , |z| , จะมีการแจกแจง K ^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์กำหนดโดย^{[ 7 ]}

${\displaystyle M_{X}(s)=\left({\frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi }{s}}\right),}$

โดยที่และคือฟังก์ชัน Whittaker${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha ,}$${\displaystyle \delta =\alpha +\beta -1,}$${\displaystyle \xi =\alpha \beta /\mu ,}$${\displaystyle W_{-\delta /2,\gamma /2}(\cdot )}$

โมเมนต์ลำดับที่ n ของการแจกแจง K กำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mu _{n}=\xi ^{-n}{\frac {\Gamma (\alpha +n)\Gamma (\beta +n)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$

ดังนั้นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจึงกำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu ^{2}{\frac {\alpha +\beta +1}{\alpha \beta }}.}$

คุณสมบัติทั้งหมดของการกระจายมีความสมมาตรในและ^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta .}$

การแจกแจง K เกิดขึ้นจากแบบจำลองทางสถิติหรือความน่าจะเป็นที่ใช้ใน ภาพ เรดาร์สังเคราะห์ (SAR) การแจกแจง K เกิดจากการรวมกันของการแจกแจงความน่าจะเป็นสองแบบ แบบหนึ่งแสดงถึงพื้นที่หน้าตัดเรดาร์และอีกแบบแสดงถึงจุดรบกวนซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการสร้างภาพแบบโคherent นอกจากนี้ยังใช้ในระบบสื่อสารไร้สายเพื่อจำลองผลกระทบของการลดทอนสัญญาณอย่างรวดเร็วและการบดบัง

• Redding, Nicholas J. (1999), การประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจง K ในโดเมนความเข้ม (PDF) , เซาท์ออสเตรเลีย: DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, หน้า 60, DSTO-TR-0839
• Bocquet, Stephen (2011), การคำนวณความน่าจะเป็นของการตรวจจับเรดาร์ในสัญญาณรบกวนและเสียงรบกวนจากทะเลที่มีการกระจายแบบ K (PDF) , แคนเบอร์รา, ออสเตรเลีย: กองปฏิบัติการร่วม, DSTO องค์การวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีการป้องกันประเทศ, หน้า 35, DSTO-TR-0839
• Jakeman, Eric; Pusey, Peter N. (27 กุมภาพันธ์ 1978). "ความสำคัญของการแจกแจง K ในการทดลองการกระเจิง". Physical Review Letters . 40 (9). American Physical Society (APS): 546– 550. Bibcode : 1978PhRvL..40..546J . doi : 10.1103/physrevlett.40.546 . ISSN  0031-9007 .
• Jakeman, Eric; Tough, Robert JA (1987-09-01). "การกระจาย K ทั่วไป: แบบจำลองทางสถิติสำหรับการกระเจิงที่อ่อน" วารสารของสมาคมทัศนศาสตร์แห่งอเมริกา A . 4 (9). สมาคมทัศนศาสตร์: 1764-1772. Bibcode : 1987JOSAA...4.1764J . doi : 10.1364/josaa.4.001764 . ISSN  1084-7529 .
• Ward, Keith D. (1981). "การแสดงภาพผสมของสัญญาณรบกวนจากทะเลที่มีความละเอียดสูง" Electronics Letters . 17 (16). สถาบันวิศวกรรมและเทคโนโลยี (IET): 561-565. Bibcode : 1981ElL....17..561W . doi : 10.1049/el:19810394 . ISSN  0013-5194 .
• Bithas, Petros S.; Sagias, Nikos C.; Mathiopoulos, P. Takis; Karagiannidis, George K. ; Rontogiannis, Athanasios A. (2006). "การวิเคราะห์ประสิทธิภาพของการสื่อสารดิจิทัลบนช่องสัญญาณเฟดดิ้งแบบ generalized-k" IEEE Communications Letters . 10 (5). สถาบันวิศวกรรมไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ (IEEE): 353– 355. CiteSeerX  10.1.1.725.7998 . doi : 10.1109/lcomm.2006.1633320 . ISSN  1089-7798 . S2CID  4044765 .
• ลอง, มอริซ ดับเบิลยู. (2001). การสะท้อนแสงเรดาร์ของพื้นดินและทะเล (ฉบับที่ 3). นอร์วูด, แมสซาชูเซตส์: อาร์เทค เฮาส์. หน้า 560.

• Jakeman, Eric (1980-01-01). "เกี่ยวกับสถิติของสัญญาณรบกวนที่กระจายแบบ K". Journal of Physics A: Mathematical and General . 13 (1). IOP Publishing: 31– 48. Bibcode : 1980JPhA...13...31J . doi : 10.1088/0305-4470/13/1/006 . ISSN  0305-4470 .
• Ward, Keith D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) สัญญาณรบกวนจากทะเล: การกระเจิง การกระจาย K และประสิทธิภาพของเรดาร์สถาบันวิศวกรรมและเทคโนโลยีISBN 0-86341-503-2.